Aufgaben:Aufgabe 3.3Z: Faltung und D–Transformation: Unterschied zwischen den Versionen

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{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Algebraische und polynomische Beschreibung}}
 
{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Algebraische und polynomische Beschreibung}}
  
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[[Datei:P_ID2628__KC_Z_3_3.png|right|frame|Vorgegebene Filter]]
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[[Datei:P_ID2628__KC_Z_3_3.png|right|frame|Vorgegebene Filterstruktur]]
  
 
In dieser Aufgabe beschreiben wir an einem einfachen Beispiel
 
In dieser Aufgabe beschreiben wir an einem einfachen Beispiel
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* die endliche <span style="color: rgb(204, 0, 0);"><b>Impulsantwort</b></span> eines Filters:
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* die endliche&nbsp; <b>Impulsantwort</b> &nbsp;eines Filters:
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:$$\underline{g} = \left (g_0, g_1, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm}, g_l, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm}, g_m \right )
+
:$$\underline{g} = \left (g_0, g_1, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, g_l, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, g_m \right )
 
\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}g_l \in {\rm GF(2) } = \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}, $$
 
\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}g_l \in {\rm GF(2) } = \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}, $$
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* die <span style="color: rgb(204, 0, 0);"><b>Eingangssequenz</b></span> des Filters:
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* die&nbsp; <b>Eingangssequenz</b>&nbsp; des Filters:
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:$$\underline{u} = \left (u_0, u_1, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm}, u_i, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm} \right )
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:$$\underline{u} = \left (u_0, u_1, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, u_i, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm} \right )
 
\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_i \in {\rm GF(2) } = \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}, $$
 
\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_i \in {\rm GF(2) } = \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}, $$
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* die <span style="color: rgb(204, 0, 0);"><b>Ausgangssequenz</b></span> des Filters:
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* die&nbsp; <b>Ausgangssequenz</b>&nbsp; des Filters:
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:$$\underline{x} = \left (x_0, x_1, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm}, x_i, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm} \right )
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:$$\underline{x} = \left (x_0, x_1, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, x_i, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm} \right )
 
\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_i \in {\rm GF(2) } = \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}. $$
 
\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_i \in {\rm GF(2) } = \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}. $$
  
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Die Nomenklatur für diese (digitale) Filterbeschreibung haben wir an das Buch &bdquo;Einführung in die Kanalcodierung&rdquo; angepasst. In anderen Büchern bezeichnet oft $\underline{x}$ den Filtereingang, $\underline{y}$ den Filterausgang, und die Impulsantwort wird $h$ genannt.
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Die Nomenklatur für diese (digitale) Filterbeschreibung haben wir an das Buch &bdquo;Einführung in die Kanalcodierung&rdquo; angepasst. In anderen&nbsp; $\rm LNTwww$&ndash;Büchern bezeichnet oft&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; den Filtereingang,&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; den Filterausgang, und die Impulsantwort wird&nbsp; $h$&nbsp; genannt.
  
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Allgemein gilt für die Ausgangssequenz entsprechend der [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Zeitbereich| Faltung]] (englisch: <i>Convolution</i>):
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Allgemein gilt für die Ausgangssequenz entsprechend der&nbsp; [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Zeitbereich| Faltung]]&nbsp; (englisch: &nbsp;<i>Convolution</i>&nbsp;):
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:$$\underline{x} = \underline{u}* \underline{g} = \left (x_0, x_1, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm}, x_i, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm} \right )\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} {\rm mit} \hspace{0.2cm} x_i = \sum_{l = 0}^{m} g_l \cdot u_{i-l}\hspace{0.05cm}.$$
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:$$\underline{x} = \underline{u}* \underline{g} = \left (x_0, x_1, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, x_i, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm} \right )\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} {\rm mit} \hspace{0.2cm} x_i = \sum_{l = 0}^{m} g_l \cdot u_{i-l}\hspace{0.05cm}.$$
  
−
Wir repräsentieren nun die Zeitfunktionen $\underline{g}, \ \underline{u}$ und $\underline{x}$ durch Polynome in einer Dummy&ndash;Variablen $D$ und nennen diese die $D$&ndash;Transformierten:
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Wir repräsentieren nun die Zeitfunktionen&nbsp; $\underline{g}, \ \underline{u}$&nbsp; und&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; durch Polynome in einer Dummy&ndash;Variablen&nbsp; $D$&nbsp; und nennen diese die&nbsp; $D$&ndash;Transformierten:
 
:$$\underline{g}  \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm}
 
:$$\underline{g}  \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm}
−
{G}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \sum_{l = 0}^{m} g_l \cdot D\hspace{0.03cm}^l = g_0 + g_1 \cdot D + g_2 \cdot D^2 + ... + g_m \cdot D\hspace{0.03cm}^m\hspace{0.05cm},$$
+
{G}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \sum_{l = 0}^{m} g_l \cdot D\hspace{0.03cm}^l = g_0 + g_1 \cdot D + g_2 \cdot D^2 + \text{...} + g_m \cdot D\hspace{0.03cm}^m\hspace{0.05cm},$$
 
:$$\underline{u}  \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm}
 
:$$\underline{u}  \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm}
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{U}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \sum_{i = 0}^{\infty} u_i \cdot D\hspace{0.03cm}^i = u_0 + u_1 \cdot D + u_2 \cdot D^2 + ... \hspace{0.05cm},$$
+
{U}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \sum_{i = 0}^{\infty} u_i \cdot D\hspace{0.03cm}^i = u_0 + u_1 \cdot D + u_2 \cdot D^2 + \text{...} \hspace{0.05cm},$$
 
:$$\underline{x}  \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm}
 
:$$\underline{x}  \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm}
−
{X}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \sum_{i = 0}^{\infty} x_i \cdot D\hspace{0.03cm}^i = x_0 + x_1 \cdot D + x_2 \cdot D^2 + ... \hspace{0.05cm}.$$
+
{X}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \sum_{i = 0}^{\infty} x_i \cdot D\hspace{0.03cm}^i = x_0 + x_1 \cdot D + x_2 \cdot D^2 + \text{...} \hspace{0.05cm}.$$
  
 
Damit wird aus der (komplizierteren) Faltung eine Multiplikation:
 
Damit wird aus der (komplizierteren) Faltung eine Multiplikation:
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:$${X}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \sum_{i = 0}^{\infty} x_i \cdot D\hspace{0.03cm}^i = \sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{l = 0}^{m}\hspace{0.1cm}
 
:$${X}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \sum_{i = 0}^{\infty} x_i \cdot D\hspace{0.03cm}^i = \sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{l = 0}^{m}\hspace{0.1cm}
 
  g_l \cdot u_{i-l} \cdot D\hspace{0.03cm}^{i} =  \sum_{l = 0}^{m} \hspace{0.1cm} g_l \cdot \sum_{j = -l}^{\infty} \hspace{0.1cm}
 
  g_l \cdot u_{i-l} \cdot D\hspace{0.03cm}^{i} =  \sum_{l = 0}^{m} \hspace{0.1cm} g_l \cdot \sum_{j = -l}^{\infty} \hspace{0.1cm}
−
   u_{j} \cdot D\hspace{0.03cm}^{j+l} = $$
+
   u_{j} \cdot D\hspace{0.03cm}^{j+l} =  \sum_{l = 0}^{m} \hspace{0.1cm} g_l \cdot D\hspace{0.03cm}^l \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} \sum_{j = 0}^{\infty} \hspace{0.1cm}
−
:$$ \ = \ \hspace{-0.15cm} \sum_{l = 0}^{m} \hspace{0.1cm} g_l \cdot D\hspace{0.03cm}^l \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} \sum_{j = 0}^{\infty} \hspace{0.1cm}
+
   u_{j} \cdot D\hspace{0.03cm}^{j}$$
−
   u_{j} \cdot D\hspace{0.03cm}^{j}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{X}(D) = U(D) \cdot G(D)
+
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{X}(D) = U(D) \cdot G(D)
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
  
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Hierbei wurde berücksichtigt, dass alle $u_j$ für $j < 0$ nicht existieren und zu $0$ gesetzt werden können.
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Hierbei wurde berücksichtigt, dass alle&nbsp; $u_j$&nbsp; für&nbsp; $j < 0$&nbsp; nicht existieren und zu Null gesetzt werden können.
  
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Beide Vorgehensweisen zur Berechnung der Ausgangssequenz $\underline{x}$, nämlich
+
Beide Vorgehensweisen zur Berechnung der Ausgangssequenz&nbsp; $\underline{x}$, nämlich
 
* über die Faltung
 
* über die Faltung
 
* mit Hilfe der $D$&ndash;Transformation,
 
* mit Hilfe der $D$&ndash;Transformation,
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sollen für das oben skizzierte Digitale Filter demonstriert werden.
 
sollen für das oben skizzierte Digitale Filter demonstriert werden.
  
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''Hinweis:''
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* Die Aufgabe bezieht sich auf den Lehrstoff von [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#GF.282.29.E2.80.93Beschreibungsformen_eines_Digitalen_Filters| Seite 4]] des Kapitels Algebraische und polynomische Beschreibung.
+
 
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* Berücksichtigen Sie bei der Lösung die folgende Identität für Berechnungen in GF(2):
+
 
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:$$1 + D + D^2 + D^3  + \hspace{0.05cm}... \hspace{0.1cm}= \frac{1}{1+D} \hspace{0.05cm}.$$
+
 
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''Hinweise:''
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* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung| Algebraische und polynomische Beschreibung]].
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* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#GF.282.29.E2.80.93Beschreibungsformen_eines_Digitalen_Filters|GF(2)&ndash;Beschreibungsformen eines Digitalen Filters]].
 +
* Berücksichtigen Sie bei der Lösung die folgende Identität für Berechnungen in&nbsp; $\rm GF(2)$:
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:$$1 + D + D^2 + D^3  + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}= \frac{1}{1+D} \hspace{0.05cm}.$$
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{Wie lauten die vorliegenden Filterkoeffizienten?
 
{Wie lauten die vorliegenden Filterkoeffizienten?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
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$g_0 \ = \ ${ 1 3% }
+
$g_0 \ = \ ${ 1 }
−
$g_1 \ = \ ${ 1 3% }
+
$g_1 \ = \ ${ 1 }
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$g_2 \ = \ ${ 0 3% }
+
$g_2 \ = \ ${ 0. }
  
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{Die Sequenz $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1)$ sei endlich. Wie lautet die Ausgangssequenz?
+
{Die Sequenz&nbsp; $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1)$&nbsp; sei endlich. Wie lautet die Ausgangssequenz?
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|type="[]"}
+
|type="()"}
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- $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, ...)$.
+
- $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
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- $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, ...)$.
+
- $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
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+ $\underline{x} = (1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, ...)$.
+
+ $\underline{x} = (1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
−
- $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, ...)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;.
+
- $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;.
  
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{Die Sequenz $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1)$ sei endlich. Wie lautet die Ausgangssequenz?
+
{Die Sequenz&nbsp; $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1)$&nbsp; sei endlich. Wie lautet die Ausgangssequenz?
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|type="[]"}
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|type="()"}
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- $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, ...)$.
+
- $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
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+ $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, ...)$.
+
+ $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
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- $\underline{x} = (1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, ...)$.
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- $\underline{x} = (1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
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- $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, ...)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;.
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- $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;.
  
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{Wie lautet die Ausgangssequenz für $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, ...)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;?
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{Wie lautet die Ausgangssequenz für&nbsp; $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm}.)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;?
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|type="[]"}
+
|type="()"}
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+ $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, ...)$.
+
+ $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
−
- $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, ...)$.
+
- $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
−
- $\underline{x} = (1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, ...)$.
+
- $\underline{x} = (1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \,\text{...}\hspace{0.05cm})$.
−
- $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, ...)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;.
+
- $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;.
  
−
{Für welchen Vektor $\underline{u}$ tritt am Ausgang die Folge $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \ ...)$ auf?
+
{Für welchen Vektor&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; tritt am Ausgang die Folge&nbsp; $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \ \text{...}\hspace{0.05cm})$&nbsp; auf?
−
|type="[]"}
+
|type="()"}
−
- $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, ...)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;
+
- $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;
−
+ $\underline{u} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, ...)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; alternierende Folge, beginnend mit $1$.
+
+ $\underline{u} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \,\text{...}\hspace{0.05cm})$ &nbsp; &#8658; &nbsp; alternierende Folge, beginnend mit $1$.
−
- $\underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, ...)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; alternierende Folge, beginnend mit $0$.
+
- $\underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$ &nbsp; &#8658; &nbsp; alternierende Folge, beginnend mit $0$.
 
</quiz>
 
</quiz>
  
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
−
'''(1)'''&nbsp;  
+
'''(1)'''&nbsp; Die beiden einzigen von $0$ verschiedenen Filterkoeffizienten sind $g_0 \ \underline{= 1}$ und $g_1 \ \underline{= 1}$.
−
'''(2)'''&nbsp;  
+
*Daraus folgt $g_2 \ \underline{= 0}$ und für die $D$&ndash;Transformierte der Impulsantwort:
−
'''(3)'''&nbsp;  
+
:$$\underline{g} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1)  \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm}
−
'''(4)'''&nbsp;  
+
{G}(D) = 1+ D \hspace{0.05cm}.$$
−
'''(5)'''&nbsp;  
+
 
 +
 
 +
 
 +
'''(2)'''&nbsp; Die Impulsantwort des betrachteten Filters ist $\underline{g} = (1, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
 +
*Für die Ausgangssequenz erhält man deshalb das Faltungsprodukt
 +
:$$\underline{x} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \underline{u}* \underline{g} =
 +
(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) *
 +
(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}) =(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm})
 +
\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
*Zum gleichen Ergebnis kommt man über die $D$&ndash;Transformierten $U(D) = 1 + D^3$ und $G(D) = 1 + D$:
 +
:$${X}(D) = U(D) \cdot G(D) = ( 1+D^3) \cdot (1+D) = 1 +D + D^3 +D^4
 +
\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
*Die Rücktransformation führt wieder zum Ergebnis $\underline{x} = (1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$ &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''(3)'''&nbsp; Hier verwenden wir sofort den Weg über die $D$&ndash;Transformierten:
 +
:$${X}(D) =  ( 1+D+D^2) \cdot (1+D) = 1 +D + D +D^2 +D^2 +D^3 = 1+ D^3\hspace{0.3cm}
 +
\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}  =
 +
(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm})
 +
\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
*Das Ergebnis entspricht dem <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Die folgende Berechnung soll den Weg im Zeitbereich veranschaulichen:
 +
:$$(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}) *
 +
(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm},$$
 +
:$$(0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) *
 +
(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}(0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm},$$
 +
:$$(0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) *
 +
(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm})\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}(0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
*Da die Faltung eine lineare Operation ist, ergibt sich im Galoisfeld ${\rm GF}(2)$ aus der Summation:
 +
:$$(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}) *
 +
(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})\hspace{0.08cm}=\hspace{0.08cm}(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.$$
 +
 
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*Hätte man die Faltung nicht in ${\rm GF}(2)$, sondern für reelle Zahlen durchgeführt, so hätte man das Ergebnis $\underline{x} = (1, \, 2, \, 2, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...})$ erhalten.
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'''(4)'''&nbsp; Die Musterlösung zur Teilaufgabe '''(3)''' lässt bereits vermuten, dass hier der <u>Lösungsvorschlag 1</u> richtig ist.
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*Der Weg über die $D$&ndash;Transformierten bestätigt dieses Ergebnis:
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:$$\underline{u} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm})  \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm}
 +
{U}(D)= 1+ D + D^2+ D^3 + \text{...}\hspace{0.15cm}.$$
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*Mit der für Berechnungen in ${\rm GF}(2)$ gültigen Gleichung
 +
:$$1 + D + D^2 + D^3  + \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}= \frac{1}{1+D}$$
 +
 
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:erhält man weiter:
 +
:$${X}(D) = U(D) \cdot G(D) = \frac{1}{1+D} \cdot (1+D) = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
 +
\underline{x} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm})
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\hspace{0.05cm}.$$
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'''(5)'''&nbsp; Der Weg über die $D$&ndash;Transformierten führt zum <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
 +
*Für diese alternierende Folge $\underline{u}$, beginnend mit 1, erhält man:
 +
:$${X}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 \cdot (1+D)  + D^2 \cdot (1+D) + D^4 \cdot (1+D) + \text{...} = 1 + D + D^2 + D^3 + D^4 + D^5 +\hspace{0.05cm} ...
 +
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
 +
\underline{x} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})
 +
\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
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*Auch bei direkter Anwendung der Faltung wie in Teilaufgabe (2) kann man dieses Ergebnis ablesen.
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*Mit $\underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, \text{...})$ erhält man dagegen $\underline{x} = (0, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1, \,\text{...})$.
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*Diese unterscheidet sich von der &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo; nur im ersten Bit. Es ist dann $x_1 = 0$ statt $x_1 = 1$.
 
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[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^3.2 Algebraische und polynomische Beschreibung^]]
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[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^3.2 Polynomische Beschreibung^]]

Aktuelle Version vom 6. Juni 2019, 16:20 Uhr

Vorgegebene Filterstruktur

In dieser Aufgabe beschreiben wir an einem einfachen Beispiel

  • die endliche  Impulsantwort  eines Filters:
$$\underline{g} = \left (g_0, g_1, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, g_l, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, g_m \right ) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}g_l \in {\rm GF(2) } = \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}, $$
  • die  Eingangssequenz  des Filters:
$$\underline{u} = \left (u_0, u_1, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, u_i, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm} \right ) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_i \in {\rm GF(2) } = \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}, $$
  • die  Ausgangssequenz  des Filters:
$$\underline{x} = \left (x_0, x_1, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, x_i, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm} \right ) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_i \in {\rm GF(2) } = \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}. $$

Die Nomenklatur für diese (digitale) Filterbeschreibung haben wir an das Buch „Einführung in die Kanalcodierung” angepasst. In anderen  $\rm LNTwww$–Büchern bezeichnet oft  $\underline{x}$  den Filtereingang,  $\underline{y}$  den Filterausgang, und die Impulsantwort wird  $h$  genannt.

Allgemein gilt für die Ausgangssequenz entsprechend der  Faltung  (englisch:  Convolution ):

$$\underline{x} = \underline{u}* \underline{g} = \left (x_0, x_1, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, x_i, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm} \right )\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} {\rm mit} \hspace{0.2cm} x_i = \sum_{l = 0}^{m} g_l \cdot u_{i-l}\hspace{0.05cm}.$$

Wir repräsentieren nun die Zeitfunktionen  $\underline{g}, \ \underline{u}$  und  $\underline{x}$  durch Polynome in einer Dummy–Variablen  $D$  und nennen diese die  $D$–Transformierten:

$$\underline{g} \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm} {G}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \sum_{l = 0}^{m} g_l \cdot D\hspace{0.03cm}^l = g_0 + g_1 \cdot D + g_2 \cdot D^2 + \text{...} + g_m \cdot D\hspace{0.03cm}^m\hspace{0.05cm},$$
$$\underline{u} \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm} {U}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \sum_{i = 0}^{\infty} u_i \cdot D\hspace{0.03cm}^i = u_0 + u_1 \cdot D + u_2 \cdot D^2 + \text{...} \hspace{0.05cm},$$
$$\underline{x} \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm} {X}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \sum_{i = 0}^{\infty} x_i \cdot D\hspace{0.03cm}^i = x_0 + x_1 \cdot D + x_2 \cdot D^2 + \text{...} \hspace{0.05cm}.$$

Damit wird aus der (komplizierteren) Faltung eine Multiplikation:

$$\underline{x} = \underline{u}* \underline{g} \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm} {X}(D) = U(D) \cdot G(D) \hspace{0.05cm}.$$

Formal lässt sich dieser Zusammenhang wie folgt nachweisen:

$${X}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \sum_{i = 0}^{\infty} x_i \cdot D\hspace{0.03cm}^i = \sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{l = 0}^{m}\hspace{0.1cm} g_l \cdot u_{i-l} \cdot D\hspace{0.03cm}^{i} = \sum_{l = 0}^{m} \hspace{0.1cm} g_l \cdot \sum_{j = -l}^{\infty} \hspace{0.1cm} u_{j} \cdot D\hspace{0.03cm}^{j+l} = \sum_{l = 0}^{m} \hspace{0.1cm} g_l \cdot D\hspace{0.03cm}^l \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} \sum_{j = 0}^{\infty} \hspace{0.1cm} u_{j} \cdot D\hspace{0.03cm}^{j}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{X}(D) = U(D) \cdot G(D) \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei wurde berücksichtigt, dass alle  $u_j$  für  $j < 0$  nicht existieren und zu Null gesetzt werden können.

Beide Vorgehensweisen zur Berechnung der Ausgangssequenz  $\underline{x}$, nämlich

  • über die Faltung
  • mit Hilfe der $D$–Transformation,


sollen für das oben skizzierte Digitale Filter demonstriert werden.




Hinweise:

$$1 + D + D^2 + D^3 + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}= \frac{1}{1+D} \hspace{0.05cm}.$$



Fragebogen

1

Wie lauten die vorliegenden Filterkoeffizienten?

$g_0 \ = \ $
$g_1 \ = \ $
$g_2 \ = \ $

2

Die Sequenz  $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1)$  sei endlich. Wie lautet die Ausgangssequenz?

$\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
$\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
$\underline{x} = (1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
$\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$   ⇒   „Dauer–Einsfolge”.

3

Die Sequenz  $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1)$  sei endlich. Wie lautet die Ausgangssequenz?

$\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
$\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
$\underline{x} = (1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
$\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$   ⇒   „Dauer–Einsfolge”.

4

Wie lautet die Ausgangssequenz für  $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm}.)$   ⇒   „Dauer–Einsfolge”?

$\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
$\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
$\underline{x} = (1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \,\text{...}\hspace{0.05cm})$.
$\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$   ⇒   „Dauer–Einsfolge”.

5

Für welchen Vektor  $\underline{u}$  tritt am Ausgang die Folge  $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \ \text{...}\hspace{0.05cm})$  auf?

$\underline{u} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$   ⇒   „Dauer–Einsfolge”
$\underline{u} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \,\text{...}\hspace{0.05cm})$   ⇒   alternierende Folge, beginnend mit $1$.
$\underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$   ⇒   alternierende Folge, beginnend mit $0$.


Musterlösung

Musterlösung

(1)  Die beiden einzigen von $0$ verschiedenen Filterkoeffizienten sind $g_0 \ \underline{= 1}$ und $g_1 \ \underline{= 1}$.

  • Daraus folgt $g_2 \ \underline{= 0}$ und für die $D$–Transformierte der Impulsantwort:
$$\underline{g} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1) \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm} {G}(D) = 1+ D \hspace{0.05cm}.$$


(2)  Die Impulsantwort des betrachteten Filters ist $\underline{g} = (1, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.

  • Für die Ausgangssequenz erhält man deshalb das Faltungsprodukt
$$\underline{x} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \underline{u}* \underline{g} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) * (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}) =(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.$$
  • Zum gleichen Ergebnis kommt man über die $D$–Transformierten $U(D) = 1 + D^3$ und $G(D) = 1 + D$:
$${X}(D) = U(D) \cdot G(D) = ( 1+D^3) \cdot (1+D) = 1 +D + D^3 +D^4 \hspace{0.05cm}.$$
  • Die Rücktransformation führt wieder zum Ergebnis $\underline{x} = (1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$  ⇒  Lösungsvorschlag 3.


(3)  Hier verwenden wir sofort den Weg über die $D$–Transformierten:

$${X}(D) = ( 1+D+D^2) \cdot (1+D) = 1 +D + D +D^2 +D^2 +D^3 = 1+ D^3\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.$$
  • Das Ergebnis entspricht dem Lösungsvorschlag 2. Die folgende Berechnung soll den Weg im Zeitbereich veranschaulichen:
$$(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}) * (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm},$$
$$(0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) * (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}(0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm},$$
$$(0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) * (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm})\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}(0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.$$
  • Da die Faltung eine lineare Operation ist, ergibt sich im Galoisfeld ${\rm GF}(2)$ aus der Summation:
$$(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}) * (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})\hspace{0.08cm}=\hspace{0.08cm}(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.$$
  • Hätte man die Faltung nicht in ${\rm GF}(2)$, sondern für reelle Zahlen durchgeführt, so hätte man das Ergebnis $\underline{x} = (1, \, 2, \, 2, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...})$ erhalten.


(4)  Die Musterlösung zur Teilaufgabe (3) lässt bereits vermuten, dass hier der Lösungsvorschlag 1 richtig ist.

  • Der Weg über die $D$–Transformierten bestätigt dieses Ergebnis:
$$\underline{u} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm} {U}(D)= 1+ D + D^2+ D^3 + \text{...}\hspace{0.15cm}.$$
  • Mit der für Berechnungen in ${\rm GF}(2)$ gültigen Gleichung
$$1 + D + D^2 + D^3 + \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}= \frac{1}{1+D}$$
erhält man weiter:
$${X}(D) = U(D) \cdot G(D) = \frac{1}{1+D} \cdot (1+D) = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Der Weg über die $D$–Transformierten führt zum Lösungsvorschlag 2.

  • Für diese alternierende Folge $\underline{u}$, beginnend mit 1, erhält man:
$${X}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 \cdot (1+D) + D^2 \cdot (1+D) + D^4 \cdot (1+D) + \text{...} = 1 + D + D^2 + D^3 + D^4 + D^5 +\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.$$
  • Auch bei direkter Anwendung der Faltung wie in Teilaufgabe (2) kann man dieses Ergebnis ablesen.
  • Mit $\underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, \text{...})$ erhält man dagegen $\underline{x} = (0, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1, \,\text{...})$.
  • Diese unterscheidet sich von der „Dauer–Einsfolge” nur im ersten Bit. Es ist dann $x_1 = 0$ statt $x_1 = 1$.

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