Aufgaben:Aufgabe 3.3: Codesequenzberechnung über U(D) und G(D): Unterschied zwischen den Versionen

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{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Algebraische und polynomische Beschreibung}}
 
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[[Datei:P_ID2627__KC_A_3_3_v1.png|right|frame|Betrachtete Generatormatrix]]
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[[Datei:P_ID2627__KC_A_3_3_v1.png|right|frame|Betrachtete Generatormatrix   $\mathbf{G}$]]
Nebenstehend ist für den betrachteten Faltungscode der linke obere Ausschnitt der Generatormatrix $\mathbf{G}$ dargestellt. Daraus sollen unter der Randbedingung $m ≤ 2$ die Teilmatrizen $\mathbf{G}_l$ extrahiert werden, womit dann die Übergangsfunktionsmatrix entsprechend folgender Gleichung zusammengestellt werden kann:
+
Nebenstehend ist für den betrachteten Faltungscode der linke obere Ausschnitt der Generatormatrix  $\mathbf{G}$  dargestellt. Daraus sollen unter der Randbedingung  $m ≤ 2$ die Teilmatrizen $\mathbf{G}_l$  extrahiert werden, womit dann die Übertragungsfunktionsmatrix entsprechend folgender Gleichung zusammengestellt werden kann:
:$${\boldsymbol{\rm G}}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \sum_{l = 0}^{m} {\boldsymbol{\rm G}}_l \cdot D\hspace{0.03cm}^l
+
:$${\boldsymbol{\rm G}}(D) =  \sum_{l = 0}^{m} {\boldsymbol{\rm G}}_l \cdot D\hspace{0.03cm}^l
=$$
+
= {\boldsymbol{\rm G}}_0 + {\boldsymbol{\rm G}}_1 \cdot D + \ \text{...} \ \hspace{0.05cm}+ {\boldsymbol{\rm G}}_m \cdot D\hspace{0.03cm}^m
:$$ \ = \ \hspace{-0.15cm} {\boldsymbol{\rm G}}_0 + {\boldsymbol{\rm G}}_1 \cdot D + ... \hspace{0.05cm}+ {\boldsymbol{\rm G}}_m \cdot D\hspace{0.03cm}^m
 
 
  \hspace{0.02cm}.$$
 
  \hspace{0.02cm}.$$
  
Gesucht werden die $n$ Codesequenzen $\underline{x}^{(1)}, \ \underline{x}^{(2)}, \ ... \ , \ \underline{x}^{(n)}$, wobei von der Informationssequenz
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Gesucht werden die  $n$  Codesequenzen  $\underline{x}^{(1)}, \ \underline{x}^{(2)}, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \ \underline{x}^{(n)}$, wobei von folgender Informationssequenz auszugehen ist:
:$$\underline{u} =  (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.05cm})  $$
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:$$\underline{u} =  (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm})  $$
  
auszugehen ist. Diese Sequenz ist dabei in $k$ Teilsequenzen $\underline{u}^{(1)}, \ \underline{u}^{(2)}, \ ... \ , \ \underline{u}^{(k)}$ aufzuspalten. Aus deren $D$–Transformierten
+
Diese Sequenz ist dabei in  $k$  Teilsequenzen  $\underline{u}^{(1)}, \ \underline{u}^{(2)}, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \ \underline{u}^{(k)}$  aufzuspalten.  
 +
*Aus deren $D$–Transformierten
 
:$${U}^{(1)}(D) \hspace{0.15cm}\bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm} \underline{u}^{(1)},\hspace{0.25cm} ...\hspace{0.25cm},\hspace{0.05cm}  
 
:$${U}^{(1)}(D) \hspace{0.15cm}\bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm} \underline{u}^{(1)},\hspace{0.25cm} ...\hspace{0.25cm},\hspace{0.05cm}  
 
  {U}^{(k)}(D) \hspace{0.15cm}\bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm} \underline{u}^{(k)} $$
 
  {U}^{(k)}(D) \hspace{0.15cm}\bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm} \underline{u}^{(k)} $$
  
wird dann der Vektor $\underline{U}(D) = (U^{(1)}(D), \ ... \ , \ U^{(k)}(D))$ gebildet. Dann gilt für den Codesequenzvektor in $D$–Darstellung:
+
:wird der Vektor  $\underline{U}(D) = (U^{(1)}(D), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \ U^{(k)}(D))$  gebildet.  
:$$\underline{X}(D) = \left (\hspace{0.05cm} {X}^{(1)}(D)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} ... \hspace{0.12cm}, \hspace{0.05cm} {X}^{(k)}(D)\hspace{0.05cm}\right ) = \underline{U}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm G}}(D)\hspace{0.05cm}.$$
+
*Dann gilt für den Codesequenzvektor in  $D$–Darstellung:
 +
:$$\underline{X}(D) = \left (\hspace{0.05cm} {X}^{(1)}(D)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} {X}^{(k)}(D)\hspace{0.05cm}\right ) = \underline{U}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm G}}(D)\hspace{0.05cm}.$$
  
''Hinweis:''
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* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung| Algebraische und polynomische Beschreibung]].
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* Der hier zugrunde liegende Codierer ist identisch mit dem von [[Aufgaben:3.2_G%E2%80%93Matrix_eines_Faltungscoders| Aufgabe A3.2]].
+
 
* Nachdem auch von der gleichen Informationssequenz $\underline{u}$ ausgegangen wird, muss sich hier die gleiche Codesequenz $\underline{x}$ ergeben wie in Aufgabe A3.2, siehe [[Aufgaben:3.2_G%E2%80%93Matrix_eines_Faltungscoders| Musterlösung]].
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''Hinweise:''
 +
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung| Algebraische und polynomische Beschreibung]].
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* Der hier zugrunde liegende Codierer ist identisch mit dem von  [[Aufgaben:Aufgabe_3.2:_G–Matrix_eines_Faltungscodierers| Aufgabe 3.2]].
 +
* Nachdem auch  $\underline{u}$  gleich bleibt, muss sich hier die gleiche Codesequenz  $\underline{x}$  ergeben wie in Aufgabe 3.2, siehe  [[Aufgaben:Aufgabe_3.2:_G–Matrix_eines_Faltungscodierers| Musterlösung]].
 
* Die Lösungswege beider Aufgaben unterscheiden sich allerdings grundlegend.
 
* Die Lösungswege beider Aufgaben unterscheiden sich allerdings grundlegend.
* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Wie lauten die Codeparameter? <i>Hinweis:</i> Für das Gedächtnis gelte $m &#8804; 2$.
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{Wie lauten die Codeparameter? &nbsp; <i>Hinweis:</i> &nbsp; Für das Gedächtnis gelte&nbsp; $m &#8804; 2$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$n \ = \ ${ 4 3% }  
+
$n \hspace{0.25cm} = \ ${ 4 }  
$k \ = \ ${ 3 3% }
+
$k \hspace{0.28cm} = \ ${ 3 }
$m \ = \ ${ 2 3% }
+
$m \hspace{0.13cm} = \ ${ 2 }
  
{Welche Aussagen sind für die Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$ richtig?
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{Welche Aussagen sind für die Übertragungsfunktionsmatrix&nbsp; $\mathbf{G}(D)$&nbsp; richtig?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Das $\mathbf{G}(D)$&ndash;Element in Zeile 1, Spalte 1 ist &bdquo;$1$&rdquo;.
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+ Das&nbsp; $\mathbf{G}(D)$&ndash;Element in Zeile 1, Spalte 1 ist &bdquo;$1$&rdquo;.
+ Das $\mathbf{G}(D)$&ndash;Element in Zeile 2, Spalte 2 ist &bdquo;$1 + D$&rdquo;.
+
+ Das&nbsp; $\mathbf{G}(D)$&ndash;Element in Zeile 2, Spalte 2 ist &bdquo;$1 + D$&rdquo;.
+ Das $\mathbf{G}(D)$&ndash;Element in Zeile 3, Spalte 3 ist &bdquo;$1 + D^2$&rdquo;.
+
+ Das&nbsp; $\mathbf{G}(D)$&ndash;Element in Zeile 3, Spalte 3 ist &bdquo;$1 + D^2$&rdquo;.
  
{Welche Aussagen treffen für die $D$&ndash;Transformierten der Eingangssequenzen zu?
+
{Welche Aussagen treffen für die&nbsp; $D$&ndash;Transformierten der Eingangssequenzen zu?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
 
- $U^{(1)}(D) = 1$,
 
- $U^{(1)}(D) = 1$,
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- $U^{(3)}(D) = D^2$.
 
- $U^{(3)}(D) = D^2$.
  
{Wie lauten die ersten drei Bit der Codesequenz $\underline{x}^{(1)}$?
+
{Wie lauten die ersten drei Bit der Codesequenz&nbsp; $\underline{x}^{(1)}$?
|type="[]"}
+
|type="()"}
+ $\underline{x}^{(1)} = (0, \, 1, \, 1, \, ...)$,
+
+ $\underline{x}^{(1)} = (0, \, 1, \, 1, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$,
- $\underline{x}^{(1)} = (1, \, 0, \, 0, \, ...)$,
+
- $\underline{x}^{(1)} = (1, \, 0, \, 0, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$,
- $\underline{x}^{(1)} = (0, \, 0, \, 1, \, ...)$.
+
- $\underline{x}^{(1)} = (0, \, 0, \, 1, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$.
  
{Wie lauten die ersten drei Bit der Codesequenz $\underline{x}^{(2)}$?
+
{Wie lauten die ersten drei Bit der Codesequenz&nbsp; $\underline{x}^{(2)}$?
|type="[]"}
+
|type="()"}
- $\underline{x}^{(2)} = (0, \, 1, \, 1, \, ...)$,
+
- $\underline{x}^{(2)} = (0, \, 1, \, 1, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$,
+ $\underline{x}^{(2)} = (1, \, 0, \, 0, \, ...)$,
+
+ $\underline{x}^{(2)} = (1, \, 0, \, 0, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$,
- $\underline{x}^{(2)} = (0, \, 0, \, 1, \, ...)$.
+
- $\underline{x}^{(2)} = (0, \, 0, \, 1, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$.
  
{Wie lauten die ersten drei Bit der Codesequenz $\underline{x}^{(3)}$?
+
{Wie lauten die ersten drei Bit der Codesequenz&nbsp; $\underline{x}^{(3)}$?
|type="[]"}
+
|type="()"}
- $\underline{x}^{(3)} = (0, \, 1, \, 1, \, ...)$,
+
- $\underline{x}^{(3)} = (0, \, 1, \, 1, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$,
- $\underline{x}^{(3)} = (1, \, 0, \, 0, \, ...)$,
+
- $\underline{x}^{(3)} = (1, \, 0, \, 0, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$,
+ $\underline{x}^{(3)} = (0, \, 0, \, 1, \, ...)$.
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+ $\underline{x}^{(3)} = (0, \, 0, \, 1, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$.
 
</quiz>
 
</quiz>
  
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\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$
 
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$
  
Die Codeparameter lauten somit: $\underline{n = 4}, \ \underline{k = 3}$ und $\underline{m = 2}$. ''Hinweis:'' Der dargestellte Teil von $\mathbf{G}$ hätte für $m > 2$ das gleiche Aussehen wie für $m = 2$. Deshalb war die Zusatzangabe $m &#8804; 2$ erforderlich.
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Die Codeparameter lauten somit: &nbsp;$\underline{n = 4}$, &nbsp; &nbsp;  &nbsp; $\underline{k = 3}$, &nbsp; &nbsp;  &nbsp; $\underline{m = 2}$.  
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''Hinweise:''  
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*Der dargestellte Teil von $\mathbf{G}$ hätte für $m > 2$ das gleiche Aussehen wie für $m = 2$.  
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*Deshalb war die Zusatzangabe $m &#8804; 2$ erforderlich.
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'''(2)'''&nbsp; Entsprechend dem Angabenblatt gilt
+
'''(2)'''&nbsp; <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig. Entsprechend dem Angabenblatt gilt
 
:$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = {\boldsymbol{\rm G}}_0 + {\boldsymbol{\rm G}}_1 \cdot D + {\boldsymbol{\rm G}}_2 \cdot D^2 =
 
:$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = {\boldsymbol{\rm G}}_0 + {\boldsymbol{\rm G}}_1 \cdot D + {\boldsymbol{\rm G}}_2 \cdot D^2 =
 
  \begin{pmatrix}
 
  \begin{pmatrix}
Zeile 103: Zeile 117:
 
0 & D & 1+D^2 & 1+D^2  
 
0 & D & 1+D^2 & 1+D^2  
 
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
 
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
 
Das bedeutet: <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig.
 
  
  
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:$$\underline{u} =  (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.05cm})$$
 
:$$\underline{u} =  (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.05cm})$$
  
auf die drei Teilsequenzen $\underline{u}^{(1)}$, $\underline{u}^{(2)}$ und $\underline{u}^{(3)}$ und anschließender $D$&ndash;Transformation erhält man
+
:auf die drei Teilsequenzen $\underline{u}^{(1)}$, $\underline{u}^{(2)}$ und $\underline{u}^{(3)}$ und anschließender $D$&ndash;Transformation erhält man
 
:$$\underline{u}^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad
 
:$$\underline{u}^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad
 
{U}^{(1)}(D) =  D + D^2 \hspace{0.05cm},$$
 
{U}^{(1)}(D) =  D + D^2 \hspace{0.05cm},$$
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'''(4)'''&nbsp; In der ersten Spalte von $\mathbf{G}(D)$ steht nur eine Eins in Zeile 1, die zwei anderen Matrixelemente sind $0$ &nbsp;&#8658;&nbsp; Es handelt sich um einen systematischen Code &nbsp;&#8658;&nbsp; $\underline{x}^{(1)} = \underline{u}^{(1)} = (0, \, 1, \, 1)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
+
'''(4)'''&nbsp; In der ersten Spalte von $\mathbf{G}(D)$ steht nur eine Eins in Zeile 1, die zwei anderen Matrixelemente sind Null.
 +
* Es handelt sich um einen systematischen Code &nbsp;&#8658;&nbsp; $\underline{x}^{(1)} = \underline{u}^{(1)} = (0, \, 1, \, 1)$.
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*Richtig ist &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
 +
 
  
  
'''(5)'''&nbsp; Die $D$&ndash;Transformierte $X^{(2)}(D)$ ergibt sich als das Vektorprodukt aus der $D$&ndash;Transformierten der Informationssequenz &nbsp;&#8658;&nbsp; $\underline{U}(D) = (U^{(1)}(D), \, U^{(2)}(D), \, U^{(3)}(D))$ und der zweiten Spalte von $\mathbf{G}(D)$:
+
'''(5)'''&nbsp; Die $D$&ndash;Transformierte $X^{(2)}(D)$ ergibt sich als das Vektorprodukt  
:$$X^{(2)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} ( D + D^2) \cdot 1 + ( 1+D) \cdot ( 1+D) +( 1+D^2) \cdot D\hspace{0.03cm}=$$
+
*aus der $D$&ndash;Transformierten der Informationssequenz &nbsp;&#8658;&nbsp; $\underline{U}(D) = (U^{(1)}(D), \, U^{(2)}(D), \, U^{(3)}(D))$  
:$$\ = \ \hspace{-0.15cm}D + D^2 +1 +D +D + D^2 +D + D^3 = 1+D^3
+
*und der zweiten Spalte von $\mathbf{G}(D)$:
 +
:$$X^{(2)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} ( D + D^2) \cdot 1 + ( 1+D) \cdot ( 1+D) +( 1+D^2) \cdot D\hspace{0.03cm}=D + D^2 +1 +D +D + D^2 +D + D^3 = 1+D^3
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 2</u>, nämlich $\underline{x}^{(2)} = (1, \, 0, \, 0)$. Da wir uns nur für die drei ersten Bit interessieren, ist der Beitrag $D^3$ nicht relevant.
+
 
 +
Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: &nbsp; $\underline{x}^{(2)} = (1, \, 0, \, 0)$. Da wir uns nur für die drei ersten Bit interessieren, ist der Beitrag $D^3$ nicht relevant.
 +
 
  
  
 
'''(6)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe (5) erhält man hier:
 
'''(6)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe (5) erhält man hier:
:$$X^{(3)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} ( D + D^2) \cdot 0 + ( 1+D) \cdot ( 1+D) +( 1+D^2) \cdot ( 1+D^2)=$$
+
:$$X^{(3)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} ( D + D^2) \cdot 0 + ( 1+D) \cdot ( 1+D) +( 1+D^2) \cdot ( 1+D^2)=1 + D + D + D^2 +1 + D^2 + D^2 + D^4 = D^2 + D^4
:$$\ = \ \hspace{-0.15cm}1 + D + D + D^2 +1 + D^2 + D^2 + D^4 = D^2 + D^4
 
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
Daraus ergibt sich $\underline{x}^{(3)} = (0, \, 0, \, 1)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>. Das gleiche Ergebnis erhält man auch für $\underline{x}^{(4)}$. Nach Zusammenfügen aller $n = 4$ Teilsequenzen erhält man
+
*Daraus ergibt sich $\underline{x}^{(3)} = (0, \, 0, \, 1)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>.  
:$$\underline{x} =  (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm},$$
 
  
und damit (natürlich) das gleiche Ergebnis wie in der [[Aufgaben:3.2_G%E2%80%93Matrix_eines_Faltungscoders| Aufgabe A3.2]].
+
*Das gleiche Ergebnis erhält man auch für $\underline{x}^{(4)}$.
 +
*Nach Zusammenfügen aller $n = 4$ Teilsequenzen erhält man (natürlich) das gleiche Ergebnis wie in der [[Aufgaben:3.2_G%E2%80%93Matrix_eines_Faltungscoders| Aufgabe 3.2]]:
 +
:$$\underline{x} =  (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
  
  
[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^3.2 Algebraische und polynomische Beschreibung^]]
+
[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^3.2 Polynomische Beschreibung^]]

Aktuelle Version vom 4. Juni 2019, 16:55 Uhr

Betrachtete Generatormatrix  $\mathbf{G}$

Nebenstehend ist für den betrachteten Faltungscode der linke obere Ausschnitt der Generatormatrix  $\mathbf{G}$  dargestellt. Daraus sollen unter der Randbedingung  $m ≤ 2$ die Teilmatrizen $\mathbf{G}_l$  extrahiert werden, womit dann die Übertragungsfunktionsmatrix entsprechend folgender Gleichung zusammengestellt werden kann:

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \sum_{l = 0}^{m} {\boldsymbol{\rm G}}_l \cdot D\hspace{0.03cm}^l = {\boldsymbol{\rm G}}_0 + {\boldsymbol{\rm G}}_1 \cdot D + \ \text{...} \ \hspace{0.05cm}+ {\boldsymbol{\rm G}}_m \cdot D\hspace{0.03cm}^m \hspace{0.02cm}.$$

Gesucht werden die  $n$  Codesequenzen  $\underline{x}^{(1)}, \ \underline{x}^{(2)}, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \ \underline{x}^{(n)}$, wobei von folgender Informationssequenz auszugehen ist:

$$\underline{u} = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}) $$

Diese Sequenz ist dabei in  $k$  Teilsequenzen  $\underline{u}^{(1)}, \ \underline{u}^{(2)}, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \ \underline{u}^{(k)}$  aufzuspalten.

  • Aus deren $D$–Transformierten
$${U}^{(1)}(D) \hspace{0.15cm}\bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm} \underline{u}^{(1)},\hspace{0.25cm} ...\hspace{0.25cm},\hspace{0.05cm} {U}^{(k)}(D) \hspace{0.15cm}\bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm} \underline{u}^{(k)} $$
wird der Vektor  $\underline{U}(D) = (U^{(1)}(D), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \ U^{(k)}(D))$  gebildet.
  • Dann gilt für den Codesequenzvektor in  $D$–Darstellung:
$$\underline{X}(D) = \left (\hspace{0.05cm} {X}^{(1)}(D)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} {X}^{(k)}(D)\hspace{0.05cm}\right ) = \underline{U}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm G}}(D)\hspace{0.05cm}.$$





Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Algebraische und polynomische Beschreibung.
  • Der hier zugrunde liegende Codierer ist identisch mit dem von  Aufgabe 3.2.
  • Nachdem auch  $\underline{u}$  gleich bleibt, muss sich hier die gleiche Codesequenz  $\underline{x}$  ergeben wie in Aufgabe 3.2, siehe  Musterlösung.
  • Die Lösungswege beider Aufgaben unterscheiden sich allerdings grundlegend.



Fragebogen

1

Wie lauten die Codeparameter?   Hinweis:   Für das Gedächtnis gelte  $m ≤ 2$.

$n \hspace{0.25cm} = \ $

$k \hspace{0.28cm} = \ $

$m \hspace{0.13cm} = \ $

2

Welche Aussagen sind für die Übertragungsfunktionsmatrix  $\mathbf{G}(D)$  richtig?

Das  $\mathbf{G}(D)$–Element in Zeile 1, Spalte 1 ist „$1$”.
Das  $\mathbf{G}(D)$–Element in Zeile 2, Spalte 2 ist „$1 + D$”.
Das  $\mathbf{G}(D)$–Element in Zeile 3, Spalte 3 ist „$1 + D^2$”.

3

Welche Aussagen treffen für die  $D$–Transformierten der Eingangssequenzen zu?

$U^{(1)}(D) = 1$,
$U^{(2)}(D) = 1 + D$,
$U^{(3)}(D) = D^2$.

4

Wie lauten die ersten drei Bit der Codesequenz  $\underline{x}^{(1)}$?

$\underline{x}^{(1)} = (0, \, 1, \, 1, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$,
$\underline{x}^{(1)} = (1, \, 0, \, 0, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$,
$\underline{x}^{(1)} = (0, \, 0, \, 1, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$.

5

Wie lauten die ersten drei Bit der Codesequenz  $\underline{x}^{(2)}$?

$\underline{x}^{(2)} = (0, \, 1, \, 1, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$,
$\underline{x}^{(2)} = (1, \, 0, \, 0, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$,
$\underline{x}^{(2)} = (0, \, 0, \, 1, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$.

6

Wie lauten die ersten drei Bit der Codesequenz  $\underline{x}^{(3)}$?

$\underline{x}^{(3)} = (0, \, 1, \, 1, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$,
$\underline{x}^{(3)} = (1, \, 0, \, 0, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$,
$\underline{x}^{(3)} = (0, \, 0, \, 1, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$.


Musterlösung

(1)  Die Generatormatrix eines Faltungscodes hat die allgemeine Form:

$${ \boldsymbol{\rm G}}=\begin{pmatrix} { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m & & & \\ & { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m & &\\ & & { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m &\\ & & & \ddots & \ddots & & & \ddots \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$

Aus der Grafik auf der Angabenseite lassen sich die $k × n$–Teilmatrizen ermitteln:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_0=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} { \boldsymbol{\rm G}}_1=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} { \boldsymbol{\rm G}}_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$

Die Codeparameter lauten somit:  $\underline{n = 4}$,       $\underline{k = 3}$,       $\underline{m = 2}$.


Hinweise:

  • Der dargestellte Teil von $\mathbf{G}$ hätte für $m > 2$ das gleiche Aussehen wie für $m = 2$.
  • Deshalb war die Zusatzangabe $m ≤ 2$ erforderlich.


(2)  Alle Lösungsvorschläge sind richtig. Entsprechend dem Angabenblatt gilt

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = {\boldsymbol{\rm G}}_0 + {\boldsymbol{\rm G}}_1 \cdot D + {\boldsymbol{\rm G}}_2 \cdot D^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1+D & 1+D & 1 \\ 0 & D & 1+D^2 & 1+D^2 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$


(3)  Nach Aufteilung der Informationssequenz

$$\underline{u} = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.05cm})$$
auf die drei Teilsequenzen $\underline{u}^{(1)}$, $\underline{u}^{(2)}$ und $\underline{u}^{(3)}$ und anschließender $D$–Transformation erhält man
$$\underline{u}^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad {U}^{(1)}(D) = D + D^2 \hspace{0.05cm},$$
$$\underline{u}^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad {U}^{(2)}(D) = 1+D \hspace{0.05cm},$$
$$\underline{u}^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad {U}^{(3)}(D) = 1 + D^2 \hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist demnach nur der Lösungsvorschlag 2.


(4)  In der ersten Spalte von $\mathbf{G}(D)$ steht nur eine Eins in Zeile 1, die zwei anderen Matrixelemente sind Null.

  • Es handelt sich um einen systematischen Code  ⇒  $\underline{x}^{(1)} = \underline{u}^{(1)} = (0, \, 1, \, 1)$.
  • Richtig ist  ⇒  Lösungsvorschlag 1.


(5)  Die $D$–Transformierte $X^{(2)}(D)$ ergibt sich als das Vektorprodukt

  • aus der $D$–Transformierten der Informationssequenz  ⇒  $\underline{U}(D) = (U^{(1)}(D), \, U^{(2)}(D), \, U^{(3)}(D))$
  • und der zweiten Spalte von $\mathbf{G}(D)$:
$$X^{(2)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} ( D + D^2) \cdot 1 + ( 1+D) \cdot ( 1+D) +( 1+D^2) \cdot D\hspace{0.03cm}=D + D^2 +1 +D +D + D^2 +D + D^3 = 1+D^3 \hspace{0.05cm}.$$


Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:   $\underline{x}^{(2)} = (1, \, 0, \, 0)$. Da wir uns nur für die drei ersten Bit interessieren, ist der Beitrag $D^3$ nicht relevant.


(6)  Analog zur Teilaufgabe (5) erhält man hier:

$$X^{(3)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} ( D + D^2) \cdot 0 + ( 1+D) \cdot ( 1+D) +( 1+D^2) \cdot ( 1+D^2)=1 + D + D + D^2 +1 + D^2 + D^2 + D^4 = D^2 + D^4 \hspace{0.05cm}.$$
  • Daraus ergibt sich $\underline{x}^{(3)} = (0, \, 0, \, 1)$   ⇒   Lösungsvorschlag 3.
  • Das gleiche Ergebnis erhält man auch für $\underline{x}^{(4)}$.
  • Nach Zusammenfügen aller $n = 4$ Teilsequenzen erhält man (natürlich) das gleiche Ergebnis wie in der Aufgabe 3.2:
$$\underline{x} = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}.$$