Aufgaben:Aufgabe 3.3: Codesequenzberechnung über U(D) und G(D): Unterschied zwischen den Versionen
(17 dazwischenliegende Versionen von 3 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Algebraische und polynomische Beschreibung}} | {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Algebraische und polynomische Beschreibung}} | ||
− | [[Datei:P_ID2627__KC_A_3_3_v1.png|right|frame|Betrachtete Generatormatrix]] | + | [[Datei:P_ID2627__KC_A_3_3_v1.png|right|frame|Betrachtete Generatormatrix $\mathbf{G}$]] |
− | Nebenstehend ist für den betrachteten Faltungscode der linke obere Ausschnitt der Generatormatrix $\mathbf{G}$ dargestellt. Daraus sollen unter der Randbedingung $m ≤ 2$ die Teilmatrizen $\mathbf{G}_l$ extrahiert werden, womit dann die | + | Nebenstehend ist für den betrachteten Faltungscode der linke obere Ausschnitt der Generatormatrix $\mathbf{G}$ dargestellt. Daraus sollen unter der Randbedingung $m ≤ 2$ die Teilmatrizen $\mathbf{G}_l$ extrahiert werden, womit dann die Übertragungsfunktionsmatrix entsprechend folgender Gleichung zusammengestellt werden kann: |
− | :$${\boldsymbol{\rm G}}(D) | + | :$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \sum_{l = 0}^{m} {\boldsymbol{\rm G}}_l \cdot D\hspace{0.03cm}^l |
− | = | + | = {\boldsymbol{\rm G}}_0 + {\boldsymbol{\rm G}}_1 \cdot D + \ \text{...} \ \hspace{0.05cm}+ {\boldsymbol{\rm G}}_m \cdot D\hspace{0.03cm}^m |
− | |||
\hspace{0.02cm}.$$ | \hspace{0.02cm}.$$ | ||
− | Gesucht werden die $n$ Codesequenzen $\underline{x}^{(1)}, \ \underline{x}^{(2)}, \ ... \ , \ \underline{x}^{(n)}$, wobei von | + | Gesucht werden die $n$ Codesequenzen $\underline{x}^{(1)}, \ \underline{x}^{(2)}, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \ \underline{x}^{(n)}$, wobei von folgender Informationssequenz auszugehen ist: |
− | :$$\underline{u} = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.05cm}) $$ | + | :$$\underline{u} = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}) $$ |
− | + | Diese Sequenz ist dabei in $k$ Teilsequenzen $\underline{u}^{(1)}, \ \underline{u}^{(2)}, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \ \underline{u}^{(k)}$ aufzuspalten. | |
+ | *Aus deren $D$–Transformierten | ||
:$${U}^{(1)}(D) \hspace{0.15cm}\bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm} \underline{u}^{(1)},\hspace{0.25cm} ...\hspace{0.25cm},\hspace{0.05cm} | :$${U}^{(1)}(D) \hspace{0.15cm}\bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm} \underline{u}^{(1)},\hspace{0.25cm} ...\hspace{0.25cm},\hspace{0.05cm} | ||
{U}^{(k)}(D) \hspace{0.15cm}\bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm} \underline{u}^{(k)} $$ | {U}^{(k)}(D) \hspace{0.15cm}\bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm} \underline{u}^{(k)} $$ | ||
− | wird | + | :wird der Vektor $\underline{U}(D) = (U^{(1)}(D), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \ U^{(k)}(D))$ gebildet. |
− | :$$\underline{X}(D) = \left (\hspace{0.05cm} {X}^{(1)}(D)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} ... \hspace{0. | + | *Dann gilt für den Codesequenzvektor in $D$–Darstellung: |
+ | :$$\underline{X}(D) = \left (\hspace{0.05cm} {X}^{(1)}(D)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} {X}^{(k)}(D)\hspace{0.05cm}\right ) = \underline{U}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm G}}(D)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | '' | + | |
− | * Die Aufgabe gehört zum | + | |
− | * Der hier zugrunde liegende Codierer ist identisch mit dem von [[Aufgaben: | + | |
− | * Nachdem auch | + | |
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ''Hinweise:'' | ||
+ | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung| Algebraische und polynomische Beschreibung]]. | ||
+ | * Der hier zugrunde liegende Codierer ist identisch mit dem von [[Aufgaben:Aufgabe_3.2:_G–Matrix_eines_Faltungscodierers| Aufgabe 3.2]]. | ||
+ | * Nachdem auch $\underline{u}$ gleich bleibt, muss sich hier die gleiche Codesequenz $\underline{x}$ ergeben wie in Aufgabe 3.2, siehe [[Aufgaben:Aufgabe_3.2:_G–Matrix_eines_Faltungscodierers| Musterlösung]]. | ||
* Die Lösungswege beider Aufgaben unterscheiden sich allerdings grundlegend. | * Die Lösungswege beider Aufgaben unterscheiden sich allerdings grundlegend. | ||
− | + | ||
Zeile 29: | Zeile 37: | ||
===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | {Wie lauten die Codeparameter? <i>Hinweis:</i> Für das Gedächtnis gelte $m ≤ 2$. | + | {Wie lauten die Codeparameter? <i>Hinweis:</i> Für das Gedächtnis gelte $m ≤ 2$. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $n \ = \ ${ 4 | + | $n \hspace{0.25cm} = \ ${ 4 } |
− | $k \ = \ ${ 3 | + | $k \hspace{0.28cm} = \ ${ 3 } |
− | $m \ = \ ${ 2 | + | $m \hspace{0.13cm} = \ ${ 2 } |
− | {Welche Aussagen sind für die Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$ richtig? | + | {Welche Aussagen sind für die Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$ richtig? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + Das $\mathbf{G}(D)$–Element in Zeile 1, Spalte 1 ist „$1$”. | + | + Das $\mathbf{G}(D)$–Element in Zeile 1, Spalte 1 ist „$1$”. |
− | + Das $\mathbf{G}(D)$–Element in Zeile 2, Spalte 2 ist „$1 + D$”. | + | + Das $\mathbf{G}(D)$–Element in Zeile 2, Spalte 2 ist „$1 + D$”. |
− | + Das $\mathbf{G}(D)$–Element in Zeile 3, Spalte 3 ist „$1 + D^2$”. | + | + Das $\mathbf{G}(D)$–Element in Zeile 3, Spalte 3 ist „$1 + D^2$”. |
− | {Welche Aussagen treffen für die $D$–Transformierten der Eingangssequenzen zu? | + | {Welche Aussagen treffen für die $D$–Transformierten der Eingangssequenzen zu? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
- $U^{(1)}(D) = 1$, | - $U^{(1)}(D) = 1$, | ||
Zeile 47: | Zeile 55: | ||
- $U^{(3)}(D) = D^2$. | - $U^{(3)}(D) = D^2$. | ||
− | {Wie lauten die ersten drei Bit der Codesequenz $\underline{x}^{(1)}$? | + | {Wie lauten die ersten drei Bit der Codesequenz $\underline{x}^{(1)}$? |
− | |type=" | + | |type="()"} |
− | + $\underline{x}^{(1)} = (0, \, 1, \, 1, \, ...)$, | + | + $\underline{x}^{(1)} = (0, \, 1, \, 1, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$, |
− | - $\underline{x}^{(1)} = (1, \, 0, \, 0, \, ...)$, | + | - $\underline{x}^{(1)} = (1, \, 0, \, 0, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$, |
− | - $\underline{x}^{(1)} = (0, \, 0, \, 1, \, ...)$. | + | - $\underline{x}^{(1)} = (0, \, 0, \, 1, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$. |
− | {Wie lauten die ersten drei Bit der Codesequenz $\underline{x}^{(2)}$? | + | {Wie lauten die ersten drei Bit der Codesequenz $\underline{x}^{(2)}$? |
− | |type=" | + | |type="()"} |
− | - $\underline{x}^{(2)} = (0, \, 1, \, 1, \, ...)$, | + | - $\underline{x}^{(2)} = (0, \, 1, \, 1, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$, |
− | + $\underline{x}^{(2)} = (1, \, 0, \, 0, \, ...)$, | + | + $\underline{x}^{(2)} = (1, \, 0, \, 0, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$, |
− | - $\underline{x}^{(2)} = (0, \, 0, \, 1, \, ...)$. | + | - $\underline{x}^{(2)} = (0, \, 0, \, 1, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$. |
− | {Wie lauten die ersten drei Bit der Codesequenz $\underline{x}^{(3)}$? | + | {Wie lauten die ersten drei Bit der Codesequenz $\underline{x}^{(3)}$? |
− | |type=" | + | |type="()"} |
− | - $\underline{x}^{(3)} = (0, \, 1, \, 1, \, ...)$, | + | - $\underline{x}^{(3)} = (0, \, 1, \, 1, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$, |
− | - $\underline{x}^{(3)} = (1, \, 0, \, 0, \, ...)$, | + | - $\underline{x}^{(3)} = (1, \, 0, \, 0, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$, |
− | + $\underline{x}^{(3)} = (0, \, 0, \, 1, \, ...)$. | + | + $\underline{x}^{(3)} = (0, \, 0, \, 1, \, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})$. |
</quiz> | </quiz> | ||
Zeile 93: | Zeile 101: | ||
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$ | \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$ | ||
− | Die Codeparameter lauten somit: $\underline{n = 4}, | + | Die Codeparameter lauten somit: $\underline{n = 4}$, $\underline{k = 3}$, $\underline{m = 2}$. |
+ | |||
+ | |||
+ | ''Hinweise:'' | ||
+ | *Der dargestellte Teil von $\mathbf{G}$ hätte für $m > 2$ das gleiche Aussehen wie für $m = 2$. | ||
+ | *Deshalb war die Zusatzangabe $m ≤ 2$ erforderlich. | ||
+ | |||
− | '''(2)''' Entsprechend dem Angabenblatt gilt | + | '''(2)''' <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig. Entsprechend dem Angabenblatt gilt |
:$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = {\boldsymbol{\rm G}}_0 + {\boldsymbol{\rm G}}_1 \cdot D + {\boldsymbol{\rm G}}_2 \cdot D^2 = | :$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = {\boldsymbol{\rm G}}_0 + {\boldsymbol{\rm G}}_1 \cdot D + {\boldsymbol{\rm G}}_2 \cdot D^2 = | ||
\begin{pmatrix} | \begin{pmatrix} | ||
Zeile 103: | Zeile 117: | ||
0 & D & 1+D^2 & 1+D^2 | 0 & D & 1+D^2 & 1+D^2 | ||
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$ | \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | |||
− | |||
Zeile 110: | Zeile 122: | ||
:$$\underline{u} = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.05cm})$$ | :$$\underline{u} = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.05cm})$$ | ||
− | auf die drei Teilsequenzen $\underline{u}^{(1)}$, $\underline{u}^{(2)}$ und $\underline{u}^{(3)}$ und anschließender $D$–Transformation erhält man | + | :auf die drei Teilsequenzen $\underline{u}^{(1)}$, $\underline{u}^{(2)}$ und $\underline{u}^{(3)}$ und anschließender $D$–Transformation erhält man |
:$$\underline{u}^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad | :$$\underline{u}^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad | ||
{U}^{(1)}(D) = D + D^2 \hspace{0.05cm},$$ | {U}^{(1)}(D) = D + D^2 \hspace{0.05cm},$$ | ||
Zeile 121: | Zeile 133: | ||
− | '''(4)''' In der ersten Spalte von $\mathbf{G}(D)$ steht nur eine Eins in Zeile 1, die zwei anderen Matrixelemente sind | + | '''(4)''' In der ersten Spalte von $\mathbf{G}(D)$ steht nur eine Eins in Zeile 1, die zwei anderen Matrixelemente sind Null. |
+ | * Es handelt sich um einen systematischen Code ⇒ $\underline{x}^{(1)} = \underline{u}^{(1)} = (0, \, 1, \, 1)$. | ||
+ | *Richtig ist ⇒ <u>Lösungsvorschlag 1</u>. | ||
+ | |||
− | '''(5)''' Die $D$–Transformierte $X^{(2)}(D)$ ergibt sich als das Vektorprodukt aus der $D$–Transformierten der Informationssequenz ⇒ $\underline{U}(D) = (U^{(1)}(D), \, U^{(2)}(D), \, U^{(3)}(D))$ und der zweiten Spalte von $\mathbf{G}(D)$: | + | '''(5)''' Die $D$–Transformierte $X^{(2)}(D)$ ergibt sich als das Vektorprodukt |
− | :$$X^{(2)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} ( D + D^2) \cdot 1 + ( 1+D) \cdot ( 1+D) +( 1+D^2) \cdot D\hspace{0.03cm}= | + | *aus der $D$–Transformierten der Informationssequenz ⇒ $\underline{U}(D) = (U^{(1)}(D), \, U^{(2)}(D), \, U^{(3)}(D))$ |
− | + | *und der zweiten Spalte von $\mathbf{G}(D)$: | |
+ | :$$X^{(2)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} ( D + D^2) \cdot 1 + ( 1+D) \cdot ( 1+D) +( 1+D^2) \cdot D\hspace{0.03cm}=D + D^2 +1 +D +D + D^2 +D + D^3 = 1+D^3 | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Richtig ist | + | |
+ | Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: $\underline{x}^{(2)} = (1, \, 0, \, 0)$. Da wir uns nur für die drei ersten Bit interessieren, ist der Beitrag $D^3$ nicht relevant. | ||
+ | |||
'''(6)''' Analog zur Teilaufgabe (5) erhält man hier: | '''(6)''' Analog zur Teilaufgabe (5) erhält man hier: | ||
− | :$$X^{(3)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} ( D + D^2) \cdot 0 + ( 1+D) \cdot ( 1+D) +( 1+D^2) \cdot ( 1+D^2)= | + | :$$X^{(3)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} ( D + D^2) \cdot 0 + ( 1+D) \cdot ( 1+D) +( 1+D^2) \cdot ( 1+D^2)=1 + D + D + D^2 +1 + D^2 + D^2 + D^4 = D^2 + D^4 |
− | |||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Daraus ergibt sich $\underline{x}^{(3)} = (0, \, 0, \, 1)$ ⇒ <u>Lösungsvorschlag 3</u>. | + | *Daraus ergibt sich $\underline{x}^{(3)} = (0, \, 0, \, 1)$ ⇒ <u>Lösungsvorschlag 3</u>. |
− | |||
− | + | *Das gleiche Ergebnis erhält man auch für $\underline{x}^{(4)}$. | |
+ | *Nach Zusammenfügen aller $n = 4$ Teilsequenzen erhält man (natürlich) das gleiche Ergebnis wie in der [[Aufgaben:3.2_G%E2%80%93Matrix_eines_Faltungscoders| Aufgabe 3.2]]: | ||
+ | :$$\underline{x} = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | |||
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} | ||
− | [[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung|^3.2 | + | [[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung|^3.2 Polynomische Beschreibung^]] |
Aktuelle Version vom 4. Juni 2019, 16:55 Uhr
Nebenstehend ist für den betrachteten Faltungscode der linke obere Ausschnitt der Generatormatrix $\mathbf{G}$ dargestellt. Daraus sollen unter der Randbedingung $m ≤ 2$ die Teilmatrizen $\mathbf{G}_l$ extrahiert werden, womit dann die Übertragungsfunktionsmatrix entsprechend folgender Gleichung zusammengestellt werden kann:
- $${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \sum_{l = 0}^{m} {\boldsymbol{\rm G}}_l \cdot D\hspace{0.03cm}^l = {\boldsymbol{\rm G}}_0 + {\boldsymbol{\rm G}}_1 \cdot D + \ \text{...} \ \hspace{0.05cm}+ {\boldsymbol{\rm G}}_m \cdot D\hspace{0.03cm}^m \hspace{0.02cm}.$$
Gesucht werden die $n$ Codesequenzen $\underline{x}^{(1)}, \ \underline{x}^{(2)}, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \ \underline{x}^{(n)}$, wobei von folgender Informationssequenz auszugehen ist:
- $$\underline{u} = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}) $$
Diese Sequenz ist dabei in $k$ Teilsequenzen $\underline{u}^{(1)}, \ \underline{u}^{(2)}, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \ \underline{u}^{(k)}$ aufzuspalten.
- Aus deren $D$–Transformierten
- $${U}^{(1)}(D) \hspace{0.15cm}\bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm} \underline{u}^{(1)},\hspace{0.25cm} ...\hspace{0.25cm},\hspace{0.05cm} {U}^{(k)}(D) \hspace{0.15cm}\bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm} \underline{u}^{(k)} $$
- wird der Vektor $\underline{U}(D) = (U^{(1)}(D), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \ U^{(k)}(D))$ gebildet.
- Dann gilt für den Codesequenzvektor in $D$–Darstellung:
- $$\underline{X}(D) = \left (\hspace{0.05cm} {X}^{(1)}(D)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} {X}^{(k)}(D)\hspace{0.05cm}\right ) = \underline{U}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm G}}(D)\hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Algebraische und polynomische Beschreibung.
- Der hier zugrunde liegende Codierer ist identisch mit dem von Aufgabe 3.2.
- Nachdem auch $\underline{u}$ gleich bleibt, muss sich hier die gleiche Codesequenz $\underline{x}$ ergeben wie in Aufgabe 3.2, siehe Musterlösung.
- Die Lösungswege beider Aufgaben unterscheiden sich allerdings grundlegend.
Fragebogen
Musterlösung
- $${ \boldsymbol{\rm G}}=\begin{pmatrix} { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m & & & \\ & { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m & &\\ & & { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m &\\ & & & \ddots & \ddots & & & \ddots \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
Aus der Grafik auf der Angabenseite lassen sich die $k × n$–Teilmatrizen ermitteln:
- $${ \boldsymbol{\rm G}}_0=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} { \boldsymbol{\rm G}}_1=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} { \boldsymbol{\rm G}}_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$
Die Codeparameter lauten somit: $\underline{n = 4}$, $\underline{k = 3}$, $\underline{m = 2}$.
Hinweise:
- Der dargestellte Teil von $\mathbf{G}$ hätte für $m > 2$ das gleiche Aussehen wie für $m = 2$.
- Deshalb war die Zusatzangabe $m ≤ 2$ erforderlich.
(2) Alle Lösungsvorschläge sind richtig. Entsprechend dem Angabenblatt gilt
- $${\boldsymbol{\rm G}}(D) = {\boldsymbol{\rm G}}_0 + {\boldsymbol{\rm G}}_1 \cdot D + {\boldsymbol{\rm G}}_2 \cdot D^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1+D & 1+D & 1 \\ 0 & D & 1+D^2 & 1+D^2 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
(3) Nach Aufteilung der Informationssequenz
- $$\underline{u} = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.05cm})$$
- auf die drei Teilsequenzen $\underline{u}^{(1)}$, $\underline{u}^{(2)}$ und $\underline{u}^{(3)}$ und anschließender $D$–Transformation erhält man
- $$\underline{u}^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad {U}^{(1)}(D) = D + D^2 \hspace{0.05cm},$$
- $$\underline{u}^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad {U}^{(2)}(D) = 1+D \hspace{0.05cm},$$
- $$\underline{u}^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad {U}^{(3)}(D) = 1 + D^2 \hspace{0.05cm}.$$
Richtig ist demnach nur der Lösungsvorschlag 2.
(4) In der ersten Spalte von $\mathbf{G}(D)$ steht nur eine Eins in Zeile 1, die zwei anderen Matrixelemente sind Null.
- Es handelt sich um einen systematischen Code ⇒ $\underline{x}^{(1)} = \underline{u}^{(1)} = (0, \, 1, \, 1)$.
- Richtig ist ⇒ Lösungsvorschlag 1.
(5) Die $D$–Transformierte $X^{(2)}(D)$ ergibt sich als das Vektorprodukt
- aus der $D$–Transformierten der Informationssequenz ⇒ $\underline{U}(D) = (U^{(1)}(D), \, U^{(2)}(D), \, U^{(3)}(D))$
- und der zweiten Spalte von $\mathbf{G}(D)$:
- $$X^{(2)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} ( D + D^2) \cdot 1 + ( 1+D) \cdot ( 1+D) +( 1+D^2) \cdot D\hspace{0.03cm}=D + D^2 +1 +D +D + D^2 +D + D^3 = 1+D^3 \hspace{0.05cm}.$$
Richtig ist der Lösungsvorschlag 2: $\underline{x}^{(2)} = (1, \, 0, \, 0)$. Da wir uns nur für die drei ersten Bit interessieren, ist der Beitrag $D^3$ nicht relevant.
(6) Analog zur Teilaufgabe (5) erhält man hier:
- $$X^{(3)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} ( D + D^2) \cdot 0 + ( 1+D) \cdot ( 1+D) +( 1+D^2) \cdot ( 1+D^2)=1 + D + D + D^2 +1 + D^2 + D^2 + D^4 = D^2 + D^4 \hspace{0.05cm}.$$
- Daraus ergibt sich $\underline{x}^{(3)} = (0, \, 0, \, 1)$ ⇒ Lösungsvorschlag 3.
- Das gleiche Ergebnis erhält man auch für $\underline{x}^{(4)}$.
- Nach Zusammenfügen aller $n = 4$ Teilsequenzen erhält man (natürlich) das gleiche Ergebnis wie in der Aufgabe 3.2:
- $$\underline{x} = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}.$$