Aufgaben:Aufgabe 5.8Z: Verfälschung von BMP-Bildern: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
 
(6 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 4: Zeile 4:
  
 
[[Datei:P_ID1856__Dig_Z_5_8.png|right|frame|Verfälschte BMP–Dateien]]
 
[[Datei:P_ID1856__Dig_Z_5_8.png|right|frame|Verfälschte BMP–Dateien]]
Wir gehen hier von den folgenden Bildern im Format 160x120 aus:
+
Wir gehen hier von den folgenden Bildern im Format 160x120 (Pixel) aus:
* dem Bild „Weiß” mit der Farbtiefe 1 BPP (ein Bit per Pixel) und
+
* dem Bild „Weiß” mit der Farbtiefe „1 BPP” (ein Bit per Pixel) und
* dem Bild „Erde” mit 24 BPP, auch wenn hier nur wenige der $2^{24}$ möglichen Farben genutzt werden.
+
* dem Bild „Erde” mit „24 BPP”, auch wenn hier nur wenige der $2^{24}$ möglichen Farben genutzt werden.
  
  
 
Das Bild „W1” ist durch Verfälschung mit einem Gilbert–Elliott–Modell unter Verwendung folgender Parameter entstanden:
 
Das Bild „W1” ist durch Verfälschung mit einem Gilbert–Elliott–Modell unter Verwendung folgender Parameter entstanden:
 
:$$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.001,
 
:$$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.001,
\hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.1,$$
+
\hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.1,\hspace{0.2cm}
:$${\rm Pr}(\rm
+
{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)\hspace{-0.1cm} \ = \
G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)\hspace{-0.1cm} \ = \
 
 
\hspace{-0.1cm}  0.1, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\rm
 
\hspace{-0.1cm}  0.1, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\rm
 
B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$
 
B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$
  
 
Damit erhält man für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit
 
Damit erhält man für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit
:$$p_{\rm M} =  \frac{p_{\rm G} \cdot {\rm Pr}({\rm
+
:$$p_{\rm M} =  \frac{p_{\rm G} \cdot {\rm Pr}({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)}+ p_{\rm B} \cdot {\rm Pr}(\rm
G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)}+ p_{\rm B} \cdot {\rm Pr}(\rm
+
B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) + {\rm Pr}(\rm
B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}{{\rm Pr}(\rm
 
G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) + {\rm Pr}(\rm
 
 
B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)} = 0.01 \hspace{0.05cm},$$
 
B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)} = 0.01 \hspace{0.05cm},$$
  
Zeile 36: Zeile 33:
 
0.0005\hspace{0.05cm}.$$
 
0.0005\hspace{0.05cm}.$$
  
Die Fehlerwahrscheinlichkeit im Zustand „$\rm G$” wurde so gewählt, dass sich die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ebenfalls zu $p_{\rm M} = 0.01$ ergibt.
+
Die Fehlerwahrscheinlichkeit im Zustand „$\rm G$” wurde so gewählt, dass die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M} = 0.01$  beträgt.
  
 
Die beiden unteren Bilder „E3” und „E4” können entstanden sein durch Verfälschung mit
 
Die beiden unteren Bilder „E3” und „E4” können entstanden sein durch Verfälschung mit
* dem BSC–Modell $(p = 0.01)$,
+
* dem BSC–Modell  $(p = 0.01)$,
* dem gleichen GE–Modell, das zu „W1” geführt hat,
+
* demjenigen GE–Modell, das zu „W1” geführt hat,
* dem gleichen GE–Modell, das zu „W2” geführt hat.
+
* demjenigen GE–Modell, das zu „W2” geführt hat.
  
  
 
Dies zu klären, ist Ihre Aufgabe. Eine der Antworten ist jeweils richtig.
 
Dies zu klären, ist Ihre Aufgabe. Eine der Antworten ist jeweils richtig.
 +
 +
 +
 +
 +
  
 
''Hinweise:''
 
''Hinweise:''
* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Anwendungen_bei_Multimedia%E2%80%93Dateien| Kapitel 5.4]].
+
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Anwendungen_bei_Multimedia%E2%80%93Dateien| Anwendungen bei Multimedia–Dateien]].
* Alle Bilder wurden mit dem Windows–Programm [[Digitale Kanalmodelle & Multimedia]] erzeugt. Der angegebene Link verweist auf die Zip–Version dieses Programms.
+
* Alle Bilder wurden mit dem Windows&ndash;Programm&nbsp; [https://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/DKM.zip Digitale Kanalmodelle & Multimedia]&nbsp; erzeugt. <br>Der angegebene Link verweist auf die Zip&ndash;Version dieses Programms.
* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
+
  
  
Zeile 55: Zeile 57:
 
===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Ermitteln Sie für das GE&ndash;verfälschte Bild &bdquo;W2&rdquo; die Fehlerwahrscheinlichkeit im Zustand &bdquo;GOOD&rdquo;, so dass sich $p_{\rm M} = 0.01$ ergibt?
+
{Ermitteln Sie für das mit dem Gilbert&ndash;Elliott&ndash;Modell verfälschte Bild &bdquo;W2&rdquo; die Fehlerwahrscheinlichkeit im Zustand &bdquo;GOOD&rdquo;, so dass sich&nbsp; $p_{\rm M} = 1\%$&nbsp; ergibt?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
${\rm W2} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm G} \ = \ ${ 0.0005 3% }  
+
$p_{\rm G} \ = \ ${ 0.05 3% } $\ \%$
  
 
{Wie groß ist die Korrelationsdauer der Fehler im Bild &bdquo;W2&rdquo;?
 
{Wie groß ist die Korrelationsdauer der Fehler im Bild &bdquo;W2&rdquo;?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
${\rm W2} \text{:} \hspace{0.2cm} D_{\rm K} \ = \ ${ 94.2 3% }  
+
$D_{\rm K} \ = \ ${ 94.2 3% }  
  
{Wieviele Bitfehler treten (statistisch gesehen) im Bild &bdquo;W2&rdquo; auf?
+
{Wieviele Bitfehler &nbsp;$(N_{\rm W})$&nbsp; treten (statistisch gesehen) im Bild &bdquo;W1&rdquo; (oder &bdquo;W2&rdquo;) bei &nbsp;$p_{\rm M} = 1\%$&nbsp; auf?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
${\rm W2} \text{:} \hspace{0.2cm} N_{\rm c} \ = \ ${ 192 3% }  
+
$N_{\rm W} \ = \ ${ 192 3% }  
  
{Wieviele Bitfehler treten im Bild &bdquo;E3&rdquo; (oder &bdquo;E4&rdquo;) bei $p_{\rm M} = 0.01$ auf?
+
{Wieviele Bitfehler &nbsp;$(N_{\rm E})$&nbsp; treten (statistisch gesehen) im Bild &bdquo;E3&rdquo; (oder &bdquo;E4&rdquo;) bei &nbsp;$p_{\rm M} = 1\%$&nbsp; auf?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
${\rm E3 \ bzw. E4} \text{:} \hspace{0.2cm} N_{\rm d} \ = \ ${ 4608 3% }
+
$N_{\rm E} \ = \ ${ 4608 3% }
  
 
{Welches Fehlermodell liegt dem Bild &bdquo;E3&rdquo; zugrunde?
 
{Welches Fehlermodell liegt dem Bild &bdquo;E3&rdquo; zugrunde?
 
|type="()"}
 
|type="()"}
+ BSC&ndash;Modell mit $p = 0.01$,
+
+ Das BSC&ndash;Modell mit&nbsp; $p = 1\%$,
- gleiches GE&ndash;Modell wie für &bdquo;W1&rdquo;,
+
- das gleiche GE&ndash;Modell wie für &bdquo;W1&rdquo;,
- gleiches GE&ndash;Modell wie für &bdquo;W2&rdquo;
+
- das gleiche GE&ndash;Modell wie für &bdquo;W2&rdquo;
  
 
{Welches Fehlermodell liegt dem Bild &bdquo;E4&rdquo; zugrunde?
 
{Welches Fehlermodell liegt dem Bild &bdquo;E4&rdquo; zugrunde?
 
|type="()"}
 
|type="()"}
- BSC&ndash;Modell mit $p = 0.01$,
+
- Das BSC&ndash;Modell mit&nbsp; $p = 1\%$,
- gleiches GE&ndash;Modell wie für &bdquo;W1&rdquo;,
+
- das gleiche GE&ndash;Modell wie für &bdquo;W1&rdquo;,
+ gleiches GE&ndash;Modell wie für &bdquo;W2&rdquo;
+
+ das gleiche GE&ndash;Modell wie für &bdquo;W2&rdquo;.
 +
 
 
</quiz>
 
</quiz>
 +
  
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
Zeile 88: Zeile 92:
 
'''(1)'''&nbsp; Die Umstellung der vorgegebenen $p_{\rm M}$&ndash;Gleichung führt zum gesuchten Ergebnis:
 
'''(1)'''&nbsp; Die Umstellung der vorgegebenen $p_{\rm M}$&ndash;Gleichung führt zum gesuchten Ergebnis:
 
:$$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \frac{p_{\rm M}
 
:$$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \frac{p_{\rm M}
\cdot [{\rm Pr}({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)}+  {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)] -
+
\cdot \big[{\rm Pr}({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)}+  {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)\big] -
 
p_{\rm B} \cdot {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}
 
p_{\rm B} \cdot {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}
G)}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) } = $$
+
G)}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) } = \frac{  0.01 \cdot [0.01+0.0005] - 0.2 \cdot
:$$\ = \ \hspace{-0.1cm}\frac{  0.01 \cdot [0.01+0.0005] - 0.2 \cdot
+
0.0005}{0.01} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.05\%}\hspace{0.05cm}.$$
0.0005}{0.01} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.0005}\hspace{0.05cm}.$$
 
  
  
Zeile 101: Zeile 104:
  
  
'''(3)'''&nbsp; Das Bild &bdquo;Weiß&rdquo; besteht aus $160 \cdot 120 = 19200 \ \rm Pixel$ und wird wegen der Farbtiefe $1 \ \rm BPP$ auch durch $19200 \ \rm Bit$ beschrieben. Mit der mittleren Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M} = 0.01$ sind in beiden (W1 und W2) jeweils $N_{\rm c} = \underline{192}$ Bitfehler zu erwarten.
+
'''(3)'''&nbsp; Das Bild &bdquo;Weiß&rdquo; besteht aus $160 \cdot 120 = 19200 \ \rm Pixel$ und wird wegen der Farbtiefe $1 \ \rm BPP$ auch durch $19200 \ \rm Bit$ beschrieben.  
 +
*Mit der mittleren Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M} = 0.01$ sind in beiden Bildern (&bdquo;W1&rdquo; und &bdquo;W2&rdquo;) jeweils $N_{\rm W} \underline{= 192}$ Bitfehler zu erwarten.
  
  
'''(4)'''&nbsp; Bei gleicher Bildgröße und Fehlerwahrscheinlichkeit gibt es wegen der Farbtiefe $24 \ \rm BPP$ nun deutlich mehr Bitfehler, nämlich $N_{\rm d} = 24 \cdot 192 \ \underline{= 4608}$ (statistischer Wert).
+
'''(4)'''&nbsp; Bei gleicher Bildgröße und Fehlerwahrscheinlichkeit gibt es wegen der Farbtiefe $24 \ \rm BPP$ nun deutlich mehr Bitfehler, nämlich
 +
:$$N_{\rm E} = 24 \cdot 192 \ \underline{= 4608}.$$
  
  
'''(5)'''&nbsp; Das Bild &bdquo;E3&rdquo; zeigt die typische Struktur statistisch unabhängiger Fehler. Richtig ist somit <u>Antwort 1</u>.
+
'''(5)'''&nbsp; Richtig ist <u>Antwort 1</u>:
 +
*Das Bild &bdquo;E3&rdquo; zeigt die typische Struktur statistisch unabhängiger Fehler.  
  
  
'''(6)'''&nbsp; Das Bild &bdquo;E4&rdquo; zeigt eine typische Bündelfehlerstruktur. Verwendet wurde hierbei das GE&ndash;Modell mit $D_{\rm K} \approx 94$, das auch für &bdquo;W2&rdquo; verwendet wurde &#8658; <u>Antwort 3</u>. Da aber nun jedes einzelne Pixel durch $24 \ \rm Bit$ dargestellt wird, ergibt sich die mittlere Fehlerkorrelationsdauer (bezogen auf Pixel) nur etwa zu 4. Das GE&ndash;Modell mit $D_{\rm K} \approx 8$ (bezogen auf Bit) würde bei einem $24 \ \rm BPP$&ndash;Bild etwa so aussehen wie das auf dem BSC&ndash;Modell basierende Bild &bdquo;E3&rdquo;. Bezogen auf Pixel ergeben sich dann eher statistisch unabhängige Fehler.
+
'''(6)'''&nbsp; Richtig ist <u>Antwort 3</u>:
 +
*Das Bild &bdquo;E4&rdquo; zeigt eine typische Bündelfehlerstruktur.  
 +
*Verwendet wurde hierbei das GE&ndash;Modell mit $D_{\rm K} \approx 94$, das auch für &bdquo;W2&rdquo; verwendet wurde.  
 +
*Da aber nun jedes einzelne Pixel durch $24 \ \rm Bit$ dargestellt wird, ergibt sich die mittlere Fehlerkorrelationsdauer (bezogen auf Pixel) nur etwa zu ${D_{\rm K}}' = 4$.  
 +
*Das GE&ndash;Modell mit $D_{\rm K} \approx 8$ (bezogen auf Bit) würde bei einem $24 \ \rm BPP$&ndash;Bild etwa so aussehen wie das auf dem BSC&ndash;Modell basierende Bild &bdquo;E3&rdquo;.  
 +
*Bezogen auf Pixel ergäben sich dann eher statistisch unabhängige Fehler.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  

Aktuelle Version vom 26. März 2019, 17:57 Uhr

Verfälschte BMP–Dateien

Wir gehen hier von den folgenden Bildern im Format 160x120 (Pixel) aus:

  • dem Bild „Weiß” mit der Farbtiefe „1 BPP” (ein Bit per Pixel) und
  • dem Bild „Erde” mit „24 BPP”, auch wenn hier nur wenige der $2^{24}$ möglichen Farben genutzt werden.


Das Bild „W1” ist durch Verfälschung mit einem Gilbert–Elliott–Modell unter Verwendung folgender Parameter entstanden:

$$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.001, \hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.1,\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.1, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$

Damit erhält man für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit

$$p_{\rm M} = \frac{p_{\rm G} \cdot {\rm Pr}({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)}+ p_{\rm B} \cdot {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)} = 0.01 \hspace{0.05cm},$$

und für die Fehlerkorrelationsdauer

$$D_{\rm K} =\frac{1}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )}-1 \approx 8 \hspace{0.05cm}.$$

Das Bild „W2” entstand nach Verfälschung mit den GE–Parametern

$$p_{\rm B} = 0.2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Pr}({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B})= 0.01, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.0005\hspace{0.05cm}.$$

Die Fehlerwahrscheinlichkeit im Zustand „$\rm G$” wurde so gewählt, dass die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M} = 0.01$  beträgt.

Die beiden unteren Bilder „E3” und „E4” können entstanden sein durch Verfälschung mit

  • dem BSC–Modell  $(p = 0.01)$,
  • demjenigen GE–Modell, das zu „W1” geführt hat,
  • demjenigen GE–Modell, das zu „W2” geführt hat.


Dies zu klären, ist Ihre Aufgabe. Eine der Antworten ist jeweils richtig.




Hinweise:



Fragebogen

1

Ermitteln Sie für das mit dem Gilbert–Elliott–Modell verfälschte Bild „W2” die Fehlerwahrscheinlichkeit im Zustand „GOOD”, so dass sich  $p_{\rm M} = 1\%$  ergibt?

$p_{\rm G} \ = \ $

$\ \%$

2

Wie groß ist die Korrelationsdauer der Fehler im Bild „W2”?

$D_{\rm K} \ = \ $

3

Wieviele Bitfehler  $(N_{\rm W})$  treten (statistisch gesehen) im Bild „W1” (oder „W2”) bei  $p_{\rm M} = 1\%$  auf?

$N_{\rm W} \ = \ $

4

Wieviele Bitfehler  $(N_{\rm E})$  treten (statistisch gesehen) im Bild „E3” (oder „E4”) bei  $p_{\rm M} = 1\%$  auf?

$N_{\rm E} \ = \ $

5

Welches Fehlermodell liegt dem Bild „E3” zugrunde?

Das BSC–Modell mit  $p = 1\%$,
das gleiche GE–Modell wie für „W1”,
das gleiche GE–Modell wie für „W2”

6

Welches Fehlermodell liegt dem Bild „E4” zugrunde?

Das BSC–Modell mit  $p = 1\%$,
das gleiche GE–Modell wie für „W1”,
das gleiche GE–Modell wie für „W2”.


Musterlösung

(1)  Die Umstellung der vorgegebenen $p_{\rm M}$–Gleichung führt zum gesuchten Ergebnis:

$$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{p_{\rm M} \cdot \big[{\rm Pr}({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)}+ {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)\big] - p_{\rm B} \cdot {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) } = \frac{ 0.01 \cdot [0.01+0.0005] - 0.2 \cdot 0.0005}{0.01} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.05\%}\hspace{0.05cm}.$$


(2)  Mit der angegebenen Gleichung erhält man:

$$D_{\rm K} =\frac{1}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )}-1 =\frac{1}{0.0105}-1\hspace{0.15cm}\underline {\approx 94.2}\hspace{0.05cm}.$$


(3)  Das Bild „Weiß” besteht aus $160 \cdot 120 = 19200 \ \rm Pixel$ und wird wegen der Farbtiefe $1 \ \rm BPP$ auch durch $19200 \ \rm Bit$ beschrieben.

  • Mit der mittleren Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M} = 0.01$ sind in beiden Bildern („W1” und „W2”) jeweils $N_{\rm W} \underline{= 192}$ Bitfehler zu erwarten.


(4)  Bei gleicher Bildgröße und Fehlerwahrscheinlichkeit gibt es wegen der Farbtiefe $24 \ \rm BPP$ nun deutlich mehr Bitfehler, nämlich

$$N_{\rm E} = 24 \cdot 192 \ \underline{= 4608}.$$


(5)  Richtig ist Antwort 1:

  • Das Bild „E3” zeigt die typische Struktur statistisch unabhängiger Fehler.


(6)  Richtig ist Antwort 3:

  • Das Bild „E4” zeigt eine typische Bündelfehlerstruktur.
  • Verwendet wurde hierbei das GE–Modell mit $D_{\rm K} \approx 94$, das auch für „W2” verwendet wurde.
  • Da aber nun jedes einzelne Pixel durch $24 \ \rm Bit$ dargestellt wird, ergibt sich die mittlere Fehlerkorrelationsdauer (bezogen auf Pixel) nur etwa zu ${D_{\rm K}}' = 4$.
  • Das GE–Modell mit $D_{\rm K} \approx 8$ (bezogen auf Bit) würde bei einem $24 \ \rm BPP$–Bild etwa so aussehen wie das auf dem BSC–Modell basierende Bild „E3”.
  • Bezogen auf Pixel ergäben sich dann eher statistisch unabhängige Fehler.