Aufgaben:Aufgabe 4.1Z: L–Werte des BEC–Modells: Unterschied zwischen den Versionen
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| + | Hierbei bedeutet $y = {\rm E}$ (<i>Erasure</i>), dass der Ausgangswert $y$ weder als $+1$ noch als $-1$ entschieden werden konnte. | ||
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| + | Bekannt sind zudem die Eingangswahrscheinlichkeiten | ||
| + | :$${\rm Pr}(x = +1) = 3/4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}{\rm Pr}(x = -1) = 1/4\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | Das '''Log–Likelihood–Verhältnis''' (kurz: $L$–Wert, englisch: <i>Log Likelihood Ratio</i>, LLR) der binären Zufallsgröße $x$ ist bei bipolarer Betrachtungsweise wie folgt gegeben: | ||
| + | :$$L(x)={\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = +1)}{{\rm Pr}(x = -1)}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | Entsprechend gilt für den bedingten $L$–Wert in Vorwärtsrichtung für alle $y ∈ \{+1, \, -1, \, {\rm E}\}$: | ||
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| + | {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = +1)}{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = -1)} \hspace{0.05cm}. $$ | ||
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| + | * Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio| Zuverlässigkeitsinformation – Log Likelihood Ratio]] sowie auf die Seite [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|''Binary Erasure Channel'']]. | ||
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
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| + | {Berechnen Sie den bedingten $L$–Wert $L(y = {\rm E}\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} x)$ in Vorwärtsrichtung. | ||
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| + | {Welche Aussagen gelten für die beiden anderen bedingten $L$–Wert? | ||
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| − | + | + | + $L(y = +1 \hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} x)$ ist positiv unendlich. |
| − | - | + | + $L(y = \, -1 \hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} x)$ ist negativ und betragsmäßig unendlich groß. |
| + | - Es gilt $L(y = +1 \hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} x) = L(y = \, -1 \hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} x) = 0$. | ||
| − | { | + | {Unter welchen Voraussetzungen gelten die Ergebnisse aus '''(3)''' und '''(4)'''? |
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| + | - Für $0 < \lambda ≤ 1$. | ||
| + | - Für $0 ≤ \lambda < 1$. | ||
| + | + Für $0 < \lambda < 1$. | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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| − | '''(1)''' | + | '''(1)''' Mit den gegebenen Symbolwahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(x = +1) = 3/4$ und ${\rm Pr}(x = -1) = 1/4$ erhält man: |
| − | '''(2)''' | + | :$$L(x)={\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = +1)}{{\rm Pr}(x = -1)} |
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| + | ergibt sich für $L(x) = \, -2$ die folgende Bestimmungsgleichung: | ||
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| + | '''(3)''' Für den bedingten $L$–Wert $L(y = {\rm E} \hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} x)$ in Vorwärtsrichtung gilt beim vorgegebenen BEC–Modell: | ||
| + | :$$L(y = {\rm E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) = | ||
| + | {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y= {\rm E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = +1)}{{\rm Pr}(y= {\rm E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = -1)} | ||
| + | = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{\lambda}{\lambda}\hspace{0.15cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | '''(4)''' Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe (3) erhält man für $y = ±1$: | ||
| + | :$$L(y = +1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} | ||
| + | {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y= +1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = +1)}{{\rm Pr}(y= +1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = -1)} | ||
| + | = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{1-\lambda}{0}\hspace{0.15cm}\underline{ \hspace{0.05cm}\Rightarrow \hspace{0.15cm}+\infty }\hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | :$$L(y = -1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} | ||
| + | {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y= -1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = +1)}{{\rm Pr}(y= -1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = -1)} | ||
| + | = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{0}{1-\lambda}\hspace{0.15cm}\underline{ \hspace{0.05cm}\Rightarrow \hspace{0.15cm}-\infty }\hspace{0.05cm}. $$ | ||
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| + | Richtig sind demnach die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>. | ||
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| + | '''(5)''' Richtig ist der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>: | ||
| + | * Für $\lambda = 0$ (idealer Kanal) ergibt sich $L(y = {\rm E} \hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} x) = \ln {(0/0)}$ ⇒ unbestimmtes Ergebnis. | ||
| + | * Für $\lambda = 1$ (vollständige Auslöschung, $y ≡ {\rm E}$) sind $L(y = +1 \hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} x)$ und $L(y = \, -1 \hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} x)$ unbestimmt. | ||
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Aktuelle Version vom 4. Juli 2019, 15:50 Uhr
BEC–Kanalmodell
Wir betrachten das so genannte BEC–Kanalmodell (Binary Erasure Channel) mit
- der Eingangsgröße $x ∈ \{+1, \, -1\}$,
- der Ausgangsgröße $y ∈ \{+1, \, -1, \, {\rm E}\}$, und
- der Auslöschungswahrscheinlichkeit $\lambda$.
Hierbei bedeutet $y = {\rm E}$ (Erasure), dass der Ausgangswert $y$ weder als $+1$ noch als $-1$ entschieden werden konnte.
Bekannt sind zudem die Eingangswahrscheinlichkeiten
- $${\rm Pr}(x = +1) = 3/4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}{\rm Pr}(x = -1) = 1/4\hspace{0.05cm}.$$
Das Log–Likelihood–Verhältnis (kurz: $L$–Wert, englisch: Log Likelihood Ratio, LLR) der binären Zufallsgröße $x$ ist bei bipolarer Betrachtungsweise wie folgt gegeben:
- $$L(x)={\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = +1)}{{\rm Pr}(x = -1)}\hspace{0.05cm}.$$
Entsprechend gilt für den bedingten $L$–Wert in Vorwärtsrichtung für alle $y ∈ \{+1, \, -1, \, {\rm E}\}$:
- $$L(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = +1)}{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = -1)} \hspace{0.05cm}. $$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Soft–in Soft–out Decoder.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Zuverlässigkeitsinformation – Log Likelihood Ratio sowie auf die Seite Binary Erasure Channel.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Mit den gegebenen Symbolwahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(x = +1) = 3/4$ und ${\rm Pr}(x = -1) = 1/4$ erhält man:
- $$L(x)={\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = +1)}{{\rm Pr}(x = -1)} ={\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{3/4}{1/4}\hspace{0.15cm}\underline{= 1.099}\hspace{0.05cm}.$$
(2) Entsprechend der Definition
- $$L(x)={\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = +1)}{{\rm Pr}(x = -1)}$$
ergibt sich für $L(x) = \, -2$ die folgende Bestimmungsgleichung:
- $$\hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = +1)}{1-{\rm Pr}(x = +1)} \stackrel{!}{=}{\rm e}^{-2} \approx 0.135 \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm} 1.135 \cdot {\rm Pr}(x = +1)\stackrel{!}{=}0.135\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(x = +1) = 0.119\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}{\rm Pr}(x = -1) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.881}\hspace{0.05cm}. $$
(3) Für den bedingten $L$–Wert $L(y = {\rm E} \hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} x)$ in Vorwärtsrichtung gilt beim vorgegebenen BEC–Modell:
- $$L(y = {\rm E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y= {\rm E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = +1)}{{\rm Pr}(y= {\rm E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = -1)} = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{\lambda}{\lambda}\hspace{0.15cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe (3) erhält man für $y = ±1$:
- $$L(y = +1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y= +1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = +1)}{{\rm Pr}(y= +1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = -1)} = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{1-\lambda}{0}\hspace{0.15cm}\underline{ \hspace{0.05cm}\Rightarrow \hspace{0.15cm}+\infty }\hspace{0.05cm},$$
- $$L(y = -1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y= -1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = +1)}{{\rm Pr}(y= -1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = -1)} = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{0}{1-\lambda}\hspace{0.15cm}\underline{ \hspace{0.05cm}\Rightarrow \hspace{0.15cm}-\infty }\hspace{0.05cm}. $$
Richtig sind demnach die Lösungsvorschläge 1 und 2.
(5) Richtig ist der letzte Lösungsvorschlag:
- Für $\lambda = 0$ (idealer Kanal) ergibt sich $L(y = {\rm E} \hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} x) = \ln {(0/0)}$ ⇒ unbestimmtes Ergebnis.
- Für $\lambda = 1$ (vollständige Auslöschung, $y ≡ {\rm E}$) sind $L(y = +1 \hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} x)$ und $L(y = \, -1 \hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} x)$ unbestimmt.
