Aufgaben:Aufgabe 4.4: Extrinsische L–Werte beim SPC: Unterschied zwischen den Versionen
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{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Soft–in Soft–out Decoder}} | {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Soft–in Soft–out Decoder}} | ||
− | [[Datei:P_ID2993__KC_A_4_4_v1.png|right|frame|Hilfstabelle]] | + | [[Datei:P_ID2993__KC_A_4_4_v1.png|right|frame|Geeignete Hilfstabelle]] |
− | Wir betrachten nochmals den [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes|Single Parity–check Code]]. Bei einem solchen SPC | + | Wir betrachten nochmals den [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes|Single Parity–check Code]]. Bei einem solchen ${\rm SPC} \ (n, \, n-1, \, 2)$ stammen von den $n$ Bit eines Codewortes $\underline{x}$ die ersten $k = n -1$ Bit von der Quellenfolge $\underline{u}$ und es wird nur ein einziges Prüfbit $p$ hinzugefügt, und zwar derart, dass die Anzahl der Einsen im Codewort geradzahlig ist: |
− | :$$\underline{x} = \big ( \hspace{0.03cm}x_1, \hspace{0.03cm} x_2, \hspace{0. | + | :$$\underline{x} = \big ( \hspace{0.03cm}x_1, \hspace{0.03cm} x_2, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , x_{n-1}, \hspace{0.03cm} x_n \hspace{0.03cm} \big ) = |
− | \big ( \hspace{0.03cm}u_1, \hspace{0.03cm} u_2, \hspace{0. | + | \big ( \hspace{0.03cm}u_1, \hspace{0.03cm} u_2, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , u_{k}, \hspace{0.03cm} p \hspace{0.03cm} \big )\hspace{0.03cm}. $$ |
− | Die extrinsische Information über das $i$–te Codebit wird über alle anderen Symbole $(j ≠ i)$ gebildet. Deshalb schreiben wir für das um ein Bit kürzere Codewort: | + | Die extrinsische Information über das $i$–te Codebit wird über alle anderen Symbole $(j ≠ i)$ gebildet. Deshalb schreiben wir für das um ein Bit kürzere Codewort: |
− | :$$\underline{x}^{(-i)} = \big ( \hspace{0.03cm}x_1, \hspace{0. | + | :$$\underline{x}^{(-i)} = \big ( \hspace{0.03cm}x_1, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.03cm} x_{i-1}, \hspace{0.43cm} x_{i+1}, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , x_{n} \hspace{0.03cm} \big )\hspace{0.03cm}. $$ |
− | Der extrinsische $L$–Wert über das $i$–te Codesymbol lautet mit dem [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Hamming–Gewicht]] $w_{\rm H}$ der verkürzten Folge $\underline{x}^{-i}$: | + | Der extrinsische $L$–Wert über das $i$–te Codesymbol lautet mit dem [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Hamming–Gewicht]] $w_{\rm H}$ der verkürzten Folge $\underline{x}^{(-i)}$: |
:$$L_{\rm E}(i) = \frac{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]}{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]} | :$$L_{\rm E}(i) = \frac{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]}{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]} | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Ist die Wahrscheinlichkeit im Zähler größer als die im Nenner, so ist $L_{\rm E}(i) > 0$ und damit wird auch der Aposteriori–$L$–Wert $L_{\rm APP}(i) = L_{\rm A}(i) + L_{\rm E}(i)$ vergrößert, das heißt tendenziell in Richtung des Symbols $x_i = 0$ beeinflusst. | + | *Ist die Wahrscheinlichkeit im Zähler größer als die im Nenner, so ist $L_{\rm E}(i) > 0$ und damit wird auch der Aposteriori–$L$–Wert $L_{\rm APP}(i) = L_{\rm A}(i) + L_{\rm E}(i)$ vergrößert, das heißt tendenziell in Richtung des Symbols $x_i = 0$ beeinflusst. |
+ | *Bei $L_{\rm E}(i) < 0$ spricht aus Sicht der anderen Symbole $(j ≠ i)$ vieles dafür, dass $x_i = 1$ ist. | ||
− | Behandelt wird ausschließlich der SPC (4, 3, 4), wobei für die Wahrscheinlichkeiten $p_i = {\rm Pr}(x_i = 1)$ gilt: | + | |
+ | Behandelt wird ausschließlich der $\text{SPC (4, 3, 4)}$, wobei für die Wahrscheinlichkeiten $p_i = {\rm Pr}(x_i = 1)$ gilt: | ||
:$$p_1 = 0.2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} | :$$p_1 = 0.2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} | ||
p_2 = 0.9 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} | p_2 = 0.9 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} | ||
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''Hinweise:'' | ''Hinweise:'' | ||
− | * Die Aufgabe gehört zum | + | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder| Soft–in Soft–out Decoder]]. |
− | * In der | + | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zur_Berechnung_der_extrinsischen_L.E2.80.93Werte|Zur Berechnung der extrinsischen $L$–Werte]]. |
− | + | * In der Tabelle sind für $p_i = 0$ bis $p_i = 1$ mit Schrittweite $0.1$ (Spalte 1) angegeben: | |
− | + | ::In Spalte 2: die Wahrscheinlichkeit $q_i = {\rm Pr}(x_i = 0) = 1 - p_i$, | |
− | + | ::in Spalte 3: die Werte für $1 - 2p_i$, | |
− | * Der <i>Tangens Hyperbolicus</i> ($\tanh$) von $L_i/2$ ist identisch mit $1-2p_i$ ⇒ Spalte 3. | + | ::in Spalte 4: die Apriori–$L$–Werte $L_i = \ln {\big [(1 - p_i)/p_ i \big ]} = L_{\rm A}(i)$. |
− | * In der [[Aufgaben: | + | * Der <i>Tangens Hyperbolicus</i> ($\tanh$) von $L_i/2$ ist identisch mit $1-2p_i$ ⇒ Spalte 3. |
+ | * In der [[Aufgaben:Aufgabe_4.4Z:_Ergänzung_zur_Aufgabe_4.4|Aufgabe 4.4Z]] wird gezeigt, dass für den extrinsischen $L$–Wert auch geschrieben werden kann: | ||
:$$L_{\rm E}(i) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1 + \pi}{1 - \pi}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} | :$$L_{\rm E}(i) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1 + \pi}{1 - \pi}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} | ||
{\rm mit} \hspace{0.3cm} \pi = \prod\limits_{j \ne i}^{n} \hspace{0.25cm}(1-2p_j) | {\rm mit} \hspace{0.3cm} \pi = \prod\limits_{j \ne i}^{n} \hspace{0.25cm}(1-2p_j) | ||
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | { | + | {Es gelte $p_1 = 0.2, \ p_2 = 0.9, \ p_3 = 0.3, \ p_4 = 0.6$. Berechnen Sie daraus die Apriori–$L$–Werte des $\text{SPC (4, 3, 4)}$ für Bit 1 und Bit 2. |
+ | |type="{}"} | ||
+ | $L_{\rm A}(i = 1) \ = \ ${ 1.386 3% } | ||
+ | $L_{\rm A}(i = 2) \ = \ ${ -2.26291--2.13109 } | ||
+ | |||
+ | {Wie lauten die extrinsischen $L$–Werte für Bit 1 und Bit 2. | ||
+ | |type="{}"} | ||
+ | $L_{\rm E}(i = 1) \ = \ ${ 0.128 3% } | ||
+ | $L_{\rm E}(i = 2) \ = \ ${ -0.09888--0.09312 } | ||
+ | |||
+ | {Welche Zusammenhänge bestehen zwischen $p_j$ und $L_j = L_{\rm A}(j)$? | ||
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + | + | + Es gilt $p_j = 1/(1 + {\rm e}^ {L_j})$. |
− | - | + | + Es gilt $1-2p_j = ({\rm e}^ {L_j} - 1) \ / \ ({\rm e}^ {L_j} + 1)$. |
+ | + Es gilt $1-2p_j = \tanh {(L_j/2)}$. | ||
− | { | + | {Es gelte weiter $p_1 = 0.2, \ p_2 = 0.9, \ p_3$ und $p_4 = 0.6$. Berechnen Sie die extrinsischen $L$–Werte für Bit 3 und Bit 4. <br>Verwenden Sie hierzu verschiedene Gleichungen. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | $L_{\rm E}(i = 3) \ = \ ${ 0.193 3% } |
+ | $L_{\rm E}(i = 4) \ = \ ${ -0.40067--0.37733 } | ||
</quiz> | </quiz> | ||
===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
− | '''(1)''' | + | '''(1)''' Für die Apriori–$L$–Werte der beiden ersten Bits des Codewortes gilt: |
− | '''(2)''' | + | :$$L_{\rm A}(i = 1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm ln} \hspace{0.1cm} \left [ \frac{1-p_1}{p_1} \right ] = {\rm ln} \hspace{0.1cm} 4 \hspace{0.15cm}\underline{= +1.386} |
− | '''(3)''' | + | \hspace{0.05cm},$$ |
− | '''(4)''' | + | :$$L_{\rm A}(i = 2) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm ln} \hspace{0.1cm} \left [ \frac{1-p_2}{p_2} \right ] = {\rm ln} \hspace{0.1cm} 1/9 \hspace{0.15cm}\underline{= -2.197} |
− | + | \hspace{0.05cm}.$$ | |
+ | |||
+ | Die Werte können aus der vierten Spalte der auf der Angabenseite beigefügten Tabelle abgelesen werden. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''(2)''' Zur Berechnung des extrinsischen $L$–Wertes über das $i$–te Bit dürfen nur die Informationen über die drei anderen Bits $(j ≠ i)$ herangezogen werden. Mit der angegebenen Gleichung gilt: | ||
+ | :$$L_{\rm E}(i = 1) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1 + \prod\limits_{j \ne 1} \hspace{0.25cm}(1-2p_j)}{1 - \prod\limits_{j \ne 1} \hspace{0.25cm}(1-2p_j)} | ||
+ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | |||
+ | *Für das Produkt erhält man entsprechend der dritten Spalte der [[Aufgaben:4.4_Extrinsische_L%E2%80%93Werte_beim_SPC|Tabelle]]: | ||
+ | :$$\prod\limits_{j =2, \hspace{0.05cm}3,\hspace{0.05cm} 4} \hspace{0.05cm}(1-2p_j) = | ||
+ | (-0.8) \cdot (+0.4) \cdot (-0.2) = 0.064 | ||
+ | \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm} | ||
+ | \Rightarrow \hspace{0.3cm}L_{\rm E}(i = 1) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1 + 0.064}{1 - 0.064} = {\rm ln} \hspace{0.1cm} (1.137)\hspace{0.15cm}\underline{= +0.128} | ||
+ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | |||
+ | *Hinsichtlich Bit 2 erhält man entsprechend: | ||
+ | :$$\prod\limits_{j =1, \hspace{0.05cm}3,\hspace{0.05cm} 4} \hspace{0.05cm}(1-2p_j) = | ||
+ | (+0.6) \cdot (+0.4) \cdot (-0.2) = -0.048 | ||
+ | \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm} | ||
+ | \Rightarrow \hspace{0.3cm}L_{\rm E}(i = 2) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1 -0.048}{1 +0.048} = {\rm ln} \hspace{0.1cm} (0.908)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.096} | ||
+ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''(3)''' Für den Apriori–$L$–Wert gilt: | ||
+ | :$$L_j = L_{\rm A}(j) = {\rm ln} \hspace{0.1cm} \left [ \frac{{\rm Pr}(x_j = 0)}{{\rm Pr}(x_j = 1)} | ||
+ | \right ] = {\rm ln} \hspace{0.1cm} \left [ \frac{1-p_j}{p_j} | ||
+ | \right ]\hspace{0.3cm} | ||
+ | \Rightarrow \hspace{0.3cm} 1-p_j = p_j \cdot {\rm e}^{L_j} | ||
+ | \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_j = \frac{1}{1+{\rm e}^{L_j} } | ||
+ | \hspace{0.05cm} .$$ | ||
+ | |||
+ | *Damit gilt auch: | ||
+ | :$$1- 2 \cdot p_j = 1 - \frac{2}{1+{\rm e}^{L_j} } = \frac{1+{\rm e}^{L_j}-2}{1+{\rm e}^{L_j} } | ||
+ | = \frac{{\rm e}^{L_j}-1}{{\rm e}^{L_j} +1}\hspace{0.05cm} .$$ | ||
+ | |||
+ | *Multipliziert man Zähler und Nenner noch mit ${\rm e}^{-L_j/2}$, so erhält man: | ||
+ | :$$1- 2 \cdot p_j = \frac{{\rm e}^{L_j/2}-{\rm e}^{-L_j/2}}{{\rm e}^{L_j/2}+{\rm e}^{-L_j/2}}={\rm tanh} (L_j/2) \hspace{0.05cm} .$$ | ||
+ | |||
+ | *Somit sind <u>alle Lösungsvorschläge</u> richtig. | ||
+ | *Die Funktion <i>Tangens Hyperbolicus</i> findet man zum Beispiel tabellarisch in Formelsammlungen oder in der letzten Spalte der vorne angegebenen Tabelle. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''(4)''' Wir berechnen $L_{\rm E}(i = 3)$ zunächst in gleicher Weise wie in der Teilaufgabe (2): | ||
+ | :$$\prod\limits_{j =1, \hspace{0.05cm}2,\hspace{0.05cm} 4} \hspace{0.05cm}(1-2p_j) = | ||
+ | (+0.6) \cdot (-0.8) \cdot (-0.2) = +0.096 | ||
+ | \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm} | ||
+ | \Rightarrow \hspace{0.3cm}L_{\rm E}(i = 3) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1 +0.096}{1 -0.096} = {\rm ln} \hspace{0.1cm} (1.212)\hspace{0.15cm}\underline{= +0.193} | ||
+ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | |||
+ | *Den extrinsischen $L$–Wert hinsichtlich des letzten Bits berechnen wir nach der Gleichung | ||
+ | :$$L_{\rm E}(i = 4) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1 + \pi}{1 - \pi}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} | ||
+ | {\rm mit} \hspace{0.3cm} \pi = {\rm tanh}(L_1/2) \cdot {\rm tanh}(L_2/2) \cdot {\rm tanh}(L_3/2) | ||
+ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | |||
+ | *Damit ergibt sich entsprechend der obigen [[Aufgaben:4.4_Extrinsische_L%E2%80%93Werte_beim_SPC|Tabelle]]: | ||
+ | :$$p_1 = 0.2 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} | ||
+ | L_1 = +1.386 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} | ||
+ | L_1/2 = +0.693 \hspace{0.2cm} | ||
+ | \Rightarrow \hspace{0.2cm} | ||
+ | {\rm tanh}(L_1/2) = \frac{{\rm e}^{+0.693}-{\rm e}^{-0.693}}{{\rm e}^{+0.693}+{\rm e}^{-0.693}} | ||
+ | = 0.6 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm identisch \hspace{0.15cm}mit\hspace{0.15cm} }1-2\cdot p_1\hspace{0.05cm},$$ | ||
+ | :$$p_2 = 0.9 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} | ||
+ | L_2 = -2.197 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} | ||
+ | L_2/2 = -1.099\hspace{0.2cm} | ||
+ | \Rightarrow \hspace{0.2cm} | ||
+ | {\rm tanh}(L_2/2) = \frac{{\rm e}^{-1.099}-{\rm e}^{+1.099}}{{\rm e}^{-1.099}+{\rm e}^{+1.099}} | ||
+ | = -0.8 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm identisch \hspace{0.15cm}mit\hspace{0.15cm} }1-2\cdot p_2\hspace{0.05cm},$$ | ||
+ | :$$p_3 = 0.3 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} | ||
+ | L_3 = 0.847 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} | ||
+ | L_3/2 = +0.419 \hspace{0.2cm} | ||
+ | \Rightarrow \hspace{0.2cm} | ||
+ | {\rm tanh}(L_3/2) = \frac{{\rm e}^{+0.419}-{\rm e}^{-0.419}}{{\rm e}^{+0.419}+{\rm e}^{-0.419}} | ||
+ | = 0.4 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm identisch \hspace{0.15cm}mit\hspace{0.15cm} }1-2\cdot p_3\hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | |||
+ | *Das Endergebnis lautet somit: | ||
+ | :$$\pi = (+0.6) \cdot (-0.8) \cdot (+0.4) = -0.192 | ||
+ | \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} | ||
+ | L_{\rm E}(i = 4) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1 -0.192}{1 +0.192}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.389} | ||
+ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} | ||
Aktuelle Version vom 5. Juli 2019, 10:29 Uhr
Wir betrachten nochmals den Single Parity–check Code. Bei einem solchen ${\rm SPC} \ (n, \, n-1, \, 2)$ stammen von den $n$ Bit eines Codewortes $\underline{x}$ die ersten $k = n -1$ Bit von der Quellenfolge $\underline{u}$ und es wird nur ein einziges Prüfbit $p$ hinzugefügt, und zwar derart, dass die Anzahl der Einsen im Codewort geradzahlig ist:
- $$\underline{x} = \big ( \hspace{0.03cm}x_1, \hspace{0.03cm} x_2, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , x_{n-1}, \hspace{0.03cm} x_n \hspace{0.03cm} \big ) = \big ( \hspace{0.03cm}u_1, \hspace{0.03cm} u_2, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , u_{k}, \hspace{0.03cm} p \hspace{0.03cm} \big )\hspace{0.03cm}. $$
Die extrinsische Information über das $i$–te Codebit wird über alle anderen Symbole $(j ≠ i)$ gebildet. Deshalb schreiben wir für das um ein Bit kürzere Codewort:
- $$\underline{x}^{(-i)} = \big ( \hspace{0.03cm}x_1, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.03cm} x_{i-1}, \hspace{0.43cm} x_{i+1}, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , x_{n} \hspace{0.03cm} \big )\hspace{0.03cm}. $$
Der extrinsische $L$–Wert über das $i$–te Codesymbol lautet mit dem Hamming–Gewicht $w_{\rm H}$ der verkürzten Folge $\underline{x}^{(-i)}$:
- $$L_{\rm E}(i) = \frac{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]}{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]} \hspace{0.05cm}.$$
- Ist die Wahrscheinlichkeit im Zähler größer als die im Nenner, so ist $L_{\rm E}(i) > 0$ und damit wird auch der Aposteriori–$L$–Wert $L_{\rm APP}(i) = L_{\rm A}(i) + L_{\rm E}(i)$ vergrößert, das heißt tendenziell in Richtung des Symbols $x_i = 0$ beeinflusst.
- Bei $L_{\rm E}(i) < 0$ spricht aus Sicht der anderen Symbole $(j ≠ i)$ vieles dafür, dass $x_i = 1$ ist.
Behandelt wird ausschließlich der $\text{SPC (4, 3, 4)}$, wobei für die Wahrscheinlichkeiten $p_i = {\rm Pr}(x_i = 1)$ gilt:
- $$p_1 = 0.2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} p_2 = 0.9 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} p_3 = 0.3 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} p_4 = 0.6 \hspace{0.05cm}.$$
Daraus ergeben sich die Apriori–$L$–Werte zu:
- $$L_{\rm A}(i) = {\rm ln} \hspace{0.1cm} \left [ \frac{{\rm Pr}(x_i = 0)}{{\rm Pr}(x_i = 1)} \right ] = {\rm ln} \hspace{0.1cm} \left [ \frac{1-p_i}{p_i} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Soft–in Soft–out Decoder.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Zur Berechnung der extrinsischen $L$–Werte.
- In der Tabelle sind für $p_i = 0$ bis $p_i = 1$ mit Schrittweite $0.1$ (Spalte 1) angegeben:
- In Spalte 2: die Wahrscheinlichkeit $q_i = {\rm Pr}(x_i = 0) = 1 - p_i$,
- in Spalte 3: die Werte für $1 - 2p_i$,
- in Spalte 4: die Apriori–$L$–Werte $L_i = \ln {\big [(1 - p_i)/p_ i \big ]} = L_{\rm A}(i)$.
- Der Tangens Hyperbolicus ($\tanh$) von $L_i/2$ ist identisch mit $1-2p_i$ ⇒ Spalte 3.
- In der Aufgabe 4.4Z wird gezeigt, dass für den extrinsischen $L$–Wert auch geschrieben werden kann:
- $$L_{\rm E}(i) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1 + \pi}{1 - \pi}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm mit} \hspace{0.3cm} \pi = \prod\limits_{j \ne i}^{n} \hspace{0.25cm}(1-2p_j) \hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
- $$L_{\rm A}(i = 1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm ln} \hspace{0.1cm} \left [ \frac{1-p_1}{p_1} \right ] = {\rm ln} \hspace{0.1cm} 4 \hspace{0.15cm}\underline{= +1.386} \hspace{0.05cm},$$
- $$L_{\rm A}(i = 2) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm ln} \hspace{0.1cm} \left [ \frac{1-p_2}{p_2} \right ] = {\rm ln} \hspace{0.1cm} 1/9 \hspace{0.15cm}\underline{= -2.197} \hspace{0.05cm}.$$
Die Werte können aus der vierten Spalte der auf der Angabenseite beigefügten Tabelle abgelesen werden.
(2) Zur Berechnung des extrinsischen $L$–Wertes über das $i$–te Bit dürfen nur die Informationen über die drei anderen Bits $(j ≠ i)$ herangezogen werden. Mit der angegebenen Gleichung gilt:
- $$L_{\rm E}(i = 1) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1 + \prod\limits_{j \ne 1} \hspace{0.25cm}(1-2p_j)}{1 - \prod\limits_{j \ne 1} \hspace{0.25cm}(1-2p_j)} \hspace{0.05cm}.$$
- Für das Produkt erhält man entsprechend der dritten Spalte der Tabelle:
- $$\prod\limits_{j =2, \hspace{0.05cm}3,\hspace{0.05cm} 4} \hspace{0.05cm}(1-2p_j) = (-0.8) \cdot (+0.4) \cdot (-0.2) = 0.064 \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}L_{\rm E}(i = 1) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1 + 0.064}{1 - 0.064} = {\rm ln} \hspace{0.1cm} (1.137)\hspace{0.15cm}\underline{= +0.128} \hspace{0.05cm}.$$
- Hinsichtlich Bit 2 erhält man entsprechend:
- $$\prod\limits_{j =1, \hspace{0.05cm}3,\hspace{0.05cm} 4} \hspace{0.05cm}(1-2p_j) = (+0.6) \cdot (+0.4) \cdot (-0.2) = -0.048 \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}L_{\rm E}(i = 2) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1 -0.048}{1 +0.048} = {\rm ln} \hspace{0.1cm} (0.908)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.096} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Für den Apriori–$L$–Wert gilt:
- $$L_j = L_{\rm A}(j) = {\rm ln} \hspace{0.1cm} \left [ \frac{{\rm Pr}(x_j = 0)}{{\rm Pr}(x_j = 1)} \right ] = {\rm ln} \hspace{0.1cm} \left [ \frac{1-p_j}{p_j} \right ]\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 1-p_j = p_j \cdot {\rm e}^{L_j} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_j = \frac{1}{1+{\rm e}^{L_j} } \hspace{0.05cm} .$$
- Damit gilt auch:
- $$1- 2 \cdot p_j = 1 - \frac{2}{1+{\rm e}^{L_j} } = \frac{1+{\rm e}^{L_j}-2}{1+{\rm e}^{L_j} } = \frac{{\rm e}^{L_j}-1}{{\rm e}^{L_j} +1}\hspace{0.05cm} .$$
- Multipliziert man Zähler und Nenner noch mit ${\rm e}^{-L_j/2}$, so erhält man:
- $$1- 2 \cdot p_j = \frac{{\rm e}^{L_j/2}-{\rm e}^{-L_j/2}}{{\rm e}^{L_j/2}+{\rm e}^{-L_j/2}}={\rm tanh} (L_j/2) \hspace{0.05cm} .$$
- Somit sind alle Lösungsvorschläge richtig.
- Die Funktion Tangens Hyperbolicus findet man zum Beispiel tabellarisch in Formelsammlungen oder in der letzten Spalte der vorne angegebenen Tabelle.
(4) Wir berechnen $L_{\rm E}(i = 3)$ zunächst in gleicher Weise wie in der Teilaufgabe (2):
- $$\prod\limits_{j =1, \hspace{0.05cm}2,\hspace{0.05cm} 4} \hspace{0.05cm}(1-2p_j) = (+0.6) \cdot (-0.8) \cdot (-0.2) = +0.096 \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}L_{\rm E}(i = 3) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1 +0.096}{1 -0.096} = {\rm ln} \hspace{0.1cm} (1.212)\hspace{0.15cm}\underline{= +0.193} \hspace{0.05cm}.$$
- Den extrinsischen $L$–Wert hinsichtlich des letzten Bits berechnen wir nach der Gleichung
- $$L_{\rm E}(i = 4) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1 + \pi}{1 - \pi}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm mit} \hspace{0.3cm} \pi = {\rm tanh}(L_1/2) \cdot {\rm tanh}(L_2/2) \cdot {\rm tanh}(L_3/2) \hspace{0.05cm}.$$
- Damit ergibt sich entsprechend der obigen Tabelle:
- $$p_1 = 0.2 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} L_1 = +1.386 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} L_1/2 = +0.693 \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm tanh}(L_1/2) = \frac{{\rm e}^{+0.693}-{\rm e}^{-0.693}}{{\rm e}^{+0.693}+{\rm e}^{-0.693}} = 0.6 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm identisch \hspace{0.15cm}mit\hspace{0.15cm} }1-2\cdot p_1\hspace{0.05cm},$$
- $$p_2 = 0.9 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} L_2 = -2.197 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} L_2/2 = -1.099\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm tanh}(L_2/2) = \frac{{\rm e}^{-1.099}-{\rm e}^{+1.099}}{{\rm e}^{-1.099}+{\rm e}^{+1.099}} = -0.8 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm identisch \hspace{0.15cm}mit\hspace{0.15cm} }1-2\cdot p_2\hspace{0.05cm},$$
- $$p_3 = 0.3 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} L_3 = 0.847 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} L_3/2 = +0.419 \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm tanh}(L_3/2) = \frac{{\rm e}^{+0.419}-{\rm e}^{-0.419}}{{\rm e}^{+0.419}+{\rm e}^{-0.419}} = 0.4 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm identisch \hspace{0.15cm}mit\hspace{0.15cm} }1-2\cdot p_3\hspace{0.05cm}.$$
- Das Endergebnis lautet somit:
- $$\pi = (+0.6) \cdot (-0.8) \cdot (+0.4) = -0.192 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm E}(i = 4) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1 -0.192}{1 +0.192}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.389} \hspace{0.05cm}.$$