Aufgaben:Aufgabe 4.08: Wiederholung zu den Faltungscodes: Unterschied zwischen den Versionen
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[[Datei:P_ID3033__KC_A_4_8_v2.png|right|frame|Zustandsübergangsdiagramm eines nichtrekursiven Codes]] | [[Datei:P_ID3033__KC_A_4_8_v2.png|right|frame|Zustandsübergangsdiagramm eines nichtrekursiven Codes]] | ||
− | Die Turbocodes basieren auf | + | Die Turbocodes basieren auf Faltungscodes, die im Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung| Grundlagen der Faltungscodierung]] auführlich behandelt werden. |
− | Ausgehend | + | Ausgehend vom nebenstehenden Zustandsübergangsdiagramm sollen wesentliche Eigenschaften und Kenngrößen des betrachteten Rate–$1/2$–Faltungscodes ermittelt werden, wobei wir ausdrücklich auf folgende Theorieseiten verweisen: |
− | [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Systematische_Faltungscodes|Systematische Faltungscodes (1 | + | #[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Systematische_Faltungscodes|Systematische Faltungscodes]] |
+ | #[[Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm#Darstellung_im_Zustands.C3.BCbergangsdiagramm|Darstellung im Zustandsübergangsdiagramm]] | ||
+ | #[[Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm#Definition_der_freien_Distanz|Definition der freien Distanz]] | ||
+ | #[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#GF.282.29.E2.80.93Beschreibungsformen_eines_Digitalen_Filters|GF(2)–Beschreibungsformen eines Digitalen Filters]] | ||
+ | #[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Anwendung_der_D.E2.80.93Transformation_auf_Rate.E2.80.931.2Fn.E2.80.93Faltungscoder| Anwendung der $D$–Transformation auf Rate–1/n–Faltungscodes]] | ||
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+ | Im Zustandsübergangsdiagramm wird grundsätzlich vom Zustand $S_0$ ausgegangen. Von jedem Zustand gehen zwei Pfeile ab. Die Beschriftung lautet „$u_i \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x_i^{(1)}x_i^{(2)}$”. Bei einem systematischen Code gilt dabei: | ||
+ | * Das erste Codebit ist identisch mit dem Informationsbit: $\ x_i^{(1)} = u_i ∈ \{0, \, 1\}$ | ||
+ | * Das zweite Codebit ist das Prüfbit (Paritybit): $\ x_i^{(2)} = p_i ∈ \{0, \, 1\}$. | ||
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− | * Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes| Grundlegendes zu den Turbocodes]]. | + | * Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes| Grundlegendes zu den Turbocodes]]. |
− | * | + | * In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende semi–infinite Vektoren verwendet: |
− | * Informationssequenz $\ \underline{u} = (u_1, \, u_2, \ | + | :* Informationssequenz $\ \underline{u} = (u_1, \, u_2, \text{ ...})$, |
− | * Paritysequenz $\ \underline{p} = (p_1, \, p_2, \ | + | :* Paritysequenz $\ \underline{p} = (p_1, \, p_2, \text{ ...})$, |
− | * Impulsantwort $\ \underline{g} = (g_1, \, g_2, \ | + | :* Impulsantwort $\ \underline{g} = (g_1, \, g_2, \text{ ...})$; diese ist gleich der Paritysequenz $\underline{p}$ für $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \text{ ...})$. |
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
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− | {Wie lautet die Impulsantwort $\underline{g}$? | + | {Wie lautet die Impulsantwort $\underline{g} $? |
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− | - Es gilt $\underline{g} = (1, \, 1, \,1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \ | + | - Es gilt $\underline{g} = (1, \, 1, \,1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \text{ ...})$. |
− | + Es gilt $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \ | + | + Es gilt $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \text{ ...})$. |
− | {Es sei nun $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, u_7)$ mit $u_7 ∈ \{0, \, 1\}$. Welche Aussagen treffen für die Paritysequenz $\underline{p}$ zu? | + | {Es sei nun $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, u_7)$ mit $u_7 ∈ \{0, \, 1\}$. Welche Aussagen treffen für die Paritysequenz $\underline{p}$ zu? |
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− | + Die ersten sechs Bit der Paritysequenz sind „$1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1$”. | + | + Die ersten sechs Bit der Paritysequenz sind „$1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1$”. |
− | + Mit $u_7 = 0$ gilt $p_i = 0$ für $i > 6$. | + | + Mit $u_7 = 0$ gilt $p_i = 0$ für $i > 6$. |
− | - Mit $u_7 = 1$ gilt $p_i = 0$ für $i > 8$. | + | - Mit $u_7 = 1$ gilt $p_i = 0$ für $i > 8$. |
− | {Wie lautet die $D$–Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$? | + | {Wie lautet die $D$–Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$? |
− | |type=" | + | |type="()"} |
− | - Es gilt $\mathbf{G}(D) = [1, \ 1 + D]$. | + | - Es gilt $\mathbf{G}(D) = \big [1, \ 1 + D \big ]$. |
− | + Es gilt $\mathbf{G}(D) = [1, \ 1 + D^2]$. | + | + Es gilt $\mathbf{G}(D) = \big [1, \ 1 + D^2 \big ]$. |
− | - Es gilt $\mathbf{G}(D) = [1 + D^2]$. | + | - Es gilt $\mathbf{G}(D) = \big [1 + D^2 \big ]$. |
− | {Betrachten Sie nun die begrenzte Eingangsfolge $\underline{u} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1)$. Welche Aussagen gelten für die dann ebenfalls begrenzte Parityfolge $\underline{p}$? | + | {Betrachten Sie nun die begrenzte Eingangsfolge $\underline{u} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1)$. Welche Aussagen gelten für die dann ebenfalls begrenzte Parityfolge $\underline{p}$? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | - Die ersten acht Bit der Parityfolge sind „$1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0$”. | + | - Die ersten acht Bit der Parityfolge sind „$1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0$”. |
− | + Die ersten acht Bit der Parityfolge sind „$1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1$”. | + | + Die ersten acht Bit der Parityfolge sind „$1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1$”. |
− | + Es gilt $p_i = 0$ für $i ≥ 9$. | + | + Es gilt $p_i = 0$ für $i ≥ 9$. |
− | {Wie groß ist die freie Distanz des betrachteten Faltungsodes? | + | {Wie groß ist die freie Distanz $d_{\rm F}$ des betrachteten Faltungsodes? |
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$d_{\rm F} \ = \ ${ 3 3% } | $d_{\rm F} \ = \ ${ 3 3% } | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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− | '''(1)''' | + | '''(1)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: |
− | '''(2)''' | + | *Die Impulsantwort $\underline{g}$ ist gleich der Ausgangsfolge $\underline{p}$ für die Eingangsfolge $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \text{ ...})$. |
− | '''(3)''' | + | *Ausgehend vom Zustand $S_0$ ergeben sich im Zustandsübergangsdiagramm folgende Übergänge: |
− | '''(4)''' | + | :$$S_0 → S_1 → S_2 → S_0 → S_0 → S_0 → \text{ ...} \hspace{0.6cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} {\rm Impulsantwort} \text{:} \hspace{0.2cm} \underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0) \, .$$ |
− | '''(5)''' | + | *Für ein nichtrekursives Filter mit Gedächtnis $m$ gilt $g_i ≡ 0$ für $i > m$. In unserem Beispiel ist $m = 2$. |
+ | *Der Lösungsvorschlag 1 gilt dagegen für das rekursive Filter (RSC) entsprechend der [[Aufgaben:4.09_Wiederholung_zu_den_RSC-Codes| Aufgabe 4.9]]. | ||
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+ | '''(2)''' Es sei $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, u_7)$ und $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$. Dann gilt für die Paritysequenz aufgrund der Linearität: | ||
+ | :$$\underline{p} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} | ||
+ | (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0, \hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} u_7\hspace{0.05cm} ) | ||
+ | * (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0 | ||
+ | ,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{ ...})= $$ | ||
+ | :$$\ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm} \text{ ...} \hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}\oplus (\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm} \text{ ...}\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}\oplus (\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} u_7,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}u_7, \hspace{0.05cm} \text{ ...} \hspace{0.05cm}) $$ | ||
+ | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{p} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} u_7,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}u_7, \hspace{0.05cm} \text{ ...} \hspace{0.05cm}) | ||
+ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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+ | Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u> im Gegensatz zur Antwort 3: | ||
+ | *Für $u_7 = 1$ gilt $p_7 = 1, \ p_8 = 0, \ p_9 = 1$ und $p_i ≡ 0$ für $i > 9$. | ||
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+ | '''(3)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: | ||
+ | *Aus dem Zustandsübergangsdiagramm erkennt man die Codeparameter $k = 1$ und $n = 2$. | ||
+ | *Das heißt: Die Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$ besteht aus zwei Elementen ⇒ der Vorschlag 3 ist falsch. | ||
+ | * Die erste Komponente von $\mathbf{G}(D)$ ist tatsächlich 1, da ein systematischer Code vorliegt: $\ \underline{x}^{(1)} ≡ \underline{z}$. | ||
+ | * Die zweite Komponente von $\mathbf{G}(D)$ ist gleich der $D$–Transformierten der Impulsantwort $\underline{g}$, wobei die Dummy–Variable $D$ eine Verzögerung um ein Bit angibt: | ||
+ | :$$\underline{g}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{ ...}\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad | ||
+ | G^{(2)}(D) = 1+ D^2\hspace{0.05cm}. $$ | ||
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+ | Über die Fragestellung hinausgehend betrachten wir hier auch noch die vorliegende Filterstruktur: | ||
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+ | [[Datei:P_ID3038__KC_A_4_8c_v1.png|center|frame|Drei Beispiele für Rate–1/2–Faltungscodierer]] | ||
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+ | In der Grafik ist der hier betrachtete Coder als Coder $\rm A$ links dargestellt. | ||
+ | * Dieser ist ebenso wie der Coder $\rm B$ systematisch, und | ||
+ | * basiert im Gegensatz zu Coder $\rm B$ aber auf einem nichtrekursiven Filter. | ||
+ | *Der Coder $\rm C$ hat ebenfalls eine nichtrekursive Struktur, ist aber nicht systematisch. | ||
+ | *Die äquivalente systematische Repräsentation von Coder $\rm C$ ist der Coder $\rm B$. | ||
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+ | '''(4)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>: | ||
+ | *Die Aufgabe könnte in gleicher Weise gelöst werden wie die Teilaufgabe (2). | ||
+ | *Wir wählen hier aber zur Abwechslung den Weg über die $D$–Transformation: | ||
+ | :$$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad | ||
+ | U(D) = 1+ D^2 + D^5$$ | ||
+ | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} P(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} | ||
+ | U(D) \cdot G(D) = (1+ D^2 + D^5) \cdot (1+ D^2 ) =1+ D^2 + D^5 + D^2 + D^4 + D^7 = 1+ D^4 + D^5 + D^7$$ | ||
+ | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{p}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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+ | '''(5)''' Die freie Distanz $d_{\rm F}$ eines Faltungscoders ist gleich der Anzahl der Bits, durch die sich zwei beliebigen Sequenzen dieses Codes mindestens unterscheiden. | ||
+ | *Gehen wir wie allgemein üblich als Bezugsgröße von der Nullsequenz $\underline{0} \ \Rightarrow \ S_0 → S_0 → S_0 → S_0 → \ \text{ ...} \ $ aus, so ergibt sich $d_{\rm F}$ gleichzeitig als das minimale Hamming–Gewicht (Anzahl der Einsen) einer zulässigen Codesequenz $\underline{x} ≠ \underline{0}$. | ||
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+ | *Aus dem Zustandsübergangsdiagramm erkennt man, dass die freie Distanz zum Beispiel durch den Pfad | ||
+ | :$$ S_0 → S_0 → S_1 → S_2 → S_0 → S_0 → \text{ ...}$$ | ||
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+ | :gekennzeichnet ist, also durch die Codesequenz $00 \hspace{0.1cm} 11 \hspace{0.1cm} 00 \hspace{0.1cm} 01 \hspace{0.1cm} 00 \text{ ...} \ .$ | ||
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+ | *Dementsprechend gilt für die freie Distanz dieses nichtrekursiven Codes: $\hspace{0.2cm} d_{\rm F} \ \underline{= 3}$. | ||
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Aktuelle Version vom 9. Juli 2019, 12:45 Uhr
Die Turbocodes basieren auf Faltungscodes, die im Kapitel Grundlagen der Faltungscodierung auführlich behandelt werden.
Ausgehend vom nebenstehenden Zustandsübergangsdiagramm sollen wesentliche Eigenschaften und Kenngrößen des betrachteten Rate–$1/2$–Faltungscodes ermittelt werden, wobei wir ausdrücklich auf folgende Theorieseiten verweisen:
- Systematische Faltungscodes
- Darstellung im Zustandsübergangsdiagramm
- Definition der freien Distanz
- GF(2)–Beschreibungsformen eines Digitalen Filters
- Anwendung der $D$–Transformation auf Rate–1/n–Faltungscodes
Im Zustandsübergangsdiagramm wird grundsätzlich vom Zustand $S_0$ ausgegangen. Von jedem Zustand gehen zwei Pfeile ab. Die Beschriftung lautet „$u_i \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x_i^{(1)}x_i^{(2)}$”. Bei einem systematischen Code gilt dabei:
- Das erste Codebit ist identisch mit dem Informationsbit: $\ x_i^{(1)} = u_i ∈ \{0, \, 1\}$
- Das zweite Codebit ist das Prüfbit (Paritybit): $\ x_i^{(2)} = p_i ∈ \{0, \, 1\}$.
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Grundlegendes zu den Turbocodes.
- In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende semi–infinite Vektoren verwendet:
- Informationssequenz $\ \underline{u} = (u_1, \, u_2, \text{ ...})$,
- Paritysequenz $\ \underline{p} = (p_1, \, p_2, \text{ ...})$,
- Impulsantwort $\ \underline{g} = (g_1, \, g_2, \text{ ...})$; diese ist gleich der Paritysequenz $\underline{p}$ für $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \text{ ...})$.
Fragebogen
Musterlösung
- Die Impulsantwort $\underline{g}$ ist gleich der Ausgangsfolge $\underline{p}$ für die Eingangsfolge $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \text{ ...})$.
- Ausgehend vom Zustand $S_0$ ergeben sich im Zustandsübergangsdiagramm folgende Übergänge:
- $$S_0 → S_1 → S_2 → S_0 → S_0 → S_0 → \text{ ...} \hspace{0.6cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} {\rm Impulsantwort} \text{:} \hspace{0.2cm} \underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0) \, .$$
- Für ein nichtrekursives Filter mit Gedächtnis $m$ gilt $g_i ≡ 0$ für $i > m$. In unserem Beispiel ist $m = 2$.
- Der Lösungsvorschlag 1 gilt dagegen für das rekursive Filter (RSC) entsprechend der Aufgabe 4.9.
(2) Es sei $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, u_7)$ und $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$. Dann gilt für die Paritysequenz aufgrund der Linearität:
- $$\underline{p} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0, \hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} u_7\hspace{0.05cm} ) * (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0 ,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{ ...})= $$
- $$\ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm} \text{ ...} \hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}\oplus (\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm} \text{ ...}\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}\oplus (\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} u_7,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}u_7, \hspace{0.05cm} \text{ ...} \hspace{0.05cm}) $$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{p} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} u_7,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}u_7, \hspace{0.05cm} \text{ ...} \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.$$
Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 2 im Gegensatz zur Antwort 3:
- Für $u_7 = 1$ gilt $p_7 = 1, \ p_8 = 0, \ p_9 = 1$ und $p_i ≡ 0$ für $i > 9$.
(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:
- Aus dem Zustandsübergangsdiagramm erkennt man die Codeparameter $k = 1$ und $n = 2$.
- Das heißt: Die Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$ besteht aus zwei Elementen ⇒ der Vorschlag 3 ist falsch.
- Die erste Komponente von $\mathbf{G}(D)$ ist tatsächlich 1, da ein systematischer Code vorliegt: $\ \underline{x}^{(1)} ≡ \underline{z}$.
- Die zweite Komponente von $\mathbf{G}(D)$ ist gleich der $D$–Transformierten der Impulsantwort $\underline{g}$, wobei die Dummy–Variable $D$ eine Verzögerung um ein Bit angibt:
- $$\underline{g}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{ ...}\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad G^{(2)}(D) = 1+ D^2\hspace{0.05cm}. $$
Über die Fragestellung hinausgehend betrachten wir hier auch noch die vorliegende Filterstruktur:
In der Grafik ist der hier betrachtete Coder als Coder $\rm A$ links dargestellt.
- Dieser ist ebenso wie der Coder $\rm B$ systematisch, und
- basiert im Gegensatz zu Coder $\rm B$ aber auf einem nichtrekursiven Filter.
- Der Coder $\rm C$ hat ebenfalls eine nichtrekursive Struktur, ist aber nicht systematisch.
- Die äquivalente systematische Repräsentation von Coder $\rm C$ ist der Coder $\rm B$.
(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:
- Die Aufgabe könnte in gleicher Weise gelöst werden wie die Teilaufgabe (2).
- Wir wählen hier aber zur Abwechslung den Weg über die $D$–Transformation:
- $$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad U(D) = 1+ D^2 + D^5$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} P(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} U(D) \cdot G(D) = (1+ D^2 + D^5) \cdot (1+ D^2 ) =1+ D^2 + D^5 + D^2 + D^4 + D^7 = 1+ D^4 + D^5 + D^7$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{p}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}.$$
(5) Die freie Distanz $d_{\rm F}$ eines Faltungscoders ist gleich der Anzahl der Bits, durch die sich zwei beliebigen Sequenzen dieses Codes mindestens unterscheiden.
- Gehen wir wie allgemein üblich als Bezugsgröße von der Nullsequenz $\underline{0} \ \Rightarrow \ S_0 → S_0 → S_0 → S_0 → \ \text{ ...} \ $ aus, so ergibt sich $d_{\rm F}$ gleichzeitig als das minimale Hamming–Gewicht (Anzahl der Einsen) einer zulässigen Codesequenz $\underline{x} ≠ \underline{0}$.
- Aus dem Zustandsübergangsdiagramm erkennt man, dass die freie Distanz zum Beispiel durch den Pfad
- $$ S_0 → S_0 → S_1 → S_2 → S_0 → S_0 → \text{ ...}$$
- gekennzeichnet ist, also durch die Codesequenz $00 \hspace{0.1cm} 11 \hspace{0.1cm} 00 \hspace{0.1cm} 01 \hspace{0.1cm} 00 \text{ ...} \ .$
- Dementsprechend gilt für die freie Distanz dieses nichtrekursiven Codes: $\hspace{0.2cm} d_{\rm F} \ \underline{= 3}$.