Aufgaben:Aufgabe 4.10: Turbocoder für UMTS und LTE: Unterschied zwischen den Versionen

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{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Grundlegendes zu den Turbocodes}}
 
{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Grundlegendes zu den Turbocodes}}
  
[[Datei:P_ID3051__KC_A_4_10_v1.png|right|frame|UMTS/LTE–Turbocoder]]
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[[Datei:P_ID3051__KC_A_4_10_v1.png|right|frame|Turbocoder für UMTS und LTE]]
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Die Mobilfunkstandards  [[Mobile_Kommunikation/Die_Charakteristika_von_UMTS|UMTS]]  und  [[Mobile_Kommunikation/Allgemeines_zum_Mobilfunkstandard_LTE|LTE]]  verwenden jeweils einen Turbocode, der weitgehend identisch ist mit dem im Kapitel  [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes|Grundlegendes zu den Turbocodes]]  beschriebenen Coder.
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* Der  $1/n$–Faltungscode ist systematisch, das heißt, dass die Codesequenz  $\underline{x}$  die Informationssequenz  $\underline{u}$  als Komponente beinhaltet.
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* Die Paritysequenzen   $\underline{p}_1$  und  $\underline{p}_2$  basieren auf der gleichen Übertragungsfunktion:
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:$$G_1(D) = G_2(D) = G(D).$$
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* $\underline{p}_1$  und  $\underline{p}_2$  verwenden allerdings unterschiedliche Eingangssequenzen  $\underline{u}$  bzw.  $\underline{u}_{\pi}$. Hierbei kennzeichnet  ${\rm \Pi}$  den Interleaver, bei UMTS und LTE meist ein  $S$–Random–Interleaver.
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[[Datei:P_ID3052__KC_A_4_10b_v2.png|left|frame|Gegebene Filterstruktur]]
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<br><br><br><br><br><br>Der wesentliche Unterschied gegenüber der Beschreibung im Theorieteil ergibt sich durch eine andere Übertragungsfunktion&nbsp; $G(D)$, die durch die links gezeichnete rekursive Filterstruktur gegeben ist.
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''Hinweise:''
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* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes| Grundlegendes zu den Turbocodes]].
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* Erwartet werden Kenntnisse über
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** die&nbsp;  [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung|algebraische und polynomische Beschreibung von Faltungscodes]],
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** die&nbsp; [[Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm|Coderbeschreibung mit Zustands&ndash; und Trellisdiagramm]].
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* Weitere Hinweise zur Vorgehensweise finden Sie in der&nbsp; [[Aufgaben:4.08_Wiederholung_zu_den_Faltungscodes|Aufgabe 4.8]] und der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.09:_Recursive_Systematic_Convolutional_Codes|Aufgabe 4.9]].
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* Die Informationssequenz&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; wird zur einfacheren Beschreibung in den Teilaufgaben teilweise durch deren&nbsp; $D$&ndash;Transformierte angegeben. Beispielsweise gilt:
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:$$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad
 +
U(D) = D+  D^2\hspace{0.05cm},$$
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:$$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad
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U(D) = D+  D^8\hspace{0.05cm}.$$
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Multiple-Choice
+
{Wie lauten die Kenngrößen des betrachteten Turbocodes (Gedächtnis&nbsp; $m$,&nbsp; Einflusslänge&nbsp;  $\nu$,&nbsp; Rate $R$)?
 +
|type="{}"}
 +
$ m \hspace{0.2cm} = \ ${ 3 3% }
 +
$ \nu \hspace{0.3cm} = \ ${ 9 3% }
 +
$R \hspace{0.2cm} = \ ${ 0.333 3% }
 +
 
 +
{Wie lauten die (identischen) Übertragungsfunktionen&nbsp; $G_1(D) = G_2(D) = G(D)$?
 +
|type="()"}
 +
+ Es gilt:&nbsp; $G(D) = (1 + D + D^3)/(1 + D^2 + D^3)$.
 +
- Es gilt:&nbsp; $G(D) = (1 + D^2 + D^3)/(1 + D + D^3)$.
 +
 
 +
{Wie lautet die Impulsantwort&nbsp; $\underline{g}$&nbsp;?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ correct
+
- Es gilt:&nbsp; $\underline{g} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm})$
- false
+
+ Es gilt:&nbsp; $\underline{g} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm})$.
 +
+ $\underline{g}$&nbsp; setzt sich bis ins Unendliche fort.
 +
 
 +
{Gibt es periodische Anteile innerhalb der Impulsantwort&nbsp; $\underline{g}$&nbsp;?
 +
|type="()"}
 +
+ Ja, mit der Periodendauer&nbsp; $P = 7$.
 +
- Ja, mit der Periodendauer&nbsp; $P = 8$.
 +
- Nein.
  
{Input-Box Frage
+
{Es sei nun&nbsp; $U(D) = D + D^2$. Welche Aussagen stimmen?
|type="{}"}
+
|type="[]"}
$xyz \ = \ ${ 5.4 3% } $ab$
+
+ Die Ausgangsfolge&nbsp; $\underline{p}$&nbsp; beinhaltet einen periodischen Anteil.
 +
+ Die Periode&nbsp; $P$&nbsp; ist gegenüber&nbsp; $\underline{g}$&nbsp; unverändert.
 +
+ Das Hamming&ndash;Gewicht der Eingangssequenz ist&nbsp; $w_{\rm H}(\underline{u}) = 2$.
 +
- Das Hamming&ndash;Gewicht der Ausgangsseqenz ist &nbsp;$w_{\rm H}(\underline{p}) = 6$.
 +
 
 +
{Welche Aussagen treffen für&nbsp; $U(D) = D + D^8$&nbsp; zu?
 +
|type="[]"}
 +
- Die Ausgangsfolge&nbsp; $\underline{p}$&nbsp; beinhaltet einen periodischen Anteil.
 +
- Die Periode&nbsp; $P$&nbsp; ist gegenüber&nbsp; $\underline{g}$&nbsp; unverändert.
 +
+ Das Hamming&ndash;Gewicht der Eingangssequenz ist&nbsp; $w_{\rm H}(\underline{u}) = 2$.
 +
+ Das Hamming&ndash;Gewicht der Ausgangssequenz&nbsp; ist $w_{\rm H}(\underline{p}) = 6$.
 
</quiz>
 
</quiz>
  
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp;  
+
[[Datei:P_ID3060__KC_A_4_10c_v3.png|right|frame|Polynomdivision zur Teilaufgabe&nbsp;'''(3)''': $G(D) = (1 + D + D^3) \ / \ (1 + D^2 + D^3)$]]
'''(2)'''&nbsp;  
+
'''(1)'''&nbsp; Die Codeparameter sind $k = 1$ und $n = 3$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Coderate $\underline{R = 1/3}$.
'''(3)'''&nbsp;  
+
*Das Gedächtnis (englisch: <i>Memory</i>) ist $\underline{m = 3}$.
'''(4)'''&nbsp;  
+
*Die Einflusslängen ergeben sich zu $\nu = 1, \ \nu_2 = 4$ und $\nu_3 = 4$ &nbsp;&#8658;&nbsp; Gesamteinflusslänge $\underline{\nu = 9}$.
'''(5)'''&nbsp;  
+
 
 +
 
 +
'''(2)'''&nbsp; Wie der Vergleich des [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Filterstruktur_bei_gebrochen.E2.80.93rationaler_.C3.9Cbertragungsfunktion|rekursiven Filters]] auf der Angabenseite mit der [[Aufgaben:4.10_UMTS/LTE%E2%80%93Turbocoder|Filterstruktur]] im Theorieteil für gebrochen&ndash;rationales $G(D)$ zeigt, ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u> richtig.
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'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
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Die obere Grafik verdeutlicht die Polynomdivision $(1 + D + D^3) \ / \ (1 + D^2 + D^3)$. Zur Erläuterung:
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* Abgebrochen ist die Darstellung mit dem Rest $D^8 + D^9 = D^7 \cdot (D + D^2)$.
 +
*Damit gilt auch:
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:$$(D^8 + D^9) \hspace{0.05cm} /\hspace{0.05cm} (1+ D^2+ D^3 ) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} D^7 \cdot (D+ D^2+ D^3 + D^6) + {\rm Rest_2}$$
 +
*Nach Zusammenfassen:
 +
:$$G(D) = 1 + D + D^2 + D^3 + D^6 + D^8+ D^9+ D^{10} + D^{13} + \hspace{0.05cm}\text{ ... }\hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm}. $$
 +
 
 +
* Die $D$&ndash;Rücktransformierte ergibt den Lösungsvorschlag 2:
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:$$\underline{g}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},
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\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},
 +
\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},
 +
\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},
 +
\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},
 +
\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},
 +
\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},
 +
\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},
 +
\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},
 +
\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},
 +
\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},
 +
\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},
 +
\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},
 +
\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},
 +
\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{ ... }\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}. $$
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* Die Impulsantwort setzt sich bis ins Unendliche fort &nbsp; &#8658; &nbsp; Lösungsvorschlag 3 ist ebenfalls richtig.
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 +
 
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[[Datei:P_ID3061__KC_A_4_10d_v2.png|right|frame|Zustandsübergangsdiagramm und Impulsantwort]]
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'''(4)'''&nbsp; Die Impulsantwort kann wie folgt ausgedrückt werden:
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:$$\underline{g}=  \Big (\hspace{0.03cm}1\hspace{0.03cm},
 +
\big [ \hspace{0.03cm} 1\hspace{0.03cm},
 +
\hspace{0.03cm} 1\hspace{0.03cm},
 +
\hspace{0.03cm} 1\hspace{0.03cm},
 +
\hspace{0.03cm} 0\hspace{0.03cm},
 +
\hspace{0.03cm} 0\hspace{0.03cm},
 +
\hspace{0.03cm} 1\hspace{0.03cm},
 +
\hspace{0.03cm} 0\hspace{0.03cm} \big ]_{\rm per}
 +
  \Big ) \hspace{0.15cm}\Rightarrow \hspace{0.15cm} \underline{P = 7}
 +
\hspace{0.05cm}. $$
 +
 
 +
Im Zustandsübergangsdiagramm (rechts) ist die Impulsantwort $\underline{g}$ gelb hinterlegt. Die Impulsantwort ergibt sich als die Paritysequenz&nbsp; $\underline{p}$&nbsp; für die Informationssequenz&nbsp; $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, \text{ ... })$.
 +
* Die Übergänge im Diagramm sind mit &bdquo;$u_i\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\underline{x}_i$&rdquo; beschriftet, was gleichbedeutend ist mit &bdquo;$u_i\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}u_i \hspace{0.05cm}p_i$&rdquo;.
 +
*Die Paritysequenz&nbsp; $\underline{p} \ (=$ Impulsantwort&nbsp; $\underline{g})$&nbsp; ergibt sich somit aus dem jeweiligen zweiten Coderausgangssymbol.
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* $\underline{g}$ wird durch folgende Zustände repräsentiert:
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:$$S_0 &#8594; [S_1 &#8594; S_2 &#8594; S_5 &#8594; S_3 &#8594; S_7 &#8594; S_6 &#8594; S_4 ] &#8594; [S_1 &#8594; \ ... \ &#8594; S_4] &#8594; \ \text{ ... } $$
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'''(5)'''&nbsp; Die folgende Grafik zeigt die Lösung anhand der Generatormatrix $\mathbf{G}$. Es gilt $\underline{u} = (0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{ ... } )$.
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[[Datei:P_ID3062__KC_A_4_10e_v1.png|right|frame|$\underline{p} = (0, \, 1, \, 1, \, \text{ ... } ) \cdot \mathbf{G}$]]
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Man erkennt, dass die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 3</u> richtig sind:
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* Die vorliegende Paritysequenz $\underline{p}$ hat die gleiche Periode $P = 7$ wie die Impulsantwort $\underline{g}$.
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* Das Hamming&ndash;Gewicht der (begrenzten) Eingangsfolge ist tatsächlich $w_{\rm H}(\underline{u}) = 2$.
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* Der Vorschlag 4 ist falsch. Vielmehr gilt hier für die semi&ndash;infinite Ausgangssequenz: $w_{\rm H}(\underline{p}) &#8594; \infty$.
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Im Übergangsdiagramm werden zunächst die Zustände $S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_1 &#8594; S_3 &#8594; S_7 &#8594; S_6 &#8594; S_4 &#8594; S_1$ durchlaufen. Danach folgt (unendlich oft) der periodische Anteil $S_1 &#8594; S_2 &#8594; S_5 &#8594; S_3 &#8594; S_7 &#8594; S_6 &#8594; S_4 &#8594; S_1$.
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'''(6)'''&nbsp; Die letzte Grafik zeigt die Lösung für $U(D) = D + D^8 \Rightarrow \underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{ ... })$.
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[[Datei:P_ID3063__KC_A_4_10f_v2.png|right|frame|$\underline{p} = (0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{ ... }) \cdot \mathbf{G}$]]
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 +
Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 3 und 4</u>:
 +
*Die Eingangssequenz $\underline{u}$ beinhaltet zwei Einsen und die Ausgangssequenz $\underline{p}$ sechs Einsen.
 +
*Ab der Position 10 ist nun die Ausgangssequenz $\underline{p} \equiv\underline{0}$ &nbsp; <br>&#8658; &nbsp; die Vorschläge 1 und 2 treffen also nicht zu.
 +
<br clear=all>
 +
''Weitergehende Hinweise:''
 +
* Für einen Turbocode sind insbesondere solche Eingangsfolgen $\underline{u}$, deren $D$&ndash;Transformierte als $U(D) = f(D) \cdot [1 + D^{P}]$ darstellbar sind, äußerst ungünstig.
 +
*Sie bewirken den <i>Error Floor</i>, wie er auf der Seite  [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Leistungsf.C3.A4higkeit_der_Turbocodes|Leistungsfähigkeit der Turbocodes]] im Theorieteil zu erkennen ist.
 +
*$P$&nbsp; gibt dabei die Periode der Impulsantwort&nbsp; $\underline{g}$ an.
 +
*In unserem Beispiel gilt&nbsp; $f(D) = D$&nbsp; und&nbsp; $P = 7$.
 
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Aktuelle Version vom 9. Juli 2019, 17:10 Uhr

Turbocoder für UMTS und LTE

Die Mobilfunkstandards  UMTS  und  LTE  verwenden jeweils einen Turbocode, der weitgehend identisch ist mit dem im Kapitel  Grundlegendes zu den Turbocodes  beschriebenen Coder.

  • Der  $1/n$–Faltungscode ist systematisch, das heißt, dass die Codesequenz  $\underline{x}$  die Informationssequenz  $\underline{u}$  als Komponente beinhaltet.
  • Die Paritysequenzen  $\underline{p}_1$  und  $\underline{p}_2$  basieren auf der gleichen Übertragungsfunktion:
$$G_1(D) = G_2(D) = G(D).$$
  • $\underline{p}_1$  und  $\underline{p}_2$  verwenden allerdings unterschiedliche Eingangssequenzen  $\underline{u}$  bzw.  $\underline{u}_{\pi}$. Hierbei kennzeichnet  ${\rm \Pi}$  den Interleaver, bei UMTS und LTE meist ein  $S$–Random–Interleaver.


Gegebene Filterstruktur







Der wesentliche Unterschied gegenüber der Beschreibung im Theorieteil ergibt sich durch eine andere Übertragungsfunktion  $G(D)$, die durch die links gezeichnete rekursive Filterstruktur gegeben ist.


Hinweise:

$$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad U(D) = D+ D^2\hspace{0.05cm},$$
$$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad U(D) = D+ D^8\hspace{0.05cm}.$$



Fragebogen

1

Wie lauten die Kenngrößen des betrachteten Turbocodes (Gedächtnis  $m$,  Einflusslänge  $\nu$,  Rate $R$)?

$ m \hspace{0.2cm} = \ $

$ \nu \hspace{0.3cm} = \ $

$R \hspace{0.2cm} = \ $

2

Wie lauten die (identischen) Übertragungsfunktionen  $G_1(D) = G_2(D) = G(D)$?

Es gilt:  $G(D) = (1 + D + D^3)/(1 + D^2 + D^3)$.
Es gilt:  $G(D) = (1 + D^2 + D^3)/(1 + D + D^3)$.

3

Wie lautet die Impulsantwort  $\underline{g}$ ?

Es gilt:  $\underline{g} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm})$
Es gilt:  $\underline{g} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm})$.
$\underline{g}$  setzt sich bis ins Unendliche fort.

4

Gibt es periodische Anteile innerhalb der Impulsantwort  $\underline{g}$ ?

Ja, mit der Periodendauer  $P = 7$.
Ja, mit der Periodendauer  $P = 8$.
Nein.

5

Es sei nun  $U(D) = D + D^2$. Welche Aussagen stimmen?

Die Ausgangsfolge  $\underline{p}$  beinhaltet einen periodischen Anteil.
Die Periode  $P$  ist gegenüber  $\underline{g}$  unverändert.
Das Hamming–Gewicht der Eingangssequenz ist  $w_{\rm H}(\underline{u}) = 2$.
Das Hamming–Gewicht der Ausgangsseqenz ist  $w_{\rm H}(\underline{p}) = 6$.

6

Welche Aussagen treffen für  $U(D) = D + D^8$  zu?

Die Ausgangsfolge  $\underline{p}$  beinhaltet einen periodischen Anteil.
Die Periode  $P$  ist gegenüber  $\underline{g}$  unverändert.
Das Hamming–Gewicht der Eingangssequenz ist  $w_{\rm H}(\underline{u}) = 2$.
Das Hamming–Gewicht der Ausgangssequenz  ist $w_{\rm H}(\underline{p}) = 6$.


Musterlösung

Polynomdivision zur Teilaufgabe (3): $G(D) = (1 + D + D^3) \ / \ (1 + D^2 + D^3)$

(1)  Die Codeparameter sind $k = 1$ und $n = 3$   ⇒   Coderate $\underline{R = 1/3}$.

  • Das Gedächtnis (englisch: Memory) ist $\underline{m = 3}$.
  • Die Einflusslängen ergeben sich zu $\nu = 1, \ \nu_2 = 4$ und $\nu_3 = 4$  ⇒  Gesamteinflusslänge $\underline{\nu = 9}$.


(2)  Wie der Vergleich des rekursiven Filters auf der Angabenseite mit der Filterstruktur im Theorieteil für gebrochen–rationales $G(D)$ zeigt, ist der Lösungsvorschlag 1 richtig.


(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

Die obere Grafik verdeutlicht die Polynomdivision $(1 + D + D^3) \ / \ (1 + D^2 + D^3)$. Zur Erläuterung:

  • Abgebrochen ist die Darstellung mit dem Rest $D^8 + D^9 = D^7 \cdot (D + D^2)$.
  • Damit gilt auch:
$$(D^8 + D^9) \hspace{0.05cm} /\hspace{0.05cm} (1+ D^2+ D^3 ) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} D^7 \cdot (D+ D^2+ D^3 + D^6) + {\rm Rest_2}$$
  • Nach Zusammenfassen:
$$G(D) = 1 + D + D^2 + D^3 + D^6 + D^8+ D^9+ D^{10} + D^{13} + \hspace{0.05cm}\text{ ... }\hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm}. $$
  • Die $D$–Rücktransformierte ergibt den Lösungsvorschlag 2:
$$\underline{g}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{ ... }\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}. $$
  • Die Impulsantwort setzt sich bis ins Unendliche fort   ⇒   Lösungsvorschlag 3 ist ebenfalls richtig.


Zustandsübergangsdiagramm und Impulsantwort

(4)  Die Impulsantwort kann wie folgt ausgedrückt werden:

$$\underline{g}= \Big (\hspace{0.03cm}1\hspace{0.03cm}, \big [ \hspace{0.03cm} 1\hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 1\hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 1\hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 0\hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 0\hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 1\hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 0\hspace{0.03cm} \big ]_{\rm per} \Big ) \hspace{0.15cm}\Rightarrow \hspace{0.15cm} \underline{P = 7} \hspace{0.05cm}. $$

Im Zustandsübergangsdiagramm (rechts) ist die Impulsantwort $\underline{g}$ gelb hinterlegt. Die Impulsantwort ergibt sich als die Paritysequenz  $\underline{p}$  für die Informationssequenz  $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, \text{ ... })$.

  • Die Übergänge im Diagramm sind mit „$u_i\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\underline{x}_i$” beschriftet, was gleichbedeutend ist mit „$u_i\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}u_i \hspace{0.05cm}p_i$”.
  • Die Paritysequenz  $\underline{p} \ (=$ Impulsantwort  $\underline{g})$  ergibt sich somit aus dem jeweiligen zweiten Coderausgangssymbol.
  • $\underline{g}$ wird durch folgende Zustände repräsentiert:
$$S_0 → [S_1 → S_2 → S_5 → S_3 → S_7 → S_6 → S_4 ] → [S_1 → \ ... \ → S_4] → \ \text{ ... } $$


(5)  Die folgende Grafik zeigt die Lösung anhand der Generatormatrix $\mathbf{G}$. Es gilt $\underline{u} = (0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{ ... } )$.

$\underline{p} = (0, \, 1, \, 1, \, \text{ ... } ) \cdot \mathbf{G}$

Man erkennt, dass die Lösungsvorschläge 1, 2 und 3 richtig sind:

  • Die vorliegende Paritysequenz $\underline{p}$ hat die gleiche Periode $P = 7$ wie die Impulsantwort $\underline{g}$.
  • Das Hamming–Gewicht der (begrenzten) Eingangsfolge ist tatsächlich $w_{\rm H}(\underline{u}) = 2$.
  • Der Vorschlag 4 ist falsch. Vielmehr gilt hier für die semi–infinite Ausgangssequenz: $w_{\rm H}(\underline{p}) → \infty$.


Im Übergangsdiagramm werden zunächst die Zustände $S_0 → S_0 → S_1 → S_3 → S_7 → S_6 → S_4 → S_1$ durchlaufen. Danach folgt (unendlich oft) der periodische Anteil $S_1 → S_2 → S_5 → S_3 → S_7 → S_6 → S_4 → S_1$.



(6)  Die letzte Grafik zeigt die Lösung für $U(D) = D + D^8 \Rightarrow \underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{ ... })$.

$\underline{p} = (0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{ ... }) \cdot \mathbf{G}$

Richtig sind die Lösungsvorschläge 3 und 4:

  • Die Eingangssequenz $\underline{u}$ beinhaltet zwei Einsen und die Ausgangssequenz $\underline{p}$ sechs Einsen.
  • Ab der Position 10 ist nun die Ausgangssequenz $\underline{p} \equiv\underline{0}$  
    ⇒   die Vorschläge 1 und 2 treffen also nicht zu.


Weitergehende Hinweise:

  • Für einen Turbocode sind insbesondere solche Eingangsfolgen $\underline{u}$, deren $D$–Transformierte als $U(D) = f(D) \cdot [1 + D^{P}]$ darstellbar sind, äußerst ungünstig.
  • Sie bewirken den Error Floor, wie er auf der Seite Leistungsfähigkeit der Turbocodes im Theorieteil zu erkennen ist.
  • $P$  gibt dabei die Periode der Impulsantwort  $\underline{g}$ an.
  • In unserem Beispiel gilt  $f(D) = D$  und  $P = 7$.