Aufgaben:Aufgabe 1.08: Identische Codes: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Wir betrachten einen Blockcode $\mathcal{C}$, der durch folgende Generatormatrix beschrieben wird: | + | Wir betrachten einen Blockcode $\mathcal{C}$, der durch folgende Generatormatrix beschrieben wird: |
:$${ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &1 &1\\ 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$ | :$${ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &1 &1\\ 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Die Zuordnung zwischen den Informationsworten $\underline{u}$ und den Codeworten $\underline{x}$ kann der Tabelle entnommen werden. Man erkennt, dass es sich dabei nicht um einen systematischen Code handelt. | + | Die Zuordnung zwischen den Informationsworten $\underline{u}$ und den Codeworten $\underline{x}$ kann der Tabelle entnommen werden. Man erkennt, dass es sich dabei nicht um einen systematischen Code handelt. |
| − | Durch Manipulation der Generatormatrix $\boldsymbol {\rm G}$ lassen sich daraus identische Codes konstruieren. Darunter versteht man Codes mit gleichen Codeworten, jedoch unterschiedlicher Zuordnung $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$. | + | Durch Manipulation der Generatormatrix $\boldsymbol {\rm G}$ lassen sich daraus identische Codes konstruieren. Darunter versteht man Codes mit gleichen Codeworten, jedoch unterschiedlicher Zuordnung $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$. |
| − | Folgende Operationen sind erlaubt, um einen identischen Code zu erhalten: | + | Folgende Operationen sind erlaubt, um einen identischen Code zu erhalten: |
*Vertauschen oder Permutieren der Zeilen, | *Vertauschen oder Permutieren der Zeilen, | ||
| − | *Multiplizieren aller Zeilen mit einem konstanten Vektor ungleich $0$, | + | |
| + | *Multiplizieren aller Zeilen mit einem konstanten Vektor ungleich "$\underline{0}$", | ||
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*Ersetzen einer Zeile durch eine Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen. | *Ersetzen einer Zeile durch eine Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen. | ||
| − | Für den in der Teilaufgabe (3) gesuchten Code $\mathcal{C}_{\rm sys}$ mit Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}$ wird weiter gefordert, dass er systematisch ist. | + | Für den in der Teilaufgabe '''(3)''' gesuchten Code $\mathcal{C}_{\rm sys}$ mit Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}$ wird weiter gefordert, dass er systematisch ist. |
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| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes]]. | + | Hinweise: |
| − | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Systematische_Codes|Systematische Codes]]. | + | |
| − | *Bezug genommen wird zudem auf die so genannte | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|"Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes"]]. |
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| + | *Diese besagt, dass die minimale Hamming–Distanz eines $(n, k)$–Blockcodes nach oben beschränkt ist: $d_{\rm min} \le n - k +1.$ | ||
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| − | {Geben Sie die Kenngrößen des gegebenen Codes $\mathcal{C}$ an. | + | {Geben Sie die Kenngrößen des gegebenen Codes $\mathcal{C}$ an. |
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$n \hspace{0.3cm} = \ $ { 6 } | $n \hspace{0.3cm} = \ $ { 6 } | ||
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$m \hspace{0.15cm} = \ $ { 3 } | $m \hspace{0.15cm} = \ $ { 3 } | ||
$R \hspace{0.2cm} = \ ${ 0.5 3% } | $R \hspace{0.2cm} = \ ${ 0.5 3% } | ||
| − | $|\mathcal{C}| \hspace{0.05cm} = \ ${ 8 } | + | $|\hspace{0.05cm}\mathcal{C}\hspace{0.05cm}| \hspace{-0.05cm} = \ ${ 8 } |
$d_{\rm min} \hspace{0.01cm} = \ $ { 3 } | $d_{\rm min} \hspace{0.01cm} = \ $ { 3 } | ||
| − | {Gibt es einen (6, 3)–Blockcode mit größerer Minimaldistanz? | + | {Gibt es einen $(6, 3)$–Blockcode mit größerer Minimaldistanz? |
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+ Ja. | + Ja. | ||
- Nein. | - Nein. | ||
| − | {Wie lautet die Generatormatrix ${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}$ des identischen systematischen Codes? | + | {Wie lautet die Generatormatrix ${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}$ des identischen systematischen Codes? |
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- Die 1. Zeile lautet „$1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1$”. | - Die 1. Zeile lautet „$1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1$”. | ||
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| − | {Welche Prüfbits hat der systematische Code $\underline{x}_{\rm sys} = (u_{1}, u_{2}, u_{3}, p_{1}, p_{2}, p_{3})$? | + | {Welche Prüfbits hat der systematische Code $\underline{x}_{\rm sys} = (u_{1},\ u_{2},\ u_{3},\ p_{1},\ p_{2},\ p_{3})$? |
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+$p_{1} = u_{1} \oplus u_{2},$ | +$p_{1} = u_{1} \oplus u_{2},$ | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | '''(1)''' Der vorgegebene Code $\mathcal{C}$ wird durch folgende Kenngrößen charakterisiert: | + | '''(1)''' Der vorgegebene Code $\mathcal{C}$ wird durch folgende Kenngrößen charakterisiert: |
| − | *Bitanzahl der Codeworte: $\underline{n = 6}$, | + | *Bitanzahl der Codeworte: $\underline{n = 6}$, |
| − | *Bitanzahl der Informationsworte: $\underline{k = 3}$, | + | |
| − | *Anzahl der Prüfbitgleichungen: $\underline{m = n | + | *Bitanzahl der Informationsworte: $\underline{k = 3}$, |
| − | *Coderate: $R = k/n = 3/6 \Rightarrow \underline{R = 0.5}$, | + | |
| − | *Anzahl der Codeworte (Codeumfang): $|\mathcal{C}| = 2^k \Rightarrow \underline{|C| = 8}$, | + | *Anzahl der Prüfbitgleichungen: $\underline{m = n - k = 3}$, |
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| + | *Coderate: $R = k/n = 3/6 \Rightarrow \underline{R = 0.5}$, | ||
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| + | *Anzahl der Codeworte (Codeumfang): $|\mathcal{C}| = 2^k \Rightarrow \underline{|C| = 8}$, | ||
| + | *minimale Hamming–Distanz (siehe Tabelle): $\underline{d}_{\rm min} \underline{= 3}$. | ||
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| − | + | '''(2)''' Richtig ist $\underline{\rm JA}$: | |
| + | *Nach der Singleton–Schranke gilt $d_{\rm min} ≤ n - k + 1$. Mit $n = 6$ und $k = 3$ erhält man hierfür $d_{\rm min} ≤ 4$. | ||
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| + | *Es kann also durchaus ein $(6, 3)$–Blockcode mit größerer Minimaldistanz konstruiert werden. Wie ein solcher Code aussieht, wurde freundlicherweise nicht gefragt. | ||
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| − | + | Die Minimaldistanz aller Hamming–Codes ist $d_{\rm min} = 3$, und nur der Sonderfall mit $n = 3$ und $k = 1$ erreicht den Grenzwert. Dagegen erreichen das Maximum entsprechend der Singleton–Schranke: | |
| + | *alle [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Wiederholungscodes|Wiederholungscodes]] $($Repetition Codes, $\rm RC)$ wegen $k = 1$ und $d_{\rm min} = n$; hierzu gehört auch der $\rm (3, 1)$–Hamming–Code, der ja bekannterweise identisch ist mit dem $\text{RC (3, 1)}$, | ||
| − | '''(3)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>: | + | *alle [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes|Single Parity–check Codes]] $\rm (SPC)$: $k = n - 1, d_{\rm min} = 2$. |
| − | *Vertauscht man Zeilen | + | |
| − | *Beispielsweise erhält man nach zyklischem Zeilentausch $2 \rightarrow 1, 3 \rightarrow 2$ und $1 \rightarrow 3$ die neue Matrix | + | |
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| + | '''(3)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>: | ||
| + | *Vertauscht man Zeilen der Generatormatrix $\boldsymbol {\rm G}$, so kommt man zu einem identischen Code $\mathcal{C}'$. Das heißt: $\mathcal{C}$ und $\mathcal{C}'$ beinhalten die genau gleichen Codeworte. | ||
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| + | *Beispielsweise erhält man nach zyklischem Zeilentausch $2 \rightarrow 1,\ 3 \rightarrow 2$ und $1 \rightarrow 3$ die neue Matrix | ||
:$${ \boldsymbol{\rm G}}' = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$ | :$${ \boldsymbol{\rm G}}' = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | *Die erste und die letzte Zeile der neuen Matrix entsprechen schon den Vorgaben eines systematischen Codes, nämlich, dass deren Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}}$ mit einer Diagonalmatrix beginnen muss. | + | *Die erste und die letzte Zeile der neuen Matrix entsprechen schon den Vorgaben eines systematischen Codes, nämlich, dass deren Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}}$ mit einer Diagonalmatrix beginnen muss. |
| − | *Ersetzt man die Zeile 2 durch die Modulo–2–Summe von Zeile 2 und 3, so erhält man: | + | |
| + | *Ersetzt man die Zeile 2 durch die Modulo–2–Summe von Zeile 2 und 3, so erhält man: | ||
:$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$ | :$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | *Dieser systematische Code beinhaltet genau die gleichen Codeworte wie die Codes $\mathcal{C}$ und $\mathcal{C}'$. | + | *Dieser systematische Code beinhaltet genau die gleichen Codeworte wie die Codes $\mathcal{C}$ und $\mathcal{C}'$. |
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| − | :* | + | '''(4)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>: |
| − | + | *Wendet man die Gleichung $\underline{x}_{\rm sys} = \underline{u} \cdot \boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}$ auf obige Beispiele an, so erkennt man, dass die beiden ersten Aussagen richtig sind, nicht aber die letzte. | |
| − | * | + | *Ohne Rechnung kommt man zum gleichen Ergebnis, wenn man berücksichtigt, dass |
| + | :*das systematische Codewort $\underline{x}_{\rm sys}$ mit $\underline{u}$ beginnen muss, | ||
| + | :*der Code $\mathcal{C}_{\rm sys}$ die gleichen Codeworte beinhaltet wie der vorgegebene Code $\mathcal{C}$. | ||
| − | '''(5)''' Richtig ist nur die <u>Aussage 1</u>. Die Angaben für $p_{2}$ und $p_{3}$ sind dagegen genau vertauscht. | + | *Für $\underline{u} = (0, 1, 0)$ lautet somit das Codewort $(0, 1, 0, ?, ?, ?)$. |
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| + | *Ein Vergleich mit der Codetabelle von $\mathcal{C}$ auf der Angabenseite führt zu $\underline{x}_{\rm sys} = (0, 1, 0, 1, 0, 1)$. | ||
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| + | '''(5)''' Richtig ist nur die <u>Aussage 1</u>. Die Angaben für $p_{2}$ und $p_{3}$ sind dagegen genau vertauscht. | ||
*Bei systematischer Codierung besteht folgender Zusammenhang zwischen Generator– und Prüfmatrix: | *Bei systematischer Codierung besteht folgender Zusammenhang zwischen Generator– und Prüfmatrix: | ||
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:$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm sys} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$ | :$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm sys} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | + | *Daraus ergeben sich Prüfgleichungen (siehe Grafik): | |
| − | Daraus ergeben sich Prüfgleichungen (siehe Grafik): | ||
:$$u_1 \oplus u_2 \oplus p_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} p_1 = u_1 \oplus u_2 \hspace{0.05cm},$$ | :$$u_1 \oplus u_2 \oplus p_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} p_1 = u_1 \oplus u_2 \hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$ u_1 \oplus u_3 \oplus p_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} p_2 = u_1 \oplus u_3 \hspace{0.05cm},$$ | :$$ u_1 \oplus u_3 \oplus p_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} p_2 = u_1 \oplus u_3 \hspace{0.05cm},$$ | ||
Aktuelle Version vom 10. Juli 2022, 16:41 Uhr
Zuordnung des $(6, 3)$–Blockcodes
Wir betrachten einen Blockcode $\mathcal{C}$, der durch folgende Generatormatrix beschrieben wird:
- $${ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &1 &1\\ 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
Die Zuordnung zwischen den Informationsworten $\underline{u}$ und den Codeworten $\underline{x}$ kann der Tabelle entnommen werden. Man erkennt, dass es sich dabei nicht um einen systematischen Code handelt.
Durch Manipulation der Generatormatrix $\boldsymbol {\rm G}$ lassen sich daraus identische Codes konstruieren. Darunter versteht man Codes mit gleichen Codeworten, jedoch unterschiedlicher Zuordnung $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$.
Folgende Operationen sind erlaubt, um einen identischen Code zu erhalten:
- Vertauschen oder Permutieren der Zeilen,
- Multiplizieren aller Zeilen mit einem konstanten Vektor ungleich "$\underline{0}$",
- Ersetzen einer Zeile durch eine Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen.
Für den in der Teilaufgabe (3) gesuchten Code $\mathcal{C}_{\rm sys}$ mit Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}$ wird weiter gefordert, dass er systematisch ist.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes".
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite "Systematische Codes".
- Bezug genommen wird zudem auf die so genannte "Singleton–Schranke":&
- Diese besagt, dass die minimale Hamming–Distanz eines $(n, k)$–Blockcodes nach oben beschränkt ist: $d_{\rm min} \le n - k +1.$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Der vorgegebene Code $\mathcal{C}$ wird durch folgende Kenngrößen charakterisiert:
- Bitanzahl der Codeworte: $\underline{n = 6}$,
- Bitanzahl der Informationsworte: $\underline{k = 3}$,
- Anzahl der Prüfbitgleichungen: $\underline{m = n - k = 3}$,
- Coderate: $R = k/n = 3/6 \Rightarrow \underline{R = 0.5}$,
- Anzahl der Codeworte (Codeumfang): $|\mathcal{C}| = 2^k \Rightarrow \underline{|C| = 8}$,
- minimale Hamming–Distanz (siehe Tabelle): $\underline{d}_{\rm min} \underline{= 3}$.
(2) Richtig ist $\underline{\rm JA}$:
- Nach der Singleton–Schranke gilt $d_{\rm min} ≤ n - k + 1$. Mit $n = 6$ und $k = 3$ erhält man hierfür $d_{\rm min} ≤ 4$.
- Es kann also durchaus ein $(6, 3)$–Blockcode mit größerer Minimaldistanz konstruiert werden. Wie ein solcher Code aussieht, wurde freundlicherweise nicht gefragt.
Die Minimaldistanz aller Hamming–Codes ist $d_{\rm min} = 3$, und nur der Sonderfall mit $n = 3$ und $k = 1$ erreicht den Grenzwert. Dagegen erreichen das Maximum entsprechend der Singleton–Schranke:
- alle Wiederholungscodes $($Repetition Codes, $\rm RC)$ wegen $k = 1$ und $d_{\rm min} = n$; hierzu gehört auch der $\rm (3, 1)$–Hamming–Code, der ja bekannterweise identisch ist mit dem $\text{RC (3, 1)}$,
- alle Single Parity–check Codes $\rm (SPC)$: $k = n - 1, d_{\rm min} = 2$.
(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:
- Vertauscht man Zeilen der Generatormatrix $\boldsymbol {\rm G}$, so kommt man zu einem identischen Code $\mathcal{C}'$. Das heißt: $\mathcal{C}$ und $\mathcal{C}'$ beinhalten die genau gleichen Codeworte.
- Beispielsweise erhält man nach zyklischem Zeilentausch $2 \rightarrow 1,\ 3 \rightarrow 2$ und $1 \rightarrow 3$ die neue Matrix
- $${ \boldsymbol{\rm G}}' = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
- Die erste und die letzte Zeile der neuen Matrix entsprechen schon den Vorgaben eines systematischen Codes, nämlich, dass deren Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}}$ mit einer Diagonalmatrix beginnen muss.
- Ersetzt man die Zeile 2 durch die Modulo–2–Summe von Zeile 2 und 3, so erhält man:
- $${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
- Dieser systematische Code beinhaltet genau die gleichen Codeworte wie die Codes $\mathcal{C}$ und $\mathcal{C}'$.
(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:
- Wendet man die Gleichung $\underline{x}_{\rm sys} = \underline{u} \cdot \boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}$ auf obige Beispiele an, so erkennt man, dass die beiden ersten Aussagen richtig sind, nicht aber die letzte.
- Ohne Rechnung kommt man zum gleichen Ergebnis, wenn man berücksichtigt, dass
- das systematische Codewort $\underline{x}_{\rm sys}$ mit $\underline{u}$ beginnen muss,
- der Code $\mathcal{C}_{\rm sys}$ die gleichen Codeworte beinhaltet wie der vorgegebene Code $\mathcal{C}$.
- Für $\underline{u} = (0, 1, 0)$ lautet somit das Codewort $(0, 1, 0, ?, ?, ?)$.
- Ein Vergleich mit der Codetabelle von $\mathcal{C}$ auf der Angabenseite führt zu $\underline{x}_{\rm sys} = (0, 1, 0, 1, 0, 1)$.
(5) Richtig ist nur die Aussage 1. Die Angaben für $p_{2}$ und $p_{3}$ sind dagegen genau vertauscht.
- Bei systematischer Codierung besteht folgender Zusammenhang zwischen Generator– und Prüfmatrix:
- $${ \boldsymbol{\rm G}} =\left({ \boldsymbol{\rm I}}_k \: ; \:{ \boldsymbol{\rm P}} \right) \hspace{0.3cm}\Leftrightarrow \hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm H}} =\left({ \boldsymbol{\rm P}}^{\rm T}\: ; \:{ \boldsymbol{\rm I}}_m \right) \hspace{0.05cm}.$$
Schaubild der Prüfgleichungen
- Angewendet auf das aktuelle Beispiel erhält man so:
- $${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm sys} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
- Daraus ergeben sich Prüfgleichungen (siehe Grafik):
- $$u_1 \oplus u_2 \oplus p_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} p_1 = u_1 \oplus u_2 \hspace{0.05cm},$$
- $$ u_1 \oplus u_3 \oplus p_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} p_2 = u_1 \oplus u_3 \hspace{0.05cm},$$
- $$ u_2 \oplus u_3 \oplus p_3 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} p_3 = u_2 \oplus u_3 \hspace{0.05cm}.$$
