Aufgaben:Aufgabe 4.3Z: Umrechnungen von L–Wert und S–Wert: Unterschied zwischen den Versionen
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{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Soft–in Soft–out Decoder}} | {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Soft–in Soft–out Decoder}} | ||
− | [[Datei:P_ID3093__KC_Z_4_3neu_v1.png|right|right|frame|Funktion $y = \tanh {(x)}$ in Tabellenform]] | + | [[Datei:P_ID3093__KC_Z_4_3neu_v1.png|right|right|frame|Funktion $y = \tanh {(x)}$ <br>in Tabellenform]] |
− | Wir gehen von einer binären Zufallsgröße $x ∈ \{+1, \, | + | Wir gehen von einer binären Zufallsgröße $x ∈ \{+1, \, -1\}$ mit folgenden Wahrscheinlichkeiten aus: |
:$${\rm Pr}(x =+1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} p\hspace{0.05cm},$$ | :$${\rm Pr}(x =+1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} p\hspace{0.05cm},$$ | ||
:$${\rm Pr}(x =-1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} q = 1-p\hspace{0.05cm}.$$ | :$${\rm Pr}(x =-1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} q = 1-p\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Die „Zuverlässigkeit” des Symbols $x$ kann ausgedrückt werden | + | Die „Zuverlässigkeit” des Symbols $x$ kann ausgedrückt werden |
− | * durch den $L$–Wert entsprechend der Definition | + | * durch den $L$–Wert entsprechend der Definition |
− | :$$L(x) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{p}{q} = \frac{p}{1 - p}\hspace{0.05cm} | + | :$$L(x) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{p}{q} = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{p}{1 - p}\hspace{0.05cm} |
\hspace{0.05cm},$$ | \hspace{0.05cm},$$ | ||
− | * durch den so genannten $S$–Wert | + | * durch den so genannten $S$–Wert |
:$$S(x) = p- q \hspace{0.05cm}.$$ | :$$S(x) = p- q \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Den Begriff „$S$–Wert” haben wir kreiert, um die folgenden Fragen griffiger formulieren zu können. In der Literatur findet man hierfür manchmal die Bezeichung „Soft Bit”. | + | Den Begriff „$S$–Wert” haben wir kreiert, um die folgenden Fragen griffiger formulieren zu können. In der Literatur findet man hierfür manchmal die Bezeichung „Soft Bit”. |
− | Wie in Teilaufgabe (1) gezeigt werden soll, können $L(x)$ und $S(x)$ ineinander umgerechnet werden. | + | Wie in Teilaufgabe '''(1)''' gezeigt werden soll, können $L(x)$ und $S(x)$ ineinander umgerechnet werden. |
− | Anschließend sollen diese Funktionen zur Berechnung der folgenden Größen | + | Anschließend sollen diese Funktionen zur Berechnung der folgenden Größen herangezogen werden, wobei stets von der Codelänge $n = 3$ ausgegangen wird: |
− | * der extrinsische $L$–Wert für das dritte Symbol ⇒ $L_{\rm E}(x_3)$, | + | * der extrinsische $L$–Wert für das dritte Symbol ⇒ $L_{\rm E}(x_3)$, |
− | * der Aposteriori–$L$–Wert für das dritte Symbol ⇒ $L_{\rm APP}(x_3)$. | + | * der Aposteriori–$L$–Wert für das dritte Symbol ⇒ $L_{\rm APP}(x_3)$. |
Die Berechnung soll für folgende Codes erfolgen: | Die Berechnung soll für folgende Codes erfolgen: | ||
− | * | + | * den Wiederholungscode [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Wiederholungscodes|$\text{RC (3, 1, 3)}$]] mit der Nebenbedingung $\sign {(x_1)} = \sign {(x_2)} = \sign {(x_3)}$, |
− | * | + | * den Single Parity–Code ⇒ [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes_.281.29|$\text{SPC (3, 2, 2)}$]] mit der Nebenbedingung $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = +1$. |
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− | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder| Soft–in Soft–out Decoder]]. | + | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder| Soft–in Soft–out Decoder]]. |
− | * Zur Lösung benötigen Sie den <i>Tangens Hyperbolikus</i> entsprechend folgender Definition: | + | * Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio| Zuverlässigkeitsinformation – Log Likelihood Ratio]]. |
+ | * Zur Lösung benötigen Sie den <i>Tangens Hyperbolikus</i> entsprechend folgender Definition (diese Funktion ist oben in Tabellenform angegeben): | ||
:$$y = {\rm tanh}(x) = \frac{{\rm e}^{+x/2} - {\rm e}^{-x/2}}{{\rm e}^{+x/2} + {\rm e}^{-x/2}} | :$$y = {\rm tanh}(x) = \frac{{\rm e}^{+x/2} - {\rm e}^{-x/2}}{{\rm e}^{+x/2} + {\rm e}^{-x/2}} | ||
= \frac{1 - {\rm e}^{-x}}{1 + {\rm e}^{-x}} | = \frac{1 - {\rm e}^{-x}}{1 + {\rm e}^{-x}} | ||
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
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− | {Welcher Zusammenhang besteht zwischen $S$–Wert und $L$–Wert? | + | {Welcher Zusammenhang besteht zwischen $S$–Wert und $L$–Wert? |
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- $S(x) = \tanh {(L(x))}$, | - $S(x) = \tanh {(L(x))}$, | ||
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+ $L(x) = 2 \cdot \tanh^{-1}{(S(x))}$. | + $L(x) = 2 \cdot \tanh^{-1}{(S(x))}$. | ||
− | {Betrachtet wird der (3, 1) | + | {Betrachtet wird der $\text{RC (3, 1, 3)}$. Für die Apriori–$L$–Werte gelte $\underline{L}_{\rm A} = (+2, -1, +3)$. Wie groß ist der extrinsische $L$–Wert für das Symbol $x_3$? |
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− | $ | + | $L_{\rm E}(x_3) \ = \ ${ 1 3% } |
− | {Wie groß ist in diesem Fall der Aposteriori–$L$–Wert für das Symbol $x_3$? | + | {Wie groß ist in diesem Fall der Aposteriori–$L$–Wert für das Symbol $x_3$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | $L_{\rm APP}(x_3) \ = \ ${ 4 3% } |
− | {Wie groß ist der extrinsische $L$–Wert beim (3, 2) | + | {Wie groß ist der extrinsische $L$–Wert beim $\text{SPC (3, 2, 2)}$? Es gelte weiterhin $\underline{L}_{\rm A} = (+2, -1, +3)$. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | $L_{\rm E}(x_3) \ = \ ${ -0.757256--0.713144 } |
− | {Die Apriori–Wahrscheinlichkeiten seien nun $0.3, \ 0.8$ und $0.9$. Wie groß ist der extrinsische $L$–Wert für den <i>Repetition Code</i>? | + | {Die Apriori–Wahrscheinlichkeiten seien nun $0.3, \ 0.8$ und $0.9$. Wie groß ist der extrinsische $L$–Wert für den <i>Repetition Code</i>? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | $L_{\rm E}(x_3) \ = \ ${ 0.535 3% } |
− | {Welcher extrinsische $L$–Wert ergibt sich bei gleichen Voraussetzungen wie in (5) für den <i>Single Parity–check Code</i>? | + | {Welcher extrinsische $L$–Wert ergibt sich bei gleichen Voraussetzungen wie in '''(5)''' für den <i>Single Parity–check Code</i>? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | $L_{\rm E}(x_3) \ = \ ${ 0.49 3% } |
</quiz> | </quiz> | ||
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gelten folgende Definitionen: | gelten folgende Definitionen: | ||
− | :$$L(x) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{p}{q} = \frac{p}{1 - p}\hspace{0.05cm} | + | :$$L(x) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{p}{q} = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{p}{1 - p}\hspace{0.05cm} |
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} | \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} | ||
-\infty \le L(x) \le +\infty | -\infty \le L(x) \le +\infty | ||
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− | Ausgehend vom $S$–Wert erhält man wegen $p + q = 1$: | + | *Ausgehend vom $S$–Wert erhält man wegen $p + q = 1$: |
:$$S(x) = p- q = \frac{p- q}{p+ q} = \frac{1- q/p}{1+ q/p} | :$$S(x) = p- q = \frac{p- q}{p+ q} = \frac{1- q/p}{1+ q/p} | ||
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− | Gleichzeitig gilt $q/p = \ | + | *Gleichzeitig gilt $q/p = {\rm e}^{-L(x)}$. Daraus folgt: |
:$$S(x) = \frac{1- {\rm e}^{-L(x)}}{1+ {\rm e}^{-L(x)}} | :$$S(x) = \frac{1- {\rm e}^{-L(x)}}{1+ {\rm e}^{-L(x)}} | ||
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− | Multipliziert man Zähler und Nenner mit $\ | + | *Multipliziert man Zähler und Nenner mit ${\rm e}^{-L(x)/2}$, so erhält man schließlich: |
+ | [[Datei:P_ID3097__KC_Z_4_3c_v2.png|right|frame|Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeit, $L$–Wert, $S$–Wert]] | ||
:$$S(x) = \frac{{\rm e}^{+L(x)/2}- {\rm e}^{-L(x)/2}}{{\rm e}^{+L(x)/2}+ {\rm e}^{-L(x)/2}} | :$$S(x) = \frac{{\rm e}^{+L(x)/2}- {\rm e}^{-L(x)/2}}{{\rm e}^{+L(x)/2}+ {\rm e}^{-L(x)/2}} | ||
− | = {\rm tanh}[L(x)/2] | + | = {\rm tanh}\big [L(x)/2. \big] |
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− | Die Umkehrfunktion ergibt | + | *Die Umkehrfunktion ergibt |
:$$L(x) = 2 \cdot {\rm tanh}^{-1}[S(x)] | :$$L(x) = 2 \cdot {\rm tanh}^{-1}[S(x)] | ||
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− | Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>. | + | Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>. Die Tabelle zeigt den $L$–Wert $S$–Wert für einige Wahrscheinlichkeiten $p = {\rm Pr}(x=+1)$. |
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− | Die Tabelle zeigt den $L$–Wert | ||
− | '''(2)''' Der extrinsische $L$–Wert für das Symbol $x_3$ berücksichtigt nur die Apriori–$L$–Werte $L_{\rm A}(x_1)$ und $L_{\rm A}(x_2)$, nicht jedoch $L_{\rm A}(x_3)$. Beim (3, 1) <i>Repetition Code</i> ergibt sich hierfür: | + | '''(2)''' Der extrinsische $L$–Wert für das Symbol $x_3$ berücksichtigt nur die Apriori–$L$–Werte $L_{\rm A}(x_1)$ und $L_{\rm A}(x_2)$, nicht jedoch $L_{\rm A}(x_3)$. |
+ | *Beim (3, 1) <i>Repetition Code</i> ergibt sich hierfür: | ||
:$$L_{\rm E}(x_3) = L_{\rm A}(x_1) + L_{\rm A}(x_2) = 2 + (-1) | :$$L_{\rm E}(x_3) = L_{\rm A}(x_1) + L_{\rm A}(x_2) = 2 + (-1) | ||
\hspace{0.15cm} \underline{= +1}\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.15cm} \underline{= +1}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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− | '''(4)''' | + | '''(4)''' Beim <i>Single Parity–check Code</i> lautet die entsprechende Berechnungsvorschrift: |
:$$L_{\rm E}(x_3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.05cm} | :$$L_{\rm E}(x_3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.05cm} | ||
− | \left [ {\rm tanh}(x_1/2) \cdot {\rm tanh}(x_2/2) \right ] = | + | \left [ {\rm tanh}(x_1/2) \cdot {\rm tanh}(x_2/2) \right ] = 2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.05cm} |
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\left [ {\rm tanh}(+1) \cdot {\rm tanh}(-0.5) \right ] = | \left [ {\rm tanh}(+1) \cdot {\rm tanh}(-0.5) \right ] = | ||
2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.05cm} | 2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.05cm} | ||
− | \left [ 0.7616 \cdot (-0.4621) \right ] | + | \left [ 0.7616 \cdot (-0.4621) \right ] $$ |
− | :$$\hspace{ | + | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}L_{\rm E}(x_3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.05cm} |
\left [ -0.3519 \right ] =-2 \cdot 0.3676\hspace{0.15cm} \underline{= -0.7352}\hspace{0.05cm}.$$ | \left [ -0.3519 \right ] =-2 \cdot 0.3676\hspace{0.15cm} \underline{= -0.7352}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Das | + | Das Ergebnis ${\rm tanh}^{-1} (-0.3519) = 0.3676$ wurde der Tabelle auf der Angabenseite entnommen. |
+ | |||
− | '''(5)''' Beim Wiederholungscode der Länge $n = 3$ gilt wie in der Teilaufgabe (3): | + | '''(5)''' Beim Wiederholungscode der Länge $n = 3$ gilt wie in der Teilaufgabe (3): |
:$$L_{\rm E}(x_3) = L_{\rm A}(x_1) + L_{\rm A}(x_2) = -0.847 +1.382 | :$$L_{\rm E}(x_3) = L_{\rm A}(x_1) + L_{\rm A}(x_2) = -0.847 +1.382 | ||
\hspace{0.15cm} \underline{= +0.535}\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.15cm} \underline{= +0.535}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Benutzt wurden hierbei die $L$–Werte entsprechend der Tabelle zur Teilaufgabe (1). | + | Benutzt wurden hierbei die $L$–Werte entsprechend der Tabelle zur Teilaufgabe (1), zum Beispiel ${\rm Pr}(x_1 = +1) = 0.3$ ⇒ $L_{\rm A}(x_1) = -0.847$. |
'''(6)''' Nachdem hier anstelle der Apriori–$L$–Werte die Apriori–Wahrscheinlichkeiten gegeben sind, kommt man gegenüber der Teilaufgabe (4) auf dem Umweg über den extrinsischen $S$–Wert schneller zum Erfolg. | '''(6)''' Nachdem hier anstelle der Apriori–$L$–Werte die Apriori–Wahrscheinlichkeiten gegeben sind, kommt man gegenüber der Teilaufgabe (4) auf dem Umweg über den extrinsischen $S$–Wert schneller zum Erfolg. | ||
− | Die extrinsische Wahrscheinlichkeit für das dritte Symbol bezeichnen wir hier mit $P_{\rm E}(x_3)$. Für diese gilt: | + | *Die extrinsische Wahrscheinlichkeit für das dritte Symbol bezeichnen wir hier mit $P_{\rm E}(x_3)$. Für diese gilt: |
:$$P_{\rm E}(x_3 = +1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} P_{\rm A}(x_1 = +1) \cdot P_{\rm A}(x_2 = -1) + | :$$P_{\rm E}(x_3 = +1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} P_{\rm A}(x_1 = +1) \cdot P_{\rm A}(x_2 = -1) + | ||
− | P_{\rm A}(x_1 = -1) \cdot P_{\rm A}(x_2 = +1) = | + | P_{\rm A}(x_1 = -1) \cdot P_{\rm A}(x_2 = +1) = 0.3 \cdot (1-0.8) + (1-0.3) \cdot 0.8 = 0.62\hspace{0.05cm}.$$ |
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− | Daraus ergeben sich für die weiteren Größen: | + | *Daraus ergeben sich für die weiteren Größen: |
:$$S_{\rm E}(x_3) = P_{\rm E}(x_3 = +1) - P_{\rm E}(x_3 = - 1) = 0.62 -0.38 = 0.24\hspace{0.05cm},$$ | :$$S_{\rm E}(x_3) = P_{\rm E}(x_3 = +1) - P_{\rm E}(x_3 = - 1) = 0.62 -0.38 = 0.24\hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$L_{\rm E}(x_3) = 2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.05cm} | :$$L_{\rm E}(x_3) = 2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.05cm} |
Aktuelle Version vom 29. November 2022, 18:43 Uhr
Wir gehen von einer binären Zufallsgröße $x ∈ \{+1, \, -1\}$ mit folgenden Wahrscheinlichkeiten aus:
- $${\rm Pr}(x =+1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} p\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm Pr}(x =-1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} q = 1-p\hspace{0.05cm}.$$
Die „Zuverlässigkeit” des Symbols $x$ kann ausgedrückt werden
- durch den $L$–Wert entsprechend der Definition
- $$L(x) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{p}{q} = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{p}{1 - p}\hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm},$$
- durch den so genannten $S$–Wert
- $$S(x) = p- q \hspace{0.05cm}.$$
Den Begriff „$S$–Wert” haben wir kreiert, um die folgenden Fragen griffiger formulieren zu können. In der Literatur findet man hierfür manchmal die Bezeichung „Soft Bit”.
Wie in Teilaufgabe (1) gezeigt werden soll, können $L(x)$ und $S(x)$ ineinander umgerechnet werden.
Anschließend sollen diese Funktionen zur Berechnung der folgenden Größen herangezogen werden, wobei stets von der Codelänge $n = 3$ ausgegangen wird:
- der extrinsische $L$–Wert für das dritte Symbol ⇒ $L_{\rm E}(x_3)$,
- der Aposteriori–$L$–Wert für das dritte Symbol ⇒ $L_{\rm APP}(x_3)$.
Die Berechnung soll für folgende Codes erfolgen:
- den Wiederholungscode $\text{RC (3, 1, 3)}$ mit der Nebenbedingung $\sign {(x_1)} = \sign {(x_2)} = \sign {(x_3)}$,
- den Single Parity–Code ⇒ $\text{SPC (3, 2, 2)}$ mit der Nebenbedingung $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = +1$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Soft–in Soft–out Decoder.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Zuverlässigkeitsinformation – Log Likelihood Ratio.
- Zur Lösung benötigen Sie den Tangens Hyperbolikus entsprechend folgender Definition (diese Funktion ist oben in Tabellenform angegeben):
- $$y = {\rm tanh}(x) = \frac{{\rm e}^{+x/2} - {\rm e}^{-x/2}}{{\rm e}^{+x/2} + {\rm e}^{-x/2}} = \frac{1 - {\rm e}^{-x}}{1 + {\rm e}^{-x}} \hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
- $p = {\rm Pr}(x = +1)$, und
- $p = {\rm Pr}(x=-1) = 1-p$
gelten folgende Definitionen:
- $$L(x) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{p}{q} = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{p}{1 - p}\hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} -\infty \le L(x) \le +\infty \hspace{0.05cm},$$
- $$S(x) = p- q = 2 \cdot p - 1\hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} -1 \le S(x) \le +1 \hspace{0.05cm}.$$
- Ausgehend vom $S$–Wert erhält man wegen $p + q = 1$:
- $$S(x) = p- q = \frac{p- q}{p+ q} = \frac{1- q/p}{1+ q/p} \hspace{0.05cm}.$$
- Gleichzeitig gilt $q/p = {\rm e}^{-L(x)}$. Daraus folgt:
- $$S(x) = \frac{1- {\rm e}^{-L(x)}}{1+ {\rm e}^{-L(x)}} \hspace{0.05cm}.$$
- Multipliziert man Zähler und Nenner mit ${\rm e}^{-L(x)/2}$, so erhält man schließlich:
- $$S(x) = \frac{{\rm e}^{+L(x)/2}- {\rm e}^{-L(x)/2}}{{\rm e}^{+L(x)/2}+ {\rm e}^{-L(x)/2}} = {\rm tanh}\big [L(x)/2. \big] \hspace{0.05cm}.$$
- Die Umkehrfunktion ergibt
- $$L(x) = 2 \cdot {\rm tanh}^{-1}[S(x)] \hspace{0.05cm}.$$
Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 2 und 3. Die Tabelle zeigt den $L$–Wert $S$–Wert für einige Wahrscheinlichkeiten $p = {\rm Pr}(x=+1)$.
(2) Der extrinsische $L$–Wert für das Symbol $x_3$ berücksichtigt nur die Apriori–$L$–Werte $L_{\rm A}(x_1)$ und $L_{\rm A}(x_2)$, nicht jedoch $L_{\rm A}(x_3)$.
- Beim (3, 1) Repetition Code ergibt sich hierfür:
- $$L_{\rm E}(x_3) = L_{\rm A}(x_1) + L_{\rm A}(x_2) = 2 + (-1) \hspace{0.15cm} \underline{= +1}\hspace{0.05cm}.$$
(3) Für den Aposteriori–$L$–Wert erhält man somit:
- $$L_{\rm APP}(x_3) = L_{\rm A}(x_3) + L_{\rm E}(x_3) = 3 + 1 \hspace{0.15cm} \underline{= +4}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Beim Single Parity–check Code lautet die entsprechende Berechnungsvorschrift:
- $$L_{\rm E}(x_3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.05cm} \left [ {\rm tanh}(x_1/2) \cdot {\rm tanh}(x_2/2) \right ] = 2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.05cm} \left [ {\rm tanh}(+1) \cdot {\rm tanh}(-0.5) \right ] = 2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.05cm} \left [ 0.7616 \cdot (-0.4621) \right ] $$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}L_{\rm E}(x_3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.05cm} \left [ -0.3519 \right ] =-2 \cdot 0.3676\hspace{0.15cm} \underline{= -0.7352}\hspace{0.05cm}.$$
Das Ergebnis ${\rm tanh}^{-1} (-0.3519) = 0.3676$ wurde der Tabelle auf der Angabenseite entnommen.
(5) Beim Wiederholungscode der Länge $n = 3$ gilt wie in der Teilaufgabe (3):
- $$L_{\rm E}(x_3) = L_{\rm A}(x_1) + L_{\rm A}(x_2) = -0.847 +1.382 \hspace{0.15cm} \underline{= +0.535}\hspace{0.05cm}.$$
Benutzt wurden hierbei die $L$–Werte entsprechend der Tabelle zur Teilaufgabe (1), zum Beispiel ${\rm Pr}(x_1 = +1) = 0.3$ ⇒ $L_{\rm A}(x_1) = -0.847$.
(6) Nachdem hier anstelle der Apriori–$L$–Werte die Apriori–Wahrscheinlichkeiten gegeben sind, kommt man gegenüber der Teilaufgabe (4) auf dem Umweg über den extrinsischen $S$–Wert schneller zum Erfolg.
- Die extrinsische Wahrscheinlichkeit für das dritte Symbol bezeichnen wir hier mit $P_{\rm E}(x_3)$. Für diese gilt:
- $$P_{\rm E}(x_3 = +1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} P_{\rm A}(x_1 = +1) \cdot P_{\rm A}(x_2 = -1) + P_{\rm A}(x_1 = -1) \cdot P_{\rm A}(x_2 = +1) = 0.3 \cdot (1-0.8) + (1-0.3) \cdot 0.8 = 0.62\hspace{0.05cm}.$$
- Daraus ergeben sich für die weiteren Größen:
- $$S_{\rm E}(x_3) = P_{\rm E}(x_3 = +1) - P_{\rm E}(x_3 = - 1) = 0.62 -0.38 = 0.24\hspace{0.05cm},$$
- $$L_{\rm E}(x_3) = 2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.05cm} \left [ S_{\rm E}(x_3) \right ] = 2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.05cm} (0.24) = 2 \cdot 0.245 \hspace{0.15cm} \underline{= +0.49}\hspace{0.05cm}$$