Aufgaben:Aufgabe 1.10: Einige Generatormatrizen: Unterschied zwischen den Versionen
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| + | :$$\underline{x} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} ( x_1, x_2, \ \text{...} \ \hspace{0.05cm}, x_n) \hspace{0.5cm}\text{mit} | ||
| + | \hspace{0.5cm} x_i \hspace{-0.15cm}\ \in \ \hspace{-0.15cm} \{ 0, 1 \},\hspace{0.2cm} i = 1, \hspace{0.05cm} \text{...} \ \hspace{0.05cm}, n$$ | ||
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| + | lassen sich in einem $n$–dimensionalen Vektorraum darstellen und interpretieren ⇒ ${\rm GF}(2^n)$. | ||
| − | }} | + | Durch eine $k×n$–Generatormatrix $\mathbf{G}$ $($also eine Matrix mit $k$ Zeilen und $n$ Spalten$)$ ergibt sich ein $(n, \, k)$–Code, allerdings nur dann, wenn der "Rang" $($englisch: "Rank") der Matrix $\mathbf{G}$ ebenfalls gleich $k$ ist. Weiter gilt: |
| − | + | *Jeder Code $\mathcal{C}$ spannt einen $k$–dimensionalen linearen Untervektorraum des Galoisfelds ${\rm GF}(2^n)$ auf. | |
| − | + | *Als Basisvektoren dieses Untervektorraums können $k$ unabhängige Codeworte von $\mathcal{C}$ verwendet werden. Eine weitere Einschränkung gibt es für die Basisvektoren nicht. | |
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| − | + | *Die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ spannt ebenfalls einen Untervektorraum von ${\rm GF}(2^n)$ auf. Dieser hat aber die Dimension $m = n - k$ und ist orthogonal zum Untervektorraum, der auf $\mathbf{G}$ basiert. | |
| − | + | *Bei einem linearen Code gilt $\underline{x} = \underline{u} · \boldsymbol{ {\rm G}}$, wobei $\underline{u} = (u_{1}, \, u_{2}, \, \text{...} \, , \, u_{k})$ das Informationswort angibt. Ein systematischer Code liegt vor, wenn $x_{1} = u_{1}, \, \text{...} \, , \, x_{k} = u_{k}$ gilt. | |
| − | * | + | *Bei einem systematischen Code besteht ein einfacher Zusammenhang zwischen $\mathbf{G}$ und $\mathbf{H}$. Nähere Angaben hierzu finden Sie im [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Systematische_Codes|"Theorieteil"]]. |
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| + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|"Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes"]]. | ||
| − | + | * Für die gesamte Aufgabe gilt $n = 6$. | |
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| − | + | *In der Teilaufgabe '''(4)''' soll geklärt werden, welche der Matrizen $\boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm A}, \ \boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm B}$ bzw. $ \boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm C}$ zu einem $(6, \, 3)$–Blockcode mit den nachfolgend aufgeführten Codeworten führen: | |
| − | * Für die gesamte Aufgabe gilt $n = 6$. In der Teilaufgabe (4) soll geklärt werden, welche der Matrizen $\boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm A}, \ \boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm B}$ bzw. $ \boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm C}$ zu einem $(6, \, 3)$–Blockcode mit den nachfolgend aufgeführten Codeworten führen: | ||
| − | :$$ | + | :$$ ( 0, 0, 0, 0, 0, 0), \hspace{0.1cm}(0, 0, 1, 0, 1, 1), \hspace{0.3cm}(0, 1, 0, 1, 0, 1), \hspace{0.3cm}(0, 1, 1, 1, 1, 0), \hspace{0.3cm} ( 1, 0, 0, 1, 1, 0), \hspace{0.3cm}(1, 0, 1, 1, 0, 1), \hspace{0.3cm}(1, 1, 0, 0, 1, 1), \hspace{0.3cm}(1, 1, 1, 0, 0, 0)\hspace{0.05cm}.$$ |
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | {Bekannt sind nur die zwei Codeworte $(0, 1, 0, 1, 0, 1)$ und $(1, 0, 0, 1, 1, 0)$ eines linearen Codes. Welche Aussagen sind zutreffend? | + | {Bekannt sind nur die zwei Codeworte $(0, 1, 0, 1, 0, 1)$ und $(1, 0, 0, 1, 1, 0)$ eines linearen Codes. Welche Aussagen sind zutreffend? |
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| − | - Es könnte sich um einen $(5, \, 2)$–Code handeln. | + | - Es könnte sich um einen $(5, \, 2)$–Code handeln. |
| − | + Es könnte sich um einen $(6, \, 2)$–Code handeln. | + | + Es könnte sich um einen $(6, \, 2)$–Code handeln. |
| − | + Es könnte sich um einen $(6, \, 3)$–Code handeln. | + | + Es könnte sich um einen $(6, \, 3)$–Code handeln. |
| − | {Wie lauten die Codeworte des linearen $(6, \, 2)$–Codes explizit? | + | {Wie lauten die vier Codeworte des linearen $(6, \, 2)$–Codes explizit? |
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- $(0 0 1 0 1 1), \ (0 1 0 1 0 1), \ (1 0 0 1 1 0), \ (1 1 0 0 1 1).$ | - $(0 0 1 0 1 1), \ (0 1 0 1 0 1), \ (1 0 0 1 1 0), \ (1 1 0 0 1 1).$ | ||
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| − | {Welche Aussagen gelten für diesen $(6, \, 2)$–Code $C$? | + | {Welche Aussagen gelten für diesen $(6, \, 2)$–Code $C$? |
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| − | + Für alle Codeworte $(i = 1, ... , 4)$ gilt $\underline{x}_{i} \in {\rm GF}(2^6)$. | + | + Für alle Codeworte $(i = 1,\hspace{0.05cm} \text{ ...} \ , 4)$ gilt $\underline{x}_{i} \in {\rm GF}(2^6)$. |
| − | + $C$ ist ein | + | + $C$ ist ein zweidimensionaler linearer Untervektorraum von ${\rm GF}(2^6)$. |
| − | + $\mathbf{G}$ gibt Basisvektoren dieses Untervektorraumes $GF | + | + $\mathbf{G}$ gibt Basisvektoren dieses Untervektorraumes ${\rm GF} (2^2)$ an. |
| − | - $\mathbf{G}$ und $\mathbf{H}$ sind jeweils $2×6$–Matrizen. | + | - $\mathbf{G}$ und $\mathbf{H}$ sind jeweils $2×6$–Matrizen. |
| − | {Welche der Generatormatrizen | + | {Welche der in der Grafik angegebenen Generatormatrizen führen zu einem $(6, \, 3)$–Code? |
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| − | + Generatormatrix $\boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm A}$, | + | + Die Generatormatrix $\boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm A}$, |
| − | + Generatormatrix $\boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm B}$, | + | + die Generatormatrix $\boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm B}$, |
| − | - Generatormatrix $\boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm C}$. | + | - die Generatormatrix $\boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm C}$. |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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| − | '''(1)''' Die Codewortlänge ist $n = $6 ⇒ der $(5, \, 2)$–Code kommt nicht in Frage. Bei einem $(6, \, 2)$–Code gibt es $2^2 = 4$ verschiedene Codeworte und beim $(6, \, 3)$–Code entsprechend $2^3 = 8$. Durch die Angabe von zwei Codeworten lässt sich weder der $(6, \, 2)$ | + | '''(1)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>: |
| + | *Die Codewortlänge ist $n = $6 ⇒ der $(5, \, 2)$–Code kommt nicht in Frage. | ||
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| + | *Bei einem $(6, \, 2)$–Code gibt es $2^2 = 4$ verschiedene Codeworte und beim $(6, \, 3)$–Code entsprechend $2^3 = 8$. | ||
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| + | *Durch die Angabe von nur zwei Codeworten lässt sich weder der $(6, \, 2)$–Code noch der $(6, \, 3)$–Code ausschließen. | ||
| − | '''(2)''' Da es sich um einen linearen Code handelt, muss die Modulo–$2$–Summe | + | |
| − | :$$(0, 1, 0, 1, 0, 1) \oplus (1, 0, 0, 1, 1, 0) = (1, 1, 0, 0, 1, 1)$$ | + | '''(2)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: |
| − | + | *Da es sich um einen linearen Code handelt, muss die Modulo–$2$–Summe ebenfalls ein gültiges Codewort sein: | |
| + | :$$(0, 1, 0, 1, 0, 1) \oplus (1, 0, 0, 1, 1, 0) = (1, 1, 0, 0, 1, 1)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | *Ebenso das Nullwort: | ||
:$$(0, 1, 0, 1, 0, 1) \oplus (0, 1, 0, 1, 0, 1) = (0, 0, 0, 0, 0, 0)\hspace{0.05cm}.$$ | :$$(0, 1, 0, 1, 0, 1) \oplus (0, 1, 0, 1, 0, 1) = (0, 0, 0, 0, 0, 0)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| − | '''(3)''' Richtig sind hier die <u>Aussagen 1 bis 3</u> | + | |
| + | '''(3)''' Richtig sind hier die <u>Aussagen 1 bis 3</u>: | ||
| + | *Basisvektoren der Generatormatrix $\mathbf{G}$ sind zum Beispiel die zwei gegebenen Codeworte, woraus sich auch die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ bestimmen lässt: | ||
:$${ \boldsymbol{\rm G}}_{(6,\hspace{0.05cm} 2)} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{(6,\hspace{0.05cm} 2)} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &0 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &0 &0 &1 &0\\ 0 &1 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$ | :$${ \boldsymbol{\rm G}}_{(6,\hspace{0.05cm} 2)} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{(6,\hspace{0.05cm} 2)} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &0 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &0 &0 &1 &0\\ 0 &1 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | *Allgemein wird durch die $k$ Basisvektoren der Generatormatrix $\mathbf{G}$ ein $k$–dimensionaler Untervektorraum aufgespannt und durch die $m×n$–Matrix $\mathbf{H}$ (mit $m = n - k)$ ein hierzu orthogonaler Untervektorraum der Dimension $m$. | ||
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| + | <u>Anmerkung:</u> Der hier angegebene Code | ||
| + | :$$\mathcal{C}_{(6,\hspace{0.05cm} 2)} = \{ (0, 0, 0, 0, 0, 0), \hspace{0.3cm}(0, 1, 0, 1, 0, 1),\hspace{0.3cm} (1, 0, 0, 1, 1, 0), \hspace{0.3cm}(1, 1, 0, 0, 1, 1) \}$$ | ||
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| + | ist nicht sonderlich effektiv, da $p_{1} = x_{3}$ stets $0$ ist. Durch Punktierung dieses redundanten Bits kommt man zum Code | ||
| + | :$$\mathcal{C}_{(5,\hspace{0.05cm} 2)} = \{ (0, 0, 0, 0, 0), \hspace{0.3cm}(0, 1, 1, 0, 1),\hspace{0.3cm} (1, 0, 1, 1, 0), \hspace{0.3cm}(1, 1, 0, 1, 1) \}$$ | ||
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| + | mit gleicher Minimaldistanz $d_{\rm min} = 3$, aber größerer Coderate $R = 2/5$ gegenüber $R = 1/3$. | ||
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| − | + | '''(4)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>: | |
| + | *Die drei Zeilen $g_1, \ g_2$ und $g_3$ der Matrix $\mathbf{G}_{\rm A}$ sind als Basisvektoren geeignet, da sie linear unabhängig sind, das heißt, es gilt | ||
| + | :$$\underline{g}_1 \oplus \underline{g}_2 \hspace{-0.15cm} \ \ne \ \hspace{-0.15cm} \underline{g}_3\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} | ||
| + | \underline{g}_1 \oplus \underline{g}_3 \hspace{-0.15cm} \ \ne \ \hspace{-0.15cm} \underline{g}_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} | ||
| + | \underline{g}_2 \oplus \underline{g}_3 \hspace{-0.15cm} \ \ne \ \hspace{-0.15cm} \underline{g}_1\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | *Gleiches gilt für Matrix $\mathbf{G}_{\rm B}$. Die Basisvektoren sind hier so gewählt, dass der Code auch systematisch ist. | ||
| − | + | *Für die letzte Generatormatrix gilt: $\underline{g}_{1}⊕\underline{g}_{2} = \underline{g}_{3}$ ⇒ der Rang der Matrix $(2)$ ist kleiner als deren Ordnung $(3)$. | |
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| − | + | *Hier führt nicht nur $\underline{u} = (0, 0, 0)$ zum Codewort $(0, 0, 0, 0, 0, 0)$, sondern auch $\underline{u} = (1, 1, 1)$. | |
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Aktuelle Version vom 12. Juli 2022, 11:54 Uhr
Betrachtete Generatormatrizen
Wir betrachten nun verschiedene Binärcodes einheitlicher Länge $n$. Alle Codes der Form
- $$\underline{x} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} ( x_1, x_2, \ \text{...} \ \hspace{0.05cm}, x_n) \hspace{0.5cm}\text{mit} \hspace{0.5cm} x_i \hspace{-0.15cm}\ \in \ \hspace{-0.15cm} \{ 0, 1 \},\hspace{0.2cm} i = 1, \hspace{0.05cm} \text{...} \ \hspace{0.05cm}, n$$
lassen sich in einem $n$–dimensionalen Vektorraum darstellen und interpretieren ⇒ ${\rm GF}(2^n)$.
Durch eine $k×n$–Generatormatrix $\mathbf{G}$ $($also eine Matrix mit $k$ Zeilen und $n$ Spalten$)$ ergibt sich ein $(n, \, k)$–Code, allerdings nur dann, wenn der "Rang" $($englisch: "Rank") der Matrix $\mathbf{G}$ ebenfalls gleich $k$ ist. Weiter gilt:
- Jeder Code $\mathcal{C}$ spannt einen $k$–dimensionalen linearen Untervektorraum des Galoisfelds ${\rm GF}(2^n)$ auf.
- Als Basisvektoren dieses Untervektorraums können $k$ unabhängige Codeworte von $\mathcal{C}$ verwendet werden. Eine weitere Einschränkung gibt es für die Basisvektoren nicht.
- Die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ spannt ebenfalls einen Untervektorraum von ${\rm GF}(2^n)$ auf. Dieser hat aber die Dimension $m = n - k$ und ist orthogonal zum Untervektorraum, der auf $\mathbf{G}$ basiert.
- Bei einem linearen Code gilt $\underline{x} = \underline{u} · \boldsymbol{ {\rm G}}$, wobei $\underline{u} = (u_{1}, \, u_{2}, \, \text{...} \, , \, u_{k})$ das Informationswort angibt. Ein systematischer Code liegt vor, wenn $x_{1} = u_{1}, \, \text{...} \, , \, x_{k} = u_{k}$ gilt.
- Bei einem systematischen Code besteht ein einfacher Zusammenhang zwischen $\mathbf{G}$ und $\mathbf{H}$. Nähere Angaben hierzu finden Sie im "Theorieteil".
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes".
- Für die gesamte Aufgabe gilt $n = 6$.
- In der Teilaufgabe (4) soll geklärt werden, welche der Matrizen $\boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm A}, \ \boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm B}$ bzw. $ \boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm C}$ zu einem $(6, \, 3)$–Blockcode mit den nachfolgend aufgeführten Codeworten führen:
- $$ ( 0, 0, 0, 0, 0, 0), \hspace{0.1cm}(0, 0, 1, 0, 1, 1), \hspace{0.3cm}(0, 1, 0, 1, 0, 1), \hspace{0.3cm}(0, 1, 1, 1, 1, 0), \hspace{0.3cm} ( 1, 0, 0, 1, 1, 0), \hspace{0.3cm}(1, 0, 1, 1, 0, 1), \hspace{0.3cm}(1, 1, 0, 0, 1, 1), \hspace{0.3cm}(1, 1, 1, 0, 0, 0)\hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:
- Die Codewortlänge ist $n = $6 ⇒ der $(5, \, 2)$–Code kommt nicht in Frage.
- Bei einem $(6, \, 2)$–Code gibt es $2^2 = 4$ verschiedene Codeworte und beim $(6, \, 3)$–Code entsprechend $2^3 = 8$.
- Durch die Angabe von nur zwei Codeworten lässt sich weder der $(6, \, 2)$–Code noch der $(6, \, 3)$–Code ausschließen.
(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:
- Da es sich um einen linearen Code handelt, muss die Modulo–$2$–Summe ebenfalls ein gültiges Codewort sein:
- $$(0, 1, 0, 1, 0, 1) \oplus (1, 0, 0, 1, 1, 0) = (1, 1, 0, 0, 1, 1)\hspace{0.05cm}.$$
- Ebenso das Nullwort:
- $$(0, 1, 0, 1, 0, 1) \oplus (0, 1, 0, 1, 0, 1) = (0, 0, 0, 0, 0, 0)\hspace{0.05cm}.$$
(3) Richtig sind hier die Aussagen 1 bis 3:
- Basisvektoren der Generatormatrix $\mathbf{G}$ sind zum Beispiel die zwei gegebenen Codeworte, woraus sich auch die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ bestimmen lässt:
- $${ \boldsymbol{\rm G}}_{(6,\hspace{0.05cm} 2)} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{(6,\hspace{0.05cm} 2)} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &0 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &0 &0 &1 &0\\ 0 &1 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
- Allgemein wird durch die $k$ Basisvektoren der Generatormatrix $\mathbf{G}$ ein $k$–dimensionaler Untervektorraum aufgespannt und durch die $m×n$–Matrix $\mathbf{H}$ (mit $m = n - k)$ ein hierzu orthogonaler Untervektorraum der Dimension $m$.
Anmerkung: Der hier angegebene Code
- $$\mathcal{C}_{(6,\hspace{0.05cm} 2)} = \{ (0, 0, 0, 0, 0, 0), \hspace{0.3cm}(0, 1, 0, 1, 0, 1),\hspace{0.3cm} (1, 0, 0, 1, 1, 0), \hspace{0.3cm}(1, 1, 0, 0, 1, 1) \}$$
ist nicht sonderlich effektiv, da $p_{1} = x_{3}$ stets $0$ ist. Durch Punktierung dieses redundanten Bits kommt man zum Code
- $$\mathcal{C}_{(5,\hspace{0.05cm} 2)} = \{ (0, 0, 0, 0, 0), \hspace{0.3cm}(0, 1, 1, 0, 1),\hspace{0.3cm} (1, 0, 1, 1, 0), \hspace{0.3cm}(1, 1, 0, 1, 1) \}$$
mit gleicher Minimaldistanz $d_{\rm min} = 3$, aber größerer Coderate $R = 2/5$ gegenüber $R = 1/3$.
(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:
- Die drei Zeilen $g_1, \ g_2$ und $g_3$ der Matrix $\mathbf{G}_{\rm A}$ sind als Basisvektoren geeignet, da sie linear unabhängig sind, das heißt, es gilt
- $$\underline{g}_1 \oplus \underline{g}_2 \hspace{-0.15cm} \ \ne \ \hspace{-0.15cm} \underline{g}_3\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} \underline{g}_1 \oplus \underline{g}_3 \hspace{-0.15cm} \ \ne \ \hspace{-0.15cm} \underline{g}_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} \underline{g}_2 \oplus \underline{g}_3 \hspace{-0.15cm} \ \ne \ \hspace{-0.15cm} \underline{g}_1\hspace{0.05cm}.$$
- Gleiches gilt für Matrix $\mathbf{G}_{\rm B}$. Die Basisvektoren sind hier so gewählt, dass der Code auch systematisch ist.
- Für die letzte Generatormatrix gilt: $\underline{g}_{1}⊕\underline{g}_{2} = \underline{g}_{3}$ ⇒ der Rang der Matrix $(2)$ ist kleiner als deren Ordnung $(3)$.
- Hier führt nicht nur $\underline{u} = (0, 0, 0)$ zum Codewort $(0, 0, 0, 0, 0, 0)$, sondern auch $\underline{u} = (1, 1, 1)$.
