Signaldarstellung/Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 6. Mai 2021, 11:53 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Definition im Frequenzbereich
2 Allgemeingültige Berechnungsvorschrift im Zeitbereich
3 Darstellung mit der Hilberttransformation
4 Zeigerdiagrammdarstellung der harmonischen Schwingung
5 Zeigerdiagramm einer Summe harmonischer Schwingungen
6 Aufgaben zum Kapitel

Definition im Frequenzbereich

Wir betrachten ein reelles bandpassartiges Signal $x(t)$ mit dem dazugehörigen Bandpass–Spektrum $X(f)$, das bezüglich des Frequenznullpunktes einen geraden Real– und einen ungeraden Imaginärteil besitzt. Es wird vorausgesetzt, dass die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ sehr viel größer als die Bandbreite des Bandpass–Signals $x(t)$ ist.

$\text{Definition:}$ Das zum physikalischen Signal $x(t)$ gehörige $\text{analytische Signal}$ $x_+(t)$ ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:

Analytisches Signal im Frequenzbereich

$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$

Die so genannte $\text{Signumfunktion}$ ist dabei für positive Frequenzwerte gleich $+1$ und für negative $f$–Werte gleich $-1$.

Der (beidseitige) Grenzwert liefert $\sign(0) = 0$.
Der Index „+” soll deutlich machen, dass $X_+(f)$ nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt.

Aus der Grafik erkennt man die Berechnungsvorschrift für $X_+(f)$:

Das tatsächliche Bandpass–Spektrum $X(f)$ wird

bei den positiven Frequenzen verdoppelt, und
bei den negativen Frequenzen zu Null gesetzt.

Spektrum $X(f)$ und Spektrum $X_{+}(f)$ des analytischen Signals

$\text{Beispiel 1:}$

Die Grafik zeigt

links das diskrete und komplexe Spektrum $X(f)$ des Bandpass–Signals

$$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 2 \pi f_{\rm u} \hspace{0.03cm}t) + 6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\sin} ( 2 \pi f_{\rm o} \hspace{0.03cm}t),$$

rechts das (ebenfalls diskrete, komplexe) Spektrum des analytischen Signals $x_{+}(t)$.

Allgemeingültige Berechnungsvorschrift im Zeitbereich

Zur anschaulichen Erklärung des analytischen Signals

Wir betrachten nun das Spektrum $X_+(f)$ des analytischen Signals etwas genauer und teilen dieses in einen bezüglich $f = 0$ geraden Anteil $X_{\rm +g}(f)$ und einen ungeraden Anteil $X_{\rm +u}(f)$ auf:

$$X_+(f) = X_{\rm +g}(f) + X_{\rm +u}(f).$$

Alle diese Spektren sind im allgemeinen komplex.

Berücksichtigt man den Zuordnungssatz der Fouriertransformation, so sind anhand der Grafik folgende Aussagen möglich:

Der gerade Anteil $X_{\rm +g}(f)$ von $X_{+}(f)$ führt nach der Fouriertransformation zu einem reellen Zeitsignal, der ungerade Anteil $X_{\rm +u}(f)$ zu einem imaginären.
Es ist offensichtlich, dass $X_{\rm +g}(f)$ gleich dem tatsächlichen Fourierspektrum $X(f)$ und damit der Realteil von $x_{\rm +g}(t)$ gleich dem vorgegebenen Signal $x(t)$ mit Bandpasseigenschaften ist.
Bezeichnen wir den Imaginärteil mit $y(t)$, so lautet das analytische Signal:

$$x_+(t)= x(t) + {\rm j} \cdot y(t) .$$

Nach den allgemein gültigen Gesetzen der Fouriertransformation entsprechend dem Zuordnungssatz gilt somit für die Spektralfunktion des Imaginärteils:

$${\rm j} \cdot Y(f) = X_{\rm +u}(f)= {\rm sign}(f) \cdot X(f) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}Y(f) = \frac{{\rm sign}(f)}{ {\rm j}}\cdot X(f).$$

Transformiert man diese Gleichung in den Zeitbereich, so wird aus der Multiplikation die Faltungsoperation, und man erhält:

$$y(t) = \frac{1}{ {\rm \pi} t} \hspace{0.05cm}\star \hspace{0.05cm}x(t) = \frac{1}{ {\rm \pi}} \cdot \hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t - \tau}}\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$

Darstellung mit der Hilberttransformation

An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen, die im Buch Lineare zeitinvariante Systeme genauer behandelt wird.

$\text{Definition:}$ Für die $\text{Hilberttransformierte}$ $ {\rm H}\left\{x(t)\right\}$ einer Zeitfunktion $x(t)$ gilt:

$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{ {\rm \pi} } \cdot \hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t - \tau} }\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$

Dieses bestimmte Integral ist nicht auf einfache, herkömmliche Art lösbar, sondern muss mit Hilfe des Cauchy–Hauptwertsatzes ausgewertet werden.

Entsprechend gilt im Frequenzbereich:

$$Y(f) = - {\rm j} \cdot {\rm sign}(f) \cdot X(f) \hspace{0.05cm} .$$

Das Ergebnis der letzten Seite lässt sich mit dieser Definition wie folgt zusammenfassen:

Man erhält aus dem realen, physikalischen Bandpass–Signal $x(t)$ das analytische Signal $x_+(t)$, indem man zu $x(t)$ einen Imaginärteil entsprechend der Hilberttransformierten hinzufügt:

$$x_+(t) = x(t)+{\rm j} \cdot {\rm H}\left\{x(t)\right\} .$$

Die Hilberttransformierte $\text{H}\{x(t)\}$ verschwindet nur für den Fall $x(t) = \rm const.$ ⇒ Gleichsignal. Bei allen anderen Signalformen ist das analytische Signal $x_+(t)$ somit stets komplex.
Aus dem analytischen Signal $x_+(t)$ kann das physikalisch Bandpass–Signal in einfacher Weise durch Realteilbildung ermittelt werden:

$$x(t) = {\rm Re}\left\{x_+(t)\right\} .$$

$\text{Beispiel 2:}$ Das Prinzip der Hilbert–Transformation wird durch die folgende Grafik nochmals verdeutlicht:

Nach der linken Darstellung $\rm (A)$ kommt man vom physikalischen Signal $x(t)$ zum analytischen Signal $x_+(t)$, indem man einen Imaginärteil ${\rm j} \cdot y(t)$ hinzufügt.
$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$ ist eine reelle Funktion, die sich am einfachsten im Spektralbereich durch Multiplikation des Spektrums $X(f)$ mit $- {\rm j} \cdot \sign(f)$ angeben lässt.

Zur Verdeutlichung der Hilbert–Transformierten

Die rechte Darstellung $\rm (B)$ ist äquivalent zu $\rm (A)$:

Mit der imaginären Funktion $z(t)$ erhält man:

$$x_+(t) = x(t) + z(t).$$

Ein Vergleich beider Darstellungen zeigt, dass tatsächlich gilt:

$$z(t) = {\rm j} \cdot y(t).$$

Zeigerdiagrammdarstellung der harmonischen Schwingung

Die Spektralfunktion $X(f)$ einer harmonischen Schwingung $x(t) = A \cdot \text{cos}(2\pi f_{\rm T}t - \varphi)$ besteht bekanntlich aus zwei Diracfunktionen bei den Frequenzen

$+f_{\rm T}$ mit dem komplexen Gewicht $A/2 \cdot \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$,
$-f_{\rm T}$ mit dem komplexen Gewicht $A/2 \cdot \text{e}^{+\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$.

Somit lautet das Spektrum des analytischen Signals $($also ohne die Diracfunktion bei der Frequenz $f =-f_{\rm T})$:

$$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm T}) .$$

Die dazugehörige Zeitfunktion erhält man durch Anwendung des Verschiebungssatzes:

$$x_+(t) = A \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}( 2 \pi f_{\rm T} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$

Diese Gleichung beschreibt einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$ drehenden Zeiger.

Im Folgenden bezeichnen wir den zeitlichen Verlauf eines analytischen und frequenzdikreten Signals $x_+(t)$ auch als $\text{Zeigerdiagramm}$.

$\text{Beispiel 3:}$ Aus Darstellungsgründen ist in der folgenden Grafik das Koordinatensystem entgegen der üblichen Darstellung um $90^\circ$ nach links gedreht
(Realteil nach oben, Imaginärteil nach links).

Zeigerdiagramm einer harmonischen Schwingung

Anhand dieser Grafik sind folgende Aussagen möglich:

Zum Startzeitpunkt $t = 0$ liegt der Zeiger der Länge $A$ (Amplitude) mit dem Winkel $-\varphi$ in der komplexen Ebene. Im gezeichneten Beispiel gilt $\varphi = 45^\circ$.
Für Zeiten $t > 0$ dreht der Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz) $\omega_{\rm T}$ in mathematisch positiver Richtung, das heißt entgegen dem Uhrzeigersinn.
Die Spitze des Zeigers liegt somit stets auf einem Kreis mit Radius $A$ und benötigt für eine Umdrehung genau die Zeit $T_0$, also die Periodendauer der harmonischen Schwingung $x(t)$.
Die Projektion des analytischen Signals $x_+(t)$ auf die reelle Achse, durch rote Punkte markiert, liefert die Augenblickswerte von $x(t)$.

Zeigerdiagramm einer Summe harmonischer Schwingungen

Für die weitere Beschreibung gehen wir für das analytische Signal von folgendem diskretem Spektrum aus:

Zeigerdiagramm eines Verbundes aus drei harmonischen Schwingungen

$$X_+(f) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \varphi_i}\cdot\delta (f - f_{i}) .$$

Das linke Bild zeigt ein solches Spektrum für das Beispiel $I = 3$. Wählt man $I$ relativ groß und den Abstand zwischen benachbarten Spektrallinien entsprechend klein, so können mit obiger Gleichung auch (frequenz–) kontinuierliche Spektralfunktionen $X_+(f)$ angenähert werden.

Im rechten Bild ist die dazugehörige Zeitfunktion angedeutet. Diese lautet allgemein:

$$x_+(t) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}(\omega_i \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi_i)}.$$

Zu dieser Grafik anzumerken:

Die Skizze zeigt die Ausgangslage der Zeiger zum Startzeitpunkt $t = 0$ entsprechend den Amplituden $A_i$ und den Phasenlagen $\varphi_i$.
Die Spitze des resultierenden Zeigerverbundes ist durch das violette Kreuz markiert. Man erhält durch vektorielle Addition der drei Einzelzeiger für den Zeitpunkt $t = 0$:

$$x_+(t= 0) = \big [1 \cdot \cos(60^\circ) - 1 \cdot {\rm j} \cdot \sin(60^\circ) \big ]+ 2 \cdot \cos(0^\circ)+1 \cdot \cos(180^\circ) = 1.500 - {\rm j} \cdot 0.866.$$

Für Zeiten $t > 0$ drehen die drei Zeiger mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten $\omega_i = 2\pi f_i$. Der rote Zeiger dreht schneller als der grüne, aber langsamer als der blaue Zeiger.
Da alle Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn drehen, wird sich auch der resultierende Zeiger $x_+(t)$ tendenziell in diese Richtung bewegen. Zum Zeitpunkt $t = 1\,µ\text {s}$ liegt die Spitze des resultierenen Zeigers für die gegebenen Parameterwerte bei

$$ \begin{align*}x_+(t = 1 {\rm \hspace{0.05cm}µ s}) & = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}60^\circ}\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}40 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} + 2\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}50 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001}- 1\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}60 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} = \\ & = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}45.6^\circ} + 2\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}18^\circ}- 1\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}21.6^\circ} \approx 1.673- {\rm j} \cdot 0.464.\end{align*}$$

Die resultierende Zeigerspitze liegt nun aber nicht wie bei einer einzigen Schwingung auf einem Kreis, sondern es entsteht eine komplizierte geometrische Figur.

Das interaktive Applet Physikalisches Signal & Analytisches Signal verdeutlicht $x_+(t)$ für die Summe dreier harmonischer Schwingungen.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 4.3: Zeigerdiagrammdarstellung

Aufgabe 4.3Z: Hilbert-Transformator

Aufgabe 4.4: Zeigerdiagramm bei ZSB-AM

Aufgabe 4.4Z: Zeigerdiagramm bei ESB-AM

@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
 ==Definition im Frequenzbereich==
+<br>
+Wir betrachten ein reelles bandpassartiges Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit dem dazugehörigen Bandpass–Spektrum&nbsp; $X(f)$,&nbsp; das bezüglich des Frequenznullpunktes einen geraden Real– und einen ungeraden Imaginärteil besitzt.&nbsp; Es wird vorausgesetzt, dass die Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; sehr viel größer als die Bandbreite des Bandpass–Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist.
-Wir betrachten ein reelles bandpassartiges Signal $x(t)$ mit dem dazugehörigen BP–Spektrum $X(f)$, das bezüglich des Frequenznullpunktes einen geraden Real– und einen ungeraden Imaginärteil besitzt. Es wird vorausgesetzt, dass die Trägerfrequenz $f_T$ sehr viel größer als die Bandbreite des BP–Signals $x(t)$ ist.
+{{BlaueBox|TEXT=
+$\text{Definition:}$&nbsp; Das zum physikalischen Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; gehörige&nbsp; $\text{analytische Signal}$&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:
+[[Datei:Sig_T_4_2_S1a_Version2.png|right|frame|Analytisches Signal im Frequenzbereich]]
+:$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot
+X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$
-{{Definition}}
+Die so genannte $\text{Signumfunktion}$ ist dabei für positive Frequenzwerte gleich&nbsp; $+1$&nbsp; und für negative&nbsp; $f$–Werte gleich&nbsp; $-1$.
-Das zum physikalischen Signal $x(t)$ gehörige '''analytische Signal''' $x_+(t)$ ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:
+*Der (beidseitige) Grenzwert liefert&nbsp; $\sign(0) = 0$.
+*Der Index „+” soll deutlich machen, dass&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt.
-$$X_+(f)=\left[1+{\rm sign}(f)\right] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot
-X(f) \; \rm f\ddot{u}r\; {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\; {\it f} < 0.}}\right.$$
-Die so genannte '''Signumfunktion''' ist dabei für positive Werte von $f$ gleich +1 und für negative $f$–Werte gleich –1. Der (beidseitige) Grenzwert liefert sign(0) = 0.
-{{end}}
+Aus der Grafik erkennt man die Berechnungsvorschrift für&nbsp; $X_+(f)$:
+Das tatsächliche Bandpass–Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; wird
-Aus der Abbildung erkennt man die Berechnungsvorschrift für $X_+(f)$: Das tatsächliche BP–Spektrum $X(f)$ wird
 *bei den positiven Frequenzen verdoppelt, und
-*bei den negativen Frequenzen zu Null gesetzt.
+*bei den negativen Frequenzen zu Null gesetzt.}}
-Der Index „+” soll deutlich machen, dass $X_+(f)$ nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt.
+<br clear=all>
+[[Datei:P_ID711__Sig_T_4_2_S1b_neu.png|right|frame|Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; und Spektrum&nbsp; $X_{+}(f)$&nbsp; des analytischen Signals]]
+{{GraueBox|TEXT=
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
-{{Beispiel}}
+Die Grafik zeigt
-Das nachfolgende Bild zeigt links das (komplexe) Spektrum $X(f)$ des BP–Signals
+*links das diskrete und komplexe Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; des Bandpass–Signals
-$$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V}
+:$$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V}
   \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_{\rm u} \hspace{0.03cm}t) + 6\hspace{0.05cm}{\rm V}
-  \cdot  {\sin} ( 2 \pi f_{\rm o} \hspace{0.03cm}t).$$
+  \cdot  {\sin} ( 2 \pi f_{\rm o} \hspace{0.03cm}t),$$
-Rechts daneben ist das Spektrum des dazugehörigen analytischen Signals dargestellt.
+*rechts das  (ebenfalls diskrete, komplexe)  Spektrum des analytischen Signals&nbsp; $x_{+}(t)$.
-{{end}}
+}}
 ==Allgemeingültige Berechnungsvorschrift im Zeitbereich==
+<br>
+[[Datei:Sig_T_4_2_S2a_Version2.png|right|frame|Zur anschaulichen Erklärung des analytischen Signals]]
+Wir betrachten nun das Spektrum&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; des analytischen Signals etwas genauer und teilen dieses in einen bezüglich&nbsp; $f = 0$&nbsp; geraden  Anteil&nbsp; $X_{\rm +g}(f)$&nbsp; und einen ungeraden Anteil&nbsp; $X_{\rm +u}(f)$&nbsp; auf:
+:$$X_+(f) = X_{\rm +g}(f) + X_{\rm +u}(f).$$
+Alle diese Spektren sind im allgemeinen komplex.
-Wir betrachten nun das Spektrum $X_+(f)$ etwas genauer und teilen dieses in einen bezüglich $f$ = 0 geraden und einen ungeraden Anteil auf: $X_+(f) = X_{+g}(f) + X_{+u}(f)$. Alle diese Spektren sind im Allgemeinen komplex.
+Berücksichtigt man den&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatz]]&nbsp; der Fouriertransformation, so sind anhand der Grafik folgende Aussagen möglich:
+*Der gerade Anteil&nbsp; $X_{\rm +g}(f)$&nbsp; von&nbsp; $X_{+}(f)$&nbsp; führt nach der Fouriertransformation zu einem reellen Zeitsignal, der ungerade Anteil&nbsp; $X_{\rm +u}(f)$&nbsp; zu einem imaginären.
-Berücksichtigt man den Zuordnungssatz der Fouriertransformation, so sind anhand der Grafik folgende Aussagen möglich:
+*Es ist offensichtlich, dass&nbsp; $X_{\rm +g}(f)$&nbsp; gleich dem tatsächlichen Fourierspektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; und damit der Realteil von&nbsp; $x_{\rm +g}(t)$&nbsp; gleich dem vorgegebenen Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit Bandpasseigenschaften ist.
-*Der gerade Anteil $X_{+g}(f)$ von $X_{+}(f)$ führt nach der Fouriertransformation zu einem rein reellen Zeitsignal, der ungerade Anteil $X_{+u}(f)$ zu einem rein imaginären.
+*Bezeichnen wir den Imaginärteil mit&nbsp; $y(t)$, so lautet das analytische Signal:
-*Es ist offensichtlich, dass $X_{+g}(f)$ gleich dem tatsächlichen Fourierspektrum $X(f)$ und damit der Realteil von $x_{+g}(t)$ gleich dem vorgegebenen BP–Signal $x(t)$ ist.
+:$$x_+(t)= x(t) + {\rm j} \cdot y(t) .$$
-*Bezeichnen wir den Imaginärteil mit y(t), so lautet das analytische Signal:
+*Nach den allgemein gültigen Gesetzen der Fouriertransformation entsprechend dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatz]]&nbsp; gilt somit für die Spektralfunktion des Imaginärteils:
-$$x_+(t)= x(t) + {\rm j} \cdot y(t) .$$
+:$${\rm j} \cdot Y(f) = X_{\rm +u}(f)= {\rm sign}(f) \cdot X(f)
-*Nach den allgemein gültigen Gesetzen der Fouriertransformation entsprechend dem Kapitel 3.3 gilt somit für die Spektralfunktion des Imaginärteils:
+\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}Y(f) = \frac{{\rm
-$${\rm j} \cdot Y(f) = X_{\rm +u}(f)= {\rm sign}(f) \cdot X(f)
+sign}(f)}{ {\rm j}}\cdot X(f).$$
-\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}Y(f) = \frac{ {\rm
+*Transformiert man diese Gleichung in den Zeitbereich, so wird aus der Multiplikation die&nbsp; [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungsoperation]], und man erhält:
-sign}(f)}{{\rm j}}\cdot X(f).$$
+:$$y(t) = \frac{1}{ {\rm \pi} t} \hspace{0.05cm}\star
-*Transformiert man diese Gleichung in den Zeitbereich, so wird aus der Multiplikation die Faltungsoperation, und man erhält:
+\hspace{0.05cm}x(t) = \frac{1}{ {\rm \pi}} \cdot
-$$y(t) = \frac{1}{{\rm \pi} t} \hspace{0.05cm}\star
+\hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t -
-\hspace{0.05cm}x(t) = \frac{1}{{\rm \pi}} \cdot
-\hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{{t -
 \tau}}\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$
+==Darstellung mit der Hilberttransformation==
+<br>
+An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen, die im Buch&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Hilbert.E2.80.93Transformation|Lineare zeitinvariante Systeme]]&nbsp; genauer behandelt wird.
-An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen, die im Buch Lineare zeitvariante Systeme noch eingehend behandelt wird.
+{{BlaueBox|TEXT=
+$\text{Definition:}$&nbsp; Für die&nbsp; $\text{Hilberttransformierte}$&nbsp; $ {\rm H}\left\{x(t)\right\}$&nbsp; einer Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; gilt:
+:$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{ {\rm \pi} } \cdot
+\hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t -
+\tau} }\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$
-{{Definition}}
+*Dieses bestimmte Integral ist nicht auf einfache, herkömmliche Art lösbar, sondern muss mit Hilfe des&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Hauptwert Cauchy–Hauptwertsatzes]&nbsp; ausgewertet werden.
-Für die Hilberttransformierte H{ ... } einer Zeitfunktion $x(t)$ gilt:
-$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{{\rm \pi}} \cdot
-\hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{{t -
-\tau}}\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$
-Dieses bestimmte Integral ist nicht auf einfache, herkömmliche Art lösbar, sondern muss mit Hilfe des Cauchy–Hauptwertsatzes ausgewertet werden. Entsprechend gilt im Frequenzbereich:
+*Entsprechend gilt im Frequenzbereich:
-$$Y(f) = - {\rm j} \cdot {\rm sign}(f) \cdot X(f) \hspace{0.05cm} .$$
+:$$Y(f) = - {\rm j} \cdot {\rm sign}(f) \cdot X(f) \hspace{0.05cm} .$$}}
-{{end}}
 Das Ergebnis der letzten Seite lässt sich mit dieser Definition wie folgt zusammenfassen:
-*Man erhält aus dem realen, physikalischen BP–Signal $x(t)$ das analytische Signal $x_+(t)$, indem man zu $x(t)$ einen Imaginärteil entsprechend der Hilberttransformierten hinzufügt:
+*Man erhält aus dem realen, physikalischen Bandpass–Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; das analytische Signal&nbsp; $x_+(t)$,&nbsp; indem man zu&nbsp; $x(t)$&nbsp; einen Imaginärteil entsprechend der Hilberttransformierten hinzufügt:
-$$x_+(t) = x(t)+{\rm j} \cdot {\rm H}\left\{x(t)\right\} .$$
+:$$x_+(t) = x(t)+{\rm j} \cdot {\rm H}\left\{x(t)\right\} .$$
-*Die Hilberttransformierte $\text{H}\{x(t)\}$ verschwindet nur für das Gleichsignal $x(t)$ = const. Bei allen anderen Signalformen ist das analytische Signal $x_+(t)$ somit stets komplex.
+*Die Hilberttransformierte&nbsp; $\text{H}\{x(t)\}$&nbsp; verschwindet nur für den Fall&nbsp;  $x(t) = \rm const.$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Gleichsignal.&nbsp;  Bei allen anderen Signalformen ist das analytische Signal&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; somit stets komplex.
-*Aus dem analytischen Signal $x_+(t)$ kann das reale BP–Signal in einfacher Weise durch Realteilbildung ermittelt werden:
+*Aus dem analytischen Signal&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; kann das physikalisch Bandpass–Signal in einfacher Weise durch Realteilbildung ermittelt werden:
-$$x(t) = {\rm Re}\left\{x_+(t)\right\} .$$
+:$$x(t) = {\rm Re}\left\{x_+(t)\right\} .$$
-Das Prinzip der Hilbert–Transformation wird durch die untere Grafik nochmals verdeutlicht. Nach der linken Darstellung (A) kommt man vom physikalischen Signal x(t) zum analytischen Signal $x_+(t)$, indem man einen Imaginärteil j · $y(t)$ hinzufügt. Hierbei ist $y(t)$ = H[$x(t)$] eine reelle Zeitfunktion, die sich am einfachsten im Spektralbereich durch die Multiplikation des Spektrums $X(f)$ mit „–j · sign($f$)” angeben lässt.
+{{GraueBox|TEXT=
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Das Prinzip der Hilbert–Transformation wird durch die folgende Grafik nochmals verdeutlicht:
-Die rechte Darstellung (B) ist äquivalent zu (A). Nun gilt $x_+(t) = x(t) + z(t)$ mit der rein imaginären Funktion $z(t)$. Ein Vergleich der beiden Bilder zeigt, dass tatsächlich $z(t)$ = j · $y(t)$ ist.
+*Nach der linken Darstellung&nbsp; $\rm (A)$&nbsp; kommt man vom physikalischen Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; zum analytischen Signal&nbsp; $x_+(t)$, indem man einen Imaginärteil&nbsp; ${\rm j} \cdot y(t)$&nbsp; hinzufügt.
+*$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$&nbsp; ist eine reelle Funktion, die sich am einfachsten im Spektralbereich durch Multiplikation des Spektrums&nbsp; $X(f)$&nbsp; mit&nbsp; $- {\rm j} \cdot \sign(f)$&nbsp; angeben lässt.
+[[Datei:P_ID2729__Sig_T_4_2_S2b_neu.png|right|frame|Zur Verdeutlichung der Hilbert–Transformierten]]
+<br><br><br>
+Die rechte Darstellung&nbsp; $\rm (B)$&nbsp; ist äquivalent zu&nbsp; $\rm (A)$:
+*Mit der imaginären Funktion&nbsp; $z(t)$&nbsp; erhält man:
+:$$x_+(t) = x(t) + z(t).$$
+*Ein Vergleich beider Darstellungen zeigt, dass tatsächlich gilt:
+:$$z(t) = {\rm j} \cdot y(t).$$}}
 ==Zeigerdiagrammdarstellung der harmonischen Schwingung==
+<br>
+Die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; einer harmonischen Schwingung&nbsp; $x(t) = A \cdot \text{cos}(2\pi f_{\rm T}t - \varphi)$&nbsp; besteht bekanntlich aus zwei Diracfunktionen bei den Frequenzen
+* $+f_{\rm T}$&nbsp; mit dem komplexen Gewicht&nbsp; $A/2 \cdot \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$,
+* $-f_{\rm T}$&nbsp; mit dem komplexen Gewicht&nbsp; $A/2 \cdot \text{e}^{+\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$.
-Die Spektralfunktion $X(f)$ einer harmonischen Schwingung $x(t) = A \cdot \text{cos}(2\pi f_Tt - \phi)$ besteht bekanntlich aus zwei Diracfunktionen bei den Frequenzen
-* $+f_T$ mit dem komplexen Gewicht $A/2 \cdot \text{exp}(-\text{j}\cdot \phi)$,
-* $-f_T$ mit dem komplexen Gewicht $A/2 \cdot \text{exp}(+\text{j}\cdot \phi)$.
-Somit lautet das Spektrum des analytischen Signals:
+Somit lautet das Spektrum des analytischen Signals&nbsp; $($also ohne die Diracfunktion bei der Frequenz&nbsp; $f =-f_{\rm T})$:
-$$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm
+:$$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm
 T}) .$$
-Die dazugehörige Zeitfunktion erhält man durch Anwendung des Verschiebungssatzes:
+Die dazugehörige Zeitfunktion erhält man durch Anwendung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]:
-$$x_+(t) = A \cdot {\rm e}^{{\rm j}( 2 \pi f_{\rm T} t
+:$$x_+(t) = A \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}( 2 \pi f_{\rm T} t
 \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$
-Diese Gleichung beschreibt einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega_T = 2\pi f_T$ drehenden Zeiger. Aus Darstellungsgründen ist im folgenden Bild das Koordinatensystem entgegen der üblichen Darstellung um 90° nach links gedreht (Realteil nach oben, Imaginärteil nach links).
+Diese Gleichung beschreibt einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit&nbsp; $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$&nbsp; drehenden Zeiger.&nbsp;
+Im Folgenden bezeichnen wir den zeitlichen Verlauf eines analytischen und frequenzdikreten Signals&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; auch als&nbsp; $\text{Zeigerdiagramm}$.
+{{GraueBox|TEXT=
+$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Aus Darstellungsgründen ist in der folgenden Grafik das Koordinatensystem entgegen der üblichen Darstellung um&nbsp; $90^\circ$&nbsp; nach links gedreht <br>(Realteil nach oben, Imaginärteil nach links).
+[[Datei:P_ID712__Sig_T_4_2_S3.png|right|frame|Zeigerdiagramm einer harmonischen Schwingung]]
 Anhand dieser Grafik sind folgende Aussagen möglich:
-*Zum Startzeitpunkt $t$ = 0 liegt der Zeiger der Länge $A$ (Signalamplitude) mit dem Winkel $-\phi$ in der komplexen Ebene. Im gezeichneten Beispiel gilt $\phi$ = 45°.
+*Zum Startzeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; liegt der Zeiger der Länge&nbsp; $A$&nbsp; (Amplitude) mit dem Winkel&nbsp; $-\varphi$&nbsp; in der komplexen Ebene.&nbsp; Im gezeichneten Beispiel gilt&nbsp; $\varphi = 45^\circ$.
-*Für Zeiten $t$ > 0 dreht der Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz) $\omega_T$ in mathematisch positiver Richtung, das heißt entgegen dem Uhrzeigersinn.
+*Für Zeiten&nbsp; $t > 0$&nbsp; dreht der Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz)&nbsp; $\omega_{\rm T}$&nbsp; in mathematisch positiver Richtung, das heißt entgegen dem Uhrzeigersinn.
-*Die Spitze des Zeigers liegt somit stets auf einem Kreis mit Radius $A$ und benötigt für eine Umdrehung genau die Zeit $T_0$, also die Periodendauer.
+*Die Spitze des Zeigers liegt somit stets auf einem Kreis mit Radius&nbsp; $A$&nbsp; und benötigt für eine Umdrehung genau die Zeit&nbsp; $T_0$, also die Periodendauer der harmonischen Schwingung&nbsp; $x(t)$.
-*Die Projektion des analytischen Signals $x_+(t)$ auf die reelle Achse, durch rote Punkte markiert, liefert die Augenblickswerte des tatsächlichen, reellen BP–Signals $x(t)$.
+*Die Projektion des analytischen Signals&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; auf die reelle Achse, durch rote Punkte markiert, liefert die Augenblickswerte von&nbsp; $x(t)$.}}
 ==Zeigerdiagramm einer Summe harmonischer Schwingungen==
+<br>
+Für die weitere Beschreibung gehen wir  für das analytische Signal von folgendem diskretem Spektrum aus:
-Für die weitere Beschreibung gehen wir von folgendem Spektrum des analytischen Signals aus:
+[[Datei:P_ID715__Sig_T_4_2_S4.png|right|frame|Zeigerdiagramm eines Verbundes aus drei harmonischen Schwingungen]]
-$$X_+(f) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{-{\rm j}
+:$$X_+(f) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}
 \varphi_i}\cdot\delta (f - f_{i}) .$$
-Das linke Bild zeigt ein solches Spektrum für das Beispiel $I$ = 3. Wählt man $I$ relativ groß und den Abstand zwischen benachbarten Spektrallinien entsprechend klein, so können mit obiger Gleichung aber auch kontinuierliche Spektralfunktionen angenähert werden.
+Das linke Bild zeigt ein solches Spektrum für das Beispiel&nbsp; $I = 3$. Wählt man&nbsp; $I$&nbsp; relativ groß und den Abstand zwischen benachbarten Spektrallinien entsprechend klein, so können mit obiger Gleichung auch (frequenz&ndash;) kontinuierliche Spektralfunktionen&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; angenähert werden.
 Im rechten Bild ist die dazugehörige Zeitfunktion angedeutet. Diese lautet allgemein:
-$$x_+(t) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{{\rm j}(\omega_i
+:$$x_+(t) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}(\omega_i
-\cdot\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi_i)}.$$
+\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi_i)}.$$
-Zu dieser Grafik ist Folgendes anzumerken:
+Zu dieser Grafik anzumerken:
-*Die Skizze zeigt die Ausgangslage der Zeiger zum Startzeitpunkt $t$ = 0 entsprechend den Amplituden $A_i$ und Phasenlagen $\phi_i$.
+*Die Skizze zeigt die Ausgangslage der Zeiger zum Startzeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; entsprechend den Amplituden&nbsp; $A_i$&nbsp; und den Phasenlagen&nbsp; $\varphi_i$.
-*Die Spitze des resultierenden Zeigerverbundes ist durch das violette Kreuz markiert. Man erhält durch vektorielle Addition der drei Einzelzeiger für den Zeitpunkt $t$ = 0:
+*Die Spitze des resultierenden Zeigerverbundes ist durch das violette Kreuz markiert.&nbsp; Man erhält durch vektorielle Addition der drei Einzelzeiger für den Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$:
-$$x_+(t) = 1 \cdot \cos(60^\circ) - 1  \cdot {\rm j} \cdot \sin(60^\circ)+ 2 +1 \cdot \cos(180^\circ) = 1.500 - {\rm j} \cdot 0.866.$$
+:$$x_+(t= 0) = \big [1 \cdot \cos(60^\circ) - 1  \cdot {\rm j} \cdot \sin(60^\circ) \big ]+ 2 \cdot \cos(0^\circ)+1 \cdot \cos(180^\circ) = 1.500 - {\rm j} \cdot 0.866.$$
-*Für Zeiten $t$ > 0 drehen die drei Zeiger mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten $\omega_i = 2\pif_i$. Der rote Zeiger dreht schneller als der grüne, aber langsamer als der blaue Zeiger.
+*Für Zeiten&nbsp; $t > 0$&nbsp; drehen die drei Zeiger mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten&nbsp; $\omega_i = 2\pi f_i$.&nbsp; Der rote Zeiger dreht schneller als der grüne, aber langsamer als der blaue Zeiger.
-*Da alle Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn drehen, wird sich auch der resultierende Zeiger $x_+(t)$ tendenziell in diese Richtung bewegen. Zum Zeitpunkt $t$ = 1 μs liegt die Spitze des resultierenen Zeigers für die angegebenen Parameterwerte bei
+*Da alle Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn drehen, wird sich auch der resultierende Zeiger&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; tendenziell in diese Richtung bewegen.&nbsp; Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 1\,&micro;\text {s}$&nbsp; liegt die Spitze des resultierenen Zeigers für die gegebenen Parameterwerte bei
-$$ \begin{align*} x_+(t = 1 {\rm \hspace{0.05cm}\mu s}) & =  1 \cdot {\rm e}^{-{\rm
+:$$ \begin{align*}x_+(t = 1 {\rm \hspace{0.05cm}&micro; s}) & =  1 \cdot {\rm e}^{-{\rm
 j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}60^\circ}\cdot {\rm e}^{{\rm
 j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}40
@@ Zeile 141: / Zeile 168: @@
 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001}- 1\cdot {\rm e}^{{\rm
 j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}60
-\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} \\
+\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} = \\
 & =  1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot
 \hspace{0.05cm}45.6^\circ} + 2\cdot {\rm e}^{{\rm
@@ Zeile 147: / Zeile 174: @@
 e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}21.6^\circ} \approx
 .673- {\rm j} \cdot 0.464.\end{align*}$$
-*Die resultierende Zeigerspitze liegt nun aber nicht wie bei einer einzigen harmonischen Schwingung auf einem Kreis, sondern es entsteht eine komplizierte geometrische Figur.
+*Die resultierende Zeigerspitze liegt nun aber nicht wie bei einer einzigen Schwingung auf einem Kreis, sondern es entsteht eine komplizierte geometrische Figur.
-Das folgende Interaktionsmodul zeigt $x_+(t)$ für die Summe dreier harmonischer Schwingungen:
-Zeigerdiagramm – Darstellung des analytischen Signals
+Das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]&nbsp; verdeutlicht&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; für die Summe dreier harmonischer Schwingungen.
+==Aufgaben zum Kapitel==
+<br>
+[[Aufgaben:Aufgabe_4.3:_Zeigerdiagrammdarstellung|Aufgabe 4.3: Zeigerdiagrammdarstellung]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_4.3Z:_Hilbert-Transformator|Aufgabe 4.3Z: Hilbert-Transformator]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Zeigerdiagramm_bei_ZSB-AM|Aufgabe 4.4: Zeigerdiagramm bei ZSB-AM]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_4.4Z:_Zeigerdiagramm_bei_ESB-AM|Aufgabe 4.4Z: Zeigerdiagramm bei ESB-AM]]
-==Aufgaben zu Kapitel 4.2==