Aufgaben:Aufgabe 4.8Z: AWGN-Kanal: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Wir betrachten hier ein analoges Nachrichtensignal $s(t)$, dessen Amplitudenwerte gaußverteilt sind. | + | Wir betrachten hier ein analoges Nachrichtensignal $s(t)$, dessen Amplitudenwerte gaußverteilt sind. Die Streuung dieses mittelwertfreien Signals beträgt $\sigma_s=1 \hspace{0.05cm} \rm V$. |
− | Bei der Übertragung wird $s(t)$ von einem Störsignal $n(t)$ additiv überlagert, das ebenso wie $s(t)$ als gaußverteilt und mittelwertfrei angenommen werden kann. Der Effektivwert (die Streuung) des Störsignals sei allgemein $\sigma_n$. Es | + | Bei der Übertragung wird $s(t)$ von einem Störsignal $n(t)$ additiv überlagert, das ebenso wie $s(t)$ als gaußverteilt und mittelwertfrei angenommen werden kann. |
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+ | *Es wird angenommen, dass zwischen den Signalen $n(t)$ keine statistischen Abhängigkeiten bestehen. | ||
+ | *Man bezeichnet eine solche Konstellation als "Additive White Gaussian Noise" $\rm (AWGN)$. | ||
+ | * Als Qualitätskriterium für das Empfangssignal $r(t)=s(t)+n(t)$ verwendet man das "Signal-zu-Stör-Leistungsverhältnis": | ||
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− | {Geben Sie die WDF $f_r(r)$ des Empfangssignals $r(t)$ allgemein an. Wie groß ist | + | {Geben Sie die WDF $f_r(r)$ des Empfangssignals $r(t)$ allgemein an. Wie groß ist die Streuung $\sigma_r$, wenn $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$ beträgt? |
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− | {Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{sr}$ abhängig vom SNR des AWGN-Kanals. Leiten Sie eine Näherung für großes SNR ab. | + | {Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{sr}$ abhängig vom SNR des AWGN-Kanals. Leiten Sie eine Näherung für großes SNR ab. |
<br>Welcher Koeffizient ergibt sich für $10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$? | <br>Welcher Koeffizient ergibt sich für $10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$? | ||
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− | '''(1)''' Es gilt $r(t) = s(t)+n(t)$. Somit kann $f_r(r)$ aus der Faltung der beiden Dichtefunktionen $f_s(s)$ und $f_n(n)$ berechnet werden. Da beide Signale gaußverteilt sind, liefert die Faltung ebenfalls eine Gaußfunktion: | + | '''(1)''' Es gilt $r(t) = s(t)+n(t)$. Somit kann $f_r(r)$ aus der Faltung der beiden Dichtefunktionen $f_s(s)$ und $f_n(n)$ berechnet werden. |
+ | *Da beide Signale gaußverteilt sind, liefert die Faltung ebenfalls eine Gaußfunktion: | ||
:$$f_r(r)= \frac {1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \sigma_r} \cdot {\rm e}^{-r^2/(2 \sigma_r^2)}.$$ | :$$f_r(r)= \frac {1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \sigma_r} \cdot {\rm e}^{-r^2/(2 \sigma_r^2)}.$$ | ||
+ | *Die Varianzen von $s(t)$ und $n(t)$ addieren sich. Deshalb erhält man mit $\sigma_s =1 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$: | ||
+ | :$$\sigma_r = \sqrt{\sigma_s^2 + \sigma_n^2} =\sqrt{{(\rm 1\hspace{0.1cm}V)^2} + {(\rm 0.75\hspace{0.1cm}V)^2}}\hspace{0.15cm}\underline{ = {\rm 1.25\hspace{0.1cm}V}}.$$ | ||
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− | '''(2)''' Für den Korrelationskoeffizienten gilt mit dem gemeinsamen Moment $m_{sr}$: | + | '''(2)''' Für den Korrelationskoeffizienten gilt mit dem gemeinsamen Moment $m_{sr}$: |
:$$\rho_{sr } = \frac{m_{sr }}{\sigma_s \cdot \sigma_r}.$$ | :$$\rho_{sr } = \frac{m_{sr }}{\sigma_s \cdot \sigma_r}.$$ | ||
− | Hierbei ist berücksichtigt, dass $s(t)$ und auch $r(t)$ mittelwertfrei sind, so dass $\mu_{sr} =m_{sr}$ gilt. Da $s(t)$ und $n(t)$ als statistisch unabhängig voneinander und damit als unkorreliert vorausgesetzt wurden, gilt weiter: | + | *Hierbei ist berücksichtigt, dass $s(t)$ und auch $r(t)$ mittelwertfrei sind, so dass $\mu_{sr} =m_{sr}$ gilt. |
− | :$$m_{sr} = {\rm E}[s(t) \cdot r(t)] = {\rm E}[s^2(t)] + {\rm E}[s(t) \cdot n(t)] ={\rm E}[s^2(t)] = \sigma_s^2.$$ | + | *Da $s(t)$ und $n(t)$ als statistisch unabhängig voneinander und damit als unkorreliert vorausgesetzt wurden, gilt weiter: |
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+ | *Mit $\sigma_s =1 \hspace{0.05cm} \rm V$, $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $\sigma_r =1.25 \hspace{0.05cm} \rm V$ erhält man $\rho_{sr }\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8}$. | ||
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− | '''(3)''' Der in der letzten Teilaufgabe berechnete Ausdruck kann mit der Abkürzung ${\rm SNR} =\sigma_s^2/\sigma_n^2$ wie folgt dargestellt werden: | + | '''(3)''' Der in der letzten Teilaufgabe berechnete Ausdruck kann mit der Abkürzung ${\rm SNR} =\sigma_s^2/\sigma_n^2$ wie folgt dargestellt werden: |
:$$\rho_{sr } = \rm \frac{1}{ \sqrt{1 + \frac{1}{SNR}}} \approx \frac{1}{ {1 + \frac{1}{2 \cdot SNR}}} \approx 1 - \frac{1}{2 \cdot SNR}.$$ | :$$\rho_{sr } = \rm \frac{1}{ \sqrt{1 + \frac{1}{SNR}}} \approx \frac{1}{ {1 + \frac{1}{2 \cdot SNR}}} \approx 1 - \frac{1}{2 \cdot SNR}.$$ | ||
− | Der Signal-zu-Stör-Abstand $10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$ führt zum absoluten Wert $\rm SNR = 1000$. In die obige Gleichung eingesetzt ergibt dies näherungsweise einen Korrelationskoeffizienten von $\rho_{sr }\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.9995}$. | + | *Der Signal-zu-Stör-Abstand $10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$ führt zum absoluten Wert $\rm SNR = 1000$. |
+ | *In die obige Gleichung eingesetzt ergibt dies näherungsweise einen Korrelationskoeffizienten von $\rho_{sr }\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.9995}$. | ||
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Aktuelle Version vom 27. Februar 2022, 15:02 Uhr
Wir betrachten hier ein analoges Nachrichtensignal $s(t)$, dessen Amplitudenwerte gaußverteilt sind. Die Streuung dieses mittelwertfreien Signals beträgt $\sigma_s=1 \hspace{0.05cm} \rm V$.
Bei der Übertragung wird $s(t)$ von einem Störsignal $n(t)$ additiv überlagert, das ebenso wie $s(t)$ als gaußverteilt und mittelwertfrei angenommen werden kann.
- Der Effektivwert (gleichzeitig die Streuung) des Störsignals sei allgemein $\sigma_n$.
- Es wird angenommen, dass zwischen den Signalen $n(t)$ keine statistischen Abhängigkeiten bestehen.
- Man bezeichnet eine solche Konstellation als "Additive White Gaussian Noise" $\rm (AWGN)$.
- Als Qualitätskriterium für das Empfangssignal $r(t)=s(t)+n(t)$ verwendet man das "Signal-zu-Stör-Leistungsverhältnis":
- $${\rm SNR} = {\sigma_s^2}/{\sigma_n^2}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Linearkombinationen von Zufallsgrößen.
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Es gilt $r(t) = s(t)+n(t)$. Somit kann $f_r(r)$ aus der Faltung der beiden Dichtefunktionen $f_s(s)$ und $f_n(n)$ berechnet werden.
- Da beide Signale gaußverteilt sind, liefert die Faltung ebenfalls eine Gaußfunktion:
- $$f_r(r)= \frac {1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \sigma_r} \cdot {\rm e}^{-r^2/(2 \sigma_r^2)}.$$
- Die Varianzen von $s(t)$ und $n(t)$ addieren sich. Deshalb erhält man mit $\sigma_s =1 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$:
- $$\sigma_r = \sqrt{\sigma_s^2 + \sigma_n^2} =\sqrt{{(\rm 1\hspace{0.1cm}V)^2} + {(\rm 0.75\hspace{0.1cm}V)^2}}\hspace{0.15cm}\underline{ = {\rm 1.25\hspace{0.1cm}V}}.$$
(2) Für den Korrelationskoeffizienten gilt mit dem gemeinsamen Moment $m_{sr}$:
- $$\rho_{sr } = \frac{m_{sr }}{\sigma_s \cdot \sigma_r}.$$
- Hierbei ist berücksichtigt, dass $s(t)$ und auch $r(t)$ mittelwertfrei sind, so dass $\mu_{sr} =m_{sr}$ gilt.
- Da $s(t)$ und $n(t)$ als statistisch unabhängig voneinander und damit als unkorreliert vorausgesetzt wurden, gilt weiter:
- $$m_{sr} = {\rm E}\big[s(t) \cdot r(t)\big] = {\rm E}\big[s^2(t)\big] + {\rm E}\big[s(t) \cdot n(t)\big] ={\rm E}\big[s^2(t)\big] = \sigma_s^2.$$
- $$\rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{sr } = \frac{\sigma_s}{ \sigma_r} = \sqrt{\frac{\sigma_s^2}{\sigma_s^2 + \sigma_n^2}} = \left (1+ {\sigma_n^2}/{\sigma_s^2}\right)^{-1/2}.$$
- Mit $\sigma_s =1 \hspace{0.05cm} \rm V$, $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $\sigma_r =1.25 \hspace{0.05cm} \rm V$ erhält man $\rho_{sr }\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8}$.
(3) Der in der letzten Teilaufgabe berechnete Ausdruck kann mit der Abkürzung ${\rm SNR} =\sigma_s^2/\sigma_n^2$ wie folgt dargestellt werden:
- $$\rho_{sr } = \rm \frac{1}{ \sqrt{1 + \frac{1}{SNR}}} \approx \frac{1}{ {1 + \frac{1}{2 \cdot SNR}}} \approx 1 - \frac{1}{2 \cdot SNR}.$$
- Der Signal-zu-Stör-Abstand $10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$ führt zum absoluten Wert $\rm SNR = 1000$.
- In die obige Gleichung eingesetzt ergibt dies näherungsweise einen Korrelationskoeffizienten von $\rho_{sr }\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.9995}$.