Aufgaben:Aufgabe 4.12: Berechnungen zur 16-QAM: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | [[Datei:P_ID2062__Dig_A_4_12.png|right|frame|Signalraumkonstellation der 16–QAM]] | + | [[Datei:P_ID2062__Dig_A_4_12.png|right|frame|Signalraumkonstellation der $\rm 16–QAM$]] |
| − | + | Die Grafik zeigt die Signalraumkonstellation der [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29| "Quadraturamplitudenmodulation"]] mit $M = 16$ Signalraumpunkten. | |
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| + | Für dieses Modulationsverfahren sollen berechnet werden: | ||
* die mittlere Energie pro Symbol bzw. pro Bit, | * die mittlere Energie pro Symbol bzw. pro Bit, | ||
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| + | *die [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_-_Obere_Schranke_f.C3.BCr_die_Fehlerwahrscheinlichkeit| "Union Bound"]] $p_{\rm UB}$ als obere Schranke, | ||
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| + | * die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ bei Graycodierung. | ||
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| − | + | Hinweise: | |
| − | + | # Die Aufgabe behandelt einen Teilaspekt des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| "Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation"]]. | |
| − | + | #Die Gray–Zuordnung ist in der Grafik angegeben (rote Beschriftung). | |
| − | + | # Die Wahrscheinlichkeit, dass das linke obere Symbol in eines der benachbarten Symbole verfälscht wird, wird mit $p$ abgekürzt (blaue Pfeile in der Grafik). | |
| − | + | # Eine diagonale Verfälschung ⇒ zwei Bit verfälscht (grüner Pfeil) wird ausgeschlossen. | |
| − | :$$p = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { 2E}/{ N_0} }\right ) = 0.004 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm} | + | # Für den AWGN–Kanal gilt mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral für diese Hilfsgröße: $p = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { 2E}/{ N_0} }\right )\hspace{0.05cm}.$ |
| + | # Verwenden Sie für numerische Berechnungen $E = 1 \ \rm mWs$ und $p = 0.4\%$. | ||
| + | #Aus diesen Werten kann die AWGN–Rauschleistungsdichte $N_0$ näherungsweise berechnet werden: | ||
| + | ::$$p = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { 2E}/{ N_0} }\right ) = 0.004 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm} | ||
{ 2E}{ N_0} \approx 2.65^2 \approx 7 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm} N_0 = { E}/{ 3.5}\approx 1.4 \cdot 10^{-4}\,{\rm W/Hz} | { 2E}{ N_0} \approx 2.65^2 \approx 7 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm} N_0 = { E}/{ 3.5}\approx 1.4 \cdot 10^{-4}\,{\rm W/Hz} | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | {Es sei $E = 1 \ \rm mWs$. Wie groß ist die mittlere Energie pro Symbol? | + | {Es sei $E = 1 \ \rm mWs$. Wie groß ist die "mittlere Energie pro Symbol"? |
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$E_{\rm S}\ = \ $ { 10 3% } $\ \rm mWs$ | $E_{\rm S}\ = \ $ { 10 3% } $\ \rm mWs$ | ||
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$E_{\rm B}\ = \ $ { 2.5 3% } $\ \rm mWs$ | $E_{\rm B}\ = \ $ { 2.5 3% } $\ \rm mWs$ | ||
| − | {Geben Sie die (verbesserte) & | + | {Geben Sie die (verbesserte) "Union Bound" $(p_{\rm UB})$ für $p = 0.4\%$ an. |
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$p_{\rm UB} \ = \ $ { 1.6 3% } $\ \%$ | $p_{\rm UB} \ = \ $ { 1.6 3% } $\ \%$ | ||
| − | {Berechnen Sie die tatsächliche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S} < p_{\rm UB}$. | + | {Berechnen Sie die tatsächliche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S} < p_{\rm UB}$. |
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$p_{\rm S} \ = \ $ { 1.2 3% } $\ \%$ | $p_{\rm S} \ = \ $ { 1.2 3% } $\ \%$ | ||
| − | {Berechnen Sie die tatsächliche Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei Graycodierung. | + | {Berechnen Sie die tatsächliche Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ bei Graycodierung. |
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$p_{\rm B} \ = \ $ { 0.3 3% } $\ \%$ | $p_{\rm B} \ = \ $ { 0.3 3% } $\ \%$ | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | '''(1)''' Der Quotient $E_{\rm S}/E$ ergibt sich als der mittlere quadratische Abstand der $M = 16$ Signalraumpunkte $\boldsymbol{s}_i$ vom Ursprung. Mit der gegebenen Signalraumkonstellation der 16–QAM erhält man: | + | '''(1)''' Der Quotient $E_{\rm S}/E$ ergibt sich als der mittlere quadratische Abstand der $M = 16$ Signalraumpunkte $\boldsymbol{s}_i$ vom Ursprung. |
| + | *Mit der gegebenen Signalraumkonstellation der "16–QAM" erhält man: | ||
:$$E_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} { E}/{ 16} \cdot \left [ 4 \cdot (1^2 + 1^2) + 8 \cdot (1^2 + 3^2) + 4 \cdot (3^2 + 3^2)\right ]={ E}/{ 16} \cdot \left [ 4 \cdot 2 + 8 \cdot 10 + 4 \cdot 18\right ] = 10 \cdot E = \underline{10 \ {\rm mWs}} | :$$E_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} { E}/{ 16} \cdot \left [ 4 \cdot (1^2 + 1^2) + 8 \cdot (1^2 + 3^2) + 4 \cdot (3^2 + 3^2)\right ]={ E}/{ 16} \cdot \left [ 4 \cdot 2 + 8 \cdot 10 + 4 \cdot 18\right ] = 10 \cdot E = \underline{10 \ {\rm mWs}} | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Zum gleichen Ergebnis kommt man mit der im [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Theorieteil]] angegebenen Gleichung | + | *Zum gleichen Ergebnis kommt man mit der im [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Theorieteil]] angegebenen Gleichung: |
:$$E_{\rm S} = \frac{ 2 \cdot (M-1)}{ 3 } \cdot E = \frac{ 2 \cdot 15}{ 3 } \cdot E = 10 E | :$$E_{\rm S} = \frac{ 2 \cdot (M-1)}{ 3 } \cdot E = \frac{ 2 \cdot 15}{ 3 } \cdot E = 10 E | ||
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| − | '''(2)''' Jedes einzelne Symbol stellt vier Binärsymbole dar. Damit ist die mittlere Energie pro Bit. | + | |
| + | '''(2)''' Jedes einzelne Symbol stellt vier Binärsymbole dar. Damit ist die mittlere Energie pro Bit. | ||
:$$E_{\rm B} = \frac{ E_{\rm S}}{ {\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} = 2.5 \cdot E = \underline{2.5 \ {\rm mWs}} | :$$E_{\rm B} = \frac{ E_{\rm S}}{ {\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} = 2.5 \cdot E = \underline{2.5 \ {\rm mWs}} | ||
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[[Datei:P_ID2063__Dig_A_4_12c.png|right|frame|Zur Verdeutlichung der 16–QAM–Fehlerwahrscheinlichkeit]] | [[Datei:P_ID2063__Dig_A_4_12c.png|right|frame|Zur Verdeutlichung der 16–QAM–Fehlerwahrscheinlichkeit]] | ||
| − | '''(3)''' Die | + | '''(3)''' Die "Union Bound" ist eine obere Schranke für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit. |
| + | *Sie berücksichtigt nur den Übergang zu benachbarten Entscheidungsregionen aufgrund von AWGN–Rauschen. | ||
| + | *Aus der Grafik geht hervor, dass die Ecksymbole (gelb gefüllt) nur zu zwei anderen Symbolen hin verfälscht werden können und die restlichen Randsymbole (grüne Füllung) in drei Richtungen. | ||
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| + | *Der "worst case" sind die vier inneren Symbole (mit blauer Füllung) mit jeweils vier Verfälschungsmöglichkeiten. | ||
| − | + | *Daraus folgt: | |
:$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) \le 4 \cdot p = \underline{1.6\%}= p_{\rm UB} | :$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) \le 4 \cdot p = \underline{1.6\%}= p_{\rm UB} | ||
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| − | '''(4)''' Zählt man die blauen Pfeile in obiger Grafik, so kommt man auf $4 \cdot 2 + 8 \cdot 3 + 4 \cdot 4 = 48$ | + | '''(4)''' Zählt man die blauen Pfeile in obiger Grafik, so kommt man auf |
| + | :$$4 \cdot 2 + 8 \cdot 3 + 4 \cdot 4 = 48.$$ | ||
| + | *Die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ist somit gleich | ||
:$$p_{\rm S} = { E}/{ 16} \cdot 48 p = 3p = \underline{1.2\%} | :$$p_{\rm S} = { E}/{ 16} \cdot 48 p = 3p = \underline{1.2\%} | ||
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| − | Zum gleichen Ergebnis kommt man mit der im [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Theorieteil]] angegebenen Gleichung | + | *Zum gleichen Ergebnis kommt man mit der im [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Theorieteil]] angegebenen Gleichung: |
:$$p_{\rm S} = 4p \cdot \left [ 1 - { 1}/{ \sqrt{M}} \right ] = 4p \cdot \left [ 1 - { 1}/{ 4} \right ] = 3p | :$$p_{\rm S} = 4p \cdot \left [ 1 - { 1}/{ \sqrt{M}} \right ] = 4p \cdot \left [ 1 - { 1}/{ 4} \right ] = 3p | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Beide Gleichungen gelten nur dann exakt, wenn man wie hier diagonale Verfälschungen ausschließt. | + | *Beide Gleichungen gelten nur dann exakt, wenn man wie hier diagonale Verfälschungen ausschließt. |
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| − | '''(5)''' Bei Graycodierung entsprechend der roten Beschriftung in der Grafik bewirkt jeder Symbolfehler genau einen Bitfehler. Da aber mit jedem Symbol $M = 4$ Binärsymbole übertragen werden, ist | + | '''(5)''' Bei Graycodierung entsprechend der roten Beschriftung in der Grafik bewirkt jeder Symbolfehler genau einen Bitfehler. |
| + | *Da aber mit jedem Symbol $M = 4$ Binärsymbole übertragen werden, ist die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit: | ||
:$$p_{\rm B} = \frac{ p_{\rm S}}{ {\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} | :$$p_{\rm B} = \frac{ p_{\rm S}}{ {\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} | ||
= \frac{ 1.2\%}{ 4} = \underline{0.3\%} | = \frac{ 1.2\%}{ 4} = \underline{0.3\%} | ||
Aktuelle Version vom 20. August 2022, 16:46 Uhr
Signalraumkonstellation der $\rm 16–QAM$
Die Grafik zeigt die Signalraumkonstellation der "Quadraturamplitudenmodulation" mit $M = 16$ Signalraumpunkten.
Für dieses Modulationsverfahren sollen berechnet werden:
- die mittlere Energie pro Symbol bzw. pro Bit,
- die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$,
- die "Union Bound" $p_{\rm UB}$ als obere Schranke,
- die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ bei Graycodierung.
Hinweise:
- Die Aufgabe behandelt einen Teilaspekt des Kapitels "Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation".
- Die Gray–Zuordnung ist in der Grafik angegeben (rote Beschriftung).
- Die Wahrscheinlichkeit, dass das linke obere Symbol in eines der benachbarten Symbole verfälscht wird, wird mit $p$ abgekürzt (blaue Pfeile in der Grafik).
- Eine diagonale Verfälschung ⇒ zwei Bit verfälscht (grüner Pfeil) wird ausgeschlossen.
- Für den AWGN–Kanal gilt mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral für diese Hilfsgröße: $p = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { 2E}/{ N_0} }\right )\hspace{0.05cm}.$
- Verwenden Sie für numerische Berechnungen $E = 1 \ \rm mWs$ und $p = 0.4\%$.
- Aus diesen Werten kann die AWGN–Rauschleistungsdichte $N_0$ näherungsweise berechnet werden:
- $$p = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { 2E}/{ N_0} }\right ) = 0.004 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm} { 2E}{ N_0} \approx 2.65^2 \approx 7 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm} N_0 = { E}/{ 3.5}\approx 1.4 \cdot 10^{-4}\,{\rm W/Hz} \hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Der Quotient $E_{\rm S}/E$ ergibt sich als der mittlere quadratische Abstand der $M = 16$ Signalraumpunkte $\boldsymbol{s}_i$ vom Ursprung.
- Mit der gegebenen Signalraumkonstellation der "16–QAM" erhält man:
- $$E_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} { E}/{ 16} \cdot \left [ 4 \cdot (1^2 + 1^2) + 8 \cdot (1^2 + 3^2) + 4 \cdot (3^2 + 3^2)\right ]={ E}/{ 16} \cdot \left [ 4 \cdot 2 + 8 \cdot 10 + 4 \cdot 18\right ] = 10 \cdot E = \underline{10 \ {\rm mWs}} \hspace{0.05cm}.$$
- Zum gleichen Ergebnis kommt man mit der im Theorieteil angegebenen Gleichung:
- $$E_{\rm S} = \frac{ 2 \cdot (M-1)}{ 3 } \cdot E = \frac{ 2 \cdot 15}{ 3 } \cdot E = 10 E \hspace{0.05cm}.$$
(2) Jedes einzelne Symbol stellt vier Binärsymbole dar. Damit ist die mittlere Energie pro Bit.
- $$E_{\rm B} = \frac{ E_{\rm S}}{ {\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} = 2.5 \cdot E = \underline{2.5 \ {\rm mWs}} \hspace{0.05cm}.$$
Zur Verdeutlichung der 16–QAM–Fehlerwahrscheinlichkeit
(3) Die "Union Bound" ist eine obere Schranke für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit.
- Sie berücksichtigt nur den Übergang zu benachbarten Entscheidungsregionen aufgrund von AWGN–Rauschen.
- Aus der Grafik geht hervor, dass die Ecksymbole (gelb gefüllt) nur zu zwei anderen Symbolen hin verfälscht werden können und die restlichen Randsymbole (grüne Füllung) in drei Richtungen.
- Der "worst case" sind die vier inneren Symbole (mit blauer Füllung) mit jeweils vier Verfälschungsmöglichkeiten.
- Daraus folgt:
- $$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) \le 4 \cdot p = \underline{1.6\%}= p_{\rm UB} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Zählt man die blauen Pfeile in obiger Grafik, so kommt man auf
- $$4 \cdot 2 + 8 \cdot 3 + 4 \cdot 4 = 48.$$
- Die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ist somit gleich
- $$p_{\rm S} = { E}/{ 16} \cdot 48 p = 3p = \underline{1.2\%} \hspace{0.05cm}.$$
- Zum gleichen Ergebnis kommt man mit der im Theorieteil angegebenen Gleichung:
- $$p_{\rm S} = 4p \cdot \left [ 1 - { 1}/{ \sqrt{M}} \right ] = 4p \cdot \left [ 1 - { 1}/{ 4} \right ] = 3p \hspace{0.05cm}.$$
- Beide Gleichungen gelten nur dann exakt, wenn man wie hier diagonale Verfälschungen ausschließt.
(5) Bei Graycodierung entsprechend der roten Beschriftung in der Grafik bewirkt jeder Symbolfehler genau einen Bitfehler.
- Da aber mit jedem Symbol $M = 4$ Binärsymbole übertragen werden, ist die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
- $$p_{\rm B} = \frac{ p_{\rm S}}{ {\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} = \frac{ 1.2\%}{ 4} = \underline{0.3\%} \hspace{0.05cm}.$$
