Aufgaben:Aufgabe 3.7Z: Rechtecksignal mit Echo: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Wir betrachten ein periodisches Rechtecksignal $s(t)$ mit den möglichen Amplitudenwerten $0 | + | Wir betrachten ein periodisches Rechtecksignal $s(t)$ mit den möglichen Amplitudenwerten $0\text{ V}$ und $2\text{ V}$ und der Periodendauer $T_0 = T = 1 \text{ ms}$. Bei den Sprungstellen, zum Beispiel bei $t = T/4$, beträgt der Signalwert jeweils $1\text{ V}$. Der Gleichanteil $($also der Fourierkoeffizient $A_0)$ des Signals ist ebenfalls $1\text{ V}$. |
| − | + | Weiter gilt: | |
| − | * | + | * Aufgrund der Symmetrie (gerade Funktion) sind alle Sinuskoeffizienten $B_n = 0$. |
| − | * Für ungeradzahlige Werte von $n$ gilt hingegen: | + | * Die Koeffizienten $A_n$ mit geradzahligem $n$ sind ebenfalls Null. |
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| + | * Für ungeradzahlige Werte von $n$ gilt hingegen: | ||
:$$A_n = ( { - 1} )^{\left( {n - 1} \right)/2} \cdot \frac{{4\;{\rm{V}}}}{{n \cdot {\rm{\pi }}}}.$$ | :$$A_n = ( { - 1} )^{\left( {n - 1} \right)/2} \cdot \frac{{4\;{\rm{V}}}}{{n \cdot {\rm{\pi }}}}.$$ | ||
| − | Das Signal $s(t)$ gelangt über zwei Wege zum Empfänger (siehe untere Skizze): Einmal auf dem direkten Pfad und zum zweiten über einen Nebenpfad. | + | Das Signal $s(t)$ gelangt über zwei Wege zum Empfänger (siehe untere Skizze): |
| + | *Einmal auf dem direkten Pfad und zum zweiten über einen Nebenpfad. | ||
| + | *Letzterer ist durch den Dämpfungsfaktor $\alpha$ und die Laufzeit $\tau$ gekennzeichnet. | ||
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:$$r(t) = s(t) + \alpha \cdot s( {t - \tau } ).$$ | :$$r(t) = s(t) + \alpha \cdot s( {t - \tau } ).$$ | ||
| − | Der Frequenzgang des Kanals ist $H(f) = R(f)/S(f)$, die Impulsantwort wird mit $h(t)$ bezeichnet. | + | Der Frequenzgang des Kanals ist $H(f) = R(f)/S(f)$, die Impulsantwort wird mit $h(t)$ bezeichnet. |
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| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungssatz und Faltungsoperation]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungssatz und Faltungsoperation]]. |
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| − | {Welche Aussagen treffen hinsichtlich der Impulsantwort $h(t)$ zu? | + | {Welche Aussagen treffen hinsichtlich der Impulsantwort $h(t)$ zu? |
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| − | - Für $0 ≤ t < \tau$ gilt $h(t) = 1$, für $t > \tau$ ist $h(t) = 1 + \alpha$. | + | - Für $0 ≤ t < \tau$ gilt $h(t) = 1$, für $t > \tau$ ist $h(t) = 1 + \alpha$. |
| − | + Es gilt $h(t) = \delta (t) + \alpha \cdot \delta(t | + | + Es gilt $h(t) = \delta (t) + \alpha \cdot \delta(t - \tau)$. |
| − | - $h(t)$ hat einen gaußförmigen Verlauf. | + | - $h(t)$ hat einen gaußförmigen Verlauf. |
| − | {Berechnen Sie das Signal $r(t)$ für die Kanalparameter $\alpha = -0.5$ und $\tau = T/4$. Welche Werte ergeben sich zu den angegebenen Zeiten? | + | {Berechnen Sie das Signal $r(t)$ für die Kanalparameter $\alpha = -0.5$ und $\tau = T/4$. <br>Welche Werte ergeben sich zu den angegebenen Zeiten? |
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'''(1)''' Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>: | '''(1)''' Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>: | ||
| − | *Die Impulsantwort ist gleich dem Empfangssignal $r(t)$, wenn am Eingang ein einzelner Diracimpuls zum Zeitpunkt $t = 0$ anliegt: | + | *Die Impulsantwort ist gleich dem Empfangssignal $r(t)$, wenn am Eingang ein einzelner Diracimpuls zum Zeitpunkt $t = 0$ anliegt: |
:$$h(t) = \delta (t) + \alpha \cdot \delta( {t - \tau } ).$$ | :$$h(t) = \delta (t) + \alpha \cdot \delta( {t - \tau } ).$$ | ||
| − | [[Datei:P_ID532__Sig_Z_3_7_b_neu.png|right|frame|Faltung von Rechtecksignal $s(t)$ und Impulsantwort $h(t)$]] | + | [[Datei:P_ID532__Sig_Z_3_7_b_neu.png|right|frame|Faltung von Rechtecksignal $s(t)$ und Impulsantwort $h(t)$]] |
| − | '''(2)''' Es gilt $r(t) = s(t) ∗ h(t)$. Diese Faltungsoperation lässt sich am einfachsten grafisch ausführen: | + | '''(2)''' Es gilt $r(t) = s(t) ∗ h(t)$. Diese Faltungsoperation lässt sich am einfachsten grafisch ausführen: |
Die Werte des Empfangssignals lauten allgemein: | Die Werte des Empfangssignals lauten allgemein: | ||
| − | * $0.00 < t/T < 0.25\text{:}\hspace{0.4cm} r(t) = | + | * $0.00 < t/T < 0.25\text{:}\hspace{0.4cm} r(t) = +1\hspace{0.02cm}\text{ V}$, |
* $0.25 < t/T < 0.50\text{:}\hspace{0.4cm} r(t) = -1 \hspace{0.02cm}\text{ V}$, | * $0.25 < t/T < 0.50\text{:}\hspace{0.4cm} r(t) = -1 \hspace{0.02cm}\text{ V}$, | ||
* $0.50 < t/T < 0.75\text{:}\hspace{0.4cm} r(t) = 0 \hspace{0.02cm}\text{ V}$, | * $0.50 < t/T < 0.75\text{:}\hspace{0.4cm} r(t) = 0 \hspace{0.02cm}\text{ V}$, | ||
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| − | Die gesuchten Werte sind somit $r(t = 0.2 \cdot T) \hspace{0.15cm}\underline{= +1 \hspace{0.02cm}\text{ V}}$ | + | Die gesuchten Werte sind somit |
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| − | *Die Lücken im Signal $s(t)$ werden durch das Echo $s(t | + | *Die Lücken im Signal $s(t)$ werden durch das Echo $s(t - T/2)$ vollständig aufgefüllt. |
| − | *Dieses Ergebnis lässt sich auch im Frequenzbereich ableiten. Der Kanalfrequenzgang lautet mit $\alpha = 1$ und $\tau = T/2$: | + | *Dieses Ergebnis lässt sich auch im Frequenzbereich ableiten. Der Kanalfrequenzgang lautet mit $\alpha = 1$ und $\tau = T/2$: |
:$$H( f ) = 1 + 1 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}fT} = 1 + \cos ( {{\rm{\pi }}fT} ) - {\rm{j}} \cdot {\rm{sin}}( {{\rm{\pi }}fT} ).$$ | :$$H( f ) = 1 + 1 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}fT} = 1 + \cos ( {{\rm{\pi }}fT} ) - {\rm{j}} \cdot {\rm{sin}}( {{\rm{\pi }}fT} ).$$ | ||
| − | *Das Eingangssignal ${s(t)}$ hat außer dem Gleichanteil nur Anteile bei $f = f_0 = 1/T$, $f = 3 \cdot f_0$, $f = 5 \cdot f_0$ usw | + | *Das Eingangssignal ${s(t)}$ hat außer dem Gleichanteil nur Anteile bei $f = f_0 = 1/T$, $f = 3 \cdot f_0$, $f = 5 \cdot f_0$ usw. |
| − | *Bei diesen Frequenzen sind aber sowohl der Real | + | *Bei diesen Frequenzen sind aber sowohl der Real– als auch der Imaginärteil von ${H(f)}$ gleich Null. |
| − | *Damit erhält man für das Ausgangsspektrum mit $A_0 = 1 \text{ V}$ und $H(f = 0) = 2$: | + | *Damit erhält man für das Ausgangsspektrum mit $A_0 = 1 \text{ V}$ und $H(f = 0) = 2$: |
:$$R(f) = A_0 \cdot H(f = 0) \cdot \delta (f) = 2\;{\rm{V}} \cdot \delta (f).$$ | :$$R(f) = A_0 \cdot H(f = 0) \cdot \delta (f) = 2\;{\rm{V}} \cdot \delta (f).$$ | ||
| − | Die Fourierrücktransformation liefert damit ebenfalls $r(t) \underline{= 2 \text{ V= const}}$. | + | Die Fourierrücktransformation liefert damit ebenfalls $r(t) \underline{= 2 \text{ V= const}}$. |
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Aktuelle Version vom 28. April 2021, 13:00 Uhr
Sendesignal $s(t)$ & Signal $r(t)$ mit Echo
Wir betrachten ein periodisches Rechtecksignal $s(t)$ mit den möglichen Amplitudenwerten $0\text{ V}$ und $2\text{ V}$ und der Periodendauer $T_0 = T = 1 \text{ ms}$. Bei den Sprungstellen, zum Beispiel bei $t = T/4$, beträgt der Signalwert jeweils $1\text{ V}$. Der Gleichanteil $($also der Fourierkoeffizient $A_0)$ des Signals ist ebenfalls $1\text{ V}$.
Weiter gilt:
- Aufgrund der Symmetrie (gerade Funktion) sind alle Sinuskoeffizienten $B_n = 0$.
- Die Koeffizienten $A_n$ mit geradzahligem $n$ sind ebenfalls Null.
- Für ungeradzahlige Werte von $n$ gilt hingegen:
- $$A_n = ( { - 1} )^{\left( {n - 1} \right)/2} \cdot \frac{{4\;{\rm{V}}}}{{n \cdot {\rm{\pi }}}}.$$
Das Signal $s(t)$ gelangt über zwei Wege zum Empfänger (siehe untere Skizze):
- Einmal auf dem direkten Pfad und zum zweiten über einen Nebenpfad.
- Letzterer ist durch den Dämpfungsfaktor $\alpha$ und die Laufzeit $\tau$ gekennzeichnet.
- Daher gilt für das Empfangssignal:
- $$r(t) = s(t) + \alpha \cdot s( {t - \tau } ).$$
Der Frequenzgang des Kanals ist $H(f) = R(f)/S(f)$, die Impulsantwort wird mit $h(t)$ bezeichnet.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Faltungssatz und Faltungsoperation.
- Wichtige Informationen finden Sie insbesondere auf der Seite Faltung einer Funktion mit einer Diracfunktion.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig ist der zweite Lösungsvorschlag:
- Die Impulsantwort ist gleich dem Empfangssignal $r(t)$, wenn am Eingang ein einzelner Diracimpuls zum Zeitpunkt $t = 0$ anliegt:
- $$h(t) = \delta (t) + \alpha \cdot \delta( {t - \tau } ).$$
Faltung von Rechtecksignal $s(t)$ und Impulsantwort $h(t)$
(2) Es gilt $r(t) = s(t) ∗ h(t)$. Diese Faltungsoperation lässt sich am einfachsten grafisch ausführen:
Die Werte des Empfangssignals lauten allgemein:
- $0.00 < t/T < 0.25\text{:}\hspace{0.4cm} r(t) = +1\hspace{0.02cm}\text{ V}$,
- $0.25 < t/T < 0.50\text{:}\hspace{0.4cm} r(t) = -1 \hspace{0.02cm}\text{ V}$,
- $0.50 < t/T < 0.75\text{:}\hspace{0.4cm} r(t) = 0 \hspace{0.02cm}\text{ V}$,
- $0.75 < t/T < 1.00\text{:}\hspace{0.4cm} r(t) = +2 \hspace{0.02cm}\text{ V}$.
Die gesuchten Werte sind somit
- $$r(t = 0.2 \cdot T) \hspace{0.15cm}\underline{= +1 \hspace{0.02cm}\text{ V}},$$
- $$r(t = 0.3 · T) \hspace{0.15cm}\underline{= -1 \hspace{0.02cm}\text{ V}}.$$
(3) Bei ähnlicher Vorgehensweise wie unter (2) erhält man für $r(t)$ ein Gleichsignal von $2 \hspace{0.02cm}\text{ V}$:
- Die Lücken im Signal $s(t)$ werden durch das Echo $s(t - T/2)$ vollständig aufgefüllt.
- Dieses Ergebnis lässt sich auch im Frequenzbereich ableiten. Der Kanalfrequenzgang lautet mit $\alpha = 1$ und $\tau = T/2$:
- $$H( f ) = 1 + 1 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}fT} = 1 + \cos ( {{\rm{\pi }}fT} ) - {\rm{j}} \cdot {\rm{sin}}( {{\rm{\pi }}fT} ).$$
- Das Eingangssignal ${s(t)}$ hat außer dem Gleichanteil nur Anteile bei $f = f_0 = 1/T$, $f = 3 \cdot f_0$, $f = 5 \cdot f_0$ usw.
- Bei diesen Frequenzen sind aber sowohl der Real– als auch der Imaginärteil von ${H(f)}$ gleich Null.
- Damit erhält man für das Ausgangsspektrum mit $A_0 = 1 \text{ V}$ und $H(f = 0) = 2$:
- $$R(f) = A_0 \cdot H(f = 0) \cdot \delta (f) = 2\;{\rm{V}} \cdot \delta (f).$$
Die Fourierrücktransformation liefert damit ebenfalls $r(t) \underline{= 2 \text{ V= const}}$.
