Aufgaben:Aufgabe 4.2: Rechteckförmige Spektren: Unterschied zwischen den Versionen

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{{quiz-Header|Buchseite=Signaldarstellung/Unterschiede und Gemeinsamkeiten von TP- und BP-Signalen
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[[Datei:P_ID695__Sig_A_4_2_neu.png|250px|right|frame|Rechteckförmige Tiefpass- und Bandpass-Spektren]]
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[[Datei:P_ID695__Sig_A_4_2_neu.png|250px|right|frame|Rechteckförmige Tiefpass&ndash; <br>und Bandpass&ndash;Spektren]]
Wir betrachten zwei Signale $u(t)$ und $w(t)$ mit jeweils rechteckförmigen Spektren $U(f)$ bzw. $W(f)$.  
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Wir betrachten zwei Signale&nbsp; $u(t)$&nbsp; und&nbsp; $w(t)$&nbsp; mit jeweils rechteckförmigen Spektren&nbsp; $U(f)$&nbsp; bzw.&nbsp; $W(f)$.  
 
*Es ist offensichtlich, dass
 
*Es ist offensichtlich, dass
 
   
 
   
:$$u(t)  =  u_0  \cdot {\rm si} ( \pi \cdot {t}/{T_{ u}})$$
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:$$u(t)  =  u_0  \cdot {\rm si} ( \pi \cdot {t}/{T_{ u}}),\hspace{0.3cm} \text{mit}\hspace{0.3cm}{\rm si}(x)=\sin(x)/x,$$
  
:ein TP–Signal ist, dessen zwei Parameter $u_0$ und $T_u$ in der Teilaufgabe (1) zu bestimmen sind.  
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:ein Tiefpass–Signal ist, dessen zwei Parameter&nbsp; $u_0$&nbsp; und&nbsp; $T_u$&nbsp; in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; zu bestimmen sind.  
*Dagegen zeigt das Spektrum $W(f)$, dass $w(t)$ ein BP–Signal beschreibt.
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*Dagegen zeigt das Spektrum&nbsp; $W(f)$, dass&nbsp; $w(t)$&nbsp; ein Bandpass–Signal beschreibt.
  
  
In dieser Aufgabe wird außerdem auf das BP–Signal
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In dieser Aufgabe wird außerdem auf das Bandpass–Signal
 
   
 
   
 
:$$d(t)  =  10 \hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( 5 \pi f_2 \hspace{0.05cm}t)
 
:$$d(t)  =  10 \hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( 5 \pi f_2 \hspace{0.05cm}t)
 
- 6 \hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( 3 \pi f_2\hspace{0.05cm} t)$$
 
- 6 \hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( 3 \pi f_2\hspace{0.05cm} t)$$
  
Bezug genommen, dessen Spektrum in [[Aufgaben:Aufgabe_4.1:_Tiefpass-_und_Bandpass-Signale|Aufgabe 4.1]] ermittelt wurde. Es sei $f_2 = 2 \ \rm kHz.$
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Bezug genommen, dessen Spektrum in&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.1:_Tiefpass-_und_Bandpass-Signale|Aufgabe 4.1]]&nbsp; ermittelt wurde.&nbsp; Es sei&nbsp; $f_2 = 2 \ \rm kHz.$
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''Hinweise:''  
 
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen|Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Grundsätzliches_zu_Tiefpass-_und_Bandpass-Signalen|Grundsätzliches zu Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
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*Berücksichtigen Sie bei der Lösung die folgende trigonometrische Beziehung:
 
*Berücksichtigen Sie bei der Lösung die folgende trigonometrische Beziehung:
  
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{Welche Werte besitzen die Parameter $u_0$ und $T_u$ des TP-Signals?
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{Welche Werte besitzen die Parameter&nbsp; $u_0$&nbsp; und&nbsp; $T_u$&nbsp; des Tiefpass&ndash;Signals?
 
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$u_0\ = \ $  { 2 3% }  &nbsp;$\text{V}$
 
$u_0\ = \ $  { 2 3% }  &nbsp;$\text{V}$
 
$T_u\ = \ $  { 0.5 3% } &nbsp;$\text{ms}$
 
$T_u\ = \ $  { 0.5 3% } &nbsp;$\text{ms}$
  
{Berechnen Sie das Bandpass–Signal $w(t)$. Wie groß sind die Signalwerte bei $t = 0$ und $t = 62.5 \, {\rm &micro;}\text{s}$?
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{Berechnen Sie das Bandpass&ndash;Signal&nbsp; $w(t)$.&nbsp; Wie groß sind die Signalwerte bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; und&nbsp; $t = 62.5 \, {\rm &micro;}\text{s}$?
 
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$w(t=0)\ = \ $ { 4 3% } &nbsp;$\text{V}$
 
$w(t=0)\ = \ $ { 4 3% } &nbsp;$\text{V}$
 
$w(t=62.5 \,{\rm &micro;}  \text{s})\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
 
$w(t=62.5 \,{\rm &micro;}  \text{s})\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
  
{Welche Aussagen sind bezüglich der Bandpass–Signale $d(t)$ und $w(t)$ zutreffend? Begründen Sie Ihr Ergebnis im Zeitbereich.
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{Welche Aussagen sind bezüglich der Bandpass&ndash;Signale&nbsp; $d(t)$&nbsp; und&nbsp; $w(t)$&nbsp; zutreffend?&nbsp; Begründen Sie Ihr Ergebnis im Zeitbereich.
 
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+ Die Signale $d(t)$ und $w(t)$ sind identisch.
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+ Die Signale&nbsp; $d(t)$&nbsp; und&nbsp; $w(t)$&nbsp; sind identisch.
- $d(t)$ und $w(t)$ unterscheiden sich durch einen konstanten Faktor.
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- $d(t)$&nbsp; und&nbsp; $w(t)$&nbsp; unterscheiden sich durch einen konstanten Faktor.
- $d(t)$ und $w(t)$ haben unterschiedliche Form.
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- $d(t)$&nbsp; und&nbsp; $w(t)$&nbsp; haben unterschiedliche Form.
  
 
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{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
  
'''(1)'''&nbsp;  Die Zeit $T_u$ (erste Nullstelle des TP-Signals $u(t)$) ist gleich dem Kehrwert der Breite des Rechteckspektrums, also $1/(2\, \text{kHz} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.5 \, \text{ms}}$. Die Impulsamplitude ist, wie in der Musterlösung zur [[Aufgaben:Aufgabe_4.1:_Tiefpass-_und_Bandpass-Signale|Aufgabe 4.1]] dargelegt wurde, gleich der Rechteckfläche. Daraus folgt $u_0\hspace{0.15 cm}\underline{= 2 \, \text{V}}$.
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'''(1)'''&nbsp;  Die Zeit&nbsp; $T_u$ &nbsp; &rArr; &nbsp; erste Nullstelle des TP&ndash;Signals&nbsp; $u(t)$&nbsp; &ndash; ist gleich dem Kehrwert der Breite des Rechteckspektrums, also&nbsp; $1/(2\, \text{kHz} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.5 \, \text{ms}}$.  
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*Die Impulsamplitude ist wie in der Musterlösung zur&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.1:_Tiefpass-_und_Bandpass-Signale|Aufgabe 4.1]]&nbsp; dargelegt wurde, gleich der Rechteckfläche.&nbsp; Daraus folgt&nbsp; $u_0\hspace{0.15 cm}\underline{= 2 \, \text{V}}$.
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[[Datei:P_ID704__Sig_A_4_2_b_neu.png|250px|right|frame|Multiplikation mit Cosinus]]
 
[[Datei:P_ID704__Sig_A_4_2_b_neu.png|250px|right|frame|Multiplikation mit Cosinus]]
'''(2)'''&nbsp;  Das Bandpass-Spektrum kann mit $f_{\rm T} = 4\, \text{kHz}$  wie folgt dargestellt werden:
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'''(2)'''&nbsp;  Das Bandpass&ndash;Spektrum kann mit&nbsp; $f_{\rm T} = 4\, \text{kHz}$&nbsp; wie folgt dargestellt werden:
 
   
 
   
 
:$$ W(f)  = U(f- f_{\rm T}) + U(f+ f_{\rm T}) =  U(f)\star \left[
 
:$$ W(f)  = U(f- f_{\rm T}) + U(f+ f_{\rm T}) =  U(f)\star \left[
 
\delta(f- f_{\rm T})+ \delta(f+ f_{\rm T})\right].$$
 
\delta(f- f_{\rm T})+ \delta(f+ f_{\rm T})\right].$$
  
Entsprechend dem [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]] gilt dann für das dazugehörige Zeitsignal:
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Entsprechend dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]&nbsp; gilt dann für das dazugehörige Zeitsignal:
 
   
 
   
 
:$$w(t) = 2 \cdot u(t) \cdot {\cos} ( 2 \pi f_{\rm T} t) =  2 u_0
 
:$$w(t) = 2 \cdot u(t) \cdot {\cos} ( 2 \pi f_{\rm T} t) =  2 u_0
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Die Grafik zeigt
 
Die Grafik zeigt
*oben das TP-Signal $u(t)$,
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*oben das Tiefpass&ndash;Signal $u(t)$,
*dann die Schwingung $c(t) = 2 · \cos(2 \pi fTt$ ),
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*dann die Schwingung $c(t) = 2 · \cos(2 \pi f_{\rm T}t$ ),
*unten das BP-Signal $w(t) = u(t) \cdot c(t)$.
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*unten das Bandpass&ndash;Signal&nbsp; $w(t) = u(t) \cdot c(t)$.
  
  
Insbesondere erhält man zum Zeitpunkt $t = 0$:
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Insbesondere erhält man zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$:
 
   
 
   
 
:$$w(t = 0)  =  2 \cdot u_0 \hspace{0.15 cm}\underline{= 4 \hspace{0.05cm}{\rm V}}.$$
 
:$$w(t = 0)  =  2 \cdot u_0 \hspace{0.15 cm}\underline{= 4 \hspace{0.05cm}{\rm V}}.$$
  
Der Zeitpunkt $t=62.5 \,{\rm &micro;} \text{s}$ entspricht genau einer viertel Periodendauer des Signals $c(t)$:
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Der Zeitpunkt&nbsp; $t=62.5 \,{\rm &micro;} \text{s}$&nbsp; entspricht genau einer viertel Periodendauer des Signals&nbsp; $c(t)$:
 
   
 
   
 
:$$ w(t = 62.5 \hspace{0.05cm}{\rm &micro; s})  =  2 u_0 \cdot  {\rm si} ( \pi \cdot \frac{62.5 \hspace{0.05cm}{\rm &micro;  s}}
 
:$$ w(t = 62.5 \hspace{0.05cm}{\rm &micro; s})  =  2 u_0 \cdot  {\rm si} ( \pi \cdot \frac{62.5 \hspace{0.05cm}{\rm &micro;  s}}
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:$$ \Rightarrow  \hspace{0.3cm}w(t =     
 
:$$ \Rightarrow  \hspace{0.3cm}w(t =     
 
  4\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot{\rm si} ( {\pi}/{8}) \cdot \cos ( {\pi}/{4})\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0}.$$
 
  4\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot{\rm si} ( {\pi}/{8}) \cdot \cos ( {\pi}/{4})\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0}.$$
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'''(3)'''&nbsp;  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
 
'''(3)'''&nbsp;  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
*Vergleicht man die Spektralfunktion $W(f)$ dieser Aufgabe mit dem Spektrum $D(f)$ in der Musterlösung zu  [[Aufgaben:4.1_TP-_und_BP-Signale|Aufgabe 4.1]] , so erkennt man, dass $w(t)$ und $d(t)$ identische Signale sind.  
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*Vergleicht man die Spektralfunktion&nbsp; $W(f)$&nbsp; dieser Aufgabe mit dem Spektrum&nbsp; $D(f)$&nbsp; in der Musterlösung zu&nbsp; [[Aufgaben:4.1_TP-_und_BP-Signale|Aufgabe 4.1]], so erkennt man, dass&nbsp; $w(t)$&nbsp; und&nbsp; $d(t)$&nbsp; identische Signale sind.  
*Etwas aufwändiger ist dieser Beweis im Zeitbereich. Mit $f_2 = 2 \,\text{kHz}$ kann für das hier betrachtete Signal geschrieben werden:
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*Etwas aufwändiger ist dieser Beweis im Zeitbereich. Mit&nbsp; $f_2 = 2 \,\text{kHz}$&nbsp; kann für das hier betrachtete Signal geschrieben werden:
 
   
 
   
 
:$$w(t )  =  4\hspace{0.05cm}{\rm V}
 
:$$w(t )  =  4\hspace{0.05cm}{\rm V}
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*Wegen der trigonometrischen Beziehung
 
*Wegen der trigonometrischen Beziehung
 
   
 
   
:$$\sin (\alpha) \cdot \cos (\beta)  =  {1}/{2} \cdot \left[ \sin
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(\alpha + \beta)+ \sin (\alpha - \beta)\right]$$
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(\alpha + \beta)+ \sin (\alpha - \beta)\big]$$
  
 
:kann obige Gleichung umgeformt werden:
 
:kann obige Gleichung umgeformt werden:
 
   
 
   
 
:$$w(t )  =
 
:$$w(t )  =
  \frac{2\hspace{0.05cm}{\rm V}}{\pi f_2 t}\cdot \left[\sin (5\pi f_2 t) + \sin (-3\pi f_2 t)\right]  
+
  \frac{2\hspace{0.05cm}{\rm V}}{\pi f_2 t}\cdot \big [\sin (5\pi f_2 t) + \sin (-3\pi f_2 t)\big ]  
 
  = 10\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \frac{\sin (5\pi f_2 t)}{5\pi f_2 t}-
 
  = 10\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \frac{\sin (5\pi f_2 t)}{5\pi f_2 t}-
 
  6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \frac{\sin (3\pi f_2 t)}{3\pi f_2 t}.$$
 
  6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \frac{\sin (3\pi f_2 t)}{3\pi f_2 t}.$$

Aktuelle Version vom 5. Mai 2021, 16:17 Uhr

Rechteckförmige Tiefpass–
und Bandpass–Spektren

Wir betrachten zwei Signale  $u(t)$  und  $w(t)$  mit jeweils rechteckförmigen Spektren  $U(f)$  bzw.  $W(f)$.

  • Es ist offensichtlich, dass
$$u(t) = u_0 \cdot {\rm si} ( \pi \cdot {t}/{T_{ u}}),\hspace{0.3cm} \text{mit}\hspace{0.3cm}{\rm si}(x)=\sin(x)/x,$$
ein Tiefpass–Signal ist, dessen zwei Parameter  $u_0$  und  $T_u$  in der Teilaufgabe  (1)  zu bestimmen sind.
  • Dagegen zeigt das Spektrum  $W(f)$, dass  $w(t)$  ein Bandpass–Signal beschreibt.


In dieser Aufgabe wird außerdem auf das Bandpass–Signal

$$d(t) = 10 \hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( 5 \pi f_2 \hspace{0.05cm}t) - 6 \hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( 3 \pi f_2\hspace{0.05cm} t)$$

Bezug genommen, dessen Spektrum in  Aufgabe 4.1  ermittelt wurde.  Es sei  $f_2 = 2 \ \rm kHz.$




Hinweise:

  • Berücksichtigen Sie bei der Lösung die folgende trigonometrische Beziehung:
$$\sin (\alpha) \cdot \cos (\beta) = {1}/{2} \cdot \big[ \sin (\alpha + \beta)+ \sin (\alpha - \beta)\big].$$


Fragebogen

1

Welche Werte besitzen die Parameter  $u_0$  und  $T_u$  des Tiefpass–Signals?

$u_0\ = \ $

 $\text{V}$
$T_u\ = \ $

 $\text{ms}$

2

Berechnen Sie das Bandpass–Signal  $w(t)$.  Wie groß sind die Signalwerte bei  $t = 0$  und  $t = 62.5 \, {\rm µ}\text{s}$?

$w(t=0)\ = \ $

 $\text{V}$
$w(t=62.5 \,{\rm µ} \text{s})\ = \ $

 $\text{V}$

3

Welche Aussagen sind bezüglich der Bandpass–Signale  $d(t)$  und  $w(t)$  zutreffend?  Begründen Sie Ihr Ergebnis im Zeitbereich.

Die Signale  $d(t)$  und  $w(t)$  sind identisch.
$d(t)$  und  $w(t)$  unterscheiden sich durch einen konstanten Faktor.
$d(t)$  und  $w(t)$  haben unterschiedliche Form.


Musterlösung

(1)  Die Zeit  $T_u$   ⇒   erste Nullstelle des TP–Signals  $u(t)$  – ist gleich dem Kehrwert der Breite des Rechteckspektrums, also  $1/(2\, \text{kHz} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.5 \, \text{ms}}$.

  • Die Impulsamplitude ist wie in der Musterlösung zur  Aufgabe 4.1  dargelegt wurde, gleich der Rechteckfläche.  Daraus folgt  $u_0\hspace{0.15 cm}\underline{= 2 \, \text{V}}$.


Multiplikation mit Cosinus

(2)  Das Bandpass–Spektrum kann mit  $f_{\rm T} = 4\, \text{kHz}$  wie folgt dargestellt werden:

$$ W(f) = U(f- f_{\rm T}) + U(f+ f_{\rm T}) = U(f)\star \left[ \delta(f- f_{\rm T})+ \delta(f+ f_{\rm T})\right].$$

Entsprechend dem  Verschiebungssatz  gilt dann für das dazugehörige Zeitsignal:

$$w(t) = 2 \cdot u(t) \cdot {\cos} ( 2 \pi f_{\rm T} t) = 2 u_0 \cdot {\rm si} ( \pi {t}/{T_{\rm u}})\cdot {\cos} ( 2 \pi f_{\rm T} t). $$

Die Grafik zeigt

  • oben das Tiefpass–Signal $u(t)$,
  • dann die Schwingung $c(t) = 2 · \cos(2 \pi f_{\rm T}t$ ),
  • unten das Bandpass–Signal  $w(t) = u(t) \cdot c(t)$.


Insbesondere erhält man zum Zeitpunkt  $t = 0$:

$$w(t = 0) = 2 \cdot u_0 \hspace{0.15 cm}\underline{= 4 \hspace{0.05cm}{\rm V}}.$$

Der Zeitpunkt  $t=62.5 \,{\rm µ} \text{s}$  entspricht genau einer viertel Periodendauer des Signals  $c(t)$:

$$ w(t = 62.5 \hspace{0.05cm}{\rm µ s}) = 2 u_0 \cdot {\rm si} ( \pi \cdot \frac{62.5 \hspace{0.05cm}{\rm µ s}} {500 \hspace{0.05cm}{\rm µ s}}) \cdot {\cos} ( 2 \pi \cdot 4\hspace{0.05cm}{\rm kHz}\cdot 62.5 \hspace{0.05cm}{\rm µ s}) $$
$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}w(t = 4\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot{\rm si} ( {\pi}/{8}) \cdot \cos ( {\pi}/{4})\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0}.$$


(3)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

  • Vergleicht man die Spektralfunktion  $W(f)$  dieser Aufgabe mit dem Spektrum  $D(f)$  in der Musterlösung zu  Aufgabe 4.1, so erkennt man, dass  $w(t)$  und  $d(t)$  identische Signale sind.
  • Etwas aufwändiger ist dieser Beweis im Zeitbereich. Mit  $f_2 = 2 \,\text{kHz}$  kann für das hier betrachtete Signal geschrieben werden:
$$w(t ) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( \pi f_2 t) \cdot {\cos} ( 4 \pi f_2 t) = ({4\hspace{0.05cm}{\rm V}})/({\pi f_2 t})\cdot \sin (\pi f_2 t) \cdot \cos ( 4 \pi f_2 t) .$$
  • Wegen der trigonometrischen Beziehung
$$\sin (\alpha) \cdot \cos (\beta) = {1}/{2} \cdot \big[ \sin (\alpha + \beta)+ \sin (\alpha - \beta)\big]$$
kann obige Gleichung umgeformt werden:
$$w(t ) = \frac{2\hspace{0.05cm}{\rm V}}{\pi f_2 t}\cdot \big [\sin (5\pi f_2 t) + \sin (-3\pi f_2 t)\big ] = 10\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \frac{\sin (5\pi f_2 t)}{5\pi f_2 t}- 6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \frac{\sin (3\pi f_2 t)}{3\pi f_2 t}.$$
  • Damit ist gezeigt, dass beide Signale tatsächlich identisch sind   ⇒   Lösungsvorschlag 1:
$$w(t) = 10 \hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( 5 \pi f_2 t) - 6 \hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( 3 \pi f_2 t) = d(t).$$