Aufgaben:Aufgabe 4.3Z: Hilbert-Transformator: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Grafik beschreibt ein Modell, wie zumindest gedanklich aus dem reellen BP–Signal $x(t)$ das analytische Signal $x_{+}(t)$ generiert werden kann.  
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Die Grafik beschreibt ein Modell, wie zumindest gedanklich,
Der untere Zweig enthält den so genannten Hilbert–Transformator mit dem Frequenzgang $H_{\rm HT}(f)$. Dessen Ausgangssignal $y(t)$ wird mit der imaginären Einheit $\rm j$ multipliziert und zum Signal $x(t)$ addiert:
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*aus dem reellen Bandpass–Signal  $x(t)$  
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*das analytische Signal  $x_{+}(t)$  generiert werden kann.  
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Der untere Zweig enthält den so genannten „Hilbert–Transformator” mit dem Frequenzgang  $H_{\rm HT}(f)$.  
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Dessen Ausgangssignal  $y(t)$  wird mit der imaginären Einheit  $\rm j$  multipliziert und zum Signal  $x(t)$  addiert:
 
:$$x_{\rm +}(t)= x(t) + {\rm j}\cdot y(t)  .$$
 
:$$x_{\rm +}(t)= x(t) + {\rm j}\cdot y(t)  .$$
Als Testsignale werden verwendet, jeweils mit $A = 1 \, \text{V}$ und $f_0 = 10 \, \text{kHz}$:
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Als Testsignale werden verwendet, jeweils mit  $A = 1 \, \text{V}$  und  $f_0 = 10 \, \text{kHz}$:
 
:$$x_1(t) = A \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_0 t ),$$
 
:$$x_1(t) = A \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_0 t ),$$
 
:$$x_2(t) = A \cdot  {\sin} ( 2 \pi f_0 t ),$$
 
:$$x_2(t) = A \cdot  {\sin} ( 2 \pi f_0 t ),$$
:$$x_3(t) = A \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_0 (t - \tau) ) \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}\tau = 12.5 \hspace{0.1cm}{\rm \mu s}.$$
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:$$x_3(t) = A \cdot  {\cos} \big( 2 \pi f_0 (t - \tau) \big) \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}\tau = 12.5 \hspace{0.1cm}{\rm µ s}.$$
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''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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*Für die Spektralfunktion des analytischen Signals gilt:  
 
*Für die Spektralfunktion des analytischen Signals gilt:  
:$$ X_{\rm +}(f)= \left[1 + {\rm sign}(f)\right] \cdot  X(f).$$
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:$$ X_{\rm +}(f)= \big[1 + {\rm sign}(f)\big] \cdot  X(f).$$
  
  
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Berechnen Sie den Frequenzgang $H_{HT}(f)$ des Hilbert-Transformators. Welcher Wert gilt für die Frequenz $f_0 = 10 \text{kHz}$?
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{Berechnen Sie den Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm HT}(f)$&nbsp; des Hilbert-Transformators.&nbsp; Welcher Wert gilt für die Frequenz&nbsp; $f_0 = 10 \text{ kHz}$?
 
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$\text{Re}[H_{\rm HT}(f = f_0)]\ = \ $  { 0. }
 
$\text{Re}[H_{\rm HT}(f = f_0)]\ = \ $  { 0. }
$\text{Re}[H_{\rm HT}(f = f_0)]\ = \ $ { -1.03--0.97 }
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$\text{Im}[H_{\rm HT}(f = f_0)]\ = \ $ { -1.03--0.97 }
  
  
{Wie lautet die Hilbert-Transformierte $y_1(t)$ für das Eingangssignal $x_1(t)$? Welcher Wert ergibt sich insbesondere bei $t = 0$?
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{Wie lautet die Hilbert-Transformierte&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; für das Eingangssignal&nbsp; $x_1(t)$?&nbsp; Welcher Wert ergibt sich insbesondere bei&nbsp; $t = 0$?
 
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$y_1(t = 0)\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\rm V$
 
$y_1(t = 0)\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\rm V$
  
  
{Wie lautet die Hilbert-Transformierte $y_2(t)$ für das Eingangssignal $x_2(t)$? Welcher Wert ergibt sich insbesondere bei $t = 0$?
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{Wie lautet die Hilbert-Transformierte&nbsp; $y_2(t)$&nbsp; für das Eingangssignal&nbsp; $x_2(t)$?&nbsp; Welcher Wert ergibt sich insbesondere bei&nbsp; $t = 0$?
 
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$y_2(t = 0)\ = \ $ { -1.03--0.97 } &nbsp;$\rm V$
 
$y_2(t = 0)\ = \ $ { -1.03--0.97 } &nbsp;$\rm V$
  
  
{Wie lautet die Hilbert-Transformierte $y_3(t)$ für das Eingangssignal $x_3(t)$? Wie groß ist die Phasenverzögerung $\varphi_{\rm HT}$ des Hilbert-Transformators?
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{Wie lautet die Hilbert-Transformierte&nbsp; $y_3(t)$&nbsp; für das Eingangssignal&nbsp; $x_3(t)$?&nbsp; Welcher Wert ergibt sich für&nbsp; $t=0$?&nbsp; Wie groß ist die Phasenverzögerung&nbsp; $\varphi_{\rm HT}$&nbsp; des Hilbert-Transformators?
 
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$\varphi_{\rm HT}\ = \ $ { 90 3% } &nbsp;$\text{Grad}$
 
$\varphi_{\rm HT}\ = \ $ { 90 3% } &nbsp;$\text{Grad}$
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{Wie lautet das zu $x_3(t)$ gehörige analytische Signal? Welchen Wert haben Real– und Imaginärteil dieses komplexen Signals zum Zeitpunkt $t = 0$?
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{Wie lautet das zu&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; gehörige analytische Signal?&nbsp; Welche Werte haben Real– und Imaginärteil dieses komplexen Signals zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$?
 
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$\text{Re}[x_{3+}(t = 0)]\ = \ $ { 0.707 3% } &nbsp;$\text{V}$
 
$\text{Re}[x_{3+}(t = 0)]\ = \ $ { 0.707 3% } &nbsp;$\text{V}$
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.'''  Für die Spektralfunktion am Modellausgang gilt:
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'''(1)'''&nbsp; Für die Spektralfunktion am Modellausgang gilt:
 
:$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rm j}\cdot H_{\rm HT}(f)\right) \cdot
 
:$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rm j}\cdot H_{\rm HT}(f)\right) \cdot
 
  X(f).$$
 
  X(f).$$
Ein Vergleich mit der angegebenen Beziehung
+
*Ein Vergleich mit der angegebenen Beziehung
 
:$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rm
 
:$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rm
 
sign}(f)\right) \cdot  X(f)$$
 
sign}(f)\right) \cdot  X(f)$$
zeigt, dass $H_{\rm HT}(f) = {\rm j} \cdot \sign(f)$ ist. Der gesuchte Realteil ist somit $\underline{0}$, der Imaginärteil gleich $\underline{–\hspace{-0.08cm}1}$.
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:zeigt, dass&nbsp; $H_{\rm HT}(f) = - {\rm j} \cdot \sign(f)$&nbsp; ist.  
  
'''2.'''  Aus der Spektralfunktion
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*Der gesuchte Realteil ist somit&nbsp; ${\rm Re}[X_{\rm +}(f)]\hspace{0.15cm}\underline{=0}$&nbsp; und  der Imaginärteil ist gleich&nbsp; ${\rm Im}[X_{\rm +}(f)]\hspace{0.15cm}\underline{=-1}$.
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'''(2)'''&nbsp; Aus der Spektralfunktion
 
:$$X_1(f) = {A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})+
 
:$$X_1(f) = {A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})+
 
{A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
 
{A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
wird nach dem Hilbert-Transformator:
+
:wird nach dem Hilbert-Transformator:
 
:$$Y_1(f) = {\rm j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-{\rm
 
:$$Y_1(f) = {\rm j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-{\rm
 
j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
 
j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
Damit lautet das Signal am Ausgang des Hilbert-Transformators:
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*Damit lautet das Signal am Ausgang des Hilbert-Transformators:
 
:$$y_1(t) = A \cdot  {\sin} ( 2 \pi f_0 t ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_1(t=0)\hspace{0.15 cm}\underline{ =0}.$$
 
:$$y_1(t) = A \cdot  {\sin} ( 2 \pi f_0 t ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_1(t=0)\hspace{0.15 cm}\underline{ =0}.$$
  
'''3.'''  Nun lauten die Spektralfunktionen am Eingang und Ausgang des Hilbert-Transformators:
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'''(3)'''&nbsp; Nun lauten die Spektralfunktionen am Eingang und Ausgang des Hilbert-Transformators:
 
:$$X_2(f) = {\rm j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-{\rm
 
:$$X_2(f) = {\rm j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-{\rm
 
j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}),$$
 
j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}),$$
 
:$$Y_2(f) = -{A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-
 
:$$Y_2(f) = -{A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-
 
{A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
 
{A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
Daraus folgt $y_2(t) = A \cdot cos(2\pi f_0 t)$ und $y_2(t = 0)\;  \underline{= \hspace{-0.08cm}1 \,\text{V}}$.
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*Daraus folgt&nbsp; $y_2(t) = - A \cdot \cos(2\pi f_0 t)$&nbsp; und&nbsp; $y_2(t = 0)\;  \underline{= -\hspace{-0.08cm}1 \,\text{V}}$.
  
'''4.'''  Dieses Eingangssignal lässt sich auch wie folgt darstellen:
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'''(4)'''&nbsp; Dieses Eingangssignal lässt sich auch wie folgt darstellen:
 
:$$x_3(t) = A \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_0 t -
 
:$$x_3(t) = A \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_0 t -
 
  2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot {\rm 0.0125 \hspace{0.05cm} ms}) =
 
  2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot {\rm 0.0125 \hspace{0.05cm} ms}) =
A \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_0 t - \pi/4).$$
+
A \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_0 t - \pi/4)\hspace{0.3cm}
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_3(t) = A \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_0 t - 3\pi/4).$$
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\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_3(t) = A \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_0 t - 3\pi/4).$$
Die Signalphase ist somit $\varphi = \pi /4$. Durch den Hilbert-Transformator wird diese um $\varphi_{\rm HT} \;  \underline{= 90°} \; (\pi /2)$ verzögert. Deshalb ist das Ausgangssignal $y_3(t) = A \cdot cos(2\pi f_0 t 3 \pi /4)$ und der Signalwert zur Zeit $t = 0$ beträgt $A \cdot cos(135°) \; \underline{= –0.707  \,\text{V}}$.
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*Die Signalphase ist somit&nbsp; $\varphi = \pi /4$.  
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*Durch den Hilbert-Transformator wird diese um&nbsp; $\varphi_{\rm HT} \;  \underline{= 90^\circ} \; (\pi /2)$&nbsp; verzögert.  
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*Deshalb ist das Ausgangssignal&nbsp; $y_3(t) = A \cdot \cos(2\pi f_0 t -3 \pi /4)$&nbsp; und der Signalwert zur Zeit&nbsp; $t = 0$&nbsp; beträgt&nbsp; $A \cdot \cos(135^\circ) \; \underline{= -0.707  \,\text{V}}$.
  
'''5.'''  Die Spektralfunktion des Signals $x_3(t)$ lautet:
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'''(5)'''&nbsp; Die Spektralfunktion des Signals&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; lautet:
 
:$$X_3(f) = {A_0}/{2} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \varphi}\cdot\delta
 
:$$X_3(f) = {A_0}/{2} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \varphi}\cdot\delta
 
(f + f_{\rm 0}) + {A_0}/{2} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}
 
(f + f_{\rm 0}) + {A_0}/{2} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}
 
\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm 0})  .$$
 
\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm 0})  .$$
Beim analytischen Signal verschwindet der erste Anteil und der Anteil bei $+f_0$ wird verdoppelt:
+
*Beim analytischen Signal verschwindet der erste Anteil und der Anteil bei&nbsp; $+f_0$&nbsp; wird verdoppelt:
 
:$$X_{3+}(f) =  {A_0} \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi}\cdot\delta (f
 
:$$X_{3+}(f) =  {A_0} \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi}\cdot\delta (f
 
- f_{\rm 0})  .$$
 
- f_{\rm 0})  .$$
Durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]] lautet damit die zugehörige Zeitfunktion mit $\varphi = \pi /4$:
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*Durch Anwendung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]&nbsp; lautet damit die zugehörige Zeitfunktion mit&nbsp; $\varphi = \pi /4$:
 
:$$x_{3+}(t) = A_0 \cdot {\rm e}^{{\rm j}( 2 \pi f_{\rm 0} t
 
:$$x_{3+}(t) = A_0 \cdot {\rm e}^{{\rm j}( 2 \pi f_{\rm 0} t
 
\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$
 
\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$
Speziell gilt für den Zeitpunkt $t = 0$:
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*Speziell gilt für den Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$:
 
:$$x_{3+}(t = 0) = A_0 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}
 
:$$x_{3+}(t = 0) = A_0 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}
 
\varphi} = A_0 \cdot{\cos} ( 45^\circ)-{\rm j}\cdot A_0  
 
\varphi} = A_0 \cdot{\cos} ( 45^\circ)-{\rm j}\cdot A_0  
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j}\cdot {\rm 0.707 \hspace{0.05cm} V}}.$$
 
j}\cdot {\rm 0.707 \hspace{0.05cm} V}}.$$
  
''Hinweis'': &nbsp; Um von $x(t)$ zu $x_+(t)$ zu kommen, muss man nur die Cosinusfunktion durch die komplexe Exponentialfunktion ersetzen.  
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Beispielsweise gilt für eine harmonische Schwingung:
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''Hinweis'': &nbsp;  
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*Um von&nbsp; $x(t)$&nbsp; zu&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; zu kommen, muss man nur die Cosinusfunktion durch die komplexe Exponentialfunktion ersetzen.  
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*Beispielsweise gilt für eine harmonische Schwingung:
 
:$$x(t) = A \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_0 t  
 
:$$x(t) = A \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_0 t  
 
-\hspace{0.05cm} \varphi) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}  x_{+}(t) = A \cdot {\rm e}^{{\rm j}( 2 \pi f_{\rm 0} t
 
-\hspace{0.05cm} \varphi) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}  x_{+}(t) = A \cdot {\rm e}^{{\rm j}( 2 \pi f_{\rm 0} t

Aktuelle Version vom 6. Mai 2021, 15:49 Uhr

Hilbert-Transformator

Die Grafik beschreibt ein Modell, wie zumindest gedanklich,

  • aus dem reellen Bandpass–Signal  $x(t)$
  • das analytische Signal  $x_{+}(t)$  generiert werden kann.


Der untere Zweig enthält den so genannten „Hilbert–Transformator” mit dem Frequenzgang  $H_{\rm HT}(f)$.

Dessen Ausgangssignal  $y(t)$  wird mit der imaginären Einheit  $\rm j$  multipliziert und zum Signal  $x(t)$  addiert:

$$x_{\rm +}(t)= x(t) + {\rm j}\cdot y(t) .$$

Als Testsignale werden verwendet, jeweils mit  $A = 1 \, \text{V}$  und  $f_0 = 10 \, \text{kHz}$:

$$x_1(t) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t ),$$
$$x_2(t) = A \cdot {\sin} ( 2 \pi f_0 t ),$$
$$x_3(t) = A \cdot {\cos} \big( 2 \pi f_0 (t - \tau) \big) \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}\tau = 12.5 \hspace{0.1cm}{\rm µ s}.$$





Hinweise:

  • Für die Spektralfunktion des analytischen Signals gilt:
$$ X_{\rm +}(f)= \big[1 + {\rm sign}(f)\big] \cdot X(f).$$


Fragebogen

1

Berechnen Sie den Frequenzgang  $H_{\rm HT}(f)$  des Hilbert-Transformators.  Welcher Wert gilt für die Frequenz  $f_0 = 10 \text{ kHz}$?

$\text{Re}[H_{\rm HT}(f = f_0)]\ = \ $

$\text{Im}[H_{\rm HT}(f = f_0)]\ = \ $

2

Wie lautet die Hilbert-Transformierte  $y_1(t)$  für das Eingangssignal  $x_1(t)$?  Welcher Wert ergibt sich insbesondere bei  $t = 0$?

$y_1(t = 0)\ = \ $

 $\rm V$

3

Wie lautet die Hilbert-Transformierte  $y_2(t)$  für das Eingangssignal  $x_2(t)$?  Welcher Wert ergibt sich insbesondere bei  $t = 0$?

$y_2(t = 0)\ = \ $

 $\rm V$

4

Wie lautet die Hilbert-Transformierte  $y_3(t)$  für das Eingangssignal  $x_3(t)$?  Welcher Wert ergibt sich für  $t=0$?  Wie groß ist die Phasenverzögerung  $\varphi_{\rm HT}$  des Hilbert-Transformators?

$\varphi_{\rm HT}\ = \ $

 $\text{Grad}$
$y_3(t = 0)\ = \ $

 $\text{V}$

5

Wie lautet das zu  $x_3(t)$  gehörige analytische Signal?  Welche Werte haben Real– und Imaginärteil dieses komplexen Signals zum Zeitpunkt  $t = 0$?

$\text{Re}[x_{3+}(t = 0)]\ = \ $

 $\text{V}$
$\text{Im}[x_{3+}(t = 0)]\ = \ $

 $\text{V}$


Musterlösung

(1)  Für die Spektralfunktion am Modellausgang gilt:

$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rm j}\cdot H_{\rm HT}(f)\right) \cdot X(f).$$
  • Ein Vergleich mit der angegebenen Beziehung
$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rm sign}(f)\right) \cdot X(f)$$
zeigt, dass  $H_{\rm HT}(f) = - {\rm j} \cdot \sign(f)$  ist.
  • Der gesuchte Realteil ist somit  ${\rm Re}[X_{\rm +}(f)]\hspace{0.15cm}\underline{=0}$  und der Imaginärteil ist gleich  ${\rm Im}[X_{\rm +}(f)]\hspace{0.15cm}\underline{=-1}$.


(2)  Aus der Spektralfunktion

$$X_1(f) = {A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})+ {A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
wird nach dem Hilbert-Transformator:
$$Y_1(f) = {\rm j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-{\rm j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
  • Damit lautet das Signal am Ausgang des Hilbert-Transformators:
$$y_1(t) = A \cdot {\sin} ( 2 \pi f_0 t ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_1(t=0)\hspace{0.15 cm}\underline{ =0}.$$


(3)  Nun lauten die Spektralfunktionen am Eingang und Ausgang des Hilbert-Transformators:

$$X_2(f) = {\rm j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-{\rm j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}),$$
$$Y_2(f) = -{A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})- {A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
  • Daraus folgt  $y_2(t) = - A \cdot \cos(2\pi f_0 t)$  und  $y_2(t = 0)\; \underline{= -\hspace{-0.08cm}1 \,\text{V}}$.



(4)  Dieses Eingangssignal lässt sich auch wie folgt darstellen:

$$x_3(t) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t - 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot {\rm 0.0125 \hspace{0.05cm} ms}) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t - \pi/4)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}y_3(t) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t - 3\pi/4).$$
  • Die Signalphase ist somit  $\varphi = \pi /4$.
  • Durch den Hilbert-Transformator wird diese um  $\varphi_{\rm HT} \; \underline{= 90^\circ} \; (\pi /2)$  verzögert.
  • Deshalb ist das Ausgangssignal  $y_3(t) = A \cdot \cos(2\pi f_0 t -3 \pi /4)$  und der Signalwert zur Zeit  $t = 0$  beträgt  $A \cdot \cos(135^\circ) \; \underline{= -0.707 \,\text{V}}$.


(5)  Die Spektralfunktion des Signals  $x_3(t)$  lautet:

$$X_3(f) = {A_0}/{2} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \varphi}\cdot\delta (f + f_{\rm 0}) + {A_0}/{2} \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm 0}) .$$
  • Beim analytischen Signal verschwindet der erste Anteil und der Anteil bei  $+f_0$  wird verdoppelt:
$$X_{3+}(f) = {A_0} \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm 0}) .$$
  • Durch Anwendung des  Verschiebungssatzes  lautet damit die zugehörige Zeitfunktion mit  $\varphi = \pi /4$:
$$x_{3+}(t) = A_0 \cdot {\rm e}^{{\rm j}( 2 \pi f_{\rm 0} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$
  • Speziell gilt für den Zeitpunkt  $t = 0$:
$$x_{3+}(t = 0) = A_0 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \varphi} = A_0 \cdot{\cos} ( 45^\circ)-{\rm j}\cdot A_0 \cdot{\sin} ( 45^\circ)= \hspace{0.15 cm}\underline{{\rm 0.707 \hspace{0.05cm} V}-{\rm j}\cdot {\rm 0.707 \hspace{0.05cm} V}}.$$



Hinweis:  

  • Um von  $x(t)$  zu  $x_+(t)$  zu kommen, muss man nur die Cosinusfunktion durch die komplexe Exponentialfunktion ersetzen.
  • Beispielsweise gilt für eine harmonische Schwingung:
$$x(t) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t -\hspace{0.05cm} \varphi) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{+}(t) = A \cdot {\rm e}^{{\rm j}( 2 \pi f_{\rm 0} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$