Aufgaben:Aufgabe 4.6Z: Ortskure bei Phasenmodulation: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Wir gehen hier von einem Nachrichtensignal $q(t)$ aus, das normiert (dimensionslos) betrachtet wird. Der Maximalwert dieses Signal ist $q_{\rm max} = 1$ und der minimale Signalwert beträgt $q_{\rm min} = -0.5$. Ansonsten ist über $q(t)$ nichts bekannt. | + | Wir gehen hier von einem Nachrichtensignal $q(t)$ aus, das normiert (dimensionslos) betrachtet wird. |
| + | *Der Maximalwert dieses Signal ist $q_{\rm max} = 1$ und der minimale Signalwert beträgt $q_{\rm min} = -0.5$. | ||
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Das modulierte Signal lautet bei Phasenmodulation: | Das modulierte Signal lautet bei Phasenmodulation: | ||
:$$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t + \eta \cdot q(t)).$$ | :$$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t + \eta \cdot q(t)).$$ | ||
| − | Hierbei bezeichnet $\eta$ den so genannten Modulationsindex. Auch die konstante Hüllkurve $s_0$ sei eine dimensionslose Größe, die im Folgenden zu $s_0 = 2$ gesetzt wird (siehe Grafik). | + | Hierbei bezeichnet $\eta$ den so genannten Modulationsindex. Auch die konstante Hüllkurve $s_0$ sei eine dimensionslose Größe, die im Folgenden zu $s_0 = 2$ gesetzt wird (siehe Grafik). |
| − | Ersetzt man | + | Ersetzt man die Cosinusfunktion durch die komplexe Exponentialfunktion, so kommt man zum analytischen Signal |
:$$s_{\rm +}(t) = s_0\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}( | :$$s_{\rm +}(t) = s_0\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}( | ||
\omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t + \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t)) }.$$ | \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t + \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t)) }.$$ | ||
| − | Daraus kann man das in der Grafik skizzierte äquivalente | + | Daraus kann man das in der Grafik skizzierte äquivalente Tiefpass-Signal wie folgt berechnen: |
:$$s_{\rm TP}(t) = s_{\rm +}(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm | :$$s_{\rm TP}(t) = s_{\rm +}(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm | ||
j}\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t } = s_0\cdot | j}\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t } = s_0\cdot | ||
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| − | {Wie lautet die Betragsfunktion $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$? Welcher Wert gilt für $t = 0$? | + | {Wie lautet die Betragsfunktion $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$? Welcher Wert gilt für $t = 0$? |
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| − | {Zwischen welchen Extremwerten $\phi_{\rm min}$ und $\phi_{\rm max}$ schwankt die Phase $\phi (t)$? | + | {Zwischen welchen Extremwerten $\phi_{\rm min}$ und $\phi_{\rm max}$ schwankt die Phase $\phi (t)$? |
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| − | {Bestimmen Sie aus der Phasenfunktion $\phi (t) | + | {Bestimmen Sie den Modulationsindex $\eta$ aus der Phasenfunktion $\phi (t)$. |
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$\eta\ = \ $ { 3.1415 3% } | $\eta\ = \ $ { 3.1415 3% } | ||
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{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? | {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? | ||
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| − | - Aus $q(t) = -0.5 = \text{const.}$ folgt $s(t) = s_0 \cdot \cos (\omega_T \cdot t)$. | + | - Aus $q(t) = -0.5 = \text{const.}$ folgt $s(t) = s_0 \cdot \cos (\omega_T \cdot t)$. |
| − | + Bei einem Rechtecksignal $q(t)$ | + | + Bei einem Rechtecksignal $q(t)$ mit nur zwei möglichen Signalwerten $\pm 0.5$ entartet die Ortskurve zu zwei Punkten. |
| − | + Mit den Signalwerten $\pm 1$ ( | + | + Mit den Signalwerten $\pm 1$ $(q_{\rm min} = -0.5$ trifft dann nicht mehr zu$)$ entartet die Ortskurve zu einem Punkt: $s_{\rm TP}(t) = -s_0$. |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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| + | '''(3)''' Allgemein gilt hier der Zusammenhang $s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} | ||
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:$$\phi(t) = \eta \cdot q(t).$$ | :$$\phi(t) = \eta \cdot q(t).$$ | ||
| − | Der maximale Phasenwert $\phi_{max} = +\pi \; \Rightarrow \; {180^\circ}$ ergibt sich für die Signalamplitude $q_{\rm max} = 1$. Daraus folgt direkt ${\eta = \pi} \; \underline{\approx 3. | + | *Der maximale Phasenwert $\phi_{\rm max} = +\pi \; \Rightarrow \; {180^\circ}$ ergibt sich für die Signalamplitude $q_{\rm max} = 1$. Daraus folgt direkt ${\eta = \pi} \; \underline{\approx 3.1415}$. |
| + | *Dieser Modulationsindex wird durch die Werte $\phi_{\rm min} = -\pi /2$ und $q_{\rm min} = -0.5$ bestätigt. | ||
| − | [[Datei:P_ID769__Sig_Z_4_6_d_neu.png|right|Ortskurve (Phasendiagramm) | + | [[Datei:P_ID769__Sig_Z_4_6_d_neu.png|right|frame|Ortskurve (Phasendiagramm) beim Rechtecksignal]] |
| − | '''4 | + | '''(4)''' Richtig sind der <u>zweite und der dritte Lösungsvorschlag</u>: |
| − | :$$\phi(t) = \eta \cdot q(t) = - | + | *Ist $q(t) = \text{const.} =-0.5$, so ist die Phasenfunktion ebenfalls konstant: |
| + | :$$\phi(t) = \eta \cdot q(t) = - {\pi}/{2}\hspace{0.3cm} | ||
\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t) = - {\rm j} \cdot s_0 = - 2{\rm j}.$$ | \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t) = - {\rm j} \cdot s_0 = - 2{\rm j}.$$ | ||
| − | Somit gilt für das tatsächliche, physikalische Signal: | + | *Somit gilt für das tatsächliche, physikalische Signal: |
:$$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t - | :$$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t - | ||
{\pi}/{2}) = 2 \cdot {\sin} ( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm} t ).$$ | {\pi}/{2}) = 2 \cdot {\sin} ( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm} t ).$$ | ||
| + | *Dagegen führt $q(t) = +0.5$ zu $\phi (t) = \pi /2$ und zu $s_{\rm TP}(t) = 2{\rm j}$. | ||
| + | *Ist $q(t)$ ein Rechtecksignal, das abwechselnd die Werte $+0.5$ und $–0.5$ annimmt, dann besteht die Ortskurve nur aus zwei Punkten auf der imaginären Achse, und zwar unabhängig davon, wie lange die Intervalle mit $+0.5$ und $–0.5$ dauern. | ||
| + | *Gilt dagegen $q(t) = \pm 1$, so ergeben sich rein formal die möglichen Phasenwerte $+\pi$ und $-\pi$, die aber identisch sind. | ||
| + | *Die „Ortskurve” besteht dann nur aus einem einzigen Punkt: $s_{\rm TP}(t) = - s_0$ <br>⇒ das Signal $s(t)$ ist für alle Zeiten $t$ „minus-cosinusförmig”. | ||
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Aktuelle Version vom 12. Mai 2021, 11:15 Uhr
Eine mögliche Ortskurve bei Phasenmodulation
Wir gehen hier von einem Nachrichtensignal $q(t)$ aus, das normiert (dimensionslos) betrachtet wird.
- Der Maximalwert dieses Signal ist $q_{\rm max} = 1$ und der minimale Signalwert beträgt $q_{\rm min} = -0.5$.
- Ansonsten ist über $q(t)$ nichts bekannt.
Das modulierte Signal lautet bei Phasenmodulation:
- $$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t + \eta \cdot q(t)).$$
Hierbei bezeichnet $\eta$ den so genannten Modulationsindex. Auch die konstante Hüllkurve $s_0$ sei eine dimensionslose Größe, die im Folgenden zu $s_0 = 2$ gesetzt wird (siehe Grafik).
Ersetzt man die Cosinusfunktion durch die komplexe Exponentialfunktion, so kommt man zum analytischen Signal
- $$s_{\rm +}(t) = s_0\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t + \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t)) }.$$
Daraus kann man das in der Grafik skizzierte äquivalente Tiefpass-Signal wie folgt berechnen:
- $$s_{\rm TP}(t) = s_{\rm +}(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t } = s_0\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t) }.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion.
- Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet Physikalisches Signal & Äquivalentes Tiefpass-Signal ⇒ Ortskurve überprüfen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die Ortskurve ist ein Kreisbogen mit dem Radius $2$. Deshalb ist die Betragsfunktion konstant $\underline{a(t) = 2}$.
(2) Aus der Grafik ist zu erkennen, dass folgende Zahlenwerte gelten:
- $\phi_{\rm min} =- \pi /2 \; \Rightarrow \; \underline{-90^\circ}$,
- $\phi_{\rm max} = +\pi \; \Rightarrow \; \underline{+180^\circ}$.
(3) Allgemein gilt hier der Zusammenhang $s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t)}.$ Ein Vergleich mit der gegebenen Funktion liefert:
- $$\phi(t) = \eta \cdot q(t).$$
- Der maximale Phasenwert $\phi_{\rm max} = +\pi \; \Rightarrow \; {180^\circ}$ ergibt sich für die Signalamplitude $q_{\rm max} = 1$. Daraus folgt direkt ${\eta = \pi} \; \underline{\approx 3.1415}$.
- Dieser Modulationsindex wird durch die Werte $\phi_{\rm min} = -\pi /2$ und $q_{\rm min} = -0.5$ bestätigt.
Ortskurve (Phasendiagramm) beim Rechtecksignal
(4) Richtig sind der zweite und der dritte Lösungsvorschlag:
- Ist $q(t) = \text{const.} =-0.5$, so ist die Phasenfunktion ebenfalls konstant:
- $$\phi(t) = \eta \cdot q(t) = - {\pi}/{2}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t) = - {\rm j} \cdot s_0 = - 2{\rm j}.$$
- Somit gilt für das tatsächliche, physikalische Signal:
- $$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t - {\pi}/{2}) = 2 \cdot {\sin} ( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm} t ).$$
- Dagegen führt $q(t) = +0.5$ zu $\phi (t) = \pi /2$ und zu $s_{\rm TP}(t) = 2{\rm j}$.
- Ist $q(t)$ ein Rechtecksignal, das abwechselnd die Werte $+0.5$ und $–0.5$ annimmt, dann besteht die Ortskurve nur aus zwei Punkten auf der imaginären Achse, und zwar unabhängig davon, wie lange die Intervalle mit $+0.5$ und $–0.5$ dauern.
- Gilt dagegen $q(t) = \pm 1$, so ergeben sich rein formal die möglichen Phasenwerte $+\pi$ und $-\pi$, die aber identisch sind.
- Die „Ortskurve” besteht dann nur aus einem einzigen Punkt: $s_{\rm TP}(t) = - s_0$
⇒ das Signal $s(t)$ ist für alle Zeiten $t$ „minus-cosinusförmig”.
