Aufgabe 2.4: DSL/DMT mit IDFT/DFT: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Eine [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL_als_Übertragungstechnik#DMT.E2.80.93Realisierung_mit_IDFT.2FDFT|Realisierungsform]] des | + | Eine [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL_als_Übertragungstechnik#DMT.E2.80.93Realisierung_mit_IDFT.2FDFT|Realisierungsform]] des $\rm DMT$–Verfahrens (steht für ''Discrete Multitone Transmission'') basiert auf der ''Inversen Diskreten Fouriertransformation'' $\rm (IDFT)$ beim Sender sowie der ''Diskreten Fouriertransformation'' $\rm (DFT)$ beim Empfänger. |
| − | Beim Sender werden $N/ | + | Beim Sender werden $N/2-1$ Nutzer durch die komplexen Spektralkoeffizienten $D_{k} \ (k = 1,$ ... , $N/2–1)$ den Frequenzen $f_{k} = k \cdot f_{0}$ zugewiesen. Die Grundfrequenz $f_{0}$ ist der Kehrwert der Symboldauer $T$. |
| − | Es gilt $D_{k} \in \{ ±1 ± {\rm j} \}$, falls ein Kanal belegt ist, im anderen Fall ist $D_{k} = 0$. Die Koeffizienten $D_{0}$ und $D_{N/2}$ sind stets Null. Die obersten Koeffizienten werden konjugiert–komplex belegt: | + | *Es gilt $D_{k} \in \{ ±1 ± {\rm j} \}$, falls ein Kanal belegt ist, im anderen Fall ist $D_{k} = 0$. |
| + | *Die Koeffizienten $D_{0}$ und $D_{N/2}$ sind stets Null. | ||
| + | *Die obersten Koeffizienten werden konjugiert–komplex belegt: | ||
:$$D_k = D_{N-k}^{\star},\hspace{0.2cm}k = N/2 +1,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}, N-1 \hspace{0.05cm}.$$ | :$$D_k = D_{N-k}^{\star},\hspace{0.2cm}k = N/2 +1,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}, N-1 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Dadurch wird sicher gestellt, dass das Zeitsignal $s(t)$ stets reell ist. Die Abtastwerte $s_{0}$, ... , $s_{N–1}$ dieses Signals werden dabei durch die IDFT gebildet, wobei der zeitliche Abstand zweier Abtastwerte | + | Dadurch wird sicher gestellt, dass das Zeitsignal $s(t)$ stets reell ist. Die Abtastwerte $s_{0}$, ... , $s_{N–1}$ dieses Signals werden dabei durch die IDFT gebildet, wobei der zeitliche Abstand zweier Abtastwerte |
:$$\Delta t = T/N = 1/(N \cdot f_{0})$$ | :$$\Delta t = T/N = 1/(N \cdot f_{0})$$ | ||
beträgt. Durch Tiefpassfilterung erhält man das zeitkontinuierliche Signal. | beträgt. Durch Tiefpassfilterung erhält man das zeitkontinuierliche Signal. | ||
| − | Bei ADSL/DMT gilt $N = 512$ und $f_{0} = 4.3125 \ \rm kHz$. In dem hier betrachteten Beispiel seien die Parameter zur Vereinfachung wie folgt angenommen: | + | Bei ADSL/DMT gilt $N = 512$ und $f_{0} = 4.3125 \ \rm kHz$. In dem hier betrachteten Beispiel seien die Parameter zur Vereinfachung wie folgt angenommen: |
:$$N = 16,\hspace{0.2cm}\Delta t = 10\,{\rm µ s} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$N = 16,\hspace{0.2cm}\Delta t = 10\,{\rm µ s} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | In | + | In obiger Tabelle sind für drei verschiedene $D_{k}$–Belegungen die Abtastwerte $s_{l} (l = 0$, ... , $15)$ nach der IDFT angegeben. Gesucht sind die zugehörigen Spektralkoeffizienten $D_{k}\ (k = 0$, ... , $15).$ |
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''Hinweise:'' | ''Hinweise:'' | ||
| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL_als_Übertragungstechnik|xDSL als Übertragungstechnik]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL_als_Übertragungstechnik|xDSL als Übertragungstechnik]]. |
*Das Sendesignal hat bei DSL die Form | *Das Sendesignal hat bei DSL die Form | ||
| − | :$$s(t) = \sum_{k = 1}^{K} \ | + | :$$s(t) = \sum_{k = 1}^{K} \big [ 2 \cdot {\rm Re}\{D_k\} \cdot \cos(2\pi \cdot k f_0 \cdot t ) - 2 \cdot {\rm Im}\{D_k\} \cdot \sin(2\pi \cdot k f_0 \cdot t )\big ] \hspace{0.05cm}.$$ |
*Beachten Sie auch die folgende trigonometrische Beziehung: | *Beachten Sie auch die folgende trigonometrische Beziehung: | ||
:$$\cos(2\pi f_0 t + \phi_0) = \cos( \phi_0) \cdot \cos(2\pi f_0 t ) - \sin( \phi_0) \cdot \sin(2\pi f_0 t ) \hspace{0.05cm}.$$ | :$$\cos(2\pi f_0 t + \phi_0) = \cos( \phi_0) \cdot \cos(2\pi f_0 t ) - \sin( \phi_0) \cdot \sin(2\pi f_0 t ) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | *Man bezeichnet als den ''Crestfaktor'' (oder den Scheitelfaktor) eines Signals | + | *Man bezeichnet das Verhältnis von Maximalwert und Effektivwert als den ''Crestfaktor'' (oder den Scheitelfaktor) eines Signals. |
| − | *Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)|Diskrete Fouriertransformation]] überprüfen. | + | *Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)|Diskrete Fouriertransformation]] überprüfen. |
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | { Wieviele Nutzer $(K)$ können mit diesem System versorgt werden? | + | { Wieviele Nutzer $(K)$ können mit diesem System versorgt werden? |
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$K \ = \ ${ 7 } | $K \ = \ ${ 7 } | ||
| − | {Wie groß ist die Bandbreite $B$ des betrachteten DMT–Systems? | + | {Wie groß ist die Bandbreite $B$ des betrachteten DMT–Systems? |
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$B \ = \ ${ 50 3% } $\ \rm kHz $ | $B \ = \ ${ 50 3% } $\ \rm kHz $ | ||
| − | {Wie lauten die Spektralkoeffizienten bei der Belegung $\boldsymbol{\rm A}$? | + | {Wie lauten die Spektralkoeffizienten bei der Belegung $\boldsymbol{\rm A}$? |
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- $D_{1} = 1- \rm j, \ alle \ anderen \ 0,$ | - $D_{1} = 1- \rm j, \ alle \ anderen \ 0,$ | ||
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| − | - $D_{1} = 1 + {\rm j}, D_{15} = 1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0.$ | + | - $D_{1} = 1 + {\rm j}, \ D_{15} = 1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0.$ |
| − | {Wie lauten die Spektralkoeffizienten bei der Belegung $\boldsymbol{\rm B}$? | + | {Wie lauten die Spektralkoeffizienten bei der Belegung $\boldsymbol{\rm B}$? |
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| − | + $D_{3} = -1 - {\rm j}, D_{13} = -1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0$. | + | + $D_{3} = -1 - {\rm j}, \ D_{13} = -1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0$. |
| − | {Wie lauten die Spektralkoeffizienten bei der Belegung $\boldsymbol{\rm C}$ mit $ | + | {Wie lauten die Spektralkoeffizienten bei der Belegung $\boldsymbol{\rm C}$ mit $\boldsymbol{\rm C} = \boldsymbol{\rm A} + \boldsymbol{\rm B}?$ |
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| − | {Wie groß ist der Crestfaktor $(s_{\rm max}/s_{\rm eff})$ bei der Belegung $\boldsymbol{\rm C}$? | + | {Wie groß ist der Crestfaktor $(s_{\rm max}/s_{\rm eff})$ bei der Belegung $\boldsymbol{\rm C}$? |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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| − | '''(1)''' Das System ist für $K = N/2 | + | '''(1)''' Das System ist für $K = N/2 - 1 \underline{= 7 \ {\rm Nutzer}}$ ausgelegt $(N = 16)$. |
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| − | * Aus den $16$ Abtastwerten $s_{l}$ in der ersten Spalte der Tabelle (Belegung $\boldsymbol{\rm A}$ | + | * Aus den $16$ Abtastwerten $s_{l}$ in der ersten Spalte der Tabelle $($Belegung $\boldsymbol{\rm A})$ erkennt man, dass $s(t)$ eine harmonische Schwingung mit der Periodendauer $T_{0} = T$ beschreibt (nur eine Schwingung). Die Amplitude ist gleich $2 \cdot \sqrt{2} =2.828$ und die Phase beträgt $\phi_0 = 45^\circ \ (π/4)$. |
| − | *Damit kann für das zeitkontinuierliche Signal geschrieben werden (mit $f_{0} = 1/T$ | + | *Damit kann für das zeitkontinuierliche Signal geschrieben werden $($mit $f_{0} = 1/T)$: |
:$$s(t) = 2 \cdot \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi f_0 t + \pi /4) \hspace{0.05cm}.$$ | :$$s(t) = 2 \cdot \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi f_0 t + \pi /4) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
*Mit der angegebenen trigonometrischen Umformung und ${\rm cos} \ (π/4) \ = \ {\rm sin} \ (π/4) \ = \ \sqrt{2}$ gilt weiterhin: | *Mit der angegebenen trigonometrischen Umformung und ${\rm cos} \ (π/4) \ = \ {\rm sin} \ (π/4) \ = \ \sqrt{2}$ gilt weiterhin: | ||
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:$$S(f) = (1 + {\rm j}) \cdot \delta (f - f_0) + (1 - {\rm j}) \cdot \delta (f + f_0)\hspace{0.05cm}.$$ | :$$S(f) = (1 + {\rm j}) \cdot \delta (f - f_0) + (1 - {\rm j}) \cdot \delta (f + f_0)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
Der Koeffizient $D_1$ beschreibt das Gewicht bei der ersten Diracfunktion (also bei $f = f_0$), der Koeffizient $D_{15} = D_{-1}$ das Gewicht der Diracfunktion bei $f = -f_0$. Hierbei ist die implizite periodische Fortsetzung bei der DFT (bzw. IDFT) zu beachten. | Der Koeffizient $D_1$ beschreibt das Gewicht bei der ersten Diracfunktion (also bei $f = f_0$), der Koeffizient $D_{15} = D_{-1}$ das Gewicht der Diracfunktion bei $f = -f_0$. Hierbei ist die implizite periodische Fortsetzung bei der DFT (bzw. IDFT) zu beachten. | ||
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*Die Amplitude ist gegenüber der Belegung $\boldsymbol{\rm A}$ unverändert. Die Phase $\phi_0$ erkennt man aus dem ersten Maximum bei $l = 2$: | *Die Amplitude ist gegenüber der Belegung $\boldsymbol{\rm A}$ unverändert. Die Phase $\phi_0$ erkennt man aus dem ersten Maximum bei $l = 2$: | ||
:$$ s(t) \ = \ 2 \cdot \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi \cdot 3 f_0 \cdot ( t - 2 \cdot \Delta t)) = \ 2 \cdot \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi \cdot 3 f_0 \cdot t + \phi_0), \hspace{0.3cm} \phi_0 = 12 \pi \cdot \frac{\Delta t}{T} = \frac{3 \pi}{4} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$ s(t) \ = \ 2 \cdot \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi \cdot 3 f_0 \cdot ( t - 2 \cdot \Delta t)) = \ 2 \cdot \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi \cdot 3 f_0 \cdot t + \phi_0), \hspace{0.3cm} \phi_0 = 12 \pi \cdot \frac{\Delta t}{T} = \frac{3 \pi}{4} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | *Nach gleicher Vorgehensweise wie bei Aufgabe 3) erhält man nun mit $ {\rm cos}(3π/4) \ = \sin(3π/4) = –\sqrt{2}/2$: | + | *Nach gleicher Vorgehensweise wie bei Aufgabe '''(3)''' erhält man nun mit $ {\rm cos}(3π/4) \ = \sin(3π/4) = –\sqrt{2}/2$: |
:$${\rm Re}\{D_3\} = -1, \hspace{0.2cm} {\rm Im}\{D_3\} = -1\hspace{0.05cm}.$$ | :$${\rm Re}\{D_3\} = -1, \hspace{0.2cm} {\rm Im}\{D_3\} = -1\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| − | * Aufgrund der Linearität der IDFT ergeben sich die Koeffizienten $D_1$, $D_3$, $D_{13}$ und $D_{15}$ entsprechend den Ergebnissen der Teilaufgaben (4) und (5). | + | * Aufgrund der Linearität der IDFT ergeben sich die Koeffizienten $D_1$, $D_3$, $D_{13}$ und $D_{15}$ entsprechend den Ergebnissen der Teilaufgaben '''(4)''' und '''(5)'''. |
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Aktuelle Version vom 5. August 2019, 14:14 Uhr
Zeitabtastwerte bei verschiedenen DMT-Spektralbelegungen
Eine Realisierungsform des $\rm DMT$–Verfahrens (steht für Discrete Multitone Transmission) basiert auf der Inversen Diskreten Fouriertransformation $\rm (IDFT)$ beim Sender sowie der Diskreten Fouriertransformation $\rm (DFT)$ beim Empfänger.
Beim Sender werden $N/2-1$ Nutzer durch die komplexen Spektralkoeffizienten $D_{k} \ (k = 1,$ ... , $N/2–1)$ den Frequenzen $f_{k} = k \cdot f_{0}$ zugewiesen. Die Grundfrequenz $f_{0}$ ist der Kehrwert der Symboldauer $T$.
- Es gilt $D_{k} \in \{ ±1 ± {\rm j} \}$, falls ein Kanal belegt ist, im anderen Fall ist $D_{k} = 0$.
- Die Koeffizienten $D_{0}$ und $D_{N/2}$ sind stets Null.
- Die obersten Koeffizienten werden konjugiert–komplex belegt:
- $$D_k = D_{N-k}^{\star},\hspace{0.2cm}k = N/2 +1,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}, N-1 \hspace{0.05cm}.$$
Dadurch wird sicher gestellt, dass das Zeitsignal $s(t)$ stets reell ist. Die Abtastwerte $s_{0}$, ... , $s_{N–1}$ dieses Signals werden dabei durch die IDFT gebildet, wobei der zeitliche Abstand zweier Abtastwerte
- $$\Delta t = T/N = 1/(N \cdot f_{0})$$
beträgt. Durch Tiefpassfilterung erhält man das zeitkontinuierliche Signal.
Bei ADSL/DMT gilt $N = 512$ und $f_{0} = 4.3125 \ \rm kHz$. In dem hier betrachteten Beispiel seien die Parameter zur Vereinfachung wie folgt angenommen:
- $$N = 16,\hspace{0.2cm}\Delta t = 10\,{\rm µ s} \hspace{0.05cm}.$$
In obiger Tabelle sind für drei verschiedene $D_{k}$–Belegungen die Abtastwerte $s_{l} (l = 0$, ... , $15)$ nach der IDFT angegeben. Gesucht sind die zugehörigen Spektralkoeffizienten $D_{k}\ (k = 0$, ... , $15).$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel xDSL als Übertragungstechnik.
- Das Sendesignal hat bei DSL die Form
- $$s(t) = \sum_{k = 1}^{K} \big [ 2 \cdot {\rm Re}\{D_k\} \cdot \cos(2\pi \cdot k f_0 \cdot t ) - 2 \cdot {\rm Im}\{D_k\} \cdot \sin(2\pi \cdot k f_0 \cdot t )\big ] \hspace{0.05cm}.$$
- Beachten Sie auch die folgende trigonometrische Beziehung:
- $$\cos(2\pi f_0 t + \phi_0) = \cos( \phi_0) \cdot \cos(2\pi f_0 t ) - \sin( \phi_0) \cdot \sin(2\pi f_0 t ) \hspace{0.05cm}.$$
- Man bezeichnet das Verhältnis von Maximalwert und Effektivwert als den Crestfaktor (oder den Scheitelfaktor) eines Signals.
- Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet Diskrete Fouriertransformation überprüfen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Das System ist für $K = N/2 - 1 \underline{= 7 \ {\rm Nutzer}}$ ausgelegt $(N = 16)$.
(2) Die Rahmendauer $T$ ergibt sich zu $N \cdot \Delta t = 0.16 \rm ms$.
- Die Grundfrequenz ist hier dementsprechend $f_{0} = 1/T = 6.25 \ \rm kHz$ und die Gesamtbandbreite beträgt $B = 8 \cdot f_{0} \ \underline{= 50 \ \rm kHz}$.
- Zum Vergleich: Bei ADSL ergibt sich diese Bandbreite zu $256 \cdot 4.3125 \ \rm kHz= 1104 \ kHz.$
(3) Richtig ist der zweite Lösungsvorschlag:
- Aus den $16$ Abtastwerten $s_{l}$ in der ersten Spalte der Tabelle $($Belegung $\boldsymbol{\rm A})$ erkennt man, dass $s(t)$ eine harmonische Schwingung mit der Periodendauer $T_{0} = T$ beschreibt (nur eine Schwingung). Die Amplitude ist gleich $2 \cdot \sqrt{2} =2.828$ und die Phase beträgt $\phi_0 = 45^\circ \ (π/4)$.
- Damit kann für das zeitkontinuierliche Signal geschrieben werden $($mit $f_{0} = 1/T)$:
- $$s(t) = 2 \cdot \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi f_0 t + \pi /4) \hspace{0.05cm}.$$
- Mit der angegebenen trigonometrischen Umformung und ${\rm cos} \ (π/4) \ = \ {\rm sin} \ (π/4) \ = \ \sqrt{2}$ gilt weiterhin:
- $$s(t) = 2 \cdot \cos(2\pi f_0 t ) - 2 \cdot \sin(2\pi f_0 t ) \hspace{0.05cm}.$$
- Ein Koeffizientenvergleich mit der weiteren Gleichung
- $$s(t) = \sum_{k = 1}^{K} \left [ 2 \cdot {\rm Re}[D_k] \cdot \cos(2\pi \cdot k f_0 \cdot t ) - 2 \cdot {\rm Im}[D_k] \cdot \sin(2\pi \cdot k f_0 \cdot t )\right ] \hspace{0.05cm}$$
- liefert das Ergebnis:
- $$2 \cdot {\rm Re}[D_1] = 2 \hspace{0.3cm} \ \Rightarrow \ \hspace{0.3cm} {\rm Re}[D_1] = 1\hspace{0.05cm},$$
- $$2 \cdot {\rm Im}[D_1] = 2 \hspace{0.3cm} \ \Rightarrow \ \hspace{0.3cm} {\rm Im}[D_1] = 1\hspace{0.05cm}.$$
- Weiterhin ist zu beachten, dass der Koeffizient $D_{15}$ mit dem konjugiert–komplexen Wert zu belegen ist:
- $$D_{15} = D_{1}^{\star} = 1 - {\rm j}\hspace{0.05cm}.$$
Zum gleichen Ergebnis wäre man durch Auswertung der (zeitkontinuierlichen) Fouriertransformierten von $s(t)$ gekommen:
- $$S(f) = (1 + {\rm j}) \cdot \delta (f - f_0) + (1 - {\rm j}) \cdot \delta (f + f_0)\hspace{0.05cm}.$$
Der Koeffizient $D_1$ beschreibt das Gewicht bei der ersten Diracfunktion (also bei $f = f_0$), der Koeffizient $D_{15} = D_{-1}$ das Gewicht der Diracfunktion bei $f = -f_0$. Hierbei ist die implizite periodische Fortsetzung bei der DFT (bzw. IDFT) zu beachten.
(4) Richtig ist der Lösungsvorschlag 3, wobei nun $D_{13} = D_{3}^∗$ zu berücksichtigen ist.
- Zeichnet man die Abtastwerte $s_l$ auf, so erkennt man nun die 3–fache Frequenz. Zum Beispiel ergibt sich aus dem Vergleich von $s_2$ und $s_{10}$:
- $$8 \cdot \Delta t ={T}/{2} = 1.5 \cdot T_0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} T_0 = {T}/{3}\hspace{0.05cm}.$$
- Die Amplitude ist gegenüber der Belegung $\boldsymbol{\rm A}$ unverändert. Die Phase $\phi_0$ erkennt man aus dem ersten Maximum bei $l = 2$:
- $$ s(t) \ = \ 2 \cdot \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi \cdot 3 f_0 \cdot ( t - 2 \cdot \Delta t)) = \ 2 \cdot \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi \cdot 3 f_0 \cdot t + \phi_0), \hspace{0.3cm} \phi_0 = 12 \pi \cdot \frac{\Delta t}{T} = \frac{3 \pi}{4} \hspace{0.05cm}.$$
- Nach gleicher Vorgehensweise wie bei Aufgabe (3) erhält man nun mit $ {\rm cos}(3π/4) \ = \sin(3π/4) = –\sqrt{2}/2$:
- $${\rm Re}\{D_3\} = -1, \hspace{0.2cm} {\rm Im}\{D_3\} = -1\hspace{0.05cm}.$$
(5) Richtig ist hier der erste Lösungsvorschlag:
- Aufgrund der Linearität der IDFT ergeben sich die Koeffizienten $D_1$, $D_3$, $D_{13}$ und $D_{15}$ entsprechend den Ergebnissen der Teilaufgaben (4) und (5).
(6) Die Belegung $\boldsymbol{\rm C}$ führt zu der Summe zweier harmonischer Schwingungen (mit $f_0$ bzw. $3f_0$), jeweils mit gleicher Amplitude $A$. Somit ergibt sich für die mittlere Signalleistung:
- $$P_{\rm S} = 2 \cdot \frac{A^2}{2} = A^2 = 8\hspace{0.05cm}.$$
Der Effektivwert ist gleich der Wurzel aus der Sendeleistung $P_{\rm S}$:
- $$s_{\rm eff} = \sqrt{P_{\rm S}} = A = 2.828\hspace{0.05cm}.$$
Der Maximalwert ist aus der Tabelle ablesbar:
- $$s_{\rm max} = 5.226\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm max}/s_{\rm eff} = \frac{5.226}{2.828} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 1.85 \hspace{0.05cm}}.$$
Dagegen würde bei den beiden Belegungen $\boldsymbol{\rm A}$ und $\boldsymbol{\rm B}$ jeweils $s_{\rm max}/s_{\rm eff}= \sqrt{2} = 1.414$ gelten.
