Applets:Attenuation of Copper Cables: Unterschied zwischen den Versionen

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{{LntAppletLink|daempfung}}
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{{LntAppletLinkEn|attenuationCopperCables_en}}
  
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==Programmbeschreibung==
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==Applet Description==
 
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This applet calculates the attenuation function $a_{\rm K}(f)$ of conducted transmission media (with cable length $l$):
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*For coaxial cables one usually uses the equation $a_{\rm K}(f)=(\alpha_0+\alpha_1\cdot f+\alpha_2\cdot \sqrt{f}) \cdot l$.
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*In contrast, two-wire lines are often displayed in the form $a_{\rm K}(f)=(k_1+k_2\cdot (f/{\rm MHz})^{k_3}) \cdot l$.
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*The conversion of the $(k_1, \ k_2, \ k_3)$ parameters to the $(\alpha_0, \ \alpha_1, \ \alpha_2)$ parameters for $B = 30 \ \rm MHz$ is realized as well as the other way around.
  
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==Theoretischer Hintergrund==
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Aside from the attenuation function $a_{\rm K}(f)$  the applet can display:
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*the associated magnitude frequency response $\left | H_{\rm K}(f)\right |=10^{-a_\text{K}(f)/20},$
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*the equalizer frequency response $\left | H_{\rm E}(f)\right | = \left | H_{\rm CRO}(f)  /  H_{\rm K}(f)\right | $, that leads to a nyquist total frequency response $ H_{\rm CRO}(f) $,
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*the corresponding magnitude square frequency response $\left | H_{\rm E}(f)\right |^2 $.
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The integral over $\left | H_{\rm E}(f)\right |^2 $ is a measure of the noise exaggeration of the selected Nyquist total frequency response and thus also for the expected error probability.From this, the ''total efficiency'' &nbsp;$\eta_\text{K+E}$ for channel (ger.:'''K'''anal) and equalizer (ger.:'''E'''ntzerrer) is calculated, which is output in the applet in $\rm dB$.
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Through optimization of the roll-off-factor $r$ of the cosine roll-off frequency response $ H_{\rm CRO}(f) $ one gets the ''Channel efficiency'' &nbsp;$ \eta_\text{K}$. This therefore indicates the deterioration of the overall system due to the attenuation function $ a _ {\ rm K} (f) $ of the transmission medium.
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==Theoretical Background==
 
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===Betragsfrequenzgang und Dämpfungsfunktion===
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===Magnitude Frequency Response and Attenuation Function===
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Es besteht folgender Zusammenhang zwischen dem Betragsfrequenzgang und der Dämpfungsfunktion:
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Following relationship exists between the magnitude frequency response and the attenuation function:
 
:$$\left | H_{\rm K}(f)\right |=10^{-a_\text{K}(f)/20} = {\rm e}^{-a_\text{K, Np}(f)}.$$
 
:$$\left | H_{\rm K}(f)\right |=10^{-a_\text{K}(f)/20} = {\rm e}^{-a_\text{K, Np}(f)}.$$
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*Der Index &bdquo;K&rdquo; soll deutlich machen, dass das betrachtete LZI&ndash;System ein '''Ka'''abel ist.
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*The index &bdquo;K&rdquo; makes it clear, that the considered LTI system is a cable (German : '''K'''abel).
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*Bei der ersten Berechnungsvorschrift ist die Dämpfungsfunktion $a_\text{K}(f)$ in $\rm dB$ (Dezibel) einzusetzen.
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*For the first calculation rule, the damping function $a_\text{K}(f)$ must be used in $\rm dB$ (decibel).
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*Bei der zweiten Berechnungsvorschrift ist die Dämpfungsfunktion $a_\text{K, Np}(f)$ in $\rm Np$ (Neper) einzusetzen.
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*For the second calculation rule, the damping function $a_\text{K, Np}(f)$ must be used in $\rm Np$ (Neper).
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* Es gelten folgende Umrechnungen $\rm 1 \ dB = 0.05 \cdot \ln (10) \ Np= 0.1151 \ Np$ bzw. $\rm 1 \ Np = 20 \cdot \lg (e) \ dB= 8.6859 \ dB$.
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* The following conversions apply: $\rm 1 \ dB = 0.05 \cdot \ln (10) \ Np= 0.1151 \ Np$ or $\rm 1 \ Np = 20 \cdot \lg (e) \ dB= 8.6859 \ dB$.
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* In diesem Applet werden ausschließlich die dB&ndash;Werte verwendet.
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* This applet exclusively uses dB values.
  
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===Dämpfungsfunktion eines Koaxialkabels===
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===Attenuation Function of a Coaxial Cable===
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Die Dämpfungsfunktion eines Koaxialkabels der Länge $l$ wird in [Wel77]<ref name ='Wel77'>Wellhausen, H. W.: Dämpfung, Phase und Laufzeiten bei Weitverkehrs–Koaxialpaaren. Frequenz 31, S. 23-28, 1977.</ref> wie folgt angegeben:
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According to [Wel77]<ref name ='Wel77'>Wellhausen, H. W.: Dämpfung, Phase und Laufzeiten bei Weitverkehrs–Koaxialpaaren. Frequenz 31, S. 23-28, 1977.</ref> the Attenuation Function of a Coaxial Cable of length $l$ is given as follows:
 
:$$a_{\rm K}(f)=(\alpha_0+\alpha_1\cdot f+\alpha_2\cdot \sqrt{f}) \cdot l.$$
 
:$$a_{\rm K}(f)=(\alpha_0+\alpha_1\cdot f+\alpha_2\cdot \sqrt{f}) \cdot l.$$
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*Beachten Sie bitte den Unterschied zwischen der Dämpfungsfunktion $a_{\rm K}(f)$ in $\rm dB$ und den &bdquo;alpha&rdquo;&ndash;Koeffizienten mit anderen Pseudo&ndash;Einheiten.
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*It is important to note the difference between $a_{\rm K}(f)$ in $\rm dB$ and the &bdquo;alpha&rdquo; coefficient with other pseudo&ndash;units.
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*Die Dämpfungsfunktion $a_{\rm K}(f)$ ist direkt proportional zur Kabellänge $l$; $a_{\rm K}(f)/l$ bezeichnet man als &bdquo;Dämpfungsmaß&rdquo; oder &bdquo;kilometrische Dämpfung&rdquo;.  
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*The attenuation function $a_{\rm K}(f)$ is directly proportional to the cable length $l$; $\alpha_{\rm K}(f)= a_{\rm K}(f)/l$ is referred to as the &bdquo;attenuation factor&rdquo; or &bdquo;kilometric attenuation&rdquo;.  
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*Der frequenzunabhängige Anteil $α_0$ des Dämpfungsmaßes berücksichtigt die Ohmschen Verluste.  
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*The frequency-independent component $α_0$ of the attenuation factor takes into account the Ohmic losses.  
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*Der frequenzproportionale Anteil $α_1 · f$ des Dämpfungsmaßes ist auf die Ableitungsverluste (&bdquo;Querverluste&rdquo;) zurückzuführen.  
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*The frequency proportional portion $α_1 · f$ of the attenuation factor is due to the derivation losses (&bdquo;crosswise loss&rdquo;) .  
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*Der dominante Anteil $α_2$ geht auf den [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels|Skineffekt]] zurück, der bewirkt, dass bei höherfrequentem Wechselstrom die Stromdichte im Leiterinneren niedriger ist als an der Oberfläche. Dadurch steigt der Widerstandsbelag  einer elektrischen Leitung mit der Wurzel aus der Frequenz an.  
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*The dominant portion $α_2$ goes back to [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels|Skin effect]], which causes a lower current density inside the conductor compared to its surface. As a result, the resistance of an electric line increases with the square root of the frequency.  
  
  
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Die Konstanten für das ''Normalkoaxialkabel'' mit 2.6 mm Innendurchmesser und 9.5 mm Außendurchmesser &nbsp; &rArr;&nbsp; kurz '''Coax (2.6/9.5 mm)''' lauten:
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The constants for the ''standard coaxial cable'' with a 2.6 mm inner diameter and a 9.5 mm outer diameter &nbsp; &rArr;&nbsp; short '''Coax (2.6/9.5 mm)''' are:
 
:$$\alpha_0  = 0.014\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.0038\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 2.36\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$\alpha_0  = 0.014\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.0038\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 2.36\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$
  
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Entsprechend gilt für das ''Kleinkoaxialkabel''' &nbsp; &rArr;&nbsp; kurz '''Coax (1.2/4.4 mm)''':  
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The same applies to the ''small coaxial cable'' &nbsp; &rArr;&nbsp; short '''Coax (1.2/4.4 mm)''':  
 
:$$\alpha_0  = 0.068\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
 
:$$\alpha_0  = 0.068\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
 
  \alpha_1 = 0.0039\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}  \alpha_2 =5.2\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$
 
  \alpha_1 = 0.0039\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}  \alpha_2 =5.2\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$
  
  
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Diese Werte können aus den geometrischen Abmessungen der Kabel berechnet werden und wurden durch Messungen am Fernmeldetechnischen Zentralamt in Darmstadt bestätigt – siehe[Wel77]<ref name ='Wel77'>Wellhausen, H. W.: Dämpfung, Phase und Laufzeiten bei Weitverkehrs–Koaxialpaaren. Frequenz 31, S. 23-28, 1977.</ref> .  Sie gelten für eine Temperatur von 20°C (293 K) und Frequenzen größer als 200 kHz.  
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These values ​​can be calculated from the cables' geometric dimensions and have been confirmed by measurements at the Fernmeldetechnisches Zentralamt in Darmstadt – see [Wel77]<ref name ='Wel77'>Wellhausen, H. W.: Dämpfung, Phase und Laufzeiten bei Weitverkehrs–Koaxialpaaren. Frequenz 31, S. 23-28, 1977.</ref> .  They are valid for a temperature of 20° C (293 K) and frequencies greater than 200 kHz.  
  
  
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===Dämpfungsfunktion einer Zweidrahtleitung===
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===Attenuation Function of a Two&ndash;wired Line===
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Die Dämpfungsfunktion einer Zweidrahtleitung (englisch: ''Two&ndash;wired Line'')der Länge $l$ wird in [PW95]<ref name ='PW95'>Pollakowski, M.; Wellhausen, H.W.: Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz. Mitteilung aus dem Forschungs- und Technologiezentrum der Deutschen Telekom AG, Darmstadt, Verlag für Wissenschaft und Leben Georg Heidecker, 1995.</ref> wie folgt angegeben:
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According to [PW95]<ref name ='PW95'>Pollakowski, M.; Wellhausen, H.W.: Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz. Mitteilung aus dem Forschungs- und Technologiezentrum der Deutschen Telekom AG, Darmstadt, Verlag für Wissenschaft und Leben Georg Heidecker, 1995.</ref> the attenuation function of a Two&ndash;wired Line of length $l$ is given as follows:
 
:$$a_{\rm K}(f)=(k_1+k_2\cdot (f/{\rm MHz})^{k_3}) \cdot l.$$
 
:$$a_{\rm K}(f)=(k_1+k_2\cdot (f/{\rm MHz})^{k_3}) \cdot l.$$
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Dieser Funktionsverlauf ist nicht direkt interpretierbar, sondern es handelt sich um eine phänomenologische Beschreibungsform.
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This function is not directly interpretable, but is a phenomenological description.
  
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Ebenfalls in [PW95]<ref name ='PW95'>Pollakowski, M.; Wellhausen, H.W.: Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz. Mitteilung aus dem Forschungs- und Technologiezentrum der Deutschen Telekom AG, Darmstadt, Verlag für Wissenschaft und Leben Georg Heidecker, 1995.</ref>findet man die aus Messergebnissen ermittelten Konstanten:
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[PW95]<ref name ='PW95'>Pollakowski, M.; Wellhausen, H.W.: Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz. Mitteilung aus dem Forschungs- und Technologiezentrum der Deutschen Telekom AG, Darmstadt, Verlag für Wissenschaft und Leben Georg Heidecker, 1995.</ref>also provides the constants determined by measurement results:
 
* $d = 0.35 \ {\rm mm}$: &nbsp;  $k_1 = 7.9 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 15.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.62$,  
 
* $d = 0.35 \ {\rm mm}$: &nbsp;  $k_1 = 7.9 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 15.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.62$,  
 
* $d = 0.40 \ {\rm mm}$: &nbsp;  $k_1 = 5.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 14.3 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.59$,
 
* $d = 0.40 \ {\rm mm}$: &nbsp;  $k_1 = 5.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 14.3 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.59$,
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Man erkennt aus diesen Zahlenwerten:  
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From these numerical values one recognizes:  
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*Dämpfungsmaß $α(f)$ und Dämpfungsfunktion $a_{\rm K}(f) = α(f) · l$ hängen signifikant vom Leitungsdurchmesser ab. Die seit 1994 verlegten Kabel  mit $d = 0.35 \ \rm (mm)$ und  $d = 0.5$ mm haben etwa ein um $10\%$ größeres Dämpfungsmaß als die älteren Leitungen mit $d = 0.4$ bzw. $d= 0.6$.  
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*The attenuation factor $α(f)$ and the attenuation function $a_{\rm K}(f) = α(f) · l$ depend significantly on the pipe diameter. The cables laid since 1994 with $d = 0.35 \ \rm mm$ and $d = 0.5\ \rm mm$ have a 10% greater attenuation factor than the older lines with $d = 0.4\ \rm mm$ or $d= 0.6\ \rm mm$.  
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*Dieser mit den Herstellungs– und Verlegungskosten begründete kleinere Durchmesser vermindert allerdings die Reichweite $l_{\rm max}$ der auf diesen Leitungen eingesetzten Übertragungssysteme signifikant, so dass im schlimmsten Fall teuere Zwischengeneratoren eingesetzt werden müssen.  
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*However, this smaller diameter, which is based on the manufacturing and installation costs, significantly reduces the range $l_{\rm max}$ of the transmission systems used on these lines, so that in the worst case scenario expensive intermediate regenerators have to be used.  
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*Die heute üblichen Übertragungsverfahren für Kupferleitungen belegen allerdings nur ein relativ schmales Frequenzband, zum Beispiel sind dies bei [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|ISDN]] $120\ \rm kHz$ und bei [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL|DSL]] ca. $1100 \ \rm kHz$. Für $f = 1 \ \rm MHz$ beträgt das Dämpfungsmaß für ein 0.4 mm–Kabel etwa $20 \ \rm dB/km$, so dass selbst bei einer Kabellänge von $l = 4 \ \rm km$ der Dämpfungswert nicht über $80 \ \rm dB$ liegt.  
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*The current transmission methods for copper lines prove only a relatively narrow frequency band, for example $120\ \rm  kHz$ with [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|ISDN]] and  $\approx 1100 \ \rm kHz$ with [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL|DSL]]. For $f = 1 \ \rm MHz$ the attenuation factor of a 0.4 mm cable is around $20 \ \rm dB/km$, so that even with a cable length of $l = 4 \ \rm km$ the attenuation does not exceed $80 \ \rm dB$.  
  
  
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===Umrechnung zwischen $k$– und $\alpha$– Parametern===
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===Conversion between $k$ and $\alpha$ parameters===
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Es besteht die Möglichkeit, die  $k$&ndash;Parameter des Dämpfungsmaßes &nbsp; &rArr; &nbsp;  $\alpha_{\rm I} (f)$ in entsprechende $\alpha$&ndash;Parameter &nbsp; &rArr; &nbsp;  $\alpha_{\rm II} (f)$ umzurechnen:  
+
The $k$&ndash;parameters of the attenuation factor &nbsp; &rArr; &nbsp;  $\alpha_{\rm I} (f)$ can be converted into corresponding $\alpha$&ndash;parameters &nbsp; &rArr; &nbsp;  $\alpha_{\rm II} (f)$:  
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:$$\alpha_{\rm I} (f) = k_1 + k_2  \cdot (f/f_0)^{k_3}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm} f_0 = 1\,{\rm MHz},$$
+
:$$\alpha_{\rm I} (f) = k_1 + k_2  \cdot (f/f_0)^{k_3}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm with} \hspace{0.15cm} f_0 = 1\,{\rm MHz},$$
 
:$$\alpha_{\rm II} (f) = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f +  \alpha_2 \cdot \sqrt {f}.$$
 
:$$\alpha_{\rm II} (f) = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f +  \alpha_2 \cdot \sqrt {f}.$$
  
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Als Kriterium dieser Umrechnung gehen wir davon aus, dass die quadratische Abweichung dieser beiden Funktioneninnerhalb einer Bandbreite  $B$ minimal ist:
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As a criterion of this conversion, we assume that the quadratic deviation of these two functions is minimal within a bandwidth $B$:
 
:$$\int_{0}^{B} \left [ \alpha_{\rm I} (f) - \alpha_{\rm II} (f)\right ]^2 \hspace{0.1cm}{\rm  d}f \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum} \hspace{0.05cm} .$$
 
:$$\int_{0}^{B} \left [ \alpha_{\rm I} (f) - \alpha_{\rm II} (f)\right ]^2 \hspace{0.1cm}{\rm  d}f \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum} \hspace{0.05cm} .$$
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Es ist offensichtlich, dass $α_0 = k_1$ gelten wird. Die Parameter $α_1$ und $α_2$ sind von der zugrunde gelegten Bandbreite $B$ abhängigund lauten:
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It is obvious that $α_0 = k_1$. The parameters $α_1$ and $α_2$ are dependent on the underlying bandwidth $B$ and are:
 
:$$\begin{align*}\alpha_1 & = 15 \cdot (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{k_3 -0.5}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\\ \alpha_2 & = 10 \cdot (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{1-k_3}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot  {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm} .\end{align*}$$
 
:$$\begin{align*}\alpha_1 & = 15 \cdot (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{k_3 -0.5}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\\ \alpha_2 & = 10 \cdot (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{1-k_3}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot  {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm} .\end{align*}$$
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In the opposite direction the conversion rule for the exponent is:
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:$$k_3 = \frac{A + 0.5} {A +1}, \hspace{0.2cm}\text{Auxiliary variable:  }A = \frac{2} {3} \cdot  \frac{\alpha_1 \cdot \sqrt{f_0}}{\alpha_2} \cdot \sqrt{B/f_0}.$$
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With this result you can specify $ k_2 $ with each of the above equations.
  
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
{{GraueBox|TEXT=   
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$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
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$\text{Example 1:}$&nbsp;
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*Für $k_3 = 1$ (frequenzproportionales Dämpfungsmaß) ergeben sich folgerichtig &nbsp; $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_1 =  {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0\hspace{0.05cm} .$
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*For $k_3 = 1$ (frequency proportional attenuation factor) we get &nbsp; $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_1 =  {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0\hspace{0.05cm} .$
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*Für $k_3 = 0.5$  (entsprechend Skineffekt) erhält man folgende Koeffizienten: &nbsp; $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm}\alpha_1 = 0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm}.$
+
*For $k_3 = 0.5$  (Skin effect) we get the coefficients: &nbsp; $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm}\alpha_1 = 0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm}.$
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*Für $k_3 < 0.5$ ergibt sich ein negatives $\alpha_1$. Umrechnung ist nur für $0.5 \le k_3 \le 1$ möglich.}}
+
*For $k_3 < 0.5$ we get a negative $\alpha_1$. Conversion is only possible for $0.5 \le k_3 \le 1$.
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*For $0.5 \le k_3 \le$ we get the coefficients $\alpha_1 > 0$ and $\alpha_2 > 0$, which are also dependent on $B/f_0$.
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*From $\alpha_1 = 0.3\, {\rm dB}/ ({\rm km \cdot MHz}) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 3\, {\rm dB}/ ({\rm km \cdot \sqrt{MHz} })\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}B = 30 \ \rm MHz$ folgt $k_3 = 0.63$ und $k_2 = 2.9 \ \rm dB/km$.}}
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===Channel Influence on the Binary Nyquistent Equalization=== 
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[[Datei:Applet_Kabeldaempfung_1_version_englisch.png|right|frame|Simplified block diagram of the optimal Nyquistent equalizer|class=fit]]
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Going by the block diagram: Between the Dirac source and the (threshold) decider are the frequency responses for the transmitter (German: $\rm S$ender) &nbsp;&rArr;&nbsp; $H_{\rm S}(f)$, channel  (German: $\rm K$anal) &nbsp;&rArr;&nbsp; $H_{\rm K}(f)$ and receiver  (German: $\rm E$mpfänger) &nbsp; &rArr;&nbsp; $H_{\rm E}(f)$.
 +
 
 +
In this applet
 +
*we neglect the influence of the transmitted pulse form &nbsp; &rArr; &nbsp; $H_{\rm S}(f) \equiv 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; dirac shaped transmission signal $s(t)$, and
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*presuppose a binary Nyquist system with cosine&ndash;roll&ndash;off around the Nyquist frequency $f_{\rm Nyq} = [f_1 + f_2]/2 =1(2T)$ : 
 +
:$$H_{\rm K}(f) · H_{\rm E}(f) = H_{\rm CRO}(f).$$
  
 +
[[Datei:Applet_Kabeldaempfung_2_version2.png|right|frame|Frequency Response with cosine&ndash;roll&ndash;off|class=fit]]
  
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'''Umrechnung in Gegenrichtung'''
+
This means: The [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Frequenzbereich|first Nyquist criterion]] is met<br> &rArr; &nbsp; Timely successive impulses do not disturb each other<br>⇒  &nbsp; there are no [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|Intersymbol Interferences]].
  
−
'''Fehlt noch'''
+
In the case of white Gaussian noise, the transmission quality is thus determined solely by the noise power in front of the receiver:
  
−
===Zum Kanaleinfluss  auf die binäre Nyquistentzerrung=== 
+
:$$P_{\rm N} =\frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \ {\rm d}f\hspace{1cm}\text{with}\hspace{1cm}|H_{\rm E}(f)|^2 = \frac{|H_{\rm CRO}(f)|^2}{|H_{\rm K}(f)|^2}.$$
−
[[Datei:UMTS_Bild_1.png|right|frame|Vereinfachtes Blockschaltbild des optimalen Nyquistentzerrers|class=fit]]
 
−
Wir gehen vom skizzierten Blockschaltbild aus. Zwischen der Diracquelle und dem Entscheider liegen die Frequenzgänge für Sender &nbsp;&rArr;&nbsp; $H_{\rm S}(f)$,  Kanal &nbsp;&rArr;&nbsp; $H_{\rm K}(f)$ und Empfänger &nbsp; &rArr;&nbsp; $H_{\rm E}(f)$.
 
  
−
In diesem Applet
+
The lowest possible noise performance results with an ideal channel &nbsp; &rArr; &nbsp; $H_{\rm K}(f) \equiv 1$ and a rectangular $H_{\rm CRO}(f) \equiv 1$ in $|f| \le f_{\rm Nyq}$:
−
*vernachlässigen wir den Einfluss der Sendeimpulsform &nbsp; &rArr; &nbsp; $H_{\rm S}(f) \equiv 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; diracförmiges Sendesignal $s(t)$,
 
−
*setzen ein binäres Nyquistsystem mit Cosinus&ndash;Roll-off um die Nyquistfrequenz $f_{\rm Nyq} = [f_1 + f_2]/2 =1(2T)$ voraus: 
 
−
:$$H_{\rm K}(f) · H_{\rm E}(f) = H_{\rm CRO}(f).$$  
 
  
−
Das bedeutet: Das [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Frequenzbereich|erste Nyquistkriterium]] wird erfüllt&nbsp; &rArr; &nbsp; <br>Zeitlich aufeinander folgende Impulse stören sich nicht gegenseitig &nbsp; ⇒  &nbsp; es gibt keine [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|Impulsinterferenzen]] (englisch: ''Intersymbol Interference'', ISI).  
+
:$$P_\text{N, min} = P_{\rm N} \ \big [\text{optimal system: }H_{\rm K}(f) \equiv 1, \ r=r_{\rm opt} =1 \big ] = N_0 \cdot f_{\rm Nyq} .$$
  
−
Bei weißem Rauschen wird somit die Übertragungsqualität allein durch die Rauschleistung vor dem Empfänger bestimmt:
+
{{BlaueBox|TEXT=
 +
$\text{Definitions:}$&nbsp; 
 +
*As a quality criterion for a given system we use the '''total efficiency''' with respect to the channel $\rm (K)$ and the receiver $\rm (E)$:
  
−
:$$P_{\rm N} =\frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \ {\rm d}f\hspace{1cm}\text{mit}\hspace{1cm}|H_{\rm E}(f)|^2 = \frac{|H_{\rm CRO}(f)|^2}{|H_{\rm K}(f)|^2}.$$
+
:$$\eta_\text{K+E} =  \frac{P_{\rm N} \ \big [\text{Optimal system: Channel }H_{\rm K}(f) \equiv 1,\ \text{Roll-off factor  } r=r_{\rm opt} =1 \big ]}{P_{\rm N} \ \big [\text{Given system:  Channel  }H_{\rm K}(f), \ \text{Roll-off factor  }r \big ]} =\left [ \frac{1}{3/4 \cdot f_{\rm Nyq} } \cdot \int_{0}^{+\infty} \vert H_{\rm E}(f) \vert^2 \ {\rm d}f \right ]^{-1}\le 1.$$
  
−
Die kleinstmögliche Rauschleistung ergibt sich bei idealem Kanal &nbsp; &rArr; &nbsp; $H_{\rm K}(f) \equiv 1$ und rechteckfömigem $H_{\rm CRO}(f) \equiv 1$ im Bereich $|f| \le f_{\rm Nyq}$:
+
This quality criterion is specified in the applet for both parameter sets in logarithm form: &nbsp; $10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \le 0 \ \rm dB$.
  
−
:$$P_\text{N, min} =  P_{\rm N} \ \big [\text{optimales System: }H_{\rm K}(f) \equiv 1, \ r=0 \big ] = N_0 \cdot f_{\rm Nyq} .$$
+
*Through variation and optimization of the receiver &nbsp; &rArr; &nbsp; roll-off factor $r$ we get the '''Channel efficiency''':
  
−
{{BlaueBox|TEXT=
+
:$$\eta_\text{K} = \min_{0 \le r \le 1} \ \eta_\text{K+E} .$$}}
−
$\text{Definitionen:}$&nbsp; 
 
−
*Als Gütekriterium für ein gegebenes System verwenden wir den '''Gesamt&ndash;Wirkungsgrad''':
 
  
−
:$$\eta_\text{K+R} =  \frac{P_{\rm N} \ \big [\text{gegebenes System:  Kanal  }H_{\rm K}(f), \ \text{Roll-off-Faktor  }r \big ]}{P_{\rm N} \ \big [\text{optimales System: }H_{\rm K}(f) \equiv 1, \ r=0 \big ]} =\frac{1}{f_{\rm Nyq} } \cdot \int_{0}^{+\infty} \vert H_{\rm E}(f) \vert^2 \ {\rm d}f \le 1.$$
 
  
−
Diese Systemgröße wird im Applet für beide Parametersätze in logarithmierter Form angegeben: &nbsp; $10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+R} \le 0 \ \rm dB$.
+
[[Datei:Applet_Kabeldaempfung_3_version2.png|right|frame|Square value frequency response $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 $|class=fit]]
 +
{{GraueBox|TEXT= 
 +
$\text{Example 2:}$&nbsp;
 +
The graph shows the square value frequency response $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 $ with $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert = H_{\rm CRO}(f)  /  \left \vert H_{\rm K}(f)\right \vert$ for the following boundary conditions:
 +
*Attenuation function of the channel: &nbsp; $a_{\rm K}(f) = 1 \ {\rm dB} \cdot \sqrt{f/\ {\rm MHz} }$,
 +
*Nyquist frequency: &nbsp; $f_{\rm Nyq} = 20 \ {\rm MHz}$, Roll-off factor $r = 0.5$
  
−
*Durch Variation und Optimierung des Roll-off-Faktors $r$ erhält man den '''Kanal&ndash;Wirkungsgrad''':
 
  
−
:$$\eta_\text{K} = \min_{0 \le r \le 1} \ \eta_\text{K+R} .$$}}
+
This results in the following consequences:
 +
*In the area up to $f_{1} = 10 \ \text{MHz: }$ $H_{\rm CRO}(f)  = 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 = \left \vert H_{\rm K}(f)\right \vert ^{-2}$ (see yellow deposit).
 +
* The flank of $H_{\rm CRO}(f)$ is only effective from $f_{1}$ to $f_{2} = 30 \ {\rm MHz}$  and $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2$ decreases more and more.
 +
*The maximum of  $\left \vert H_{\rm E}(f_{\rm max})\right \vert ^2$ at $f_{\rm max} \approx 11.5 \ {\rm MHz}$  is twice the value of $\left \vert H_{\rm E}(f = 0)\right \vert ^2 = 1$.
 +
*The integral over  $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2$ is a measure of the effective noise power. In the current example this is $4.6$ times bigger than the minimal noise power (for $a_{\rm K}(f) = 0 \ {\rm dB}$ and $r=1$) &nbsp; &rArr; &nbsp; $10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \approx - 6.6 \ {\rm dB}.$}}
  
−
'''Ab hier bis zum Beginn der Versuchsdurchführung ist alles Mist - eine Art Vorratsspeicher'''
+
==Exercises==
  
 +
[[Datei:Applet_Kabeldaempfung_6_version1.png|right]]
 +
*First choose an exercise number $1$ ... $11$.
 +
*An exercise description is displayed.
 +
*Parameter values are adjusted to the respective exercises.
 +
*Click &bdquo;Show solution&rdquo; to display the solution.
 +
*Exercise description and solution are in English.
  
−
*Bei UMTS ist das Empfangsfilter $H_{\rm E}f) = H_{\rm S}(f)$ an den Sender angepasst (''Matched–Filter'') und der Gesamtfrequenzgang $H(f) = H_{\rm S}(f) · H_{\rm E}(f)$ erfüllt
 
−
:$$ H(f) = H_{\rm CRO}(f)  =  \left\{ \begin{array}{c}    1 \\  0 \\  \cos^2 \left( \frac {\pi \cdot (|f| - f_1)}{2 \cdot (f_2 - f_1)} \right)\end{array} \right.\quad
 
−
\begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\\  {\rm sonst }\hspace{0.05cm}.  \end{array}
 
−
\begin{array}{*{20}c} |f| \le f_1,  \\ |f| \ge f_2,\\  \\\end{array}$$
 
−
 
−
Die zugehörige Zeitfunktion lautet:
 
  
−
:$$h(t) = h_{\rm CRO}(t) ={\rm si}(\pi \cdot t/ T_{\rm C}) \cdot \frac{\cos(r \cdot \pi t/T_{\rm C})}{1- (2r \cdot  t/T_{\rm C})^2}. $$
+
Number &bdquo;0&rdquo; is a &bdquo;Reset&rdquo; button:
−
+
*Sets parameters to initial values (like after loading the page).
−
„CRO” steht hierbei für [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Cosinus-Rolloff-Tiefpass|Cosinus–Rolloff]] (englisch: ''Raised Cosine''). Die Summe $f_1 + f_2$ ist gleich dem Kehrwert der Chipdauer $T_{\rm C} = 260 \ \rm ns$, also gleich $3.84 \ \rm MHz$. Der ''Rolloff–Faktor'' (wir bleiben bei der in $\rm LNTwww$ gewählten Bezeichnung $r$, im UMTS–Standard wird hierfür $\alpha$ verwendet)
+
*Displays a &bdquo;Reset text&rdquo; to further describe the applet.
  
−
:$$r =  \frac{f_2 - f_1}{f_2 + f_1} $$
 
−
 
−
wurde bei UMTS zu $r = 0.22$ festgelegt. Die beiden Eckfrequenzen sind somit
 
  
−
:$$f_1 = {1}/(2 T_{\rm C}) \cdot (1-r) \approx 1.5\,{\rm MHz}, \hspace{0.2cm}
+
In the following desctiption '''Blue''' means the left parameter set (blue in the applet), and '''Red''' means  the right parameter set (red in the applet). For parameters that are marked with an apostrophe the unit is not displayed. For example we write ${\alpha_2}' =2$ &nbsp; for &nbsp; $\alpha_2 =2\, {\rm dB} / ({\rm km \cdot \sqrt{MHz} })$.
−
f_2 ={1}/(2 T_{\rm C}) \cdot (1+r) \approx 2.35\,{\rm MHz}.$$
 
−
 
−
Die erforderliche Bandbreite beträgt $B = 2 · f_2 = 4.7 \ \rm MHz$. Für jeden UMTS–Kanal steht somit mit $5 \ \rm MHz$ ausreichend Bandbreite zur Verfügung.
 
  
−
[[Datei:P_ID1547__Bei_T_4_3_S5b_v1.png|right|frame|Cosinus–Rolloff–Spektrum und Impulsantwort]]
 
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
−
$\text{Fazit:}$&nbsp;  Die Grafik zeigt
+
'''(1)'''&nbsp; First set '''Blue''' to $\text{Coax (1.2/4.4 mm)}$ and then to $\text{Coax (2.6/9.5 mm)}$. The cable length is $l_{\rm Blue}= 5\ \rm km$.  
−
*links das (normierte) Nyquistspektrum $H(f)$, und
+
:Interpret  $a_{\rm K}(f)$ and  $\vert H_{\rm K}(f) \vert$, in particular the functional values $a_{\rm K}(f = f_\star = 30 \ \rm MHz)$ and $\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert$.}}
−
*rechts den zugehörigen Nyquistimpuls $h(t)$, dessen Nulldurchgänge im Abstand $T_{\rm C}$ äquidistant sind.  
 
−
<br clear=all>
 
−
$\text{Es ist zu beachten:}$
 
−
* Das Sendefilter $H_{\rm S}(f)$ und Matched–Filter $H_{\rm E}(f)$ sind jeweils  [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme#Wurzel.E2.80.93Nyquist.E2.80.93Systeme|Wurzel–Cosinus–Rolloff–förmig]] (englisch: ''Root Raised Cosine''). Erst das Produkt $H(f) = H_{\rm S}(f) · H_{\rm E}(f)$ den Cosinus–Rolloff.
 
−
*Das bedeutet auch: Die Impulsantworten $h_{\rm S}(t)$ und $h_{\rm E}(t)$ erfüllen für sich allein die erste Nyquistbedingung nicht. Erst die Kombination aus beiden (im Zeitbereich die Faltung) führt zu den gewünschten äquidistanten Nulldurchgängen.}}
 
  
  
 +
$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{The attenuation function increases approximately with }\sqrt{f}\text{ and the magnitude frequency response decreases similarly to an exponential function};$
 +
$\hspace{1.15cm}\text{Coax (1.2/4.4 mm):    }a_{\rm K}(f =  f_\star) = 143.3\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.96.$
  
−
$$a_k(f)=(k_1+k_2\cdot f^{k_3})\cdot l \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \text{empirische Formel von Pollakowski &amp; Wellhausen.}$$
+
$\hspace{1.15cm}\text{Coax (2.6/9.5 mm):     }a_{\rm K}(f = f_\star) = 65.3\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.99;$
−
*Umrechnung der $k$-Parameter in die $a$-Parameter nach dem Kriterium, dass der mittlere quadratische Fehler innerhalb der Bandbreite $B$ minimal sein soll:
 
−
$$a_0=k_1 \text{(trivial)}, \quad a_1=15\cdot B^{k_3-1}\cdot \frac{k_2\cdot (k_3-0.5)}{(k_3+1.5)\cdot (k_3+2)}, \quad a_2=10\cdot B^{k_3-0.5}\cdot \frac{k_2\cdot (1-k_3)}{(k_3+1.5)\cdot (k_3+2)}.$$
 
−
*Kontrolle: $k_3=1 \Rightarrow a_1=k_2;\ a_2=0 \quad k_3=0.5 \Rightarrow a_1=0;\ a_2=k_2.$
 
−
*Der Gesamtfrequenzgang $H(f)$ ist ein  Cosinus-Rolloff-Tiefpass mit Rolloff-Faktor $r$, wobei stets $B=f_2$ und $r=\frac{f_2-f_1}{f_2+f_1}$ gelten soll.
 
−
*Ohne Berücksichtigung des Sendespektrums gilt $H(f)=H_K(f)\cdot H_E(f) \Rightarrow H_E(f)=\frac{H(f)}{H_K(f)}$.
 
−
*Der angegebene Integralwert $=\int_{-\infty}^{+\infty} \left| H_E(f)\right|^2 \hspace{0.15cm} {\rm d}f$ ist ein Maß für die Rauschleistung des Systems, wenn der Kanal $H_K(f)$ durch das Empfangsfilter $H_E(f)$ in weiten Bereichen bis $f_1$ vollständig entzerrt  wird.
 
−
 
  
−
{{Beispiel}}
+
{{BlaueBox|TEXT=
 +
'''(2)'''&nbsp; Set '''Blue''' to $\text{Coax (2.6/9.5 mm)}$ and $l_{\rm Blue} = 5\ \rm km$. How is $a_{\rm K}(f =f_\star = 30 \ \rm MHz)$ affected by $\alpha_0$,  $\alpha_1$ und  $\alpha_2$?}}
  
−
*idealer Kanal ($a_0=a_1=a_2=0$ dB), $B=20$ MHz, $r=0$: Integralwert = $40$ MHz.
 
−
*schwach verzerrender Kanal ($a_2=5$ dB), $B=20$ MHz, $r=0.5$: Integralwert $\approx 505$ MHz.
 
  
−
{{end}}
+
$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha_2\text{ is dominant due to the skin effect. The contributions of } \alpha_0\text{ (ca. 0.1 dB) and }\alpha_1 \text{  (ca. 0.6 dB) are comparatively small.}$
  
−
==Versuchsdurchführung==
+
{{BlaueBox|TEXT=
 +
'''(3)'''&nbsp; Additionally, set '''Red''' to $\text{Two&ndash;wired Line (0.5 mm)}$ and $l_{\rm Red} = 1\ \rm km$. What is the resulting value for $a_{\rm K}(f =f_\star= 30 \ \rm MHz)$?
 +
:Up to what length $l_{\rm Red}$ does the red attenuation function stay under the blue one?}}
  
−
[[Datei:Exercises_binomial_fertig.png|right]]
 
−
*Wählen Sie zunächst die Nummer '''1''' ... '''6''' der zu bearbeitenden Aufgabe.
 
−
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
 
−
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Hide solution&rdquo;.
 
−
*Aufgabenstellung und Lösung in Englisch.
 
  
 +
$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Red curve:    }a_{\rm K}(f =  f_\star) = 87.5 {\ \rm dB} \text{. The condition above is fulfilled for }l_{\rm Red} = 0.7\ {\rm km} \ \Rightarrow \ a_{\rm K}(f =  f_\star) = 61.3 {\ \rm dB}.$
  
−
Die Nummer '''0''' entspricht einem &bdquo;Reset&rdquo;:
+
{{BlaueBox|TEXT=
−
*Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
+
'''(4)'''&nbsp; Set '''Red''' to ${k_1}' = 0, {k_2}' = 10, {k_3}' = 0.75, {l_{\rm red} } = 1 \ \rm km$ and vary the Parameter $0.5 \le k_3 \le 1$.  
−
*Ausgabe eines &bdquo;Reset&ndash;Textes&rdquo; mit weiteren Erläuterungen zum Applet.
+
:How do the parameters affect $a_{\rm K}(f)$ and  $\vert H_{\rm K}(f) \vert$?  }}
  
  
−
In der folgenden Beschreibung bedeutet
+
$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{With }k_2\text {being constant,  }a_{\rm K}(f)\text{ increases with bigger values of }k_3\text{ and  }\vert H_{\rm K}(f) \vert \text{ decreases faster and faster. With }k_3 =1: a_{\rm K}(f)\text{ rises linearly.}$
−
*'''Blau''': &nbsp; Verteilungsfunktion 1 (im Applet blau markiert),
 
−
*'''Rot''': &nbsp; &nbsp; Verteilungsfunktion 2 (im Applet rot markiert).
 
  
 +
$\hspace{1.15cm}\text{With }k_3 \to 0.5, \text{ the attenuation function is more and more determined by the skin effect, same as in the coaxial cable.}$
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
−
'''(1)'''&nbsp; Setzen Sie '''Blau''' zunächst auf $\text{Coax (2.6/9.5 mm)}$ und anschließend auf $\text{Coax (1.2/4.4 mm)}$. Die Kabellänge sei jeweils $l_{\rm Blau}= 3\ \rm km$.  
+
'''(5)'''&nbsp; Set '''Red''' to $\text{Two&ndash;wired Line (0.5 mm)}$ and '''Blue''' to $\text{Conversion of Red}$. For the length use $l_{\rm Red} = l_{\rm Blue} = 1\ \rm km$.  
−
:Betrachten und Interpretieren Sie  $a_{\rm K}(f)$ und $\vert H_{\rm K}(f) \vert$, insbesondere die Funktionswerte $a_{\rm K}(f = f_\star = 30 \ \rm MHz)$ und $\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert$.}}
+
:Analyse and interpret the displayed functions $a_{\rm K}(f)$ and $\vert H_{\rm K}(f) \vert$.}}
  
  
−
$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Näherungsweise steigt die Dämpfungsfunktion mit }\sqrt{f}\text{ und der Betragsfrequenzgang fällt ähnlich einer Exponentialfunktion};$
+
$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Very good approximation of the two-wire line through the blue parameter set, both with regard to }a_{\rm K}(f) \text{, as well as }\vert H_{\rm K}(f) \vert.$
  
−
$\hspace{1.15cm}\text{Coax (2.6/9.5 mm):    }a_{\rm K}(f = f_\star) = 39.2\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.9951;$
+
$\hspace{1.15cm}\text{The resulting parameters from the conversion are }{\alpha_0}' = {k_1}' = 4.4, \ {\alpha_1}' = 0.76, \ {\alpha_2}' = 11.12.$
  
−
$\hspace{1.15cm}\text{Coax (1.2/4.4 mm):    }a_{\rm K}(f =  f_\star) = 86.0\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.9768.$
+
{{BlaueBox|TEXT=
 +
'''(6)'''&nbsp; We assume the settings of '''(5)'''. Which parts of the attenuation function are due to ohmic loss, lateral losses and skin effect?  }}
  
 +
 +
$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Solution based on '''Blue''':  }a_{\rm K}(f = f_\star= 30 \ {\rm MHz}) = 88.1\ {\rm dB}, \hspace{0.2cm}\text{without }\alpha_0\text{:    }83.7\ {\rm dB}, \hspace{0.2cm}\text{without }\alpha_0 \text{ and }  \alpha_1\text{:    }60.9\ {\rm dB}.$
 +
 +
$\hspace{1.15cm}\text{For a two-wire cable, the influence of the longitudinal and transverse losses is significantly greater than for a coaxial cable.}$
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
−
'''(2)'''&nbsp; Für '''Blau''' gelte $\text{Coax (1.2/4.4 mm)}$ und $l_{\rm Blau} = 3\ \rm km$. Wie wird $a_{\rm K}(f =f_\star = 30 \ \rm MHz)$ von $\alpha_0$,  $\alpha_1$ und  $\alpha_2$ beeinflusst?}}
+
'''(7)'''&nbsp; Set '''Blue''' to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' ={\alpha_2}' = 0$ and '''Red''' to ${k_1}' = 2, {k_2}' = 0, {l_{\rm red} } = 1 \ \rm km$. Additionally, set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.5$.
 +
:How big are the total efficiency $\eta_\text{K+E}$ and the channel efficiency $\eta_\text{K}$?}}
  
  
−
$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Entscheidend ist }\alpha_2\text{ (Skineffekt). Die Beiträge von } \alpha_0\text{ (Ohmsche Verluste) und }\alpha_1 \text{ (Querverluste) sind jeweils nur ca.  0.2 dB.}$
+
$\Rightarrow\hspace{0.3cm}10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = -0.7\ \ {\rm dB}\text{ (Blue: ideal system) and }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = -2.7\ \ {\rm dB}\text{ (Red: DC signal attenuation only)}$.
  
 +
$\hspace{0.95cm}\text{The best possible rolloff factor is }r = 1.\text{ Therefore }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} = 0 \ {\rm dB}\text{ (Blue) or }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} = -2\  {\rm dB}\text{ (Red)}.$
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
−
'''(3)'''&nbsp; Setzen Sie zusätzlich '''Rot''' auf $\text{Two&ndash;wired Line (0.5 mm)}$ und $l_{\rm Rot} = 3\ \rm km$. Welcher Wert ergibt sich für $a_{\rm K}(f =f_\star= 30 \ \rm MHz)$?
+
'''(8)'''&nbsp; The same settings apply as in '''(7)'''. Under what transmission power  $P_{\rm red}$ with respect to $P_{\rm blue}$ do both systems achieve the same error probability? }}
−
:Bis zu welcher Länge $l_{\rm Rot}$ liegt die rote Dämfungsfunktion unter der blauen?}}
 
  
  
−
$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Für die rote Kurve gilt:    }a_{\rm K}(f =  f_\star) = 262.5 {\ \rm dB} \text{. Obige Bedingung wird erfüllt für }l_{\rm Rot} = 0.95\ {\rm km} \ \Rightarrow \ a_{\rm K}(f =  f_\star) = ??? {\ \rm dB}.$
+
$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{We need to achieve  }10 \cdot \lg {P_{\rm Red}}/{P_{\rm Blue}} = 2 \ {\rm dB} \ \ \Rightarrow \ \ {P_{\rm Red}}/{P_{\rm Blue}} = 10^{0.2} = 1.585.$
  
 +
{{BlaueBox|TEXT=
 +
'''(9)'''&nbsp; Set '''Blue''' to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' = 0, \ {\alpha_2}' = 3, \ {l_{\rm blue} }' = 2$ and '''Red''' to &bdquo;Inactive&rdquo;. Additionally set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.7$.
 +
:How does $\vert H_{\rm E}(f) \vert$ look like? Calculate the total efficiency $\eta_\text{K+E}$ and the channel efficiency$\eta_\text{K}$.}}
 +
 +
 +
$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{For} f < 7.5 {\ \rm MHz: } \vert H_{\rm E}(f) \vert  = \vert H_{\rm K}(f) \vert ^{-1}.\text{ For } f > 25 {\ \rm MHz: }\vert H_{\rm E}(f) \vert  = 0.\text{ In between, the effect of the CRO edge can be observed.}$
 +
 +
$\hspace{0.95cm}\text{The best possible rolloff factor }r = 0.7 \text{ is already set }\Rightarrow \ 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx - 18.1 \ {\rm dB}.$
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
−
'''(4)'''&nbsp; Setzen Sie '''Rot''' auf $\text{Two&ndash;wired Line (0.5 mm)}$ und '''Blau''' auf $\text{Conversion of Red}$. Es gelte $l_{\rm Rot} = l_{\rm Blau} = 1\ \rm km$.  
+
'''(10)'''&nbsp; Set '''Blue''' to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' = 0, \ {\alpha_2}' = 3, \ {l_{\rm blue} }' = 8$ and '''Red''' to &bdquo;Inactive&rdquo;. Additionally, set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.7$.  
−
:Betrachten und Interpretieren Sie die dargestellten Funktionsverläufe für $a_{\rm K}(f)$ und  $\vert H_{\rm K}(f) \vert$.}}
+
:How big is $\vert H_{\rm E}(f = 0) \vert$? What is the maximum value of $\vert H_{\rm E}(f) \vert$? Calculate the channel efficiency $\eta_\text{K}$.}}
  
  
−
$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Sehr gute Approximation der Zweidrahtleitung durch den blauen Parametersatz, sowohl bezüglich }a_{\rm K}(f) \text{ als auch }\vert H_{\rm K}(f) \vert.$
+
$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\vert H_{\rm E}(f = 0) \vert =  \vert H_{\rm E}(f = 0) \vert ^{-1}= 1 \text{ and the maximum value } \vert H_{\rm E}(f) \vert \text{ is approximately }37500\text{ for }r=0.7 \Rightarrow 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \approx -89.2 \ {\rm dB},$
  
 +
$\hspace{0.95cm}\text{because the integral over }\vert H_{\rm E}(f) \vert^2\text{is huge. After the optimization }r=0.17 \text{ we get }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx -82.6 \ {\rm dB}.$
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
−
'''(5)'''&nbsp; Es gelten die Einstellungen von '''(4)'''. Welche Anteile der Dämpfungsfunktion gehen auf Ohmschen Verlust, Querverluste und Skineffekt zurück? }}
+
'''(11)'''&nbsp;The same settings apply as in '''(10)''' and $r= 0.17$. Vary the cable length up to $l_{\rm blue} = 10 \ \rm km$.
 +
:How much do the maximum value of $\vert H_{\rm E}(f) \vert$, the channel efficiency $\eta_\text{K}$ and the optimal rolloff factor $r_{\rm opt}$ change?}}
  
  
−
$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Lösung anhand '''Blau''':  }\alpha_0(f =  f_\star= 30 \ {\rm MHz}) = 4 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}\alpha_1(f =  f_\star) = 12.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}\alpha_2(f =  f_\star) = 60.9 \ {\rm dB/km};$
+
$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{The maximum value of } \vert H_{\rm E}(f) \vert \text{ increases and }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \text{ decreases more and more.}$
  
−
$\hspace{1.15cm}\text{Bei einer Zweidrahtleitung ist der Einfluss der Längs&ndash; und der Querverluste signifikant größer als bei einem Koaxialkabel.}$
+
$\hspace{0.95cm}\text{At 10 km length  } 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx -104.9 \ {\rm dB} \text{ and } r_{\rm opt}=0.14\text{. For }f_\star \approx 14.5\ {\rm MHz} \Rightarrow \vert H_{\rm E}(f = f_\star) \vert = 352000  \approx \vert H_{\rm E}(f =0)\vert$.
  
 +
==Applet Manual==
 +
[[Datei:Applet_Kabeldaempfung_5_version2.png|left|600px]]
 +
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Preselection for blue parameter set
  
−
{{BlaueBox|TEXT=
+
&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Input of the $\alpha$ parameters via sliders
−
'''(6)'''&nbsp; Variieren Sie ausgehend von der bisherigen Einstellung den Parameter $0.5 \le k_3 \le 1$. Was erkennt man anhand von  $a_{\rm K}(f)$ und  $\vert H_{\rm K}(f) \vert$?  }}
+
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Preselection for red parameter set
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Input of the $k$ parameters via sliders
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Input of the parameters $f_{\rm Nyq}$ and $r$  
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Selection for the graphic display
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Display $a_\text{K}(f)$, $|H_\text{K}(f)|$, $|H_\text{E}(f)|$, ...
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Scaling factor $H_0$ for $|H_\text{E}(f)|$, $|H_\text{E}(f)|^2$
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(I)''' &nbsp; &nbsp; Selection of the frequency $f_\star$ for numeric values
 +
 
 +
&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Numeric values for blue parameter set
  
 +
&nbsp; &nbsp; '''(K)''' &nbsp; &nbsp; Numeric values for red parameter set
  
−
$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Bei festem }k_2\text {wird }a_{\rm K}(f)\text{ immer größer und es ergibt sich für }k_3 = 1\text{ ein linearer Verlauf; }\vert H_{\rm K}(f) \vert \text{ nimmt immer schneller ab;}$
+
&nbsp; &nbsp; '''(L)''' &nbsp; &nbsp; Output system efficiency $\eta_\text{K+E}$ in dB
  
−
$\hspace{1.15cm}\text{Mit }k_3 \to 0.5\text{ nähert sich die Dämpfungsfunktion der Zweidrahtleitung der eines Koaxialkabels immer mehr an.}$
+
&nbsp; &nbsp; '''(M)''' &nbsp; &nbsp; Store & Recall of settings
  
 +
&nbsp; &nbsp; '''(N)''' &nbsp; &nbsp; Exercise section
  
 +
&nbsp; &nbsp; '''(O)''' &nbsp; &nbsp; Variation of the graphic display:$\hspace{0.5cm}$&bdquo;$+$&rdquo; (Zoom in),
  
 +
$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$-$&rdquo; (Zoom out)
  
 +
$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$\rm o$&rdquo; (Reset)
  
 +
$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$\leftarrow$&rdquo; (Move left),  etc.
  
−
==Vorgeschlagene Parametersätze==
+
'''Other options for graphic display''':
 +
*Hold shift and scroll: Zoom in on/out of coordinate system,
 +
*Hold shift and left click: Move the coordinate system.
  
−
(1)&nbsp;&nbsp; Nur blauer Parametersatz, $l=1$ km, $B=30$ MHz, $r=0$, $a_0=20$, $a_1=0$, $a_2=0$: <br>
+
==About the Authors==
−
Konstante Werte $a_K=20$ dB und $\left| H_K(f)\right|=0.1$. Nur Ohmsche Verluste werden berücksichtigt. <br>
+
Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.  
−
(2) Parameter wie (1), aber zusätzlich $a_1=1$ dB/(km &middot; MHz):<br>
+
*Die erste Version wurde 2009 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Sebastian_Seitz_.28Diplomarbeit_LB_2009.29|Sebastian Seitz]] im Rahmen seiner Diplomarbeit erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]] und [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Dr.-Ing._Bernhard_G.C3.B6bel_.28bei_L.C3.9CT_von_2004-2010.29|Bernhard Göbel]]).  
−
Linearer Anstieg von $a_K(f)$ zwischen $20$ dB und $50$ dB, $\left| H_K(f)\right|$ fällt beidseitig exponentiell ab.<br>
+
*2018 wurde das Programm  von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Jimmy_He_.28Bachelorarbeit_2018.29|Jimmy He]]  (Bachelorarbeit, Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] ) auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet.
−
(3)&nbsp;&nbsp; Parameter wie (1), aber $a_0=0$, $a_1=0$, $a_2=1$ dB/(km &middot; MHz<sup>1/2</sup>).<br>
 
−
$a_K(f)$ und $\left| H_K(f)\right|$ werden ausschließlich durch den Skineffekt bestimmt. $a_K(f)$ ist proportional zu $f^{1/2}$.<br>
 
−
(4)&nbsp;&nbsp; Parameter wie (1), aber nun mit der Einstellung &bdquo;Koaxialkabel $2.6/9.5$ mm&ldquo; (Normalkoaxialkabel):<br>
 
−
Es überwiegt der Skineffekt; $a_k$ ($f=30$ MHz)$=13.05$ dB; ohne $a_0$: $13.04$ dB, ohne $a_1=12.92$ dB.<br>
 
−
(5)&nbsp;&nbsp; Parameter wie (1), aber nun mit der Einstellung &bdquo;Koaxialkabel $1.2/4.4$ mm&ldquo; (Kleinkoaxialkabel):<br>
 
−
Wieder überwiegt der Skineffekt; $a_k$ ($f=30$ MHz)$=28.66$ dB; ohne $a_0$: $28.59$ dB, ohne $a_1=28.48$ dB.<br>
 
−
(6)&nbsp;&nbsp; Nur roter Parametersatz, $l=1 km$, $b=30$ MHz, $r=0$, Einstellung &bdquo;Zweidrahtleitung $0.4$ mm&ldquo;.<br>
 
−
Skineffekt ist auch hier dominant; $a_k$ ($f=30$ MHz)$=111.4$ dB; ohne $k_1$: $106.3$ dB.<br>
 
−
(7)&nbsp;&nbsp; Parameter wie (6), aber nun Halbierung der Kabellänge ($l=0.5$ km):<br>
 
−
Auch die Dämpfungswerte werden halbiert: $a_k$ ($f=30$ MHz)$=55.7$ dB; ohne $k_1$: $53.2$ dB.<br>
 
−
(8)&nbsp;&nbsp; Parameter wie (7), dazu im blauen Parametersatz die umgerechneten Werte der Zweidrahtleitung:<br>
 
−
Sehr gute Approximation der $k$-Parameter durch die $a$-Parameter; Abweichung < $0.4$ dB.<br>
 
−
(9)&nbsp;&nbsp; Parameter wie (8), aber nun Approximation auf die Bandbreite $B=20$ MHz:<br>
 
−
Noch bessere Approximation der $k$-Parameter durch die $a$-Parameter; Abweichung < $0.15$ dB.<br>
 
−
(10)&nbsp;&nbsp; Nur blauer Parametersatz, $l=1$ km, $B=30$ MHz, $r=0$, $a_0=a_1=a_2=0$; unten Darstellung $\left| H_K(f)\right|^2$:<br>
 
−
Im gesamten Bereich ist $\left| H_K(f)\right|^2=1$; der Integralwert ist somit $2B=60$ (in MHz).<br>
 
−
(11)&nbsp;&nbsp; Parameter wie (10), aber nun mit Einstellung &bdquo;Koaxialkabel $2.6/9.5$ mm&ldquo; (Normalkoaxialkabel):<br>
 
−
$\left| H_K(f)\right|^2$ ist bei $f=1$ etwa $1$ und steigt zu den Rändern bis ca. $20$. Der Integralwert ist ca. $550$.<br>
 
−
(12)&nbsp;&nbsp; Parameter wie (11), aber nun mit der deutlich größeren Kabellänge $l=5$ km:<br>
 
−
Deutliche Verstärkung des Effekts; Anstieg bis ca. $3.35\cdot 10^6$ am Rand und Integralwert $2.5\cdot 10^7$.<br>
 
−
(13)&nbsp;&nbsp; Parameter wie (12), aber nun mit Rolloff-Faktor $r=0.5$:<br>
 
−
Deutliche Abschwächung des Effekts; Anstieg bis ca. $5.25\cdot 10^4$ ($f$ ca. $20$ MHz), Integralwert ca. $1.07\cdot 10^6$.<br>
 
−
(14)&nbsp;&nbsp; Parameter wie (13), aber ohne Berücksichtigung der Ohmschen Verluste ($a_0=0$):<br>
 
−
Nahezu gleichbleibendes Ergebnis; Anstieg bis ca. $5.15\cdot 10^4$ ($f$ ca. $20$ MHz), Integralwert ca. $1.05\cdot 10^6$.<br>
 
−
(15)&nbsp;&nbsp; Parameter wie (14), aber auch ohne Berücksichtigung der Querverluste ($a_1=0$):<br>
 
−
Ebenfalls kein großer Unterschied; Anstieg bis ca. $4.74\cdot 10^4$ ($f$ ca. $20$ MHz), Integralwert ca. $0.97\cdot 10^6$.<br>
 
−
(16)&nbsp;&nbsp; Nur roter Parametersatz, $l=1$ km, $B=30$ MHz, $r=0.5$, Einstellung &bdquo;Zweidrahtleitung $0.4$ mm&ldquo;:<br>
 
−
Anstieg bis ca. $3\cdot 10^8$ ($f$ ca. $23$ MHz), Integralwert ca. $4.55\cdot 10^9$; ohne $k_1$: $0.93\cdot 10^8$ ($f$ ca. $23$ MHz) bzw. $1.41\cdot 10^9$.<br>
 
  
−
==Quellenverzeichnis==
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==Once again:&nbsp; Open Applet in new Tab==
  
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{{LntAppletLink|daempfung}}
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{{LntAppletLinkEn|attenuationCopperCables_en}}

Aktuelle Version vom 26. Oktober 2023, 10:43 Uhr

Open Applet in new Tab

Applet Description


This applet calculates the attenuation function $a_{\rm K}(f)$ of conducted transmission media (with cable length $l$):

  • For coaxial cables one usually uses the equation $a_{\rm K}(f)=(\alpha_0+\alpha_1\cdot f+\alpha_2\cdot \sqrt{f}) \cdot l$.
  • In contrast, two-wire lines are often displayed in the form $a_{\rm K}(f)=(k_1+k_2\cdot (f/{\rm MHz})^{k_3}) \cdot l$.
  • The conversion of the $(k_1, \ k_2, \ k_3)$ parameters to the $(\alpha_0, \ \alpha_1, \ \alpha_2)$ parameters for $B = 30 \ \rm MHz$ is realized as well as the other way around.


Aside from the attenuation function $a_{\rm K}(f)$ the applet can display:

  • the associated magnitude frequency response $\left | H_{\rm K}(f)\right |=10^{-a_\text{K}(f)/20},$
  • the equalizer frequency response $\left | H_{\rm E}(f)\right | = \left | H_{\rm CRO}(f) / H_{\rm K}(f)\right | $, that leads to a nyquist total frequency response $ H_{\rm CRO}(f) $,
  • the corresponding magnitude square frequency response $\left | H_{\rm E}(f)\right |^2 $.


The integral over $\left | H_{\rm E}(f)\right |^2 $ is a measure of the noise exaggeration of the selected Nyquist total frequency response and thus also for the expected error probability.From this, the total efficiency  $\eta_\text{K+E}$ for channel (ger.:Kanal) and equalizer (ger.:Entzerrer) is calculated, which is output in the applet in $\rm dB$.


Through optimization of the roll-off-factor $r$ of the cosine roll-off frequency response $ H_{\rm CRO}(f) $ one gets the Channel efficiency  $ \eta_\text{K}$. This therefore indicates the deterioration of the overall system due to the attenuation function $ a _ {\ rm K} (f) $ of the transmission medium.

Theoretical Background


Magnitude Frequency Response and Attenuation Function

Following relationship exists between the magnitude frequency response and the attenuation function:

$$\left | H_{\rm K}(f)\right |=10^{-a_\text{K}(f)/20} = {\rm e}^{-a_\text{K, Np}(f)}.$$
  • The index „K” makes it clear, that the considered LTI system is a cable (German : Kabel).
  • For the first calculation rule, the damping function $a_\text{K}(f)$ must be used in $\rm dB$ (decibel).
  • For the second calculation rule, the damping function $a_\text{K, Np}(f)$ must be used in $\rm Np$ (Neper).
  • The following conversions apply: $\rm 1 \ dB = 0.05 \cdot \ln (10) \ Np= 0.1151 \ Np$ or $\rm 1 \ Np = 20 \cdot \lg (e) \ dB= 8.6859 \ dB$.
  • This applet exclusively uses dB values.

Attenuation Function of a Coaxial Cable

According to [Wel77][1] the Attenuation Function of a Coaxial Cable of length $l$ is given as follows:

$$a_{\rm K}(f)=(\alpha_0+\alpha_1\cdot f+\alpha_2\cdot \sqrt{f}) \cdot l.$$
  • It is important to note the difference between $a_{\rm K}(f)$ in $\rm dB$ and the „alpha” coefficient with other pseudo–units.
  • The attenuation function $a_{\rm K}(f)$ is directly proportional to the cable length $l$; $\alpha_{\rm K}(f)= a_{\rm K}(f)/l$ is referred to as the „attenuation factor” or „kilometric attenuation”.
  • The frequency-independent component $α_0$ of the attenuation factor takes into account the Ohmic losses.
  • The frequency proportional portion $α_1 · f$ of the attenuation factor is due to the derivation losses („crosswise loss”) .
  • The dominant portion $α_2$ goes back to Skin effect, which causes a lower current density inside the conductor compared to its surface. As a result, the resistance of an electric line increases with the square root of the frequency.


The constants for the standard coaxial cable with a 2.6 mm inner diameter and a 9.5 mm outer diameter   ⇒  short Coax (2.6/9.5 mm) are:

$$\alpha_0 = 0.014\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.0038\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 2.36\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$

The same applies to the small coaxial cable   ⇒  short Coax (1.2/4.4 mm):

$$\alpha_0 = 0.068\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.0039\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 =5.2\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$


These values ​​can be calculated from the cables' geometric dimensions and have been confirmed by measurements at the Fernmeldetechnisches Zentralamt in Darmstadt – see [Wel77][1] . They are valid for a temperature of 20° C (293 K) and frequencies greater than 200 kHz.


Attenuation Function of a Two–wired Line

According to [PW95][2] the attenuation function of a Two–wired Line of length $l$ is given as follows:

$$a_{\rm K}(f)=(k_1+k_2\cdot (f/{\rm MHz})^{k_3}) \cdot l.$$

This function is not directly interpretable, but is a phenomenological description.

[PW95][2]also provides the constants determined by measurement results:

  • $d = 0.35 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 7.9 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 15.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.62$,
  • $d = 0.40 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 5.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 14.3 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.59$,
  • $d = 0.50 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 4.4 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 10.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.60$,
  • $d = 0.60 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 3.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = \hspace{0.25cm}9.2 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.61$.


From these numerical values one recognizes:

  • The attenuation factor $α(f)$ and the attenuation function $a_{\rm K}(f) = α(f) · l$ depend significantly on the pipe diameter. The cables laid since 1994 with $d = 0.35 \ \rm mm$ and $d = 0.5\ \rm mm$ have a 10% greater attenuation factor than the older lines with $d = 0.4\ \rm mm$ or $d= 0.6\ \rm mm$.
  • However, this smaller diameter, which is based on the manufacturing and installation costs, significantly reduces the range $l_{\rm max}$ of the transmission systems used on these lines, so that in the worst case scenario expensive intermediate regenerators have to be used.
  • The current transmission methods for copper lines prove only a relatively narrow frequency band, for example $120\ \rm kHz$ with ISDN and $\approx 1100 \ \rm kHz$ with DSL. For $f = 1 \ \rm MHz$ the attenuation factor of a 0.4 mm cable is around $20 \ \rm dB/km$, so that even with a cable length of $l = 4 \ \rm km$ the attenuation does not exceed $80 \ \rm dB$.


Conversion between $k$ and $\alpha$ parameters

The $k$–parameters of the attenuation factor   ⇒   $\alpha_{\rm I} (f)$ can be converted into corresponding $\alpha$–parameters   ⇒   $\alpha_{\rm II} (f)$:

$$\alpha_{\rm I} (f) = k_1 + k_2 \cdot (f/f_0)^{k_3}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm with} \hspace{0.15cm} f_0 = 1\,{\rm MHz},$$
$$\alpha_{\rm II} (f) = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f}.$$

As a criterion of this conversion, we assume that the quadratic deviation of these two functions is minimal within a bandwidth $B$:

$$\int_{0}^{B} \left [ \alpha_{\rm I} (f) - \alpha_{\rm II} (f)\right ]^2 \hspace{0.1cm}{\rm d}f \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum} \hspace{0.05cm} .$$

It is obvious that $α_0 = k_1$. The parameters $α_1$ and $α_2$ are dependent on the underlying bandwidth $B$ and are:

$$\begin{align*}\alpha_1 & = 15 \cdot (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{k_3 -0.5}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\\ \alpha_2 & = 10 \cdot (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{1-k_3}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm} .\end{align*}$$

In the opposite direction the conversion rule for the exponent is:

$$k_3 = \frac{A + 0.5} {A +1}, \hspace{0.2cm}\text{Auxiliary variable: }A = \frac{2} {3} \cdot \frac{\alpha_1 \cdot \sqrt{f_0}}{\alpha_2} \cdot \sqrt{B/f_0}.$$

With this result you can specify $ k_2 $ with each of the above equations.

$\text{Example 1:}$ 

  • For $k_3 = 1$ (frequency proportional attenuation factor) we get   $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_1 = {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0\hspace{0.05cm} .$
  • For $k_3 = 0.5$ (Skin effect) we get the coefficients:   $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm}\alpha_1 = 0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm}.$
  • For $k_3 < 0.5$ we get a negative $\alpha_1$. Conversion is only possible for $0.5 \le k_3 \le 1$.
  • For $0.5 \le k_3 \le$ we get the coefficients $\alpha_1 > 0$ and $\alpha_2 > 0$, which are also dependent on $B/f_0$.
  • From $\alpha_1 = 0.3\, {\rm dB}/ ({\rm km \cdot MHz}) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 3\, {\rm dB}/ ({\rm km \cdot \sqrt{MHz} })\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}B = 30 \ \rm MHz$ folgt $k_3 = 0.63$ und $k_2 = 2.9 \ \rm dB/km$.

Channel Influence on the Binary Nyquistent Equalization

Simplified block diagram of the optimal Nyquistent equalizer

Going by the block diagram: Between the Dirac source and the (threshold) decider are the frequency responses for the transmitter (German: $\rm S$ender)  ⇒  $H_{\rm S}(f)$, channel (German: $\rm K$anal)  ⇒  $H_{\rm K}(f)$ and receiver (German: $\rm E$mpfänger)   ⇒  $H_{\rm E}(f)$.

In this applet

  • we neglect the influence of the transmitted pulse form   ⇒   $H_{\rm S}(f) \equiv 1$   ⇒   dirac shaped transmission signal $s(t)$, and
  • presuppose a binary Nyquist system with cosine–roll–off around the Nyquist frequency $f_{\rm Nyq} = [f_1 + f_2]/2 =1(2T)$ :
$$H_{\rm K}(f) · H_{\rm E}(f) = H_{\rm CRO}(f).$$
Frequency Response with cosine–roll–off

This means: The first Nyquist criterion is met
⇒   Timely successive impulses do not disturb each other
⇒   there are no Intersymbol Interferences.

In the case of white Gaussian noise, the transmission quality is thus determined solely by the noise power in front of the receiver:

$$P_{\rm N} =\frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \ {\rm d}f\hspace{1cm}\text{with}\hspace{1cm}|H_{\rm E}(f)|^2 = \frac{|H_{\rm CRO}(f)|^2}{|H_{\rm K}(f)|^2}.$$

The lowest possible noise performance results with an ideal channel   ⇒   $H_{\rm K}(f) \equiv 1$ and a rectangular $H_{\rm CRO}(f) \equiv 1$ in $|f| \le f_{\rm Nyq}$:

$$P_\text{N, min} = P_{\rm N} \ \big [\text{optimal system: }H_{\rm K}(f) \equiv 1, \ r=r_{\rm opt} =1 \big ] = N_0 \cdot f_{\rm Nyq} .$$

$\text{Definitions:}$ 

  • As a quality criterion for a given system we use the total efficiency with respect to the channel $\rm (K)$ and the receiver $\rm (E)$:
$$\eta_\text{K+E} = \frac{P_{\rm N} \ \big [\text{Optimal system: Channel }H_{\rm K}(f) \equiv 1,\ \text{Roll-off factor } r=r_{\rm opt} =1 \big ]}{P_{\rm N} \ \big [\text{Given system: Channel }H_{\rm K}(f), \ \text{Roll-off factor }r \big ]} =\left [ \frac{1}{3/4 \cdot f_{\rm Nyq} } \cdot \int_{0}^{+\infty} \vert H_{\rm E}(f) \vert^2 \ {\rm d}f \right ]^{-1}\le 1.$$

This quality criterion is specified in the applet for both parameter sets in logarithm form:   $10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \le 0 \ \rm dB$.

  • Through variation and optimization of the receiver   ⇒   roll-off factor $r$ we get the Channel efficiency:
$$\eta_\text{K} = \min_{0 \le r \le 1} \ \eta_\text{K+E} .$$


Square value frequency response $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 $

$\text{Example 2:}$  The graph shows the square value frequency response $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 $ with $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert = H_{\rm CRO}(f) / \left \vert H_{\rm K}(f)\right \vert$ for the following boundary conditions:

  • Attenuation function of the channel:   $a_{\rm K}(f) = 1 \ {\rm dB} \cdot \sqrt{f/\ {\rm MHz} }$,
  • Nyquist frequency:   $f_{\rm Nyq} = 20 \ {\rm MHz}$, Roll-off factor $r = 0.5$


This results in the following consequences:

  • In the area up to $f_{1} = 10 \ \text{MHz: }$ $H_{\rm CRO}(f) = 1$   ⇒   $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 = \left \vert H_{\rm K}(f)\right \vert ^{-2}$ (see yellow deposit).
  • The flank of $H_{\rm CRO}(f)$ is only effective from $f_{1}$ to $f_{2} = 30 \ {\rm MHz}$ and $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2$ decreases more and more.
  • The maximum of $\left \vert H_{\rm E}(f_{\rm max})\right \vert ^2$ at $f_{\rm max} \approx 11.5 \ {\rm MHz}$ is twice the value of $\left \vert H_{\rm E}(f = 0)\right \vert ^2 = 1$.
  • The integral over $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2$ is a measure of the effective noise power. In the current example this is $4.6$ times bigger than the minimal noise power (for $a_{\rm K}(f) = 0 \ {\rm dB}$ and $r=1$)   ⇒   $10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \approx - 6.6 \ {\rm dB}.$

Exercises

Applet Kabeldaempfung 6 version1.png
  • First choose an exercise number $1$ ... $11$.
  • An exercise description is displayed.
  • Parameter values are adjusted to the respective exercises.
  • Click „Show solution” to display the solution.
  • Exercise description and solution are in English.


Number „0” is a „Reset” button:

  • Sets parameters to initial values (like after loading the page).
  • Displays a „Reset text” to further describe the applet.


In the following desctiption Blue means the left parameter set (blue in the applet), and Red means the right parameter set (red in the applet). For parameters that are marked with an apostrophe the unit is not displayed. For example we write ${\alpha_2}' =2$   for   $\alpha_2 =2\, {\rm dB} / ({\rm km \cdot \sqrt{MHz} })$.

(1)  First set Blue to $\text{Coax (1.2/4.4 mm)}$ and then to $\text{Coax (2.6/9.5 mm)}$. The cable length is $l_{\rm Blue}= 5\ \rm km$.

Interpret $a_{\rm K}(f)$ and $\vert H_{\rm K}(f) \vert$, in particular the functional values $a_{\rm K}(f = f_\star = 30 \ \rm MHz)$ and $\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert$.


$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{The attenuation function increases approximately with }\sqrt{f}\text{ and the magnitude frequency response decreases similarly to an exponential function};$ $\hspace{1.15cm}\text{Coax (1.2/4.4 mm): }a_{\rm K}(f = f_\star) = 143.3\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.96.$

$\hspace{1.15cm}\text{Coax (2.6/9.5 mm): }a_{\rm K}(f = f_\star) = 65.3\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.99;$

(2)  Set Blue to $\text{Coax (2.6/9.5 mm)}$ and $l_{\rm Blue} = 5\ \rm km$. How is $a_{\rm K}(f =f_\star = 30 \ \rm MHz)$ affected by $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$?


$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha_2\text{ is dominant due to the skin effect. The contributions of } \alpha_0\text{ (ca. 0.1 dB) and }\alpha_1 \text{ (ca. 0.6 dB) are comparatively small.}$

(3)  Additionally, set Red to $\text{Two–wired Line (0.5 mm)}$ and $l_{\rm Red} = 1\ \rm km$. What is the resulting value for $a_{\rm K}(f =f_\star= 30 \ \rm MHz)$?

Up to what length $l_{\rm Red}$ does the red attenuation function stay under the blue one?


$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Red curve: }a_{\rm K}(f = f_\star) = 87.5 {\ \rm dB} \text{. The condition above is fulfilled for }l_{\rm Red} = 0.7\ {\rm km} \ \Rightarrow \ a_{\rm K}(f = f_\star) = 61.3 {\ \rm dB}.$

(4)  Set Red to ${k_1}' = 0, {k_2}' = 10, {k_3}' = 0.75, {l_{\rm red} } = 1 \ \rm km$ and vary the Parameter $0.5 \le k_3 \le 1$.

How do the parameters affect $a_{\rm K}(f)$ and $\vert H_{\rm K}(f) \vert$?


$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{With }k_2\text {being constant, }a_{\rm K}(f)\text{ increases with bigger values of }k_3\text{ and }\vert H_{\rm K}(f) \vert \text{ decreases faster and faster. With }k_3 =1: a_{\rm K}(f)\text{ rises linearly.}$

$\hspace{1.15cm}\text{With }k_3 \to 0.5, \text{ the attenuation function is more and more determined by the skin effect, same as in the coaxial cable.}$

(5)  Set Red to $\text{Two–wired Line (0.5 mm)}$ and Blue to $\text{Conversion of Red}$. For the length use $l_{\rm Red} = l_{\rm Blue} = 1\ \rm km$.

Analyse and interpret the displayed functions $a_{\rm K}(f)$ and $\vert H_{\rm K}(f) \vert$.


$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Very good approximation of the two-wire line through the blue parameter set, both with regard to }a_{\rm K}(f) \text{, as well as }\vert H_{\rm K}(f) \vert.$

$\hspace{1.15cm}\text{The resulting parameters from the conversion are }{\alpha_0}' = {k_1}' = 4.4, \ {\alpha_1}' = 0.76, \ {\alpha_2}' = 11.12.$

(6)  We assume the settings of (5). Which parts of the attenuation function are due to ohmic loss, lateral losses and skin effect?


$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Solution based on '''Blue''': }a_{\rm K}(f = f_\star= 30 \ {\rm MHz}) = 88.1\ {\rm dB}, \hspace{0.2cm}\text{without }\alpha_0\text{: }83.7\ {\rm dB}, \hspace{0.2cm}\text{without }\alpha_0 \text{ and } \alpha_1\text{: }60.9\ {\rm dB}.$

$\hspace{1.15cm}\text{For a two-wire cable, the influence of the longitudinal and transverse losses is significantly greater than for a coaxial cable.}$

(7)  Set Blue to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' ={\alpha_2}' = 0$ and Red to ${k_1}' = 2, {k_2}' = 0, {l_{\rm red} } = 1 \ \rm km$. Additionally, set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.5$.

How big are the total efficiency $\eta_\text{K+E}$ and the channel efficiency $\eta_\text{K}$?


$\Rightarrow\hspace{0.3cm}10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = -0.7\ \ {\rm dB}\text{ (Blue: ideal system) and }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = -2.7\ \ {\rm dB}\text{ (Red: DC signal attenuation only)}$.

$\hspace{0.95cm}\text{The best possible rolloff factor is }r = 1.\text{ Therefore }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} = 0 \ {\rm dB}\text{ (Blue) or }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} = -2\ {\rm dB}\text{ (Red)}.$

(8)  The same settings apply as in (7). Under what transmission power $P_{\rm red}$ with respect to $P_{\rm blue}$ do both systems achieve the same error probability?


$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{We need to achieve }10 \cdot \lg {P_{\rm Red}}/{P_{\rm Blue}} = 2 \ {\rm dB} \ \ \Rightarrow \ \ {P_{\rm Red}}/{P_{\rm Blue}} = 10^{0.2} = 1.585.$

(9)  Set Blue to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' = 0, \ {\alpha_2}' = 3, \ {l_{\rm blue} }' = 2$ and Red to „Inactive”. Additionally set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.7$.

How does $\vert H_{\rm E}(f) \vert$ look like? Calculate the total efficiency $\eta_\text{K+E}$ and the channel efficiency$\eta_\text{K}$.


$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{For} f < 7.5 {\ \rm MHz: } \vert H_{\rm E}(f) \vert = \vert H_{\rm K}(f) \vert ^{-1}.\text{ For } f > 25 {\ \rm MHz: }\vert H_{\rm E}(f) \vert = 0.\text{ In between, the effect of the CRO edge can be observed.}$

$\hspace{0.95cm}\text{The best possible rolloff factor }r = 0.7 \text{ is already set }\Rightarrow \ 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx - 18.1 \ {\rm dB}.$

(10)  Set Blue to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' = 0, \ {\alpha_2}' = 3, \ {l_{\rm blue} }' = 8$ and Red to „Inactive”. Additionally, set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.7$.

How big is $\vert H_{\rm E}(f = 0) \vert$? What is the maximum value of $\vert H_{\rm E}(f) \vert$? Calculate the channel efficiency $\eta_\text{K}$.


$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\vert H_{\rm E}(f = 0) \vert = \vert H_{\rm E}(f = 0) \vert ^{-1}= 1 \text{ and the maximum value } \vert H_{\rm E}(f) \vert \text{ is approximately }37500\text{ for }r=0.7 \Rightarrow 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \approx -89.2 \ {\rm dB},$

$\hspace{0.95cm}\text{because the integral over }\vert H_{\rm E}(f) \vert^2\text{is huge. After the optimization }r=0.17 \text{ we get }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx -82.6 \ {\rm dB}.$

(11) The same settings apply as in (10) and $r= 0.17$. Vary the cable length up to $l_{\rm blue} = 10 \ \rm km$.

How much do the maximum value of $\vert H_{\rm E}(f) \vert$, the channel efficiency $\eta_\text{K}$ and the optimal rolloff factor $r_{\rm opt}$ change?


$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{The maximum value of } \vert H_{\rm E}(f) \vert \text{ increases and }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \text{ decreases more and more.}$

$\hspace{0.95cm}\text{At 10 km length } 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx -104.9 \ {\rm dB} \text{ and } r_{\rm opt}=0.14\text{. For }f_\star \approx 14.5\ {\rm MHz} \Rightarrow \vert H_{\rm E}(f = f_\star) \vert = 352000 \approx \vert H_{\rm E}(f =0)\vert$.

Applet Manual

Applet Kabeldaempfung 5 version2.png

    (A)     Preselection for blue parameter set

    (B)     Input of the $\alpha$ parameters via sliders

    (C)     Preselection for red parameter set

    (D)     Input of the $k$ parameters via sliders

    (E)     Input of the parameters $f_{\rm Nyq}$ and $r$

    (F)     Selection for the graphic display

    (G)     Display $a_\text{K}(f)$, $|H_\text{K}(f)|$, $|H_\text{E}(f)|$, ...

    (H)     Scaling factor $H_0$ for $|H_\text{E}(f)|$, $|H_\text{E}(f)|^2$

    (I)     Selection of the frequency $f_\star$ for numeric values

    (J)     Numeric values for blue parameter set

    (K)     Numeric values for red parameter set

    (L)     Output system efficiency $\eta_\text{K+E}$ in dB

    (M)     Store & Recall of settings

    (N)     Exercise section

    (O)     Variation of the graphic display:$\hspace{0.5cm}$„$+$” (Zoom in), $\hspace{0.5cm}$ „$-$” (Zoom out) $\hspace{0.5cm}$ „$\rm o$” (Reset) $\hspace{0.5cm}$ „$\leftarrow$” (Move left), etc.

Other options for graphic display:

  • Hold shift and scroll: Zoom in on/out of coordinate system,
  • Hold shift and left click: Move the coordinate system.

About the Authors

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

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  1. ↑ 1,0 1,1 Wellhausen, H. W.: Dämpfung, Phase und Laufzeiten bei Weitverkehrs–Koaxialpaaren. Frequenz 31, S. 23-28, 1977.
  2. ↑ 2,0 2,1 Pollakowski, M.; Wellhausen, H.W.: Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz. Mitteilung aus dem Forschungs- und Technologiezentrum der Deutschen Telekom AG, Darmstadt, Verlag für Wissenschaft und Leben Georg Heidecker, 1995.
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