Aufgaben:Aufgabe 1.4Z: Summe von Ternärgrößen: Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben seien die ternären Zufallsgrößen
 
Gegeben seien die ternären Zufallsgrößen
  
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*Daraus wird als eine neue Zufallsgröße die Summe  $s = x + y$  gebildet.
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*Das nebenstehendes Schema zeigt,  dass die Summe  $s$  alle ganzzahligen Werte zwischen  $–3$  und  $+3$  annehmen kann: 
  
Diese beiden Ternärwerte treten jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Daraus wird als eine neue Zufallsgröße die Summe $s = x + y$ gebildet.
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Das nebenstehendes Schema zeigt, dass die Summe $s$ alle ganzzahligen Werte zwischen $–3$ und $+3$ annehmen kann: 
 
  
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Alle gesuchten Wahrscheinlichkeiten k&ouml;nnen hier mit Hilfe der klassischen Definition ermittelt werden.
 
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:$$\rm Pr (\it s > \rm 0) = \rm 4/9 \hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.444}.$$
 
:$$\rm Pr (\it s > \rm 0) = \rm 4/9 \hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.444}.$$
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'''(2)'''&nbsp; Hier gilt folgender Sachverhalt:
 
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:$$\rm Pr[(\it x > \rm 0) \cap (\it s>\rm 0) ] = \rm Pr(\it x > \rm 0) =\rm 3/9\hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.333}. $$
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'''(4)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; gilt nun:
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Aktuelle Version vom 30. November 2021, 15:42 Uhr

Summe zweier Ternärgrößen  $x$  und  $y$

Gegeben seien die ternären Zufallsgrößen

$$x ∈ {–2, \ 0, +2},$$
$$y ∈ {–1, \ 0, +1}.$$
  • Diese beiden Ternärwerte treten jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. 
  • Daraus wird als eine neue Zufallsgröße die Summe  $s = x + y$  gebildet.
  • Das nebenstehendes Schema zeigt,  dass die Summe  $s$  alle ganzzahligen Werte zwischen  $–3$  und  $+3$  annehmen kann: 
$$ s \in \{-3, -2, -1, \ 0, +1, +2, +3\}.$$



Hinweise:

  • Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo 
Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.


Fragebogen

1

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit,  dass die Summe  $s$  positv ist:

${\rm Pr}(s>0) \ = \ $

2

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit,  dass sowohl die Eingangsgröße  $x$  als auch die Summe  $s$  positiv sind:

${\rm Pr}\big [(x>0) \cap (s>0)\big] \ = \ $

3

Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit,  dass die Eingangsgröße  $x > 0$  ist, wenn  $s > 0$  gilt:

${\rm Pr}(x>0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}s>0)\ = \ $

4

Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit,  dass die Summe  $s$  positiv ist,  wenn die Eingangsgröße  $x > 0$  ist:

${\rm Pr}(s>0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x>0)\ = \ $


Musterlösung

Ternärgrößen im Venndiagramm

In nebenstehender Grafik sind

  • die drei zum Ereignis  $\big[x > 0\big]$  gehörenden Felder violett umrandet,
  • die Felder für  $\big[s > 0\big]$  gelb hinterlegt.


Alle gesuchten Wahrscheinlichkeiten können hier mit Hilfe der klassischen Definition ermittelt werden.

(1)  Dieses Ereignis ist durch die gelb hinterlegten Felder gekennzeichnet:

$$\rm Pr (\it s > \rm 0) = \rm 4/9 \hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.444}.$$


(2)  Hier gilt folgender Sachverhalt:

$$\rm Pr \big[(\it x > \rm 0) \cap (\it s>\rm 0) \big ] = \rm Pr(\it x > \rm 0) =\rm 3/9\hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.333}. $$


(3)  Mit den Ergebnissen der Teilaufgaben  (1)  und  (2)  folgt:

$$\rm Pr \big[(\it x > \rm 0) \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} (\it s > \rm 0)\big] = \frac{{\rm Pr} [(\it x > \rm 0) \cap (\it s > \rm 0)]}{{\rm Pr}(\it s > \rm 0)}= \frac{3/9}{4/9}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.75}.$$


(4)  Analog zur Teilaufgabe  (3)  gilt nun:

$$\rm Pr(\it s > \rm 0 \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} \it x > \rm 0)=\frac{Pr \big[(\it x > \rm 0) \cap (\it s > \rm 0) \big]}{Pr(\it x >\rm 0)}=\rm \frac{3/9}{3/9}\hspace{0.15cm}\underline {= 1}.$$