Aufgaben:Aufgabe 2.1: Linear? - Nichtlinear?: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Wir betrachten die skizzierte Anordnung mit | + | Wir betrachten die skizzierte Anordnung mit Eingang $x(t)$ und Ausgang $z(t)$: |
| − | *Das System $S_1$ ist durch folgende Gleichung beschreibbar: | + | *Das System $S_1$ ist durch folgende Gleichung beschreibbar: |
:$$y(t) = x(t) + {1 \, \rm V}^{\rm -1} \cdot x^2(t) .$$ | :$$y(t) = x(t) + {1 \, \rm V}^{\rm -1} \cdot x^2(t) .$$ | ||
| − | *Über das System $S_2$ mit Eingang $y(t)$ und Ausgang $z(t)$ ist nichts weiter bekannt. | + | *Über das System $S_2$ mit Eingang $y(t)$ und Ausgang $z(t)$ ist nichts weiter bekannt. |
| − | *Das System $S_3$ ist die Zusammenschaltung von $S_1$ und $S_2$. | + | *Das System $S_3$ ist die Zusammenschaltung von $S_1$ und $S_2$. |
| − | An den Eingang wird eine Schwingung mit der Frequenz $f_0 = 5 \ \rm kHz$ angelegt: | + | An den Eingang wird eine Schwingung mit der Frequenz $f_0 = 5 \ \rm kHz$ angelegt: |
:$$x(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ) .$$ | :$$x(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ) .$$ | ||
| − | Damit erhält man am Ausgang des Gesamtsystems $S_3$: | + | Damit erhält man am Ausgang des Gesamtsystems $S_3$: |
:$$z(t) = {1 \, \rm V} \cdot {\rm sin}(2\pi f_0 t ) .$$ | :$$z(t) = {1 \, \rm V} \cdot {\rm sin}(2\pi f_0 t ) .$$ | ||
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| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen|Klassifizierung der Verzerrungen]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen|Klassifizierung der Verzerrungen]]. |
*Gegeben ist die folgende trigonometrische Beziehung: | *Gegeben ist die folgende trigonometrische Beziehung: | ||
| − | :$$\cos^2(\alpha) = {1}/{2} \cdot \ | + | :$$\cos^2(\alpha) = {1}/{2} \cdot \big[ 1 + \cos(2\alpha)\big].$$ |
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| − | {Wie lautet das Signal $y(t)$? Welcher Signalwert ergibt sich zum | + | {Wie lautet das Signal $y(t)$? Welcher Signalwert ergibt sich zum Zeitnullpunkt? |
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$y(t = 0) \ = \ $ { 6 1% } $\ \rm V$ | $y(t = 0) \ = \ $ { 6 1% } $\ \rm V$ | ||
| − | {Welche richtigen Schlüsse könnte ein Beobachter ziehen, der nur die Signale $x(t)$ und $z(t)$ kennt, aber den Aufbau von $S_3$ | + | {Welche richtigen Schlüsse könnte ein Beobachter ziehen, der nur die Signale $x(t)$ und $z(t)$ kennt, aber nicht den Aufbau von $S_3$? |
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| − | - $S_3$ ist ein ideales System. | + | - $S_3$ ist ein ideales System. |
| − | + $S_3$ ist ein verzerrungsfreies System. | + | + $S_3$ ist ein verzerrungsfreies System. |
| − | + $S_3$ ist ein linear verzerrendes System. | + | + $S_3$ ist ein linear verzerrendes System. |
| − | - $S_3$ ist ein nichtlinear verzerrendes System. | + | - $S_3$ ist ein nichtlinear verzerrendes System. |
{Welche Schlüsse müsste der Beobachter ziehen, wenn ihm alle Informationen von der Angabenseite bekannt sind? | {Welche Schlüsse müsste der Beobachter ziehen, wenn ihm alle Informationen von der Angabenseite bekannt sind? | ||
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| − | - $S_2$ ist ein verzerrungsfreies System. | + | - $S_2$ ist ein verzerrungsfreies System. |
| − | + $S_2$ ist ein linear verzerrendes System. | + | + $S_2$ ist ein linear verzerrendes System. |
| − | - $S_2$ ist ein nichtlinear verzerrendes System. | + | - $S_2$ ist ein nichtlinear verzerrendes System. |
| − | {Welches Signal $z(t)$ könnte sich mit der Eingangsfrequenz $f_0 = 10 \ \rm kHz$ ergeben? | + | {Welches Signal $z(t)$ könnte sich mit der Eingangsfrequenz $f_0 = 10 \ \rm kHz$ ergeben? |
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| − | + Das Signal $z(t)$ ist für alle Zeiten | + | + Das Signal $z(t)$ ist für alle Zeiten Null. |
| − | - Ein Signal der Form $z(t) = A \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot 10 \ {\rm kHz} \cdot t ) ,$ mit $A \ne 0.$ | + | - Ein Signal der Form $z(t) = A \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot 10 \ {\rm kHz} \cdot t ) ,$ mit $A \ne 0.$ |
| − | + Ein Signal der Form $z(t) = A \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot 20 \ {\rm kHz} \cdot t ) ,$ mit $A \ne 0.$ | + | + Ein Signal der Form $z(t) = A \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot 20 \ {\rm kHz} \cdot t ) ,$ mit $A \ne 0.$ |
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:$$y(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ) + {1 \, | :$$y(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ) + {1 \, | ||
\rm V}^{\rm -1} \cdot ({2 \, \rm V})^2 \cdot {\rm cos}^2(2\pi f_0 | \rm V}^{\rm -1} \cdot ({2 \, \rm V})^2 \cdot {\rm cos}^2(2\pi f_0 | ||
| − | t ) = {2 \, \rm V} \cdot \ | + | t ) = {2 \, \rm V} \cdot \big[ 1 + {\rm cos}(2\pi \cdot f_0 \cdot t |
| − | ) +{\rm cos}(2\pi \cdot 2f_0 \cdot t ) \ | + | ) +{\rm cos}(2\pi \cdot 2f_0 \cdot t ) \big].$$ |
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| + | *Zum Zeitpunkt $t= 0$ tritt somit der <u>Signalwert 6 V</u> auf. | ||
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'''(2)''' Möglich sind die <u>Alternativen 2 und 3</u>: | '''(2)''' Möglich sind die <u>Alternativen 2 und 3</u>: | ||
| − | *Ein ideales System kommt wegen $z(t) ≠ x(t)$ nicht in Frage. | + | *Ein ideales System kommt wegen $z(t) ≠ x(t)$ nicht in Frage. |
| − | *Bei nur einer Eingangsfrequenz ( | + | *Bei nur einer Eingangsfrequenz $(f_0 = 5 \ \rm kHz)$ im Testsignal ist keine Aussage möglich, ob eine zweite Frequenzkomponente mit $f \ne f_0$ ebenfalls um $\alpha = 0.5$ gedämpft und um $\tau = T_0/4 = 50 \ µ\rm s$ verzögert würde. |
| − | *Ergäbe sich für die zweite | + | *Ergäbe sich für die zweite Frequenz $\alpha = 0.5$ und $\tau = T_0/4 = 50 \ µ \rm s$, so könnte ein ''verzerrungsfreies System'' vorliegen. |
| − | *Ergäbe sich für die zweite Frequenzkomponente $\alpha \ne 0.5$ und/oder $\tau \ne T_0/4$, so wäre das System ''linear verzerrend''. | + | *Ergäbe sich für die zweite Frequenzkomponente $\alpha \ne 0.5$ und/oder $\tau \ne T_0/4$, so wäre das System ''linear verzerrend''. |
*Die letzte Alternative müsste der Beobachter – obwohl teilweise zutreffend – logischerweise verneinen. | *Die letzte Alternative müsste der Beobachter – obwohl teilweise zutreffend – logischerweise verneinen. | ||
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'''(3)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: | '''(3)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: | ||
| − | *Der Beobachter würde erkennen, dass $S_2$ ein linear verzerrendes System ist. | + | *Der Beobachter würde erkennen, dass $S_2$ ein linear verzerrendes System ist. |
| − | *Bei einem verzerrungsfreien System müsste $z(t)$ zusätzlich noch eine Gleichkomponente und eine $10 \ \rm kHz$ | + | *Bei einem verzerrungsfreien System müsste $z(t)$ zusätzlich noch eine Gleichkomponente und eine $10 \ \rm kHz$–Komponente beinhalten, |
| + | *bei einem nichtlinear verzerrenden System noch größere Frequenzanteile $($bei Vielfachen von $10 \ \rm kHz)$. | ||
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'''(4)''' In diesem Fall würde gelten: | '''(4)''' In diesem Fall würde gelten: | ||
| − | :$$y(t) = {2 \, \rm V} \cdot \ | + | :$$y(t) = {2 \, \rm V} \cdot \big[ 1 + {\rm cos}(2\pi \cdot 10 \ {\rm kHz} \cdot t |
| − | ) +{\rm cos}(2\pi \cdot 20 \ {\rm kHz} \cdot t ) \ | + | ) +{\rm cos}(2\pi \cdot 20 \ {\rm kHz} \cdot t ) \big].$$ |
| − | Das heißt: $Y(f)$ würde Spektrallinien bei $f = 0$, $10 \ \rm kHz$ und $20 \ \rm kHz$ aufweisen. | + | *Das heißt: $Y(f)$ würde Spektrallinien bei $f = 0$, $10 \ \rm kHz$ und $20 \ \rm kHz$ aufweisen. |
| − | Die auf der Angabenseite beschriebene Messung mit $f_0 = 5 \ \rm kHz$ hat aber gezeigt, dass $H_2(f = 0) = H_2(f = 10 \ {\rm kHz}) = 0$ gelten muss. Die einzig mögliche Signalform ist somit | + | *Die auf der Angabenseite beschriebene Messung mit $f_0 = 5 \ \rm kHz$ hat aber gezeigt, dass $H_2(f = 0) = H_2(f = 10 \ {\rm kHz}) = 0$ gelten muss. |
| + | *Die einzig mögliche Signalform ist somit | ||
:$$z(t) = {2 \, \rm V} \cdot H_2 (f = {20 \, \rm kHz})\cdot {\rm | :$$z(t) = {2 \, \rm V} \cdot H_2 (f = {20 \, \rm kHz})\cdot {\rm | ||
cos}(2\pi \cdot {20 \, \rm kHz} \cdot t ) .$$ | cos}(2\pi \cdot {20 \, \rm kHz} \cdot t ) .$$ | ||
| − | Möglich sind also die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>, je nachdem, ob das System $S_2$ die Frequenz $20 \ {\rm kHz}$ unterdrückt oder durchlässt. | + | *Möglich sind also die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>, je nachdem, ob das System $S_2$ die Frequenz $20 \ {\rm kHz}$ unterdrückt oder durchlässt. |
Aktuelle Version vom 28. Oktober 2019, 08:55 Uhr
Zusammengeschaltetes System
Wir betrachten die skizzierte Anordnung mit Eingang $x(t)$ und Ausgang $z(t)$:
- Das System $S_1$ ist durch folgende Gleichung beschreibbar:
- $$y(t) = x(t) + {1 \, \rm V}^{\rm -1} \cdot x^2(t) .$$
- Über das System $S_2$ mit Eingang $y(t)$ und Ausgang $z(t)$ ist nichts weiter bekannt.
- Das System $S_3$ ist die Zusammenschaltung von $S_1$ und $S_2$.
An den Eingang wird eine Schwingung mit der Frequenz $f_0 = 5 \ \rm kHz$ angelegt:
- $$x(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ) .$$
Damit erhält man am Ausgang des Gesamtsystems $S_3$:
- $$z(t) = {1 \, \rm V} \cdot {\rm sin}(2\pi f_0 t ) .$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Klassifizierung der Verzerrungen.
- Gegeben ist die folgende trigonometrische Beziehung:
- $$\cos^2(\alpha) = {1}/{2} \cdot \big[ 1 + \cos(2\alpha)\big].$$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Aufgrund der Kennlinie mit linearem und quadratischem Anteil gilt:
- $$y(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ) + {1 \, \rm V}^{\rm -1} \cdot ({2 \, \rm V})^2 \cdot {\rm cos}^2(2\pi f_0 t ) = {2 \, \rm V} \cdot \big[ 1 + {\rm cos}(2\pi \cdot f_0 \cdot t ) +{\rm cos}(2\pi \cdot 2f_0 \cdot t ) \big].$$
- Zum Zeitpunkt $t= 0$ tritt somit der Signalwert 6 V auf.
(2) Möglich sind die Alternativen 2 und 3:
- Ein ideales System kommt wegen $z(t) ≠ x(t)$ nicht in Frage.
- Bei nur einer Eingangsfrequenz $(f_0 = 5 \ \rm kHz)$ im Testsignal ist keine Aussage möglich, ob eine zweite Frequenzkomponente mit $f \ne f_0$ ebenfalls um $\alpha = 0.5$ gedämpft und um $\tau = T_0/4 = 50 \ µ\rm s$ verzögert würde.
- Ergäbe sich für die zweite Frequenz $\alpha = 0.5$ und $\tau = T_0/4 = 50 \ µ \rm s$, so könnte ein verzerrungsfreies System vorliegen.
- Ergäbe sich für die zweite Frequenzkomponente $\alpha \ne 0.5$ und/oder $\tau \ne T_0/4$, so wäre das System linear verzerrend.
- Die letzte Alternative müsste der Beobachter – obwohl teilweise zutreffend – logischerweise verneinen.
(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:
- Der Beobachter würde erkennen, dass $S_2$ ein linear verzerrendes System ist.
- Bei einem verzerrungsfreien System müsste $z(t)$ zusätzlich noch eine Gleichkomponente und eine $10 \ \rm kHz$–Komponente beinhalten,
- bei einem nichtlinear verzerrenden System noch größere Frequenzanteile $($bei Vielfachen von $10 \ \rm kHz)$.
(4) In diesem Fall würde gelten:
- $$y(t) = {2 \, \rm V} \cdot \big[ 1 + {\rm cos}(2\pi \cdot 10 \ {\rm kHz} \cdot t ) +{\rm cos}(2\pi \cdot 20 \ {\rm kHz} \cdot t ) \big].$$
- Das heißt: $Y(f)$ würde Spektrallinien bei $f = 0$, $10 \ \rm kHz$ und $20 \ \rm kHz$ aufweisen.
- Die auf der Angabenseite beschriebene Messung mit $f_0 = 5 \ \rm kHz$ hat aber gezeigt, dass $H_2(f = 0) = H_2(f = 10 \ {\rm kHz}) = 0$ gelten muss.
- Die einzig mögliche Signalform ist somit
- $$z(t) = {2 \, \rm V} \cdot H_2 (f = {20 \, \rm kHz})\cdot {\rm cos}(2\pi \cdot {20 \, \rm kHz} \cdot t ) .$$
- Möglich sind also die Lösungsvorschläge 1 und 3, je nachdem, ob das System $S_2$ die Frequenz $20 \ {\rm kHz}$ unterdrückt oder durchlässt.
