Aufgaben:Aufgabe 3.7: Winkelmodulation einer harmonischen Schwingung: Unterschied zwischen den Versionen
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Das an einem Empfänger ankommende Signal lautet: | Das an einem Empfänger ankommende Signal lautet: | ||
| − | :$$ r(t) = 3\,{\rm V} \cdot \cos\ | + | :$$ r(t) = 3\,{\rm V} \cdot \cos \hspace{-0.05cm} \big[2 \pi \cdot 1\,{\rm MHz} \cdot t + 3 \cdot \cos(2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t)\big]\hspace{0.05cm}.$$ |
| − | Bei $r(t)$ handelt es sich um ein winkelmoduliertes Signal, das bei der Übertragung weder verzerrt noch durch Rauschen beaufschlagt wurde. Die Signale $v_{\rm PM}(t)$ und $v_{\rm FM}(t)$ ergeben sich nach idealer Demodulation mittels | + | Bei $r(t)$ handelt es sich um ein winkelmoduliertes Signal, das bei der Übertragung weder verzerrt noch durch Rauschen beaufschlagt wurde. |
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| + | Die Signale $v_{\rm PM}(t)$ und $v_{\rm FM}(t)$ ergeben sich nach idealer Demodulation mittels | ||
* Phasendemodulator, gegeben durch die Gleichung | * Phasendemodulator, gegeben durch die Gleichung | ||
:$$ v_{\rm PM}(t) = \frac{1}{K_{\rm PM}} \cdot \phi_r(t) \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {K_{\rm PM}} = 2\,{\rm V}^{-1}\hspace{0.05cm},$$ | :$$ v_{\rm PM}(t) = \frac{1}{K_{\rm PM}} \cdot \phi_r(t) \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {K_{\rm PM}} = 2\,{\rm V}^{-1}\hspace{0.05cm},$$ | ||
| − | * Frequenzdemodulator, bestehend aus PM–Demodulator, Differenzierer und einer Konstanten $K$. Damit alle Signale gleiche Einheiten besitzen, ist diese Konstante $K$ dimensionsbehaftet. | + | * Frequenzdemodulator, bestehend aus PM–Demodulator, Differenzierer und einer Konstanten $K$. |
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| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)|Frequenzmodulation]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)|Frequenzmodulation]]. |
| − | *Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]] und | + | *Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]] und auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Frequenzmodulation|Signalverläufe bei Frequenzmodulation]]. |
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+ Es könnte eine PM–Modulation vorliegen. | + Es könnte eine PM–Modulation vorliegen. | ||
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| − | - Die Nachrichtenphase ist sicher $ϕ_{\rm N} = 0$. | + | - Die Nachrichtenphase ist sicher $ϕ_{\rm N} = 0$. |
| − | + Die Nachrichtenfrequenz ist sicher $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$. | + | + Die Nachrichtenfrequenz ist sicher $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$. |
| − | {Berechnen Sie das Signal $v_{\rm PM}(t)$ nach dem Phasendemodulator. Wie groß ist der Signalwert zum Zeitpunkt $t = 0$? | + | {Berechnen Sie das Signal $v_{\rm PM}(t)$ nach dem Phasendemodulator. Wie groß ist der Signalwert zum Zeitpunkt $t = 0$? |
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$v_{\rm PM}(t = 0) \ = \ $ { 1.5 3% } $\ \rm V$ | $v_{\rm PM}(t = 0) \ = \ $ { 1.5 3% } $\ \rm V$ | ||
| − | {Berechnen Sie das Signal $v_{\rm FM}(t)$. Wie groß ist die Nachrichtenphase $ϕ_{\rm N}$? | + | {Berechnen Sie das Signal $v_{\rm FM}(t)$. Wie groß ist die Nachrichtenphase $ϕ_{\rm N}$? |
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$ϕ_{\rm N} \ = \ $ { 90 3% } $\ \rm Grad$ | $ϕ_{\rm N} \ = \ $ { 90 3% } $\ \rm Grad$ | ||
| − | {Wie groß ist $K$ zu wählen, damit die Amplitude von $v_{\rm FM}(t)$ gleich $1.5 \ \rm V$ ist? | + | {Wie groß ist $K$ zu wählen, damit die Amplitude von $v_{\rm FM}(t)$ gleich $1.5 \ \rm V$ ist? |
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$K\ = \ $ { 6.28 3% } $\ \rm \cdot 10^4 \ 1/s$ | $K\ = \ $ { 6.28 3% } $\ \rm \cdot 10^4 \ 1/s$ | ||
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{Welche der folgenden Aussagen treffen für das FM–modulierte Signal zu? | {Welche der folgenden Aussagen treffen für das FM–modulierte Signal zu? | ||
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| − | + Der Phasenhub beträgt $ϕ_{\rm max} = 3$. | + | + Der Phasenhub beträgt $ϕ_{\rm max} = 3$. |
| − | + Der Frequenzhub beträgt $Δf_{\rm A} = 30 \ \rm kHz$. | + | + Der Frequenzhub beträgt $Δf_{\rm A} = 30 \ \rm kHz$. |
| − | + Es treten Augenblicksfrequenzen zwischen $0.97\ \rm MHz$ und $1.03 \ \rm MHz$ auf. | + | + Es treten Augenblicksfrequenzen zwischen $0.97\ \rm MHz$ und $1.03 \ \rm MHz$ auf. |
| − | - Mit $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$ würde sich am Phasenhub nichts ändern. | + | - Mit $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$ würde sich am Phasenhub nichts ändern. |
| − | + Mit $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$ würde sich am Frequenzhub nichts ändern. | + | + Mit $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$ würde sich am Frequenzhub nichts ändern. |
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{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
'''(1)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>: | '''(1)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>: | ||
| − | *Aus der Gleichung für $r(t)$ kann lediglich abgelesen werden, dass es sich um eine Winkelmodulation handelt, nicht jedoch, ob eine Phasenmodulation (PM) oder eine Frequenzmodulation (FM) vorliegt. | + | *Aus der Gleichung für $r(t)$ kann lediglich abgelesen werden, dass es sich um eine Winkelmodulation handelt, |
| − | *Aufgrund der Gleichung steht fest, dass die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$ beträgt. | + | *nicht jedoch, ob eine Phasenmodulation (PM) oder eine Frequenzmodulation (FM) vorliegt. |
| − | *Die Phase $ϕ_{\rm N} = 0$ des Quellensignals würde dagegen nur zutreffen, wenn eine Phasenmodulation vorläge. | + | *Aufgrund der Gleichung steht fest, dass die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$ beträgt. |
| + | *Die Phase $ϕ_{\rm N} = 0$ des Quellensignals würde dagegen nur zutreffen, wenn eine Phasenmodulation vorläge. | ||
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| − | '''(2)''' Mit der Modulatorkonstanten $K_{\rm PM} = 2 \ \rm V^{–1}$ erhält man hierfür: | + | '''(2)''' Mit der Modulatorkonstanten $K_{\rm PM} = 2 \ \rm V^{–1}$ erhält man hierfür: |
:$$v_{\rm PM}(t) = \frac{1}{K_{\rm PM}} \cdot \phi_r(t) = \frac{3}{2\,{\rm V}^{-1}} \cdot \cos(2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$ | :$$v_{\rm PM}(t) = \frac{1}{K_{\rm PM}} \cdot \phi_r(t) = \frac{3}{2\,{\rm V}^{-1}} \cdot \cos(2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Für den Zeitpunkt $t = 0$ gilt deshalb: | + | *Für den Zeitpunkt $t = 0$ gilt deshalb: |
:$$v_{\rm PM}(t = 0) = {A_{\rm N}} \hspace{0.15cm}\underline {= 1.5\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$v_{\rm PM}(t = 0) = {A_{\rm N}} \hspace{0.15cm}\underline {= 1.5\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | '''(3)''' Für das Ausgangssignal $v_{\rm FM}(t)$ des FM–Demodulators – bestehend aus PM–Demodulator und Differenzierer – kann man schreiben: | + | |
| + | '''(3)''' Für das Ausgangssignal $v_{\rm FM}(t)$ des FM–Demodulators – bestehend aus PM–Demodulator und Differenzierer – kann man schreiben: | ||
:$$v_{\rm FM}(t) = \frac{{\rm d}v_{\rm PM}(t)}{{\rm d}t} \cdot K = \frac{K \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm N}} \cdot (- \sin(2 \pi \cdot {f_{\rm N}} \cdot t))= \frac{K \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm N}} \cdot \cos(2 \pi \cdot {f_{\rm N}} \cdot t + 90^\circ)\hspace{0.05cm}.$$ | :$$v_{\rm FM}(t) = \frac{{\rm d}v_{\rm PM}(t)}{{\rm d}t} \cdot K = \frac{K \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm N}} \cdot (- \sin(2 \pi \cdot {f_{\rm N}} \cdot t))= \frac{K \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm N}} \cdot \cos(2 \pi \cdot {f_{\rm N}} \cdot t + 90^\circ)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Die Nachrichtenphase ist somit $ϕ_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {= 90^\circ}$. | + | *Die Nachrichtenphase ist somit $ϕ_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {= 90^\circ}$. |
| − | '''(4)''' In diesem Fall muss gelten: $ K ={2 \pi \cdot f_{\rm N}} \hspace{0.15cm}\underline { = 6.28 \cdot 10^{4} \,\,{1}/{ s}} \hspace{0.05cm}.$ | + | |
| + | '''(4)''' In diesem Fall muss gelten: | ||
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*Der Phasenhub ist identisch mit dem Modulationsindex, der aus der angegebenen Gleichung abgelesen werden kann: | *Der Phasenhub ist identisch mit dem Modulationsindex, der aus der angegebenen Gleichung abgelesen werden kann: | ||
:$$\phi_{\rm max} = \eta = 3 = \frac{\Delta f_{\rm A}}{ f_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$\phi_{\rm max} = \eta = 3 = \frac{\Delta f_{\rm A}}{ f_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | *Damit erhält man den Frequenzhub $Δf_{\rm A} = 3 · f_{\rm N} = 30 \ \rm kHz$. | + | *Damit erhält man den Frequenzhub $Δf_{\rm A} = 3 · f_{\rm N} = 30 \ \rm kHz$. |
| − | *Mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 1 \ \rm MHz$ kann somit die Augenblicksfrequenz $f_{\rm T}(t)$ nur Werte zwischen $1±0.03 MHz$ annehmen. | + | *Mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 1 \ \rm MHz$ kann somit die Augenblicksfrequenz $f_{\rm T}(t)$ nur Werte zwischen $1±0.03 \ \rm MHz$ annehmen. |
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| + | '''Es gilt also auch folgende Aussage''': | ||
| − | + | Bei halber Nachrichtenfrequenz verdoppelt sich der Phasenhub $η$, während der Frequenzhub $Δf_{\rm A}$ davon nicht beeinflusst wird: | |
| − | Bei halber Nachrichtenfrequenz verdoppelt sich der Phasenhub $η$, während der Frequenzhub $Δf_{\rm A}$ davon nicht beeinflusst wird: | ||
:$$\eta = \frac{K_{\rm PM} \cdot A_{\rm N}}{ f_{\rm N}} = 6 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\Delta f_{\rm A} = \eta \cdot f_{\rm N} = 6 \cdot 5\,{\rm kHz} = 30\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$\eta = \frac{K_{\rm PM} \cdot A_{\rm N}}{ f_{\rm N}} = 6 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\Delta f_{\rm A} = \eta \cdot f_{\rm N} = 6 \cdot 5\,{\rm kHz} = 30\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
Aktuelle Version vom 27. März 2020, 16:57 Uhr
Demodulator
für FM
für FM
Das an einem Empfänger ankommende Signal lautet:
- $$ r(t) = 3\,{\rm V} \cdot \cos \hspace{-0.05cm} \big[2 \pi \cdot 1\,{\rm MHz} \cdot t + 3 \cdot \cos(2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t)\big]\hspace{0.05cm}.$$
Bei $r(t)$ handelt es sich um ein winkelmoduliertes Signal, das bei der Übertragung weder verzerrt noch durch Rauschen beaufschlagt wurde.
Die Signale $v_{\rm PM}(t)$ und $v_{\rm FM}(t)$ ergeben sich nach idealer Demodulation mittels
- Phasendemodulator, gegeben durch die Gleichung
- $$ v_{\rm PM}(t) = \frac{1}{K_{\rm PM}} \cdot \phi_r(t) \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {K_{\rm PM}} = 2\,{\rm V}^{-1}\hspace{0.05cm},$$
- Frequenzdemodulator, bestehend aus PM–Demodulator, Differenzierer und einer Konstanten $K$.
Damit alle Signale gleiche Einheiten besitzen, ist diese Konstante $K$ dimensionsbehaftet.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Frequenzmodulation.
- Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Phasenmodulation und auf den Abschnitt Signalverläufe bei Frequenzmodulation.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4:
- Aus der Gleichung für $r(t)$ kann lediglich abgelesen werden, dass es sich um eine Winkelmodulation handelt,
- nicht jedoch, ob eine Phasenmodulation (PM) oder eine Frequenzmodulation (FM) vorliegt.
- Aufgrund der Gleichung steht fest, dass die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$ beträgt.
- Die Phase $ϕ_{\rm N} = 0$ des Quellensignals würde dagegen nur zutreffen, wenn eine Phasenmodulation vorläge.
(2) Mit der Modulatorkonstanten $K_{\rm PM} = 2 \ \rm V^{–1}$ erhält man hierfür:
- $$v_{\rm PM}(t) = \frac{1}{K_{\rm PM}} \cdot \phi_r(t) = \frac{3}{2\,{\rm V}^{-1}} \cdot \cos(2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
- Für den Zeitpunkt $t = 0$ gilt deshalb:
- $$v_{\rm PM}(t = 0) = {A_{\rm N}} \hspace{0.15cm}\underline {= 1.5\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
(3) Für das Ausgangssignal $v_{\rm FM}(t)$ des FM–Demodulators – bestehend aus PM–Demodulator und Differenzierer – kann man schreiben:
- $$v_{\rm FM}(t) = \frac{{\rm d}v_{\rm PM}(t)}{{\rm d}t} \cdot K = \frac{K \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm N}} \cdot (- \sin(2 \pi \cdot {f_{\rm N}} \cdot t))= \frac{K \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm N}} \cdot \cos(2 \pi \cdot {f_{\rm N}} \cdot t + 90^\circ)\hspace{0.05cm}.$$
- Die Nachrichtenphase ist somit $ϕ_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {= 90^\circ}$.
(4) In diesem Fall muss gelten:
- $$ K ={2 \pi \cdot f_{\rm N}} \hspace{0.15cm}\underline { = 6.28 \cdot 10^{4} \,\,{1}/{ s}} \hspace{0.05cm}.$$
(5) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2, 3 und 5:
- Der Phasenhub ist identisch mit dem Modulationsindex, der aus der angegebenen Gleichung abgelesen werden kann:
- $$\phi_{\rm max} = \eta = 3 = \frac{\Delta f_{\rm A}}{ f_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$
- Damit erhält man den Frequenzhub $Δf_{\rm A} = 3 · f_{\rm N} = 30 \ \rm kHz$.
- Mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 1 \ \rm MHz$ kann somit die Augenblicksfrequenz $f_{\rm T}(t)$ nur Werte zwischen $1±0.03 \ \rm MHz$ annehmen.
Es gilt also auch folgende Aussage:
Bei halber Nachrichtenfrequenz verdoppelt sich der Phasenhub $η$, während der Frequenzhub $Δf_{\rm A}$ davon nicht beeinflusst wird:
- $$\eta = \frac{K_{\rm PM} \cdot A_{\rm N}}{ f_{\rm N}} = 6 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\Delta f_{\rm A} = \eta \cdot f_{\rm N} = 6 \cdot 5\,{\rm kHz} = 30\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
