Aufgaben:Aufgabe 4.08: Entscheidungsregionen bei drei Symbolen: Unterschied zwischen den Versionen
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− | [[Datei:P_ID2018__Dig_A_4_8.png|right|frame|Signalraumkonstellationen mit $M = 3$ Symbolen]] | + | [[Datei:P_ID2018__Dig_A_4_8.png|right|frame|Signalraumkonstellationen mit $M = 3$ Symbolen]] |
− | Wir betrachten eine Signalraumkonstellation im zweidimensionalen Raum $(N = 2)$ mit der Signalmenge: | + | Wir betrachten eine Signalraumkonstellation im zweidimensionalen Raum $(N = 2)$ mit der Signalmenge: |
:$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} | :$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} | ||
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− | jeweils bezogen auf den Normierungswert $\sqrt {E}$. | + | jeweils bezogen auf den Normierungswert $\sqrt {E}$. |
− | Gesucht sind die Entscheidungsregionen $I_0$, $I_1$ und $I_2$, wobei folgende Gesichtspunkte zu beachten sind: | + | Gesucht sind die Entscheidungsregionen $I_0$, $I_1$ und $I_2$, wobei folgende Gesichtspunkte zu beachten sind: |
− | * Die Region $I_i$ soll den Signalraumpunkt $\boldsymbol{s}_i$ beinhalten ( | + | * Die Region $I_i$ soll den Signalraumpunkt $\boldsymbol{s}_i$ beinhalten $(i = 0,\ 1,\ 2)$. |
− | * Die Signale $\boldsymbol{s}_0$, $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ sind gleichwahrscheinlich. | + | * Die Signale $\boldsymbol{s}_0$, $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ sind gleichwahrscheinlich. |
− | * Die Regionen | + | * Die Regionen sind so zu bestimmen, dass sich für den AWGN–Kanal die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt. |
− | Mit diesen Voraussetzungen sind die Entscheidergrenzen $G_{\it ik}$ zwischen den Regionen $I_i$ und $I_k$ jeweils | + | Mit diesen Voraussetzungen sind die Entscheidergrenzen $G_{\it ik}$ zwischen den Regionen $I_i$ und $I_k$ jeweils Gerade, die genau in der Mitte zwischen $\boldsymbol{s}_i$ und $\boldsymbol{s}_k$ verlaufen $(i = 0,\ 1,\ 2; \ \ k = 0,\ 1,\ 2; \ \ i ≠ k)$. |
Mit Kreuzen sind in obiger Grafik drei Empfangswerte | Mit Kreuzen sind in obiger Grafik drei Empfangswerte | ||
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\boldsymbol{ C } = (0.75, \hspace{0.1cm}0.50)$$ | \boldsymbol{ C } = (0.75, \hspace{0.1cm}0.50)$$ | ||
− | eingezeichnet, die in der Teilaufgabe (5) jeweils einer Region $I_i$ zugeordnet werden sollen. | + | eingezeichnet, die in der Teilaufgabe '''(5)''' jeweils einer Region $I_i$ zugeordnet werden sollen. |
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− | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]]. | + | |
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+ | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit"]]. | ||
* Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet: | * Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet: | ||
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
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− | {Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze $G_{\rm 01}$? | + | {Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze $G_{\rm 01}$? |
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− | + $y = 3/2 \, | + | + $y = 3/2 \, -2 \cdot x$, |
- $y = x/3$, | - $y = x/3$, | ||
− | - $y = \, | + | - $y = \, -3/4 + 3/2 \cdot x$. |
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− | - $y = \, | + | - $y = \, -3/4 + 3/2 \cdot x$. |
− | {Skizzieren Sie die drei Entscheidungsregionen $I_0$, $I_1$ und $I_2$. Schneiden sich die Entscheidungsgrenzen $G_{\rm 01}$, $G_{\rm 02}$ und $G_{\rm 12}$ in einem Punkt? | + | {Skizzieren Sie die drei Entscheidungsregionen $I_0$, $I_1$ und $I_2$. Schneiden sich die Entscheidungsgrenzen $G_{\rm 01}$, $G_{\rm 02}$ und $G_{\rm 12}$ in einem Punkt? |
|type="()"} | |type="()"} | ||
+ Ja. | + Ja. | ||
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{Welche der folgenden Entscheidungen sind richtig? | {Welche der folgenden Entscheidungen sind richtig? | ||
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− | + $\boldsymbol{A} = (0.5, 0.25)$ gehört zur Region $I_0$. | + | + $\boldsymbol{A} = (0.5,\ 0.25)$ gehört zur Region $I_0$. |
− | + $\boldsymbol{B} = (1, 0)$ gehört zur Region $I_2$. | + | + $\boldsymbol{B} = (1,\ 0)$ gehört zur Region $I_2$. |
− | + $\boldsymbol{C} = (0.75, 0.5)$ gehört zur Region $I_1$. | + | + $\boldsymbol{C} = (0.75,\ 0.5)$ gehört zur Region $I_1$. |
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{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
[[Datei:P_ID2038__Dig_A_4_8d.png|right|frame|Entscheidungsregionen]] | [[Datei:P_ID2038__Dig_A_4_8d.png|right|frame|Entscheidungsregionen]] | ||
− | '''(1)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>: | + | '''(1)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>: |
− | *Die Verbindungslinie zwischen den Signalpunkten $\boldsymbol{s}_0 = (–1, 1)$ und $\boldsymbol{s}_1 = (1, 2)$ hat die Steigung $1/2$ (siehe Grafik). | + | *Die Verbindungslinie zwischen den Signalpunkten $\boldsymbol{s}_0 = (–1,\ 1)$ und $\boldsymbol{s}_1 = (1,\ 2)$ hat die Steigung $1/2$ (siehe Grafik). |
− | *Die Entscheidungsgrenze schneidet die Verbindungslinie bei $(\boldsymbol{s}_0 + \boldsymbol{s}_1)/2 = (0, 1.5)$ und weist die Steigung $2$ auf (Drehung der Verbindungslinie um | + | |
+ | *Die Entscheidungsgrenze schneidet die Verbindungslinie bei $(\boldsymbol{s}_0 + \boldsymbol{s}_1)/2 = (0,\ 1.5)$ und weist die Steigung $2$ auf $($Drehung der Verbindungslinie um $90^\circ)$. | ||
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*Daraus folgt: $y = 1.5 - 2 x \hspace{0.05cm}.$ | *Daraus folgt: $y = 1.5 - 2 x \hspace{0.05cm}.$ | ||
− | '''(2)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>: | + | |
− | *Die Verbindungslinie zwischen $\boldsymbol{s}_0 = (–1, 1)$ und $\boldsymbol{s}_2 = (2, 1)$ besitzt die Steigung $–2/3$ und schneidet die | + | '''(2)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>: |
+ | *Die Verbindungslinie zwischen $\boldsymbol{s}_0 = (–1,\ 1)$ und $\boldsymbol{s}_2 = (2,\ 1)$ besitzt die Steigung $–2/3$ und schneidet die Entscheidergrenzlinie $G_{\rm 02}$ $($mit der Steigung $3/2)$ bei $(0.5,\ 0)$. | ||
*Daraus folgt: $y = {3}/{2} \left ( x - {1}/{2} \right ) | *Daraus folgt: $y = {3}/{2} \left ( x - {1}/{2} \right ) | ||
= -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x\hspace{0.05cm}.$ | = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x\hspace{0.05cm}.$ | ||
− | '''(3)''' Hier ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u> zutreffend: | + | |
− | *Die Verbindungslinie zwischen $\boldsymbol{s}_1 = (1, 2)$ und $\boldsymbol{s}_2 = (2, \, –1)$ schneidet die Entscheidungsgrenze $G_{\rm 12}$ bei $(1.5, 0.5)$ und besitzt die Steigung $–3$. | + | '''(3)''' Hier ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u> zutreffend: |
− | *Demzufolge ist die Steigung von $G_{\rm 12} = 1/3$ und die Gleichung der Entscheidungsgrenze $G_{\rm 12}$ lautet: | + | *Die Verbindungslinie zwischen $\boldsymbol{s}_1 = (1,\ 2)$ und $\boldsymbol{s}_2 = (2, \, –1)$ schneidet die Entscheidungsgrenze $G_{\rm 12}$ bei $(1.5,\ 0.5)$ und besitzt die Steigung $–3$. |
+ | *Demzufolge ist die Steigung von $G_{\rm 12} = 1/3$ und die Gleichung der Entscheidungsgrenze $G_{\rm 12}$ lautet: | ||
:$$y - {1}/{2} = {1}/{3} \cdot \left ( x - {3}/{2} \right ) | :$$y - {1}/{2} = {1}/{3} \cdot \left ( x - {3}/{2} \right ) | ||
= {x}/{3} - {1}/{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y = {x}/{3} | = {x}/{3} - {1}/{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y = {x}/{3} | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | '''(4)''' Die Grafik zeigt bereits, dass die <u> | + | |
+ | '''(4)''' Die Grafik zeigt bereits, dass die richtige Antwort <u>JA</u> ist. | ||
+ | *Der Schnittpunkt von $G_{\rm 01}$ und $G_{\rm 12}$ (weißer Kreis) liegt bei $(9/14,\ 3/14)$, wegen | ||
:$${3}/{2} - 2 x = {x}/{3} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} | :$${3}/{2} - 2 x = {x}/{3} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} | ||
{3}/{2} = {7}/{3} \cdot x \hspace{0.3cm} | {3}/{2} = {7}/{3} \cdot x \hspace{0.3cm} | ||
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− | Auch die Gerade $G_{\rm 02}$ geht durch diesen Punkt: | + | *Auch die Gerade $G_{\rm 02}$ geht durch diesen Punkt: |
:$$y(x = {9}/{14}) =-{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot {9}/{14} =\frac{-21+27}{28}= {3}/{14} | :$$y(x = {9}/{14}) =-{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot {9}/{14} =\frac{-21+27}{28}= {3}/{14} | ||
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− | '''(5)''' Gemäß der Grafik sind <u>alle genannten Aussagen richtig</u>. | + | |
+ | '''(5)''' Gemäß der Grafik sind <u>alle genannten Aussagen richtig</u>. | ||
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[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^4.3 BER-Approximation^]] | [[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^4.3 BER-Approximation^]] |
Aktuelle Version vom 28. Juli 2022, 17:18 Uhr
Wir betrachten eine Signalraumkonstellation im zweidimensionalen Raum $(N = 2)$ mit der Signalmenge:
- $$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 = (1, 2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_2 = (2, -1)\hspace{0.05cm},$$
jeweils bezogen auf den Normierungswert $\sqrt {E}$.
Gesucht sind die Entscheidungsregionen $I_0$, $I_1$ und $I_2$, wobei folgende Gesichtspunkte zu beachten sind:
- Die Region $I_i$ soll den Signalraumpunkt $\boldsymbol{s}_i$ beinhalten $(i = 0,\ 1,\ 2)$.
- Die Signale $\boldsymbol{s}_0$, $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ sind gleichwahrscheinlich.
- Die Regionen sind so zu bestimmen, dass sich für den AWGN–Kanal die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt.
Mit diesen Voraussetzungen sind die Entscheidergrenzen $G_{\it ik}$ zwischen den Regionen $I_i$ und $I_k$ jeweils Gerade, die genau in der Mitte zwischen $\boldsymbol{s}_i$ und $\boldsymbol{s}_k$ verlaufen $(i = 0,\ 1,\ 2; \ \ k = 0,\ 1,\ 2; \ \ i ≠ k)$.
Mit Kreuzen sind in obiger Grafik drei Empfangswerte
- $$\boldsymbol{ A } = (0.50, \hspace{0.1cm}0.25)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ B } = (1, \hspace{0.1cm}0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ C } = (0.75, \hspace{0.1cm}0.50)$$
eingezeichnet, die in der Teilaufgabe (5) jeweils einer Region $I_i$ zugeordnet werden sollen.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit".
- Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:
- $$x = {\varphi_1(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} y = {\varphi_2(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:
- Die Verbindungslinie zwischen den Signalpunkten $\boldsymbol{s}_0 = (–1,\ 1)$ und $\boldsymbol{s}_1 = (1,\ 2)$ hat die Steigung $1/2$ (siehe Grafik).
- Die Entscheidungsgrenze schneidet die Verbindungslinie bei $(\boldsymbol{s}_0 + \boldsymbol{s}_1)/2 = (0,\ 1.5)$ und weist die Steigung $2$ auf $($Drehung der Verbindungslinie um $90^\circ)$.
- Daraus folgt: $y = 1.5 - 2 x \hspace{0.05cm}.$
(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:
- Die Verbindungslinie zwischen $\boldsymbol{s}_0 = (–1,\ 1)$ und $\boldsymbol{s}_2 = (2,\ 1)$ besitzt die Steigung $–2/3$ und schneidet die Entscheidergrenzlinie $G_{\rm 02}$ $($mit der Steigung $3/2)$ bei $(0.5,\ 0)$.
- Daraus folgt: $y = {3}/{2} \left ( x - {1}/{2} \right ) = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x\hspace{0.05cm}.$
(3) Hier ist der Lösungsvorschlag 2 zutreffend:
- Die Verbindungslinie zwischen $\boldsymbol{s}_1 = (1,\ 2)$ und $\boldsymbol{s}_2 = (2, \, –1)$ schneidet die Entscheidungsgrenze $G_{\rm 12}$ bei $(1.5,\ 0.5)$ und besitzt die Steigung $–3$.
- Demzufolge ist die Steigung von $G_{\rm 12} = 1/3$ und die Gleichung der Entscheidungsgrenze $G_{\rm 12}$ lautet:
- $$y - {1}/{2} = {1}/{3} \cdot \left ( x - {3}/{2} \right ) = {x}/{3} - {1}/{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y = {x}/{3} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Die Grafik zeigt bereits, dass die richtige Antwort JA ist.
- Der Schnittpunkt von $G_{\rm 01}$ und $G_{\rm 12}$ (weißer Kreis) liegt bei $(9/14,\ 3/14)$, wegen
- $${3}/{2} - 2 x = {x}/{3} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {3}/{2} = {7}/{3} \cdot x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} y = {3}/{14} \hspace{0.05cm}.$$
- Auch die Gerade $G_{\rm 02}$ geht durch diesen Punkt:
- $$y(x = {9}/{14}) =-{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot {9}/{14} =\frac{-21+27}{28}= {3}/{14} \hspace{0.05cm}.$$
(5) Gemäß der Grafik sind alle genannten Aussagen richtig.