Aufgaben:Aufgabe 4.08: Entscheidungsregionen bei drei Symbolen: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten eine Signalraumkonstellation im zweidimensionalen Raum $(N = 2)$ mit der Signalmenge:
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Wir betrachten eine Signalraumkonstellation im zweidimensionalen Raum  $(N = 2)$  mit der Signalmenge:
 
:$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}  
 
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jeweils bezogen auf den Normierungswert $\sqrt {E}$.
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jeweils bezogen auf den Normierungswert  $\sqrt {E}$.
  
Gesucht sind die Entscheidungsregionen $I_0$, $I_1$ und $I_2$, wobei folgende Gesichtspunkte zu beachten sind:
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Gesucht sind die Entscheidungsregionen  $I_0$,  $I_1$  und  $I_2$,  wobei folgende Gesichtspunkte zu beachten sind:
* Die Region $I_i$ soll den Signalraumpunkt $\boldsymbol{s}_i$ beinhalten ($i = 0, 1, 2$).
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* Die Region  $I_i$  soll den Signalraumpunkt  $\boldsymbol{s}_i$ beinhalten  $(i = 0,\ 1,\ 2)$.
* Die Signale $\boldsymbol{s}_0$, $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ sind gleichwahrscheinlich.
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* Die Signale  $\boldsymbol{s}_0$,  $\boldsymbol{s}_1$  und  $\boldsymbol{s}_2$  sind gleichwahrscheinlich.
* Die Regionen sollen so bestimmt werden, dass sich beispielsweise für den AWGN–Kanal die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt.
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* Die Regionen sind so zu bestimmen,  dass sich für den AWGN–Kanal die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt.
  
  
Mit diesen Voraussetzungen sind die Entscheidergrenzen $G_{\it ik}$ zwischen den Regionen $I_i$ und $I_k$ jeweils Geraden, die genau in der Mitte zwischen $\boldsymbol{s}_i$ und $\boldsymbol{s}_k$ verlaufen ($i = 0, 1, 2; \ \ k = 0, 1, 2; \ \  i ≠ k$).
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Mit diesen Voraussetzungen sind die Entscheidergrenzen  $G_{\it ik}$  zwischen den Regionen  $I_i$  und  $I_k$  jeweils Gerade,  die genau in der Mitte zwischen  $\boldsymbol{s}_i$  und  $\boldsymbol{s}_k$  verlaufen  $(i = 0,\ 1,\ 2; \ \ k = 0,\ 1,\ 2; \ \  i ≠ k)$.
  
 
Mit Kreuzen sind in obiger Grafik drei Empfangswerte
 
Mit Kreuzen sind in obiger Grafik drei Empfangswerte
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   \boldsymbol{ C } = (0.75, \hspace{0.1cm}0.50)$$
 
   \boldsymbol{ C } = (0.75, \hspace{0.1cm}0.50)$$
  
eingezeichnet, die in der Teilaufgabe (5) jeweils einer Region $I_i$ zugeordnet werden sollen.
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eingezeichnet,  die in der Teilaufgabe  '''(5)'''  jeweils einer Region  $I_i$  zugeordnet werden sollen.
  
  
  
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* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].  
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Hinweise:
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* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit"]].  
 
   
 
   
 
* Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:
 
* Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:
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===Fragebogen===
 
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{Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze $G_{\rm 01}$?
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{Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze&nbsp; $G_{\rm 01}$?
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{Skizzieren Sie die drei Entscheidungsregionen $I_0$, $I_1$ und $I_2$. Schneiden sich die Entscheidungsgrenzen $G_{\rm 01}$, $G_{\rm 02}$ und $G_{\rm 12}$ in einem Punkt?
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{Skizzieren Sie die drei Entscheidungsregionen&nbsp; $I_0$,&nbsp; $I_1$&nbsp; und&nbsp; $I_2$.&nbsp; Schneiden sich die Entscheidungsgrenzen&nbsp; $G_{\rm 01}$,&nbsp; $G_{\rm 02}$&nbsp; und&nbsp; $G_{\rm 12}$&nbsp; in einem Punkt?
 
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{Welche der folgenden Entscheidungen sind richtig?
 
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'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
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'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
*Die Verbindungslinie zwischen den Signalpunkten $\boldsymbol{s}_0 = (&ndash;1, 1)$ und $\boldsymbol{s}_1 = (1, 2)$ hat die Steigung $1/2$ (siehe Grafik).  
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*Die Verbindungslinie zwischen den Signalpunkten&nbsp; $\boldsymbol{s}_0 = (&ndash;1,\ 1)$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_1 = (1,\ 2)$&nbsp; hat die Steigung&nbsp; $1/2$&nbsp; (siehe Grafik).
*Die Entscheidungsgrenze schneidet die Verbindungslinie bei $(\boldsymbol{s}_0 + \boldsymbol{s}_1)/2 = (0, 1.5)$ und weist die Steigung $2$ auf (Drehung der Verbindungslinie um 90°).  
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*Die Entscheidungsgrenze schneidet die Verbindungslinie bei&nbsp; $(\boldsymbol{s}_0 + \boldsymbol{s}_1)/2 = (0,\ 1.5)$&nbsp; und weist die Steigung&nbsp; $2$&nbsp; auf&nbsp; $($Drehung der Verbindungslinie um&nbsp; $90^\circ)$.  
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*Daraus folgt: &nbsp; $y  = 1.5 - 2 x \hspace{0.05cm}.$
 
*Daraus folgt: &nbsp; $y  = 1.5 - 2 x \hspace{0.05cm}.$
  
  
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
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*Die Verbindungslinie zwischen $\boldsymbol{s}_0 = (&ndash;1, 1)$ und $\boldsymbol{s}_2 = (2, 1)$ besitzt die Steigung $&ndash;2/3$ und schneidet die Entscheidergrenze $G_{\rm 02}$ (mit der Steigung $3/2$) bei $(0.5, 0)$.  
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'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
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*Die Verbindungslinie zwischen&nbsp; $\boldsymbol{s}_0 = (&ndash;1,\ 1)$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_2 = (2,\ 1)$&nbsp; besitzt die Steigung&nbsp; $&ndash;2/3$&nbsp; und schneidet die Entscheidergrenzlinie&nbsp; $G_{\rm 02}$&nbsp; $($mit der Steigung&nbsp; $3/2)$&nbsp; bei&nbsp; $(0.5,\ 0)$.  
 
*Daraus folgt: &nbsp; $y = {3}/{2} \left ( x - {1}/{2} \right )
 
*Daraus folgt: &nbsp; $y = {3}/{2} \left ( x - {1}/{2} \right )
 
   = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x\hspace{0.05cm}.$
 
   = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x\hspace{0.05cm}.$
  
  
'''(3)'''&nbsp; Hier ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u> zutreffend:
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*Die Verbindungslinie zwischen $\boldsymbol{s}_1 = (1, 2)$ und $\boldsymbol{s}_2 = (2, \, &ndash;1)$ schneidet die Entscheidungsgrenze $G_{\rm 12}$ bei $(1.5, 0.5)$ und besitzt die Steigung $&ndash;3$.  
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'''(3)'''&nbsp; Hier ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>&nbsp; zutreffend:
*Demzufolge ist die Steigung von $G_{\rm 12} = 1/3$ und die Gleichung der Entscheidungsgrenze $G_{\rm 12}$ lautet:
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*Die Verbindungslinie zwischen&nbsp; $\boldsymbol{s}_1 = (1,\ 2)$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_2 = (2, \, &ndash;1)$&nbsp; schneidet die Entscheidungsgrenze&nbsp; $G_{\rm 12}$&nbsp; bei&nbsp; $(1.5,\ 0.5)$&nbsp; und besitzt die Steigung&nbsp; $&ndash;3$.  
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*Demzufolge ist die Steigung von&nbsp; $G_{\rm 12} = 1/3$&nbsp; und die Gleichung der Entscheidungsgrenze&nbsp; $G_{\rm 12}$&nbsp; lautet:
 
:$$y - {1}/{2} = {1}/{3} \cdot \left ( x - {3}/{2} \right )
 
:$$y - {1}/{2} = {1}/{3} \cdot \left ( x - {3}/{2} \right )
 
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     = {x}/{3} - {1}/{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y =  {x}/{3}  
 
     \hspace{0.05cm}.$$
 
     \hspace{0.05cm}.$$
  
'''(4)'''&nbsp; Die Grafik zeigt bereits, dass die <u>Antwort JA</u> ist. Der Schnittpunkt von $G_{\rm 01}$ und $G_{\rm 12}$ (weißer Kreis) liegt bei $(9/14, 3/14)$, wegen
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'''(4)'''&nbsp; Die Grafik zeigt bereits,&nbsp; dass die richtige Antwort&nbsp; <u>JA</u>&nbsp; ist.  
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*Der Schnittpunkt von&nbsp; $G_{\rm 01}$&nbsp; und&nbsp; $G_{\rm 12}$&nbsp; (weißer Kreis)&nbsp; liegt bei&nbsp; $(9/14,\ 3/14)$,&nbsp; wegen
 
:$${3}/{2} - 2 x = {x}/{3} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
:$${3}/{2} - 2 x = {x}/{3} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
     {3}/{2} = {7}/{3} \cdot x \hspace{0.3cm}  
 
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     \hspace{0.05cm}.$$
 
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Auch die Gerade $G_{\rm 02}$ geht durch diesen Punkt:
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*Auch die Gerade&nbsp; $G_{\rm 02}$&nbsp; geht durch diesen Punkt:
 
:$$y(x = {9}/{14}) =-{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot {9}/{14} =\frac{-21+27}{28}= {3}/{14}
 
:$$y(x = {9}/{14}) =-{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot {9}/{14} =\frac{-21+27}{28}= {3}/{14}
 
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'''(5)'''&nbsp; Gemäß der Grafik sind <u>alle genannten Aussagen richtig</u>.
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'''(5)'''&nbsp; Gemäß der Grafik sind&nbsp; <u>alle genannten Aussagen richtig</u>.
 
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[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^4.3 BER-Approximation^]]
 
[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^4.3 BER-Approximation^]]

Aktuelle Version vom 28. Juli 2022, 17:18 Uhr

Signalraumkonstellationen mit  $M = 3$  Symbolen

Wir betrachten eine Signalraumkonstellation im zweidimensionalen Raum  $(N = 2)$  mit der Signalmenge:

$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 = (1, 2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_2 = (2, -1)\hspace{0.05cm},$$

jeweils bezogen auf den Normierungswert  $\sqrt {E}$.

Gesucht sind die Entscheidungsregionen  $I_0$,  $I_1$  und  $I_2$,  wobei folgende Gesichtspunkte zu beachten sind:

  • Die Region  $I_i$  soll den Signalraumpunkt  $\boldsymbol{s}_i$ beinhalten  $(i = 0,\ 1,\ 2)$.
  • Die Signale  $\boldsymbol{s}_0$,  $\boldsymbol{s}_1$  und  $\boldsymbol{s}_2$  sind gleichwahrscheinlich.
  • Die Regionen sind so zu bestimmen,  dass sich für den AWGN–Kanal die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt.


Mit diesen Voraussetzungen sind die Entscheidergrenzen  $G_{\it ik}$  zwischen den Regionen  $I_i$  und  $I_k$  jeweils Gerade,  die genau in der Mitte zwischen  $\boldsymbol{s}_i$  und  $\boldsymbol{s}_k$  verlaufen  $(i = 0,\ 1,\ 2; \ \ k = 0,\ 1,\ 2; \ \ i ≠ k)$.

Mit Kreuzen sind in obiger Grafik drei Empfangswerte

$$\boldsymbol{ A } = (0.50, \hspace{0.1cm}0.25)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ B } = (1, \hspace{0.1cm}0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ C } = (0.75, \hspace{0.1cm}0.50)$$

eingezeichnet,  die in der Teilaufgabe  (5)  jeweils einer Region  $I_i$  zugeordnet werden sollen.



Hinweise:

  • Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:
$$x = {\varphi_1(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} y = {\varphi_2(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}.$$


Fragebogen

1

Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze  $G_{\rm 01}$?

$y = 3/2 \, -2 \cdot x$,
$y = x/3$,
$y = \, -3/4 + 3/2 \cdot x$.

2

Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze  $G_{\rm 02}$?

$y = 3/2 \, -2 \cdot x$,
$y = x/3$,
$y = \, -3/4 + 3/2 \cdot x$.

3

Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze  $G_{\rm 12}$?

$y = 3/2 \, -2 \cdot x$,
$y = x/3$,
$y = \, -3/4 + 3/2 \cdot x$.

4

Skizzieren Sie die drei Entscheidungsregionen  $I_0$,  $I_1$  und  $I_2$.  Schneiden sich die Entscheidungsgrenzen  $G_{\rm 01}$,  $G_{\rm 02}$  und  $G_{\rm 12}$  in einem Punkt?

Ja.
Nein.

5

Welche der folgenden Entscheidungen sind richtig?

$\boldsymbol{A} = (0.5,\ 0.25)$  gehört zur Region  $I_0$.
$\boldsymbol{B} = (1,\ 0)$  gehört zur Region  $I_2$.
$\boldsymbol{C} = (0.75,\ 0.5)$  gehört zur Region  $I_1$.


Musterlösung

Entscheidungsregionen

(1)  Richtig ist der  Lösungsvorschlag 1:

  • Die Verbindungslinie zwischen den Signalpunkten  $\boldsymbol{s}_0 = (–1,\ 1)$  und  $\boldsymbol{s}_1 = (1,\ 2)$  hat die Steigung  $1/2$  (siehe Grafik).
  • Die Entscheidungsgrenze schneidet die Verbindungslinie bei  $(\boldsymbol{s}_0 + \boldsymbol{s}_1)/2 = (0,\ 1.5)$  und weist die Steigung  $2$  auf  $($Drehung der Verbindungslinie um  $90^\circ)$.
  • Daraus folgt:   $y = 1.5 - 2 x \hspace{0.05cm}.$


(2)  Richtig ist der  Lösungsvorschlag 3:

  • Die Verbindungslinie zwischen  $\boldsymbol{s}_0 = (–1,\ 1)$  und  $\boldsymbol{s}_2 = (2,\ 1)$  besitzt die Steigung  $–2/3$  und schneidet die Entscheidergrenzlinie  $G_{\rm 02}$  $($mit der Steigung  $3/2)$  bei  $(0.5,\ 0)$.
  • Daraus folgt:   $y = {3}/{2} \left ( x - {1}/{2} \right ) = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x\hspace{0.05cm}.$


(3)  Hier ist der  Lösungsvorschlag 2  zutreffend:

  • Die Verbindungslinie zwischen  $\boldsymbol{s}_1 = (1,\ 2)$  und  $\boldsymbol{s}_2 = (2, \, –1)$  schneidet die Entscheidungsgrenze  $G_{\rm 12}$  bei  $(1.5,\ 0.5)$  und besitzt die Steigung  $–3$.
  • Demzufolge ist die Steigung von  $G_{\rm 12} = 1/3$  und die Gleichung der Entscheidungsgrenze  $G_{\rm 12}$  lautet:
$$y - {1}/{2} = {1}/{3} \cdot \left ( x - {3}/{2} \right ) = {x}/{3} - {1}/{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y = {x}/{3} \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Die Grafik zeigt bereits,  dass die richtige Antwort  JA  ist.

  • Der Schnittpunkt von  $G_{\rm 01}$  und  $G_{\rm 12}$  (weißer Kreis)  liegt bei  $(9/14,\ 3/14)$,  wegen
$${3}/{2} - 2 x = {x}/{3} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {3}/{2} = {7}/{3} \cdot x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} y = {3}/{14} \hspace{0.05cm}.$$
  • Auch die Gerade  $G_{\rm 02}$  geht durch diesen Punkt:
$$y(x = {9}/{14}) =-{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot {9}/{14} =\frac{-21+27}{28}= {3}/{14} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Gemäß der Grafik sind  alle genannten Aussagen richtig.