Aufgaben:Aufgabe 5.7: OFDM–Sender mittels IDFT: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | In dieser Aufgabe wird ein OFDM–Sender genauer betrachtet, der mit Hilfe der | + | In dieser Aufgabe wird ein OFDM–Sender genauer betrachtet, der mit Hilfe der "Inversen Diskreten Fouriertransformation" $\rm (IDFT)$ realisiert ist. Dabei gelte: |
| − | * Das System habe $N = 4$ Träger. | + | * Das System habe $N = 4$ Träger. |
| − | * Die Rahmendauer sei $T_{\ \rm R} = 0.25 \ \rm ms$. | + | * Die Rahmendauer sei $T_{\ \rm R} = 0.25 \ \rm ms$. |
* Ein Guard–Intervall wird nicht verwendet. | * Ein Guard–Intervall wird nicht verwendet. | ||
| − | * In | + | * In jedem Rahmen werden $16$ Bit übertragen. |
| − | + | *Die rechte obere Grafik zeigt den Block "IDFT" der OFDM–Senderstruktur. | |
| − | + | *Jeweils vier Bit ergeben hierbei ein komplexes Symbol gemäß der unten links skizzierten $\rm16–QAM$–Signalraumzuordung. | |
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| + | Hinweise: | ||
| + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen|Realisierung von OFDM-Systemen]]. | ||
| + | *Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation]]. | ||
| + | *Die Gleichung der IDFT lautet mit $ν = 0$, ... , $N–1$: | ||
| + | ::$$\quad d_{\nu,\ k} = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {D_{\mu,\ k} \cdot w^{ - \nu \cdot \mu } } \quad {\rm{mit}} \quad w = {\rm{e}}^{ - {\rm{j}} {\rm{2\pi}}/N}.$$ | ||
| + | <br clear=all> | ||
===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
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$R_{\rm B} \ = \ $ { 64 3% } $\ \rm kbit/s$ | $R_{\rm B} \ = \ $ { 64 3% } $\ \rm kbit/s$ | ||
| − | {Geben Sie für die gegebene 16–QAM–Signalraumzuordnung die komplexen Trägerkoeffizienten $D_\mu$ für die folgenden Eingangsbitfolgen an. | + | {Geben Sie für die gegebene 16–QAM–Signalraumzuordnung die komplexen Trägerkoeffizienten $D_\mu$ für die folgenden Eingangsbitfolgen an. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | ${\rm Re}[D_0] \ = \ $ { -1.03--0.97 } $\ \ \text{für die Bitfolge 1111}$ | + | ${\rm Re}\big [D_0 \big ] \ = \ $ { -1.03--0.97 } $\ \ \text{für die Bitfolge 1111}$ |
| − | ${\rm Im}[D_0] \ = \ $ { -1.03--0.97 } | + | ${\rm Im}\big [D_0\big ] \ = \ $ { -1.03--0.97 } |
| − | ${\rm Re}[D_1] \ = \ $ { -1.03--0.97 } $\ \ \text{für die Bitfolge 0111}$ | + | ${\rm Re}\big [D_1\big ] \ = \ $ { -1.03--0.97 } $\ \ \text{für die Bitfolge 0111}$ |
| − | ${\rm Im}[D_1] \ = \ $ { 1 } | + | ${\rm Im}\big [D_1\big ] \ = \ $ { 1 } |
| − | ${\rm Re}[D_2] \ = \ $ { 3 3% } $\ \ \text{für die Bitfolge 1000}$ | + | ${\rm Re}\big [D_2\big ] \ = \ $ { 3 3% } $\ \ \text{für die Bitfolge 1000}$ |
| − | ${\rm Im}[D_2] \ = \ $ { -3.09--2.91 } | + | ${\rm Im}\big [D_2\big ] \ = \ $ { -3.09--2.91 } |
| − | ${\rm Re}[D_3] \ = \ $ { 3 3% } $\ \ \text{für die Bitfolge 0000}$ | + | ${\rm Re}\big [D_3\big ] \ = \ $ { 3 3% } $\ \ \text{für die Bitfolge 0000}$ |
| − | ${\rm Im}[D_3] \ = \ $ { 3 3% } | + | ${\rm Im}\big [D_3\big ] \ = \ $ { 3 3% } |
| − | {Berechnen Sie daraus die diskreten Zeitbereichswerte $d_\nu$ innerhalb des Rahmens. | + | {Berechnen Sie daraus die diskreten Zeitbereichswerte $d_\nu$ innerhalb des Rahmens. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | ${\rm Re}[d_0] \ = \ $ { 4 1% } | + | ${\rm Re}\big [d_0\big ] \ = \ $ { 4 1% } |
| − | ${\rm Im}[d_0] \ = \ $ { 0. } | + | ${\rm Im}\big [d_0\big ] \ = \ $ { 0. } |
| − | ${\rm Re}[d_1] \ = \ $ { -2.02--1.98 } | + | ${\rm Re}\big [d_1\big ] \ = \ $ { -2.02--1.98 } |
| − | ${\rm Im}[d_1] \ = \ $ { 2 1% } | + | ${\rm Im}\big [d_1\big ] \ = \ $ { 2 1% } |
| − | ${\rm Re}[d_2] \ = \ $ { 0. } | + | ${\rm Re}\big [d_2\big ] \ = \ $ { 0. } |
| − | ${\rm Im}[d_2] \ = \ $ { -8.08--7.92 } | + | ${\rm Im}\big [d_2\big ] \ = \ $ { -8.08--7.92 } |
| − | ${\rm Re}[d_3] \ = \ $ { -6.06--5.94 } | + | ${\rm Re}\big [d_3\big ] \ = \ $ { -6.06--5.94 } |
| − | ${\rm Im}[d_3] \ = \ $ { 6 1% } | + | ${\rm Im}\big [d_3\big ] \ = \ $ { 6 1% } |
| − | {Welche Aussagen sind für den Crest–Faktor zutreffend, der das Verhältnis von Spitzenwert zu Effektivwert einer Wechselgröße bezeichnet? | + | {Welche Aussagen sind für den Crest–Faktor zutreffend, der das Verhältnis von Spitzenwert zu Effektivwert einer Wechselgröße bezeichnet? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
- Der Crest–Faktor ist bei einem OFDM–System eher gering. | - Der Crest–Faktor ist bei einem OFDM–System eher gering. | ||
| − | +Der Crest–Faktor kann bei OFDM–Systemen sehr groß werden. | + | + Der Crest–Faktor kann bei OFDM–Systemen sehr groß werden. |
+ Ein großer Crest–Faktor kann zu Realisierungsproblemen führen. | + Ein großer Crest–Faktor kann zu Realisierungsproblemen führen. | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | '''(1)''' Da hier kein Guard–Intervall berücksichtigt wird, ist die Symboldauer $T$ gleich der Rahmendauer $T_{\rm{R}} = 0.25 \ \rm ms$. Bei $N = 4$ Trägern und 16–QAM gilt für die Bitrate am Eingang: | + | '''(1)''' Da hier kein Guard–Intervall berücksichtigt wird, ist die Symboldauer $T$ gleich der Rahmendauer $T_{\rm{R}} = 0.25 \ \rm ms$. |
| + | *Bei $N = 4$ Trägern und $\rm 16–QAM$ gilt für die Bitrate am Eingang: | ||
:$$R_{\rm{B}} = \frac{1}{T_{\rm{B}}} = \frac{4 \cdot {\rm{log}_2}\hspace{0.08cm}(16)}{T} = \frac{4 \cdot 4}{0.25\,\,{\rm ms}}\hspace{0.15cm}\underline {= 64\,\,{\rm kbit/s}}.$$ | :$$R_{\rm{B}} = \frac{1}{T_{\rm{B}}} = \frac{4 \cdot {\rm{log}_2}\hspace{0.08cm}(16)}{T} = \frac{4 \cdot 4}{0.25\,\,{\rm ms}}\hspace{0.15cm}\underline {= 64\,\,{\rm kbit/s}}.$$ | ||
| − | '''(2)''' Aus der Signalraumzuordnung folgt für die Trägerkoeffizienten (auf den Index k wird verzichtet): | + | |
| + | '''(2)''' Aus der Signalraumzuordnung folgt für die Trägerkoeffizienten $($auf den Index $k$ wird verzichtet$)$: | ||
:$${\rm{Bitfolge}}\hspace{0.2cm}1111:\hspace{0.5cm} D_0 = -1 - {\rm{j}}\hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Re}[D_0]\hspace{0.15cm}\underline{=-1},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[D_0]\hspace{0.15cm}\underline{=-1},$$ | :$${\rm{Bitfolge}}\hspace{0.2cm}1111:\hspace{0.5cm} D_0 = -1 - {\rm{j}}\hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Re}[D_0]\hspace{0.15cm}\underline{=-1},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[D_0]\hspace{0.15cm}\underline{=-1},$$ | ||
:$${\rm{Bitfolge}}\hspace{0.2cm}0111:\hspace{0.5cm} D_1 = -1 + {\rm{j}}\hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Re}[D_1]\hspace{0.15cm}\underline{=-1},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[D_1]\hspace{0.15cm}\underline{=+1},$$ | :$${\rm{Bitfolge}}\hspace{0.2cm}0111:\hspace{0.5cm} D_1 = -1 + {\rm{j}}\hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Re}[D_1]\hspace{0.15cm}\underline{=-1},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[D_1]\hspace{0.15cm}\underline{=+1},$$ | ||
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| − | '''(3)''' Die angegebene IDFT–Gleichung lautet mit $N = 4$: | + | '''(3)''' Die angegebene IDFT–Gleichung lautet mit $N = 4$: |
:$$d_{\nu } = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {D_{\mu } \cdot {\rm{e}}^{ \hspace{0.04cm} {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} \pi/2 \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} \mu } } .$$ | :$$d_{\nu } = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {D_{\mu } \cdot {\rm{e}}^{ \hspace{0.04cm} {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} \pi/2 \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} \mu } } .$$ | ||
| − | Daraus erhält man für $ν = 0$, ... , $3$: | + | *Daraus erhält man für $ν = 0$, ... , $3$: |
:$$d_0 = D_0 + D_1 +D_2 +D_3 = 4 \hspace{2.9cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm}{\rm Re}[d_0]\hspace{0.15cm}\underline{=4},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[d_0]\hspace{0.15cm}\underline{=0},$$ | :$$d_0 = D_0 + D_1 +D_2 +D_3 = 4 \hspace{2.9cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm}{\rm Re}[d_0]\hspace{0.15cm}\underline{=4},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[d_0]\hspace{0.15cm}\underline{=0},$$ | ||
:$$d_1 = D_0 + {\rm{j}} \cdot D_1 - D_2 -{\rm{j}} \cdot D_3 = -2 + 2 \cdot {\rm{j}}\hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm}{\rm Re}[d_1]\hspace{0.15cm}\underline{=-2},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[d_1]\hspace{0.15cm}\underline{=+2},$$ | :$$d_1 = D_0 + {\rm{j}} \cdot D_1 - D_2 -{\rm{j}} \cdot D_3 = -2 + 2 \cdot {\rm{j}}\hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm}{\rm Re}[d_1]\hspace{0.15cm}\underline{=-2},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[d_1]\hspace{0.15cm}\underline{=+2},$$ | ||
:$$d_2 = D_0 - D_1 + D_2 - D_3 = -8 \cdot {\rm{j}}\hspace{2.1cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm}{\rm Re}[d_2]\hspace{0.15cm}\underline{=0},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[d_2]\hspace{0.15cm}\underline{=-8},$$ | :$$d_2 = D_0 - D_1 + D_2 - D_3 = -8 \cdot {\rm{j}}\hspace{2.1cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm}{\rm Re}[d_2]\hspace{0.15cm}\underline{=0},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[d_2]\hspace{0.15cm}\underline{=-8},$$ | ||
:$$d_3 = D_0 - {\rm{j}} \cdot D_1 - D_2 +{\rm{j}} \cdot D_3 = -6 + 6 \cdot {\rm{j}}\hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm}{\rm Re}[d_3]\hspace{0.15cm}\underline{=-6},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[d_3]\hspace{0.15cm}\underline{=+6}.$$ | :$$d_3 = D_0 - {\rm{j}} \cdot D_1 - D_2 +{\rm{j}} \cdot D_3 = -6 + 6 \cdot {\rm{j}}\hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm}{\rm Re}[d_3]\hspace{0.15cm}\underline{=-6},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[d_3]\hspace{0.15cm}\underline{=+6}.$$ | ||
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'''(4)''' Richtig sind die <u>beiden letzten Lösungsvorschläge</u>: | '''(4)''' Richtig sind die <u>beiden letzten Lösungsvorschläge</u>: | ||
Aktuelle Version vom 11. Januar 2022, 18:07 Uhr
Blockschaltbild der IDFT
In dieser Aufgabe wird ein OFDM–Sender genauer betrachtet, der mit Hilfe der "Inversen Diskreten Fouriertransformation" $\rm (IDFT)$ realisiert ist. Dabei gelte:
- Das System habe $N = 4$ Träger.
- Die Rahmendauer sei $T_{\ \rm R} = 0.25 \ \rm ms$.
- Ein Guard–Intervall wird nicht verwendet.
- In jedem Rahmen werden $16$ Bit übertragen.
- Die rechte obere Grafik zeigt den Block "IDFT" der OFDM–Senderstruktur.
- Jeweils vier Bit ergeben hierbei ein komplexes Symbol gemäß der unten links skizzierten $\rm16–QAM$–Signalraumzuordung.
Vorgeschlagene 16–QAM-Signalraumzuordnung
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Realisierung von OFDM-Systemen.
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Diskrete Fouriertransformation.
- Die Gleichung der IDFT lautet mit $ν = 0$, ... , $N–1$:
- $$\quad d_{\nu,\ k} = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {D_{\mu,\ k} \cdot w^{ - \nu \cdot \mu } } \quad {\rm{mit}} \quad w = {\rm{e}}^{ - {\rm{j}} {\rm{2\pi}}/N}.$$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Da hier kein Guard–Intervall berücksichtigt wird, ist die Symboldauer $T$ gleich der Rahmendauer $T_{\rm{R}} = 0.25 \ \rm ms$.
- Bei $N = 4$ Trägern und $\rm 16–QAM$ gilt für die Bitrate am Eingang:
- $$R_{\rm{B}} = \frac{1}{T_{\rm{B}}} = \frac{4 \cdot {\rm{log}_2}\hspace{0.08cm}(16)}{T} = \frac{4 \cdot 4}{0.25\,\,{\rm ms}}\hspace{0.15cm}\underline {= 64\,\,{\rm kbit/s}}.$$
(2) Aus der Signalraumzuordnung folgt für die Trägerkoeffizienten $($auf den Index $k$ wird verzichtet$)$:
- $${\rm{Bitfolge}}\hspace{0.2cm}1111:\hspace{0.5cm} D_0 = -1 - {\rm{j}}\hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Re}[D_0]\hspace{0.15cm}\underline{=-1},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[D_0]\hspace{0.15cm}\underline{=-1},$$
- $${\rm{Bitfolge}}\hspace{0.2cm}0111:\hspace{0.5cm} D_1 = -1 + {\rm{j}}\hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Re}[D_1]\hspace{0.15cm}\underline{=-1},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[D_1]\hspace{0.15cm}\underline{=+1},$$
- $${\rm{Bitfolge}}\hspace{0.2cm}1000:\hspace{0.5cm} D_2 = +3 - 3{\rm{j}},\hspace{0.15cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Re}[D_2]\hspace{0.15cm}\underline{=+3},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[D_2]\hspace{0.15cm}\underline{=-3},$$
- $${\rm{Bitfolge}}\hspace{0.2cm}0000:\hspace{0.5cm} D_3 = +3 + 3{\rm{j}}\hspace{0.2cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Re}[D_3]\hspace{0.15cm}\underline{=+3},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[D_3]\hspace{0.15cm}\underline{=+3}.$$
(3) Die angegebene IDFT–Gleichung lautet mit $N = 4$:
- $$d_{\nu } = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {D_{\mu } \cdot {\rm{e}}^{ \hspace{0.04cm} {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} \pi/2 \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} \mu } } .$$
- Daraus erhält man für $ν = 0$, ... , $3$:
- $$d_0 = D_0 + D_1 +D_2 +D_3 = 4 \hspace{2.9cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm}{\rm Re}[d_0]\hspace{0.15cm}\underline{=4},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[d_0]\hspace{0.15cm}\underline{=0},$$
- $$d_1 = D_0 + {\rm{j}} \cdot D_1 - D_2 -{\rm{j}} \cdot D_3 = -2 + 2 \cdot {\rm{j}}\hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm}{\rm Re}[d_1]\hspace{0.15cm}\underline{=-2},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[d_1]\hspace{0.15cm}\underline{=+2},$$
- $$d_2 = D_0 - D_1 + D_2 - D_3 = -8 \cdot {\rm{j}}\hspace{2.1cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm}{\rm Re}[d_2]\hspace{0.15cm}\underline{=0},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[d_2]\hspace{0.15cm}\underline{=-8},$$
- $$d_3 = D_0 - {\rm{j}} \cdot D_1 - D_2 +{\rm{j}} \cdot D_3 = -6 + 6 \cdot {\rm{j}}\hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm}{\rm Re}[d_3]\hspace{0.15cm}\underline{=-6},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[d_3]\hspace{0.15cm}\underline{=+6}.$$
(4) Richtig sind die beiden letzten Lösungsvorschläge:
- Bei OFDM ist der Crest–Faktor eher groß.
- Dies kann bei den verwendeten Verstärkerschaltungen zu Problemen in Bezug auf Linearitätsanforderungen und Energieeffizienz führen.
