Aufgaben:Aufgabe 2.5: Einweggleichrichtung: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Gesucht sind die Fourierkoeffizienten des unten skizzierten Signals $x(t)$, das sich durch die Einweggleichrichtung des Sinussignals $w(t)$ mit der Amplitude $\pi /2$ ergibt. | + | Gesucht sind die Fourierkoeffizienten des unten skizzierten Signals $x(t)$, das sich durch die Einweggleichrichtung des Sinussignals $w(t)$ mit der Amplitude $\pi /2$ ergibt. |
| − | Als bekannt vorausgesetzt wird die Fourierreihendarstellung des oben skizzierten Signals $u(t)$. Diese wurde bereits in der [[Aufgaben:Aufgabe_2.4:_Gleichgerichteter_Cosinus|Aufgabe 2.4]] ermittelt. Unter Berücksichtigung der Amplitude $\pi /2$ gilt hierfür: | + | Als bekannt vorausgesetzt wird die Fourierreihendarstellung des oben skizzierten Signals $u(t)$. Diese wurde bereits in der [[Aufgaben:Aufgabe_2.4:_Gleichgerichteter_Cosinus|Aufgabe 2.4]] ermittelt. Unter Berücksichtigung der Amplitude $\pi /2$ gilt hierfür: |
:$$u(t)=1+\frac{2}{3} \cdot \cos(\omega_1t)-\frac{2}{15}\cdot \cos(2\omega_1t)+\frac{2}{35}\cdot \cos(3\omega_1t)-\dots$$ | :$$u(t)=1+\frac{2}{3} \cdot \cos(\omega_1t)-\frac{2}{15}\cdot \cos(2\omega_1t)+\frac{2}{35}\cdot \cos(3\omega_1t)-\dots$$ | ||
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| − | *Die Grundkreisfrequenz ist mit $\omega_1$ bezeichnet. Da aber die Periodendauer der Signale $u(t)$ und $v(t)$ jeweils $T/2$ beträgt, gilt $\omega_1 = 2\pi /(T/2) = 4 \pi /T$. | + | *Die Grundkreisfrequenz ist mit $\omega_1$ bezeichnet. Da aber die Periodendauer der Signale $u(t)$ und $v(t)$ jeweils $T/2$ beträgt, gilt $\omega_1 = 2\pi /(T/2) = 4 \pi /T$. |
| − | *Weil in dieser Aufgabe die Signale $u(t)$, $w(t)$ und $x(t)$ zueinander in Bezug gebracht werden sollen, muss auch das Signal $u(t)$ mit der Periodendauer $T$ des Signals $x(t)$ dargestellt werden. Mit $\omega_0 = 2\pi /T = \omega_1/2$ gilt somit gleichermaßen: | + | *Weil in dieser Aufgabe die Signale $u(t)$, $w(t)$ und $x(t)$ zueinander in Bezug gebracht werden sollen, muss auch das Signal $u(t)$ mit der Periodendauer $T$ des Signals $x(t)$ dargestellt werden. |
| + | *Mit $\omega_0 = 2\pi /T = \omega_1/2$ gilt somit gleichermaßen: | ||
:$$u(t)=1+\frac{2}{3} \cdot \cos(2\omega_0t)-\frac{2}{15} \cdot \cos(4\omega_0t)+\frac{2}{35} \cdot \cos(6\omega_0t)-\dots$$ | :$$u(t)=1+\frac{2}{3} \cdot \cos(2\omega_0t)-\frac{2}{15} \cdot \cos(4\omega_0t)+\frac{2}{35} \cdot \cos(6\omega_0t)-\dots$$ | ||
Für die Fourierkoeffizienten bedeutet dies: | Für die Fourierkoeffizienten bedeutet dies: | ||
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| − | *Die Cosinuskoeffizienten mit ungeradzahligem $n = 1, 3, 5, \dots$ sind alle $0$, | + | *Die Cosinuskoeffizienten mit ungeradzahligem $n = 1, \ 3, \ 5, \dots$ sind alle $0$, |
| − | *Die Cosinuskoeffizienten mit geradzahligem $n = 2, 4, 6, \dots$ sind ungleich $0$: | + | *Die Cosinuskoeffizienten mit geradzahligem $n = 2, \ 4, \ 6, \dots$ sind ungleich $0$ : |
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| − | {Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten des Signals $v(t)$. Welchen Wert besitzt der Koeffizient $A_2$? | + | {Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten des Signals $v(t)$. Welchen Wert besitzt der Koeffizient $A_2$? |
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| − | {Wie kann $x(t)$ aus $v(t)$ und $w(t)$ zusammengesetzt werden? Geben Sie die entsprechenden Fourierkoeffizienten des Signals $x(t)$ an, insbesondere | + | {Wie kann $x(t)$ aus $v(t)$ und $w(t)$ zusammengesetzt werden? Geben Sie die entsprechenden Fourierkoeffizienten des Signals $x(t)$ an, insbesondere |
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| − | Aus den Signalverläufen ist zu erkennen, dass $v(t) = u(t - T/4)$ gilt: | + | *Aus den Signalverläufen ist zu erkennen, dass $v(t) = u(t - T/4)$ gilt: |
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| − | bzw. für die Cosinuskoeffizienten mit geradzahligem $n$: | + | :bzw. für die Cosinuskoeffizienten mit geradzahligem $n$: |
:$$A_n=\frac{-2}{n^2-1}\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}A_2=-\hspace{-0.05cm}2/3 \hspace{0.1cm}\underline{= -\hspace{-0.05cm}0.667}.$$ | :$$A_n=\frac{-2}{n^2-1}\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}A_2=-\hspace{-0.05cm}2/3 \hspace{0.1cm}\underline{= -\hspace{-0.05cm}0.667}.$$ | ||
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| − | '''(3)''' Aus der grafischen Darstellung erkennt man den Zusammenhang $x(t)={1}/{2} \cdot [v(t)+w(t)].$ Das bedeutet: | + | |
| + | '''(2)''' Wegen $w(t) = \pi /2 \cdot \sin(\omega_0 t)$ sind alle Fourierkoeffizienten außer $B_1 = \pi /2 \hspace{0.1cm}\underline{=1.571}$ gleich Null. | ||
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:$$x(t)=\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}\cdot \sin(\omega_0 t)-\frac{1}{3}\cdot \cos(2\omega_0 t)-\frac{1}{15}\cdot \cos(4\omega_0 t)-\frac{1}{35}\cdot \cos(6\omega_0 t)-\ldots$$ | :$$x(t)=\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}\cdot \sin(\omega_0 t)-\frac{1}{3}\cdot \cos(2\omega_0 t)-\frac{1}{15}\cdot \cos(4\omega_0 t)-\frac{1}{35}\cdot \cos(6\omega_0 t)-\ldots$$ | ||
| − | Die gesuchten Fourierkoeffizienten sind somit: | + | *Die gesuchten Fourierkoeffizienten sind somit: |
| − | :$$A_0 \hspace{0.1cm}\underline{=0.5}, | + | :$$A_0 \hspace{0.1cm}\underline{=0.5},\hspace{1cm} |
| − | + | B_1 = \pi /4 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.785},\hspace{1cm} | |
| − | + | A_2\hspace{0.1cm}\underline{ = -0.333}.$$ | |
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[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^2. Periodische Signale^]] | [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^2. Periodische Signale^]] | ||
Aktuelle Version vom 15. April 2021, 13:55 Uhr
Gleichgerichtete Cosinusfunktionen
Gesucht sind die Fourierkoeffizienten des unten skizzierten Signals $x(t)$, das sich durch die Einweggleichrichtung des Sinussignals $w(t)$ mit der Amplitude $\pi /2$ ergibt.
Als bekannt vorausgesetzt wird die Fourierreihendarstellung des oben skizzierten Signals $u(t)$. Diese wurde bereits in der Aufgabe 2.4 ermittelt. Unter Berücksichtigung der Amplitude $\pi /2$ gilt hierfür:
- $$u(t)=1+\frac{2}{3} \cdot \cos(\omega_1t)-\frac{2}{15}\cdot \cos(2\omega_1t)+\frac{2}{35}\cdot \cos(3\omega_1t)-\dots$$
Anzumerken ist:
- Die Grundkreisfrequenz ist mit $\omega_1$ bezeichnet. Da aber die Periodendauer der Signale $u(t)$ und $v(t)$ jeweils $T/2$ beträgt, gilt $\omega_1 = 2\pi /(T/2) = 4 \pi /T$.
- Weil in dieser Aufgabe die Signale $u(t)$, $w(t)$ und $x(t)$ zueinander in Bezug gebracht werden sollen, muss auch das Signal $u(t)$ mit der Periodendauer $T$ des Signals $x(t)$ dargestellt werden.
- Mit $\omega_0 = 2\pi /T = \omega_1/2$ gilt somit gleichermaßen:
- $$u(t)=1+\frac{2}{3} \cdot \cos(2\omega_0t)-\frac{2}{15} \cdot \cos(4\omega_0t)+\frac{2}{35} \cdot \cos(6\omega_0t)-\dots$$
Für die Fourierkoeffizienten bedeutet dies:
- Der Gleichkoeffizient ergibt sich zu $A_0 = 1$,
- Alle Sinuskoeffizienten sind $B_n = 0$,
- Die Cosinuskoeffizienten mit ungeradzahligem $n = 1, \ 3, \ 5, \dots$ sind alle $0$,
- Die Cosinuskoeffizienten mit geradzahligem $n = 2, \ 4, \ 6, \dots$ sind ungleich $0$ :
- $$A_n=(-1)^{\hspace{0.01cm}n/2+1}\frac{2}{n^2-1}.$$
Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte:
- $$A_1=A_3=A_5=\dots=0,$$
- $$A_2=2/3; \;A_4=-2/15;\;A_6=2/35;\;A_8=-2/63.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fourierreihe.
- Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den beiden Lernvideos
Fragebogen
Musterlösung
(1) Auch das verschobene Signal $v(t)$ ist gerade und alle Sinuskoeffizienten sind dementsprechend Null.
- Am Gleichsignalkoeffizienten ändert sich ebenfalls nichts: $A_0 = 1$.
- Aus den Signalverläufen ist zu erkennen, dass $v(t) = u(t - T/4)$ gilt:
- $$v(t)=1+\frac{2}{3}\cdot \cos(2\omega_0(t-\frac{T}{4}))-\frac{2}{15}\cdot \cos(4\omega_0(t-\frac{T}{4}))+\frac{2}{35}\cdot \cos(6\omega_0(t-\frac{T}{4}))-\dots$$
- Die Cosinusterme können nun mit $\omega_0 \cdot T = 2 \pi$ umgeformt werden:
- $$\cos(2\omega_0(t-\frac{T}{4}))=\cos(2\omega_0t-\pi)=-\cos(2\omega_0t),$$
- $$\cos(4\omega_0(t-\frac{T}{4}))=\cos(4\omega_0t-2\pi)=\cos(4\omega_0t),$$
- $$\cos(6\omega_0(t-\frac{T}{4}))=\cos(6\omega_0t-3\pi)=-\cos(6\omega_0t).$$
- Damit erhält man für die Fourierreihe:
- $$v(t)=1-{2}/{3}\cdot \cos(2\omega_0t)-{2}/{15}\cdot \cos(4\omega_0t)-{2}/{35}\cdot \cos(6\omega_0t)-\dots$$
- bzw. für die Cosinuskoeffizienten mit geradzahligem $n$:
- $$A_n=\frac{-2}{n^2-1}\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}A_2=-\hspace{-0.05cm}2/3 \hspace{0.1cm}\underline{= -\hspace{-0.05cm}0.667}.$$
(2) Wegen $w(t) = \pi /2 \cdot \sin(\omega_0 t)$ sind alle Fourierkoeffizienten außer $B_1 = \pi /2 \hspace{0.1cm}\underline{=1.571}$ gleich Null.
(3) Aus der grafischen Darstellung erkennt man den Zusammenhang $x(t)={1}/{2} \cdot \big [v(t)+w(t) \big].$ Das bedeutet:
- $$x(t)=\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}\cdot \sin(\omega_0 t)-\frac{1}{3}\cdot \cos(2\omega_0 t)-\frac{1}{15}\cdot \cos(4\omega_0 t)-\frac{1}{35}\cdot \cos(6\omega_0 t)-\ldots$$
- Die gesuchten Fourierkoeffizienten sind somit:
- $$A_0 \hspace{0.1cm}\underline{=0.5},\hspace{1cm} B_1 = \pi /4 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.785},\hspace{1cm} A_2\hspace{0.1cm}\underline{ = -0.333}.$$
