Aufgaben:Aufgabe 1.2: Schaltlogik (D/B-Wandler): Unterschied zwischen den Versionen
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− | *Diese werden in Binärzahlen umgewandelt (rot umrandeter Block). | + | *Diese werden in Binärzahlen umgewandelt (rot umrandeter Block). |
− | *Der Ausgang besteht aus den vier Binärwerten $A$, $B$, $C$ und $D$ mit abnehmender Wertigkeit. | + | *Der Ausgang besteht aus den vier Binärwerten $A$, $B$, $C$ und $D$ mit abnehmender Wertigkeit. |
− | *Beispielsweise liefert $Z = 11$ die Binärwerte | + | *Beispielsweise liefert $Z = 11$ die Binärwerte |
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Mengentheoretisch lässt sich dies wie folgt darstellen: | Mengentheoretisch lässt sich dies wie folgt darstellen: | ||
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− | Aus den binären Größen $A$, $B$, $C$ und $D$ werden drei weitere Boolsche Ausdrücke gebildet, deren Vereinigungsmenge mit $X$ bezeichnet wird: | + | Aus den binären Größen $A$, $B$, $C$ und $D$ werden drei weitere Boolsche Ausdrücke gebildet, deren Vereinigungsmenge mit $X$ bezeichnet wird: |
::<math> U = A \cap \overline{D} </math> | ::<math> U = A \cap \overline{D} </math> | ||
::<math> V = \overline{A} \cap B \cap \overline{D} </math> | ::<math> V = \overline{A} \cap B \cap \overline{D} </math> | ||
:$$W,\; {\rm wobei} \; \, \overline{W} = \overline{A} \cup \overline{D} \cup (\overline{B} \cap C) \cup (B \cap \overline{C}). $$ | :$$W,\; {\rm wobei} \; \, \overline{W} = \overline{A} \cup \overline{D} \cup (\overline{B} \cap C) \cup (B \cap \overline{C}). $$ | ||
− | + | *Es ist zu berücksichtigen, dass $Z = 0 \ ⇒ \ A = B = C = D = 0$ bereits durch den Zahlengenerator ausgeschlossen ist. | |
+ | *Beachten Sie ferner, dass nicht alle Eingangsgrößen $A$, $B$, $C$ und $D$ zur Berechnung aller Zwischengrößen $U$, $V$ und $W$ herangezogen werden. | ||
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− | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen|Mengentheoretische Grundlagen]]. | + | |
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+ | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen|Mengentheoretische Grundlagen]]. | ||
− | *Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo [[ | + | *Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo [[Mengentheoretische_Begriffe_und_Gesetzmäßigkeiten_(Lernvideo)|Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten]]. |
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− | - $P$ beinhaltet alle Zweierpotenzen. | + | - $P$ beinhaltet alle Zweierpotenzen. |
− | + $P$ beinhaltet alle Primzahlen. | + | + $P$ beinhaltet alle Primzahlen. |
− | - $P$ beschreibt die leere Menge <math>\phi</math> . | + | - $P$ beschreibt die leere Menge <math>\phi</math> . |
− | - $P$ ist identisch mit der Grundmenge $G = {1,2, \ \text{...} \ , 15}$. | + | - $P$ ist identisch mit der Grundmenge $G = {1,2, \ \text{...} \ , 15}$. |
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− | '''(1)''' Das Ereignis $U$ beinhaltet diejenigen Zahlen größer/gleich acht $(A = 1)$, die gerade sind $(D = 0)$: $8, 10, 12, 14$ ⇒ Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>. | + | '''(1)''' Das Ereignis $U$ beinhaltet |
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− | '''(3)''' Für das Ereignis $W$ gilt mit dem Theorem von de Morgan: | + | '''(3)''' Für das Ereignis $W$ gilt mit dem Theorem von de Morgan: |
:$$\overline W = \overline A \cup \overline D \cup (\overline B \cap C) \cup (B \cap \overline C) | :$$\overline W = \overline A \cup \overline D \cup (\overline B \cap C) \cup (B \cap \overline C) | ||
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− | Mit den Sätzen von de Morgan folgt daraus weiter: | + | *Mit den Sätzen von de Morgan folgt daraus weiter: |
:$$ W = A \cap D \cap (B \cup \overline C) \cap (\overline B \cup C).$$ | :$$ W = A \cap D \cap (B \cup \overline C) \cap (\overline B \cup C).$$ | ||
− | Mit der Boolschen Beziehung $(B \cup \overline C) \cap (\overline B \cup C) = (B \cap C) \cup (\overline B \cap \overline C)$ erhält man schließlich (siehe Skizze): | + | *Mit der Boolschen Beziehung $(B \cup \overline C) \cap (\overline B \cup C) = (B \cap C) \cup (\overline B \cap \overline C)$ erhält man schließlich (siehe Skizze): |
:$$W = (A \cap B \cap C \cap D) \cup (A \cap \overline B \cap \overline C \cap D).$$ | :$$W = (A \cap B \cap C \cap D) \cup (A \cap \overline B \cap \overline C \cap D).$$ | ||
− | Somit beinhaltet W die Zahlen $15$ und $9$ ⇒ nur der <u>Lösungsvorschlag 1</u> ist richtig. | + | *Somit beinhaltet $W$ die Zahlen $15$ und $9$ ⇒ nur der <u>Lösungsvorschlag 1</u> ist richtig. |
− | '''(4)''' Die Vereinigungsmenge von $U$, $V$ und $W$ beinhaltet | + | '''(4)''' Die Vereinigungsmenge von $U$, $V$ und $W$ beinhaltet die Zahlen $4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15$. |
− | *Dementsprechend gilt für die Menge $P$ als das Komplement dieser Vereinigungsmenge: $P | + | *Dementsprechend gilt für die Menge $P$ als das Komplement dieser Vereinigungsmenge: |
+ | :$$P = {\{1, 2, 3, 5, 7, 11, 13\}}.$$ | ||
*Dies sind genau die mit vier Bit darstellbaren Primzahlen ⇒ <u>Lösungsvorschlag 2</u>. | *Dies sind genau die mit vier Bit darstellbaren Primzahlen ⇒ <u>Lösungsvorschlag 2</u>. |
Aktuelle Version vom 19. November 2021, 14:05 Uhr
A1.2 Schaltlogik (D/B-Wandler)
Ein Zahlengenerator $Z$ liefert Dezimalwerte im Bereich von $1$ bis $15$.
- Diese werden in Binärzahlen umgewandelt (rot umrandeter Block).
- Der Ausgang besteht aus den vier Binärwerten $A$, $B$, $C$ und $D$ mit abnehmender Wertigkeit.
- Beispielsweise liefert $Z = 11$ die Binärwerte
- $$ A = 1, \ B = 0, \ C = 1, \ D = 1. $$
Mengentheoretisch lässt sich dies wie folgt darstellen:
- $$ Z = 11\qquad\widehat{=}\qquad A \cap\overline{ B} \cap C \cap D.$$
Aus den binären Größen $A$, $B$, $C$ und $D$ werden drei weitere Boolsche Ausdrücke gebildet, deren Vereinigungsmenge mit $X$ bezeichnet wird:
- \[ U = A \cap \overline{D} \]
- \[ V = \overline{A} \cap B \cap \overline{D} \]
- $$W,\; {\rm wobei} \; \, \overline{W} = \overline{A} \cup \overline{D} \cup (\overline{B} \cap C) \cup (B \cap \overline{C}). $$
- Es ist zu berücksichtigen, dass $Z = 0 \ ⇒ \ A = B = C = D = 0$ bereits durch den Zahlengenerator ausgeschlossen ist.
- Beachten Sie ferner, dass nicht alle Eingangsgrößen $A$, $B$, $C$ und $D$ zur Berechnung aller Zwischengrößen $U$, $V$ und $W$ herangezogen werden.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Mengentheoretische Grundlagen.
- Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Das Ereignis $U$ beinhaltet
- diejenigen Zahlen größer/gleich acht $(A = 1)$,
- die gerade sind $(D = 0)$: $8, 10, 12, 14$ ⇒ Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 4.
(2) Das Ereignis $V$ besteht aus den beiden Zahlen $4$ (binär 0100) und $6$ (binär 0110) ⇒ Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3.
(3) Für das Ereignis $W$ gilt mit dem Theorem von de Morgan:
- $$\overline W = \overline A \cup \overline D \cup (\overline B \cap C) \cup (B \cap \overline C) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} W = \overline{\overline W} = A \cap D \cap (\overline{\overline B \cap C}) \cap (\overline{B \cap \overline C}).$$
- Mit den Sätzen von de Morgan folgt daraus weiter:
- $$ W = A \cap D \cap (B \cup \overline C) \cap (\overline B \cup C).$$
- Mit der Boolschen Beziehung $(B \cup \overline C) \cap (\overline B \cup C) = (B \cap C) \cup (\overline B \cap \overline C)$ erhält man schließlich (siehe Skizze):
- $$W = (A \cap B \cap C \cap D) \cup (A \cap \overline B \cap \overline C \cap D).$$
- Somit beinhaltet $W$ die Zahlen $15$ und $9$ ⇒ nur der Lösungsvorschlag 1 ist richtig.
(4) Die Vereinigungsmenge von $U$, $V$ und $W$ beinhaltet die Zahlen $4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15$.
- Dementsprechend gilt für die Menge $P$ als das Komplement dieser Vereinigungsmenge:
- $$P = {\{1, 2, 3, 5, 7, 11, 13\}}.$$
- Dies sind genau die mit vier Bit darstellbaren Primzahlen ⇒ Lösungsvorschlag 2.