Aufgaben:Aufgabe 1.2Z: Ziffernmengen: Unterschied zwischen den Versionen
Aus LNTwww
(5 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 2: | Zeile 2: | ||
{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Mengentheoretische Grundlagen}} | {{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Mengentheoretische Grundlagen}} | ||
− | [[Datei:P_ID81__Sto_Z_1_2.png|right|frame|Ziffernmengen $A$, $B$, $C$]] | + | [[Datei:P_ID81__Sto_Z_1_2.png|right|frame|Ziffernmengen $A$, $B$, $C$]] |
− | Die Grundmenge $G$ sei die Menge aller Ziffern zwischen $1$ und $9$. Gegeben sind dazu die folgenden Teilmengen: | + | Die Grundmenge $G$ sei die Menge aller Ziffern zwischen $1$ und $9$. Gegeben sind dazu die folgenden Teilmengen: |
:$$A = \big[\text{die Ziffern} \leqslant 3\big],$$ | :$$A = \big[\text{die Ziffern} \leqslant 3\big],$$ | ||
Zeile 13: | Zeile 13: | ||
:$$E = (A \cup B) \cap (\overline A \cup \overline B), $$ | :$$E = (A \cup B) \cap (\overline A \cup \overline B), $$ | ||
:$$F = (A \cup C) \cap \overline B, $$ | :$$F = (A \cup C) \cap \overline B, $$ | ||
− | :$$ | + | :$$H = (\overline A \cap \overline C) \cup (A \cap B \cap C).$$ |
+ | |||
+ | Überlegen Sie sich zunächst, welche Ziffern zu den Mengen $D$, $E$, $F$ und $H$ gehören und beantworten Sie dann die folgenden Fragen. <br>Begründen Sie Ihre Antworten mengentheoretisch. | ||
+ | |||
+ | |||
− | |||
Zeile 22: | Zeile 25: | ||
''Hinweise:'' | ''Hinweise:'' | ||
− | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen|Mengentheoretische Grundlagen]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen|Mengentheoretische Grundlagen]]. |
− | *Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo [[ | + | *Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo [[Mengentheoretische_Begriffe_und_Gesetzmäßigkeiten_(Lernvideo)|Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten]]. |
Zeile 30: | Zeile 33: | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | {Welche der | + | {Welche der folgenden Aussagen sind richtig? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | - $A$ und $B$ sind disjunkte Mengen. | + | - $A$ und $B$ sind disjunkte Mengen. |
− | + $A$ und $C$ sind disjunkte Mengen. | + | + $A$ und $C$ sind disjunkte Mengen. |
− | - $B$ und $C$ sind disjunkte Mengen. | + | - $B$ und $C$ sind disjunkte Mengen. |
− | {Welche der | + | {Welche der folgenden Aussagen sind richtig? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | - Die Vereinigungsmenge $A \cup B \cup C$ ergibt die Grundmenge $G$. | + | - Die Vereinigungsmenge $A \cup B \cup C$ ergibt die Grundmenge $G$. |
− | + Die Komplementärmenge zu $A \cap B \cap C$ ergibt die Grundmenge $G$. | + | + Die Komplementärmenge zu $A \cap B \cap C$ ergibt die Grundmenge $G$. |
− | {Welche der | + | {Welche der folgenden Aussagen sind richtig? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + Die Komplementärmengen von $D$ und $E$ sind identisch. | + | + Die Komplementärmengen von $D$ und $E$ sind identisch. |
− | + $F$ ist eine Teilmenge der Komplementärmenge von $B$. | + | + $F$ ist eine Teilmenge der Komplementärmenge von $B$. |
− | - Die Mengen $B$, $C$ und $D$ bilden ein vollständiges System. | + | - Die Mengen $B$, $C$ und $D$ bilden ein vollständiges System. |
− | + Die Mengen $A$, $C$ und $H$ bilden ein vollständiges System. | + | + Die Mengen $A$, $C$ und $H$ bilden ein vollständiges System. |
Zeile 55: | Zeile 58: | ||
Für die weiteren in der Aufgabe definierten Mengen gilt: | Für die weiteren in der Aufgabe definierten Mengen gilt: | ||
− | $$ D = (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B) | + | :$$ D = (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B) |
− | =[\{1, 2, 3\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}] \cup [\{4, 5, 6, 7, 8, 9\} \cap \{3, 6, 9\}] = \{1, 2, 6, 9\},$$ | + | =\big[\{1, 2, 3\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}\big] \cup \big[\{4, 5, 6, 7, 8, 9\} \cap \{3, 6, 9\}\big] = \{1, 2, 6, 9\},$$ |
+ | |||
+ | :$$ E = (A \cup B) \cap (\overline A \cup \overline B) = (A \cap \overline A) \cup (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B) \cup (\overline A \cap \overline B) = (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B) = D = \{1, 2, 6, 9\},$$ | ||
+ | |||
+ | :$$F = (A \cup C) \cap \overline B = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8\} = \{1, 2, 5, 7, 8\},$$ | ||
− | $$ | + | :$$H = (\bar A \cap \overline C) \cup (A \cap B \cap C) = (\overline A \cap \overline C) \cup \phi = \{4, 9\}.$$ |
− | $$ | + | '''(1)''' Richtig ist nur der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: |
+ | * $A$ und $C$ haben kein gemeinsames Element. | ||
+ | * $A$ und $B$ beinhalten jeweils die $3$. | ||
+ | *$B$ und $C$ beinhalten jeweils die $6$. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | '''(2)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: | ||
+ | *Keine Ziffer ist gleichzeitig in $A$, $B$ und $C$ enthalten ⇒ $ A \cap B \cap C = \phi$ ⇒ $ \overline{A \cap B \cap C} = \overline{\phi} = G$. | ||
+ | *Der erste Vorschlag ist dagegen falsch. Es fehlt die $4$. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | '''(3)''' Richtig sind | + | '''(3)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>: |
− | *Der erste Vorschlag ist richtig: Die Mengen $D$ und $E$ enthalten genau die gleichen Elemente und somit auch deren Komplementärmengen. | + | *Der erste Vorschlag ist richtig: Die Mengen $D$ und $E$ enthalten genau die gleichen Elemente und somit auch deren Komplementärmengen. |
− | *Auch der zweite Vorschlag ist richtig | + | *Auch der zweite Vorschlag ist richtig: Allgemein, das heißt für beliebige $X$ und $B$ gilt: $X \cap \overline B \subset \overline B \ \Rightarrow$ Mit $X = A \cup C$ folgt somit $F \subset \overline B$. |
− | *Auch der letzte Vorschlag ist richtig | + | *Auch der letzte Vorschlag ist richtig: $A = \{1, 2, 3\},$ $C = \{5, 6, 7, 8\}$ und $H = \{4, 9\}$ bilden ein „vollständiges System”. |
− | *Der dritte Vorschlag ist dagegen falsch, weil $B$ und $C$ nicht disjunkt sind. | + | *Der dritte Vorschlag ist dagegen falsch, weil $B$ und $C$ nicht disjunkt sind. |
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} |
Aktuelle Version vom 25. November 2021, 14:16 Uhr
Die Grundmenge $G$ sei die Menge aller Ziffern zwischen $1$ und $9$. Gegeben sind dazu die folgenden Teilmengen:
- $$A = \big[\text{die Ziffern} \leqslant 3\big],$$
- $$ B = \big[\text{die durch 3 teilbaren Ziffern}\big],$$
- $$ C = \big[\text{die Ziffern 5, 6, 7, 8}\big],$$
Daneben seien noch weitere Mengen definiert:
- $$D = (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B),$$
- $$E = (A \cup B) \cap (\overline A \cup \overline B), $$
- $$F = (A \cup C) \cap \overline B, $$
- $$H = (\overline A \cap \overline C) \cup (A \cap B \cap C).$$
Überlegen Sie sich zunächst, welche Ziffern zu den Mengen $D$, $E$, $F$ und $H$ gehören und beantworten Sie dann die folgenden Fragen.
Begründen Sie Ihre Antworten mengentheoretisch.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Mengentheoretische Grundlagen.
- Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten.
Fragebogen
Musterlösung
Für die weiteren in der Aufgabe definierten Mengen gilt:
- $$ D = (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B) =\big[\{1, 2, 3\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}\big] \cup \big[\{4, 5, 6, 7, 8, 9\} \cap \{3, 6, 9\}\big] = \{1, 2, 6, 9\},$$
- $$ E = (A \cup B) \cap (\overline A \cup \overline B) = (A \cap \overline A) \cup (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B) \cup (\overline A \cap \overline B) = (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B) = D = \{1, 2, 6, 9\},$$
- $$F = (A \cup C) \cap \overline B = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8\} = \{1, 2, 5, 7, 8\},$$
- $$H = (\bar A \cap \overline C) \cup (A \cap B \cap C) = (\overline A \cap \overline C) \cup \phi = \{4, 9\}.$$
(1) Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 2:
- $A$ und $C$ haben kein gemeinsames Element.
- $A$ und $B$ beinhalten jeweils die $3$.
- $B$ und $C$ beinhalten jeweils die $6$.
(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:
- Keine Ziffer ist gleichzeitig in $A$, $B$ und $C$ enthalten ⇒ $ A \cap B \cap C = \phi$ ⇒ $ \overline{A \cap B \cap C} = \overline{\phi} = G$.
- Der erste Vorschlag ist dagegen falsch. Es fehlt die $4$.
(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4:
- Der erste Vorschlag ist richtig: Die Mengen $D$ und $E$ enthalten genau die gleichen Elemente und somit auch deren Komplementärmengen.
- Auch der zweite Vorschlag ist richtig: Allgemein, das heißt für beliebige $X$ und $B$ gilt: $X \cap \overline B \subset \overline B \ \Rightarrow$ Mit $X = A \cup C$ folgt somit $F \subset \overline B$.
- Auch der letzte Vorschlag ist richtig: $A = \{1, 2, 3\},$ $C = \{5, 6, 7, 8\}$ und $H = \{4, 9\}$ bilden ein „vollständiges System”.
- Der dritte Vorschlag ist dagegen falsch, weil $B$ und $C$ nicht disjunkt sind.