Aufgaben:Aufgabe 2.1Z: Signalverläufe: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Rechts sind fünf Signalverläufe dargestellt. Die ersten drei Signale $\rm (A)$, $\rm (B)$ und $\rm (C)$ sind periodisch und damit auch deterministisch, die beiden unteren Signale haben stochastischen Charakter | + | Rechts sind fünf Signalverläufe dargestellt. Die ersten drei Signale $\rm (A)$, $\rm (B)$ und $\rm (C)$ sind periodisch und damit auch deterministisch, die beiden unteren Signale haben stochastischen Charakter. |
− | Im Einzelnen sind dargestellt: | + | Der Momentanwert dieser Signale $x(t)$ wird jeweils als eine Zufallsgröße aufgefasst. Im Einzelnen sind dargestellt: |
$\rm (A)$: ein dreieckförmiges periodisches Signal, | $\rm (A)$: ein dreieckförmiges periodisches Signal, | ||
− | $\rm (B)$: das Signal $\rm (A)$ nach Einweggleichrichtung, | + | $\rm (B)$: das Signal $\rm (A)$ nach Einweggleichrichtung, |
$\rm (C)$: ein rechteckförmiges periodisches Signal, | $\rm (C)$: ein rechteckförmiges periodisches Signal, | ||
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$\rm (D)$: ein rechteckförmiges Zufallssignal, | $\rm (D)$: ein rechteckförmiges Zufallssignal, | ||
− | $\rm (E)$: das Zufallssignal $\rm (D)$ nach AMI-Codierung; hierbei bleibt die „Null” erhalten, während eine jede „Eins” alternierend mit & | + | $\rm (E)$: das Zufallssignal $\rm (D)$ nach AMI-Codierung; <br> hierbei bleibt die „Null” erhalten, während eine jede „Eins” alternierend mit $+2\hspace{0.03cm}\rm V$ und $-2\hspace{0.03cm} \rm V$ codiert wird. |
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− | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße|Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße|Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße]]. |
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− | {Bei welchen Signalen beschreibt der Momentanwert eine diskrete Zufallsgröße? <br>Überlegen Sie sich auch die jeweilige Stufenzahl $M$. | + | {Bei welchen Signalen beschreibt der Momentanwert eine diskrete Zufallsgröße? <br>Überlegen Sie sich auch die jeweilige Stufenzahl $M$. |
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- Signal $\rm (A)$, | - Signal $\rm (A)$, | ||
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− | {Bei welchen Signalen ist der Momentanwert eine (ausschließlich) kontinuierliche Zufallsgröße? | + | {Bei welchen Signalen ist der Momentanwert eine (ausschließlich) kontinuierliche Zufallsgröße? |
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+ Signal $\rm (A)$, | + Signal $\rm (A)$, | ||
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− | {Für das Signal $\rm (D)$ wird die relative Häufigkeit $h_0$ empirisch über $100\hspace{0.03cm}000$ Binärsymbole ermittelt. <br>Benennen Sie eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, dass der ermittelte Wert zwischen $0.49$ und $0.51$ liegt? | + | {Für das Signal $\rm (D)$ wird die relative Häufigkeit $h_0$ empirisch über $100\hspace{0.03cm}000$ Binärsymbole ermittelt. <br>Benennen Sie eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, dass der ermittelte Wert zwischen $0.49$ und $0.51$ liegt? |
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− | ${\rm Min\big[\ Pr(0.49}≤h_0≤0.51)\ \big] \ = \ $ { | + | ${\rm Min\big[\ Pr(0.49}≤h_0≤0.51)\ \big] \ = \ $ { 97.5 3% } $\%$ |
− | {Wieviele Symbole $(N_\min)$ müsste man für diese Untersuchung heranziehen, damit sichergestellt wird, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Die so ermittelte Häufigkeit liegt zwischen $0.499$ und $0.501$” größer als $99\%$ ist? | + | {Wieviele Symbole $(N_\min)$ müsste man für diese Untersuchung heranziehen, damit sichergestellt wird, <br>dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Die so ermittelte Häufigkeit liegt zwischen $0.499$ und $0.501$” größer als $99\%$ ist? |
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$N_\min \ = \ $ { 2.5 3% } $\ \cdot 10^9$ | $N_\min \ = \ $ { 2.5 3% } $\ \cdot 10^9$ | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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− | '''(1)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 3, 4 und 5</u>: | + | '''(1)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 3, 4 und 5</u>: |
− | *Die Zufallsgrößen $\rm (C)$ und $\rm (D)$ sind binär $(M= 2)$, | + | *Die Zufallsgrößen $\rm (C)$ und $\rm (D)$ sind binär $(M= 2)$, |
− | *während die Zufallsgröße $\rm (E)$ dreiwertig ist. | + | *während die Zufallsgröße $\rm (E)$ dreiwertig ist $(M= 3)$. |
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+ | *Alle anderen Zufallsgrößen sind wertdiskret. | ||
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+ | *Nur die Zufallsgröße $\rm (B)$ hat einen diskreten Anteil bei $0\hspace{0.03cm}\rm V$ und | ||
+ | *außerdem noch eine kontinuierliche Komponente (zwischen $0\hspace{0.03cm} \rm V$ und $+2\hspace{0.03cm}\rm V)$. | ||
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:$$\rm Pr\left(|\it h_{\rm 0} - \it p_{\rm 0}|\ge\it\varepsilon\right)\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}} = {\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernouilli}.$$ | :$$\rm Pr\left(|\it h_{\rm 0} - \it p_{\rm 0}|\ge\it\varepsilon\right)\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}} = {\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernouilli}.$$ | ||
− | Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit $h_0$ von der Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0.5$ betragsmäßig um mehr als $0.01$ abweicht, mit $\varepsilon = 0.01$ berechenbar: | + | *Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit $h_0$ von der Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0.5$ betragsmäßig um mehr als $0.01$ abweicht, mit $\varepsilon = 0.01$ berechenbar: |
:$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli} = \rm\frac{1}{4\cdot 100000\cdot 0.01^2}=\rm 2.5\% \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} | :$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli} = \rm\frac{1}{4\cdot 100000\cdot 0.01^2}=\rm 2.5\% \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} | ||
− | {\rm Min}\big[({\rm Pr}(0.49 \le h_0 \le 0.51)\big] \hspace{0.15cm}\underline{= | + | {\rm Min}\big[({\rm Pr}(0.49 \le h_0 \le 0.51)\big] \hspace{0.15cm}\underline{= 97.5\%}.$$ |
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− | '''(5)''' Mit $p_{\rm Bernoulli} = 1 - 0.99 = 0.01$ und $\varepsilon = 0.001$ gilt wiederum nach dem Gesetz der großen Zahlen: | + | '''(5)''' Mit $p_{\rm Bernoulli} = 1 - 0.99 = 0.01$ und $\varepsilon = 0.001$ gilt wiederum nach dem Gesetz der großen Zahlen: |
:$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it \varepsilon^{\rm 2}}.$$ | :$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it \varepsilon^{\rm 2}}.$$ | ||
− | Aufgelöst nach $N$ erhält man: | + | *Aufgelöst nach $N$ erhält man: |
:$$N\ge\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\it p_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}}=\rm \frac{1}{4\cdot 0.01\cdot 0.001^{2}}=\rm 0.25\cdot 10^8 | :$$N\ge\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\it p_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}}=\rm \frac{1}{4\cdot 0.01\cdot 0.001^{2}}=\rm 0.25\cdot 10^8 | ||
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} | \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} |
Aktuelle Version vom 3. Dezember 2021, 14:13 Uhr
Rechts sind fünf Signalverläufe dargestellt. Die ersten drei Signale $\rm (A)$, $\rm (B)$ und $\rm (C)$ sind periodisch und damit auch deterministisch, die beiden unteren Signale haben stochastischen Charakter.
Der Momentanwert dieser Signale $x(t)$ wird jeweils als eine Zufallsgröße aufgefasst. Im Einzelnen sind dargestellt:
$\rm (A)$: ein dreieckförmiges periodisches Signal,
$\rm (B)$: das Signal $\rm (A)$ nach Einweggleichrichtung,
$\rm (C)$: ein rechteckförmiges periodisches Signal,
$\rm (D)$: ein rechteckförmiges Zufallssignal,
$\rm (E)$: das Zufallssignal $\rm (D)$ nach AMI-Codierung;
hierbei bleibt die „Null” erhalten, während eine jede „Eins” alternierend mit $+2\hspace{0.03cm}\rm V$ und $-2\hspace{0.03cm} \rm V$ codiert wird.
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße.
Fragebogen
Musterlösung
- Die Zufallsgrößen $\rm (C)$ und $\rm (D)$ sind binär $(M= 2)$,
- während die Zufallsgröße $\rm (E)$ dreiwertig ist $(M= 3)$.
(2) Richtig ist allein der Lösungsvorschlag 1:
- Die Zufallsgröße $\rm (A)$ ist wertkontinuierlich und kann alle Werte zwischen $\pm 2 \hspace{0.03cm} \rm V$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen.
- Alle anderen Zufallsgrößen sind wertdiskret.
(3) Richtig ist allein der Lösungsvorschlag 2:
- Nur die Zufallsgröße $\rm (B)$ hat einen diskreten Anteil bei $0\hspace{0.03cm}\rm V$ und
- außerdem noch eine kontinuierliche Komponente (zwischen $0\hspace{0.03cm} \rm V$ und $+2\hspace{0.03cm}\rm V)$.
(4) Nach dem Bernoullischen Gesetz der großen Zahlen gilt:
- $$\rm Pr\left(|\it h_{\rm 0} - \it p_{\rm 0}|\ge\it\varepsilon\right)\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}} = {\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernouilli}.$$
- Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit $h_0$ von der Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0.5$ betragsmäßig um mehr als $0.01$ abweicht, mit $\varepsilon = 0.01$ berechenbar:
- $${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli} = \rm\frac{1}{4\cdot 100000\cdot 0.01^2}=\rm 2.5\% \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} {\rm Min}\big[({\rm Pr}(0.49 \le h_0 \le 0.51)\big] \hspace{0.15cm}\underline{= 97.5\%}.$$
(5) Mit $p_{\rm Bernoulli} = 1 - 0.99 = 0.01$ und $\varepsilon = 0.001$ gilt wiederum nach dem Gesetz der großen Zahlen:
- $${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it \varepsilon^{\rm 2}}.$$
- Aufgelöst nach $N$ erhält man:
- $$N\ge\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\it p_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}}=\rm \frac{1}{4\cdot 0.01\cdot 0.001^{2}}=\rm 0.25\cdot 10^8 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} {\it N}_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline{= 2.5\cdot 10^9}.$$