Aufgaben:Aufgabe 2.2: Mehrstufensignale: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Das Rechtecksignal $x(t)$ sei dimensionslos und kann nur die Momentanwerte $0, 1, 2, \ \text{...} \ , M-2, M-1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen. Die obere Grafik zeigt dieses Signal für den Sonderfall $M = 5$. | + | Das Rechtecksignal $x(t)$ sei dimensionslos und kann nur die Momentanwerte $0, \ 1, \ 2, \ \text{...} \ , \ M-2, \ M-1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen. Die obere Grafik zeigt dieses Signal für den Sonderfall $M = 5$. |
| − | Auch das Rechtecksignal $y(t)$ ist $M$–stufig, aber mittelwertfrei und auf den Bereich von $y > -y_0$ bis $y < +y_0$ beschränkt. | + | Auch das Rechtecksignal $y(t)$ ist $M$–stufig, aber mittelwertfrei und auf den Bereich von $y > -y_0$ bis $y < +y_0$ beschränkt. |
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| − | *Eine Zusammenfassung der Theamatik bietet das Lernvideo [[Momentenberechnung_bei_diskreten_Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Momentenberechnung bei diskreten Zufallsgrößen]]. | + | *Eine Zusammenfassung der Theamatik bietet das Lernvideo <br> [[Momentenberechnung_bei_diskreten_Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Momentenberechnung bei diskreten Zufallsgrößen]]. |
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| − | {Wie groß ist der lineare Mittelwert der Zufallsgröße $x$ für $M= 5$? | + | {Wie groß ist der lineare Mittelwert $m_x$ der Zufallsgröße $x$ für $M= 5$? |
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$m_x \ = \ $ { 2 3% } | $m_x \ = \ $ { 2 3% } | ||
| − | {Wie groß ist die Varianz der Zufallsgröße $x$ allgemein und für $M= 5$? | + | {Wie groß ist die Varianz $\sigma_x^2$ der Zufallsgröße $x$ allgemein und für $M= 5$? |
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$\sigma_x^2\ = \ $ { 2 3% } | $\sigma_x^2\ = \ $ { 2 3% } | ||
| − | {Berechnen Sie den Mittelwert $m_y$ der Zufallsgröße $y$ für $M= 5$. | + | {Berechnen Sie den Mittelwert $m_y$ der Zufallsgröße $y$ für $M= 5$. |
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$m_y \ = \ $ { 0. } $\ \rm V$ | $m_y \ = \ $ { 0. } $\ \rm V$ | ||
| − | {Wie groß ist die Varianz | + | {Wie groß ist die Varianz $\sigma_y^2$ der Zufallsgröße $y$? Berücksichtigen Sie dabei das Ergebnis aus '''(2)'''. Welcher Wert ergibt sich wiederum für $M= 5$? |
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$\sigma_y^2\ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^2$ | $\sigma_y^2\ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^2$ | ||
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:$$m_{\it x}=\rm \sum_{\mu=0}^{\it M-{\rm 1}} \it p_\mu\cdot x_{\mu}=\frac{\rm 1}{\it M} \cdot \sum_{\mu=\rm 0}^{\it M-\rm 1}\mu=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M}{\rm 2}=\frac{\it M-\rm 1}{\rm 2}.$$ | :$$m_{\it x}=\rm \sum_{\mu=0}^{\it M-{\rm 1}} \it p_\mu\cdot x_{\mu}=\frac{\rm 1}{\it M} \cdot \sum_{\mu=\rm 0}^{\it M-\rm 1}\mu=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M}{\rm 2}=\frac{\it M-\rm 1}{\rm 2}.$$ | ||
| − | Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich der lineare Mittelwert zu $m_x \;\underline{= 2}$. | + | *Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich der lineare Mittelwert zu $m_x \;\underline{= 2}$. |
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:$$m_{\rm 2\it x}= \rm \sum_{\mu=0}^{\it M -\rm 1}\it p_\mu\cdot x_{\mu}^{\rm 2}=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot \sum_{\mu=\rm 0}^{\rm M-1}\mu^{\rm 2} = \frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6} = \frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}.$$ | :$$m_{\rm 2\it x}= \rm \sum_{\mu=0}^{\it M -\rm 1}\it p_\mu\cdot x_{\mu}^{\rm 2}=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot \sum_{\mu=\rm 0}^{\rm M-1}\mu^{\rm 2} = \frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6} = \frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}.$$ | ||
| − | Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich der quadratische Mittelwert zu $m_{2x} {=6}$. Daraus kann die Varianz mit dem Satz von Steiner berechnet werden: | + | *Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich der quadratische Mittelwert zu $m_{2x} {=6}$. |
| + | *Daraus kann die Varianz mit dem Satz von Steiner berechnet werden: | ||
:$$\sigma_x^{\rm 2}=m_{\rm 2\it x}-m_x^{\rm 2}=\frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}-\frac{(\it M-\rm 1)^{\rm 2}}{\rm 4}=\frac{\it M^{\rm 2}-\rm 1}{\rm 12}.$$ | :$$\sigma_x^{\rm 2}=m_{\rm 2\it x}-m_x^{\rm 2}=\frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}-\frac{(\it M-\rm 1)^{\rm 2}}{\rm 4}=\frac{\it M^{\rm 2}-\rm 1}{\rm 12}.$$ | ||
| − | Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich für die Varianz $\sigma_x^2 \;\underline{= 2}$. | + | *Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich für die Varianz $\sigma_x^2 \;\underline{= 2}$. |
| − | '''(3)''' Aufgrund der Symmetrie von $y$ gilt unabhängig von $M$: | + | |
| + | '''(3)''' Aufgrund der Symmetrie von $y$ gilt unabhängig von $M$: | ||
:$$m_x \;\underline{= 2}.$$ | :$$m_x \;\underline{= 2}.$$ | ||
| − | '''(4)''' Zwischen $x(t)$ und $y(t)$ gilt folgender Zusammenhang: | + | |
| + | '''(4)''' Zwischen $x(t)$ und $y(t)$ gilt folgender Zusammenhang: | ||
:$$y(t)=\frac{2\cdot y_{\rm 0}}{M-\rm 1}\cdot \big[x(t)-m_x\big].$$ | :$$y(t)=\frac{2\cdot y_{\rm 0}}{M-\rm 1}\cdot \big[x(t)-m_x\big].$$ | ||
| − | Daraus folgt für die Varianzen: | + | *Daraus folgt für die Varianzen: |
:$$\sigma_y^{\rm 2}=\frac{4\cdot y_{\rm 0}^{\rm 2}}{( M - 1)^{\rm 2}}\cdot \sigma_x^{\rm 2}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot (M^{\rm 2}-1)}{3\cdot (M- 1)^{\rm 2}}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot ( M+ 1)}{ 3\cdot ( M- 1)}.$$ | :$$\sigma_y^{\rm 2}=\frac{4\cdot y_{\rm 0}^{\rm 2}}{( M - 1)^{\rm 2}}\cdot \sigma_x^{\rm 2}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot (M^{\rm 2}-1)}{3\cdot (M- 1)^{\rm 2}}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot ( M+ 1)}{ 3\cdot ( M- 1)}.$$ | ||
| − | Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich hierfür: | + | *Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich hierfür: |
:$$\it \sigma_y^{\rm 2}= \frac {\it y_{\rm 0}^{\rm 2} \cdot {\rm 6}}{\rm 3 \cdot 4}\hspace{0.15cm} \underline{=\rm2\,V^{2}}.$$ | :$$\it \sigma_y^{\rm 2}= \frac {\it y_{\rm 0}^{\rm 2} \cdot {\rm 6}}{\rm 3 \cdot 4}\hspace{0.15cm} \underline{=\rm2\,V^{2}}.$$ | ||
Aktuelle Version vom 13. November 2019, 11:44 Uhr
Zwei ähnliche Mehrstufensignale
Das Rechtecksignal $x(t)$ sei dimensionslos und kann nur die Momentanwerte $0, \ 1, \ 2, \ \text{...} \ , \ M-2, \ M-1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen. Die obere Grafik zeigt dieses Signal für den Sonderfall $M = 5$.
Auch das Rechtecksignal $y(t)$ ist $M$–stufig, aber mittelwertfrei und auf den Bereich von $y > -y_0$ bis $y < +y_0$ beschränkt.
In der unteren Grafik sehen Sie das Signal $y(t)$, wiederum für die Stufenzahl $M = 5$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Momente einer diskreten Zufallsgröße.
- Eine Zusammenfassung der Theamatik bietet das Lernvideo
Momentenberechnung bei diskreten Zufallsgrößen. - Setzen Sie für numerische Berechnungen $y_0 = 2\hspace{0.05cm}V$.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Man erhält durch Mittelung über alle möglichen Signalwerte für den linearen Mittelwert:
- $$m_{\it x}=\rm \sum_{\mu=0}^{\it M-{\rm 1}} \it p_\mu\cdot x_{\mu}=\frac{\rm 1}{\it M} \cdot \sum_{\mu=\rm 0}^{\it M-\rm 1}\mu=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M}{\rm 2}=\frac{\it M-\rm 1}{\rm 2}.$$
- Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich der lineare Mittelwert zu $m_x \;\underline{= 2}$.
(2) Analog gilt für den quadratischen Mittelwert:
- $$m_{\rm 2\it x}= \rm \sum_{\mu=0}^{\it M -\rm 1}\it p_\mu\cdot x_{\mu}^{\rm 2}=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot \sum_{\mu=\rm 0}^{\rm M-1}\mu^{\rm 2} = \frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6} = \frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}.$$
- Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich der quadratische Mittelwert zu $m_{2x} {=6}$.
- Daraus kann die Varianz mit dem Satz von Steiner berechnet werden:
- $$\sigma_x^{\rm 2}=m_{\rm 2\it x}-m_x^{\rm 2}=\frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}-\frac{(\it M-\rm 1)^{\rm 2}}{\rm 4}=\frac{\it M^{\rm 2}-\rm 1}{\rm 12}.$$
- Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich für die Varianz $\sigma_x^2 \;\underline{= 2}$.
(3) Aufgrund der Symmetrie von $y$ gilt unabhängig von $M$:
- $$m_x \;\underline{= 2}.$$
(4) Zwischen $x(t)$ und $y(t)$ gilt folgender Zusammenhang:
- $$y(t)=\frac{2\cdot y_{\rm 0}}{M-\rm 1}\cdot \big[x(t)-m_x\big].$$
- Daraus folgt für die Varianzen:
- $$\sigma_y^{\rm 2}=\frac{4\cdot y_{\rm 0}^{\rm 2}}{( M - 1)^{\rm 2}}\cdot \sigma_x^{\rm 2}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot (M^{\rm 2}-1)}{3\cdot (M- 1)^{\rm 2}}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot ( M+ 1)}{ 3\cdot ( M- 1)}.$$
- Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich hierfür:
- $$\it \sigma_y^{\rm 2}= \frac {\it y_{\rm 0}^{\rm 2} \cdot {\rm 6}}{\rm 3 \cdot 4}\hspace{0.15cm} \underline{=\rm2\,V^{2}}.$$
