Aufgaben:Aufgabe 4.7Z: Erzeugung einer 2D–WDF: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Ausgehend von statistisch unabhängigen Größen $u$ und $v$, die beide zwischen $-1$ und $+1$ gleichverteilt sind und somit jeweils die Varianz $\sigma^2 = 2/3$ besitzen, soll eine 2D-Zufallsgröße $(x, y)$ generiert werden, wobei für die Komponenten gilt: | + | Ausgehend von statistisch unabhängigen Größen $u$ und $v$, |
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:$$x = A \cdot u + B \cdot v + C,$$ | :$$x = A \cdot u + B \cdot v + C,$$ | ||
:$$y= D \cdot u + E \cdot v + F.$$ | :$$y= D \cdot u + E \cdot v + F.$$ | ||
| − | Die zu erzeugende 2D–Zufallsgröße $(x, y)$ soll die folgenden statistischen Eigenschaften aufweisen: | + | Die zu erzeugende 2D–Zufallsgröße $(x,\hspace{0.08cm} y)$ soll die folgenden statistischen Eigenschaften aufweisen: |
| − | * Die Varianzen seien $\sigma_x^2 = 4$ und $\sigma_y^2 = 10$. | + | * Die Varianzen seien $\sigma_x^2 = 4$ und $\sigma_y^2 = 10$. |
| − | * Die Zufallsgröße $x$ sei mittelwertfrei $(m_x =0)$. | + | * Die Zufallsgröße $x$ sei mittelwertfrei $(m_x =0)$. |
| − | * Für den Mittelwert von $y$ gelte $m_y = 1$. | + | * Für den Mittelwert von $y$ gelte $m_y = 1$. |
| − | * Der Korrelationskoeffizient zwischen $x$ und $y$ betrage $\rho_{xy} = \sqrt{0.9} = 0.949.$ | + | * Der Korrelationskoeffizient zwischen $x$ und $y$ betrage $\rho_{xy} = \sqrt{0.9} = 0.949.$ |
| − | * Die Zufallsgröße $x$ besitze eine dreieckförmige WDF $f_x(x)$ entsprechend der oberen | + | * Die Zufallsgröße $x$ besitze eine dreieckförmige WDF $f_x(x)$ entsprechend der oberen Skizze. |
| − | * Die Zufallsgröße $y$ besitze eine trapezförmige WDF $f_y(y)$ entsprechend der unteren | + | * Die Zufallsgröße $y$ besitze eine trapezförmige WDF $f_y(y)$ entsprechend der unteren Skizze. |
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| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]]. |
| − | *Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen#Erzeugung_korrelierter_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Erzeugung korrelierter Zufallsgrößen]]. | + | *Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen#Erzeugung_korrelierter_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Erzeugung korrelierter Zufallsgrößen]]. |
| − | *Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden wird festgelegt, dass alle Koeffizienten $A$, ... , $F$ nicht negativ sein sollen. | + | *Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden wird festgelegt, dass alle Koeffizienten $A$, ... , $F$ nicht negativ sein sollen. |
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$D \ = \ $ { 3.464 3% } | $D \ = \ $ { 3.464 3% } | ||
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| − | '''(2)''' Unter Berücksichtigung von $\sigma^2 = 2/3$ gilt: | + | |
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:$$\sigma_x^2 = \sigma^2 \cdot ( A^2 + B^2)= {2}/{3} \cdot ( A^2 + B^2) .$$ | :$$\sigma_x^2 = \sigma^2 \cdot ( A^2 + B^2)= {2}/{3} \cdot ( A^2 + B^2) .$$ | ||
| − | Wegen $\sigma_x^2 = 4$ folgt | + | *Wegen $\sigma_x^2 = 4$ folgt $A^2 + B^2= 6$. |
| − | :$$ A = B = \sqrt{3}\hspace{0.15cm}\underline{ = 1.732}.$$ | + | *Eine dreieckförmige WDF bedeutet, dass $A = \pm B$ gelten muss. |
| + | *Somit erhält man, da negative Koeffizienten ausgeschlossen wurden: | ||
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:$$\sigma_y^2 = \sigma^2 \cdot ( D^2 + E^2)= 10 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} D^2 + E^2 = \frac {\sigma_y^2}{\sigma^2} = \frac {10}{2/3} \stackrel{!}{=}15,$$ | :$$\sigma_y^2 = \sigma^2 \cdot ( D^2 + E^2)= 10 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} D^2 + E^2 = \frac {\sigma_y^2}{\sigma^2} = \frac {10}{2/3} \stackrel{!}{=}15,$$ | ||
:$$\rho_{xy} = \frac{A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(A^2 + B^2)(D^2 + E^2)}} = \frac{\sqrt{3} \cdot (D + E)}{\sqrt{6 \cdot (D^2 + E^2)}} \stackrel{!}{=} \sqrt{0.9}.$$ | :$$\rho_{xy} = \frac{A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(A^2 + B^2)(D^2 + E^2)}} = \frac{\sqrt{3} \cdot (D + E)}{\sqrt{6 \cdot (D^2 + E^2)}} \stackrel{!}{=} \sqrt{0.9}.$$ | ||
| − | Daraus folgt weiter: $D + E = \sqrt{1.8 \cdot ( D^2 + E^2)} = \sqrt{27} = 3 \cdot \sqrt{3}.$ Die Gleichung führt in Verbindung mit $D^2 + E^2 = 15$ und der | + | *Daraus folgt weiter: $D + E = \sqrt{1.8 \cdot ( D^2 + E^2)} = \sqrt{27} = 3 \cdot \sqrt{3}.$ |
| + | *Die Gleichung führt in Verbindung mit $D^2 + E^2 = 15$ und der Nebenbedingung $(D>E)$ zum Ergebnis: | ||
:$$ D= 2 \cdot \sqrt{3}\hspace{0.15cm}\underline{ = 3.464}, \hspace{0.5cm}E= \sqrt{3} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.732}.$$ | :$$ D= 2 \cdot \sqrt{3}\hspace{0.15cm}\underline{ = 3.464}, \hspace{0.5cm}E= \sqrt{3} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.732}.$$ | ||
| − | '''(4)''' Die Zufallsgröße $x$ bzw. $y$ nehmen ihre maximalen Werte an, wenn jeweils $u= 1$ und $v= 1$ gilt: | + | |
| − | :$$ x_\text{max}= A+B \hspace{0.15cm}\underline{ = 3.464}, \hspace{0.5cm} x_\text{min} = - A - B= -3.464.$$ | + | '''(4)''' Die Zufallsgröße $x$ bzw. $y$ nehmen ihre maximalen Werte an, wenn jeweils $u= +1$ und $v= +1$ gilt: |
| − | :$$ y_\text{max}= D+E+F \hspace{0.15cm}\underline{ = 6.196}, \hspace{0.5cm} y_\text{min} = -D-E+F= - | + | :$$ x_\text{max}= A+B \hspace{0.15cm}\underline{ = +3.464}, \hspace{0.5cm} x_\text{min} = - A - B= -3.464.$$ |
| + | :$$ y_\text{max}= D+E+F \hspace{0.15cm}\underline{ = +6.196}, \hspace{0.5cm} y_\text{min} = -D-E+F= -4.196.$$ | ||
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Aktuelle Version vom 25. Februar 2022, 18:01 Uhr
Vorgaben zur Erzeugung einer
2D-Zufallsgröße
2D-Zufallsgröße
Ausgehend von statistisch unabhängigen Größen $u$ und $v$,
- die beide zwischen $-1$ und $+1$ gleichverteilt sind und
- somit jeweils die Varianz $\sigma^2 = 2/3$ besitzen,
soll eine 2D-Zufallsgröße $(x,\hspace{0.08cm} y)$ generiert werden, wobei für die Komponenten gilt:
- $$x = A \cdot u + B \cdot v + C,$$
- $$y= D \cdot u + E \cdot v + F.$$
Die zu erzeugende 2D–Zufallsgröße $(x,\hspace{0.08cm} y)$ soll die folgenden statistischen Eigenschaften aufweisen:
- Die Varianzen seien $\sigma_x^2 = 4$ und $\sigma_y^2 = 10$.
- Die Zufallsgröße $x$ sei mittelwertfrei $(m_x =0)$.
- Für den Mittelwert von $y$ gelte $m_y = 1$.
- Der Korrelationskoeffizient zwischen $x$ und $y$ betrage $\rho_{xy} = \sqrt{0.9} = 0.949.$
- Die Zufallsgröße $x$ besitze eine dreieckförmige WDF $f_x(x)$ entsprechend der oberen Skizze.
- Die Zufallsgröße $y$ besitze eine trapezförmige WDF $f_y(y)$ entsprechend der unteren Skizze.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Linearkombinationen von Zufallsgrößen.
- Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite Erzeugung korrelierter Zufallsgrößen.
- Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden wird festgelegt, dass alle Koeffizienten $A$, ... , $F$ nicht negativ sein sollen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Aufgrund der angegebenen Mittelwerte muss gelten:
- $$ C = m_x\hspace{0.15cm}\underline{ = 0},$$
- $$ F = m_y\hspace{0.15cm}\underline{ = 1}.$$
(2) Unter Berücksichtigung von $\sigma^2 = 2/3$ gilt:
- $$\sigma_x^2 = \sigma^2 \cdot ( A^2 + B^2)= {2}/{3} \cdot ( A^2 + B^2) .$$
- Wegen $\sigma_x^2 = 4$ folgt $A^2 + B^2= 6$.
- Eine dreieckförmige WDF bedeutet, dass $A = \pm B$ gelten muss.
- Somit erhält man, da negative Koeffizienten ausgeschlossen wurden:
- $$ A = B = \sqrt{3}\hspace{0.15cm}\underline{ = 1.732}.$$
Rautenförmige 2D-WDF
(3) Mit $ A = B = \sqrt{3}$ entsprechend der letzten Teilaufgabe verbleiben zwei Bestimmungsgleichungen für $D$ und $E$:
- $$\sigma_y^2 = \sigma^2 \cdot ( D^2 + E^2)= 10 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} D^2 + E^2 = \frac {\sigma_y^2}{\sigma^2} = \frac {10}{2/3} \stackrel{!}{=}15,$$
- $$\rho_{xy} = \frac{A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(A^2 + B^2)(D^2 + E^2)}} = \frac{\sqrt{3} \cdot (D + E)}{\sqrt{6 \cdot (D^2 + E^2)}} \stackrel{!}{=} \sqrt{0.9}.$$
- Daraus folgt weiter: $D + E = \sqrt{1.8 \cdot ( D^2 + E^2)} = \sqrt{27} = 3 \cdot \sqrt{3}.$
- Die Gleichung führt in Verbindung mit $D^2 + E^2 = 15$ und der Nebenbedingung $(D>E)$ zum Ergebnis:
- $$ D= 2 \cdot \sqrt{3}\hspace{0.15cm}\underline{ = 3.464}, \hspace{0.5cm}E= \sqrt{3} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.732}.$$
(4) Die Zufallsgröße $x$ bzw. $y$ nehmen ihre maximalen Werte an, wenn jeweils $u= +1$ und $v= +1$ gilt:
- $$ x_\text{max}= A+B \hspace{0.15cm}\underline{ = +3.464}, \hspace{0.5cm} x_\text{min} = - A - B= -3.464.$$
- $$ y_\text{max}= D+E+F \hspace{0.15cm}\underline{ = +6.196}, \hspace{0.5cm} y_\text{min} = -D-E+F= -4.196.$$
