Aufgaben:Aufgabe 5.6: Filterdimensionierung: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Eine zeitdiskrete Zufallsgröße $\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$ mit der skizzierten AKF soll mit Hilfe eines digitalen Filters erzeugt werden. | + | Eine zeitdiskrete Zufallsgröße $\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$ mit der skizzierten Autokorrelationsfunktion $\rm AKF$ soll mit Hilfe eines digitalen Filters erzeugt werden. |
− | Die zeitdiskreten Gaußschen Eingangswerte $x_\nu$ seien jeweils gekennzeichnet durch | + | Die zeitdiskreten Gaußschen Eingangswerte $x_\nu$ seien jeweils gekennzeichnet durch |
− | *den Mittelwert $m_x = 0$, | + | *den Mittelwert $m_x = 0$, |
− | *die Streuung $\sigma_x = 1$. | + | *die Streuung $\sigma_x = 1$. |
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− | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_vorgegebener_AKF-Eigenschaften|Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften]]. | |
− | + | *Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]]. | |
− | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_vorgegebener_AKF-Eigenschaften|Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften]]. | + | *Alle AKF-Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$ mit Index $|k| \gt 2$ seien Null. |
− | *Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]]. | ||
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- Es eignet sich ein nichtrekursives Filter erster Ordnung. | - Es eignet sich ein nichtrekursives Filter erster Ordnung. | ||
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− | - Die Ausgangswerte $y_\nu$ sind dreieckverteilt. | + | - Die Ausgangswerte $y_\nu$ sind dreieckverteilt. |
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− | {Geben Sie die Gleichungen zur Bestimmung der Koeffizienten $a_0$, $a_1$ und $a_2$ an. Ersetzen Sie die drei Variablen durch $u = a_1^2$ und $w = (a_0 + a_2)^2$. <br>Bestimmen Sie $u$ und $w$. < | + | {Geben Sie die Gleichungen zur Bestimmung der Koeffizienten $a_0$, $a_1$ und $a_2$ an. Ersetzen Sie die drei Variablen durch $u = a_1^2$ und $w = (a_0 + a_2)^2$. <br>Bestimmen Sie $u$ und $w$. <u>Hinweis:</u> Es gibt nur eine sinnvolle Lösung. |
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$u \ = \ $ { 0.25 3% } | $u \ = \ $ { 0.25 3% } | ||
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− | {Bestimmen Sie die Filterkoeffizienten $a_0$, $a_1$ und $a_2$. Geben Sie die folgenden Quotienten ein: | + | {Bestimmen Sie die Filterkoeffizienten $a_0$, $a_1$ und $a_2$. Geben Sie die folgenden Quotienten ein: |
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$a_1/a_0 \ = \ $ { -0.515--0.485 } | $a_1/a_0 \ = \ $ { -0.515--0.485 } | ||
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− | {Wieviele verschiedene Parametersätze $(I)$ führen zur gewünschten AKF? | + | {Wieviele verschiedene Parametersätze $(I)$ führen zur gewünschten AKF? |
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$I \ = \ $ { 2 } | $I \ = \ $ { 2 } | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
− | '''(1)''' Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 3 und 5</u>: | + | '''(1)''' Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 3 und 5</u>: |
− | *Ein rekursives Filter würde stets eine unendlich weit ausgedehnte Impulsantwort $h(t)$ und damit auch eine unendlich ausgedehnte AKF bewirken. | + | *Ein rekursives Filter würde stets eine unendlich weit ausgedehnte Impulsantwort $h(t)$ und damit auch eine unendlich ausgedehnte AKF bewirken. |
− | *Deshalb ist hier eine nichtrekursive Filterstruktur zu wählen. Die angegebene AKF erfordert die Ordnung $M= 2$. | + | *Deshalb ist hier eine nichtrekursive Filterstruktur zu wählen. Die angegebene AKF erfordert die Ordnung $M= 2$. |
− | *Da die Eingangswerte gaußverteilt und mittelwertfrei sind, gilt dies auch für die Ausgangswerte. | + | *Da die Eingangswerte gaußverteilt und mittelwertfrei sind, gilt dies auch für die Ausgangswerte. |
− | *Bei der Filterung stochastischer Signale gilt stets: & | + | *Bei der Filterung stochastischer Signale gilt stets: '''Gauß bleibt Gauß und Nicht-Gauß wird nie (exakt) Gauß'''. |
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:$$k = 2\text{:}\quad a_0 \cdot a_2 = 1.$$ | :$$k = 2\text{:}\quad a_0 \cdot a_2 = 1.$$ | ||
:$$k = 1\text{:}\quad a_0 \cdot a_1 + a_1 \cdot a_2 = - 1\quad \Rightarrow \quad \sqrt {u \cdot w} = - 1\quad \Rightarrow \quad u \cdot w = 1.$$ | :$$k = 1\text{:}\quad a_0 \cdot a_1 + a_1 \cdot a_2 = - 1\quad \Rightarrow \quad \sqrt {u \cdot w} = - 1\quad \Rightarrow \quad u \cdot w = 1.$$ | ||
− | :$$k = 0:\quad a_0 ^2 + a_1 ^2 + a_2 ^2 = 2.25\quad \;\;\, \Rightarrow \quad u + w = 2.25 + 2a_0 \cdot a_2 = 4.25.$$ | + | :$$k = 0\text{:}\quad a_0 ^2 + a_1 ^2 + a_2 ^2 = 2.25\quad \;\;\, \Rightarrow \quad u + w = 2.25 + 2a_0 \cdot a_2 = 4.25.$$ |
− | Das Gleichungssystem bezüglich $u$ und $w$ hat zwei Lösungen: | + | Das Gleichungssystem bezüglich $u$ und $w$ hat zwei Lösungen: |
− | *$u = 4, w = 0.25$: Wegen der Bedingung $a_2 = 1/a_0$ (siehe erste Gleichung) haben $a_0$ und $a_2$ gleiches Vorzeichen. | + | *$u = 4, \ w = 0.25$: Wegen der Bedingung $a_2 = 1/a_0$ (siehe erste Gleichung) haben $a_0$ und $a_2$ gleiches Vorzeichen. |
− | * Außerdem ist mindestens einer der beiden Koeffizienten größer/gleich $1$. | + | * Außerdem ist mindestens einer der beiden Koeffizienten größer/gleich $1$. |
− | *Somit ist die Bedingung $a_0+a_2= \sqrt{w} = 0.5$ nicht zu erfüllen. | + | *Somit ist die Bedingung $a_0+a_2= \sqrt{w} = 0.5$ nicht zu erfüllen. |
− | *Die richtige Lösung lautet deshalb $\underline{u = 0.25}, \underline{w = 4}$. | + | *Die richtige Lösung lautet deshalb $\underline{u = 0.25}, \ \underline{w = 4}$. |
− | '''(3)''' Das Ergebnis von '''(2)''' bedeutet, dass $a_1 = \pm \sqrt{0.25} = \pm 0.5$ ist. | + | |
+ | '''(3)''' Das Ergebnis von '''(2)''' bedeutet, dass $a_1 = \pm \sqrt{0.25} = \pm 0.5$ ist. | ||
*Der positive Wert führt zum Gleichungssystem | *Der positive Wert führt zum Gleichungssystem | ||
− | + | :$$(1) \hspace{0.5cm}0.5 \cdot \left( {a_0 + a_2 } \right) = - 1\quad \Rightarrow \quad a_0 + a_2 = - 2,$$ | |
− | + | :$$(2) \hspace{0.5cm}a_0 \cdot a_2 = 1.$$ | |
− | *Daraus folgt $a_0=a_2=-1$. | + | *Daraus folgt $a_0=a_2=-1$. Mit $a_1= 0.5$ erhält man als Endergebnis: |
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:$$a_1/a_0 \hspace{0.15 cm}\underline{= -0.5}, \hspace{0.5 cm} | :$$a_1/a_0 \hspace{0.15 cm}\underline{= -0.5}, \hspace{0.5 cm} | ||
a_2/a_0 \hspace{0.15 cm}\underline{= 1}.$$ | a_2/a_0 \hspace{0.15 cm}\underline{= 1}.$$ | ||
− | *Die Lösung $a_1= 0.5$ führt zu $a_0=a_2=+1$ und damit zu den gleichen Quotienten. | + | *Die Lösung $a_1= -0.5$ führt zu $a_0=a_2=+1$ und damit zu den gleichen Quotienten. |
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− | '''(4)''' Allgemein hat dieses Problem $I = 4$ äquivalente Lösungen (Spiegelung/Verschiebung sowie jeweils die Multiplikation mit $-1$ | + | '''(4)''' Allgemein hat dieses Problem $I = 4$ äquivalente Lösungen $($Spiegelung/Verschiebung sowie jeweils die Multiplikation mit $-1)$. |
− | *Da hier die Impulsantwort symmetrisch ist, gibt es allerdings nur $\underline{I = 2}$ unterschiedliche Lösungen: | + | *Da hier die Impulsantwort symmetrisch ist, gibt es allerdings nur $\underline{I = 2}$ unterschiedliche Lösungen: |
:$$\text{Lösung 1:} \ \ a_0 = +1,\quad a_1 = - 0.5,\quad a_2 = +1; $$ | :$$\text{Lösung 1:} \ \ a_0 = +1,\quad a_1 = - 0.5,\quad a_2 = +1; $$ | ||
:$$\text{Lösung 2:} \ \ a_0 = - 1,\quad a_1 = +0.5,\quad a_2 = - 1. $$ | :$$\text{Lösung 2:} \ \ a_0 = - 1,\quad a_1 = +0.5,\quad a_2 = - 1. $$ |
Aktuelle Version vom 11. Februar 2022, 17:44 Uhr
Eine zeitdiskrete Zufallsgröße $\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$ mit der skizzierten Autokorrelationsfunktion $\rm AKF$ soll mit Hilfe eines digitalen Filters erzeugt werden.
Die zeitdiskreten Gaußschen Eingangswerte $x_\nu$ seien jeweils gekennzeichnet durch
- den Mittelwert $m_x = 0$,
- die Streuung $\sigma_x = 1$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften.
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Autokorrelationsfunktion.
- Alle AKF-Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$ mit Index $|k| \gt 2$ seien Null.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 3 und 5:
- Ein rekursives Filter würde stets eine unendlich weit ausgedehnte Impulsantwort $h(t)$ und damit auch eine unendlich ausgedehnte AKF bewirken.
- Deshalb ist hier eine nichtrekursive Filterstruktur zu wählen. Die angegebene AKF erfordert die Ordnung $M= 2$.
- Da die Eingangswerte gaußverteilt und mittelwertfrei sind, gilt dies auch für die Ausgangswerte.
- Bei der Filterung stochastischer Signale gilt stets: Gauß bleibt Gauß und Nicht-Gauß wird nie (exakt) Gauß.
(2) Das Gleichungssystem lautet:
- $$k = 2\text{:}\quad a_0 \cdot a_2 = 1.$$
- $$k = 1\text{:}\quad a_0 \cdot a_1 + a_1 \cdot a_2 = - 1\quad \Rightarrow \quad \sqrt {u \cdot w} = - 1\quad \Rightarrow \quad u \cdot w = 1.$$
- $$k = 0\text{:}\quad a_0 ^2 + a_1 ^2 + a_2 ^2 = 2.25\quad \;\;\, \Rightarrow \quad u + w = 2.25 + 2a_0 \cdot a_2 = 4.25.$$
Das Gleichungssystem bezüglich $u$ und $w$ hat zwei Lösungen:
- $u = 4, \ w = 0.25$: Wegen der Bedingung $a_2 = 1/a_0$ (siehe erste Gleichung) haben $a_0$ und $a_2$ gleiches Vorzeichen.
- Außerdem ist mindestens einer der beiden Koeffizienten größer/gleich $1$.
- Somit ist die Bedingung $a_0+a_2= \sqrt{w} = 0.5$ nicht zu erfüllen.
- Die richtige Lösung lautet deshalb $\underline{u = 0.25}, \ \underline{w = 4}$.
(3) Das Ergebnis von (2) bedeutet, dass $a_1 = \pm \sqrt{0.25} = \pm 0.5$ ist.
- Der positive Wert führt zum Gleichungssystem
- $$(1) \hspace{0.5cm}0.5 \cdot \left( {a_0 + a_2 } \right) = - 1\quad \Rightarrow \quad a_0 + a_2 = - 2,$$
- $$(2) \hspace{0.5cm}a_0 \cdot a_2 = 1.$$
- Daraus folgt $a_0=a_2=-1$. Mit $a_1= 0.5$ erhält man als Endergebnis:
- $$a_1/a_0 \hspace{0.15 cm}\underline{= -0.5}, \hspace{0.5 cm} a_2/a_0 \hspace{0.15 cm}\underline{= 1}.$$
- Die Lösung $a_1= -0.5$ führt zu $a_0=a_2=+1$ und damit zu den gleichen Quotienten.
(4) Allgemein hat dieses Problem $I = 4$ äquivalente Lösungen $($Spiegelung/Verschiebung sowie jeweils die Multiplikation mit $-1)$.
- Da hier die Impulsantwort symmetrisch ist, gibt es allerdings nur $\underline{I = 2}$ unterschiedliche Lösungen:
- $$\text{Lösung 1:} \ \ a_0 = +1,\quad a_1 = - 0.5,\quad a_2 = +1; $$
- $$\text{Lösung 2:} \ \ a_0 = - 1,\quad a_1 = +0.5,\quad a_2 = - 1. $$