Aufgaben:Aufgabe 1.1Z: Tiefpass 1. und 2. Ordnung: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend [[Aufgaben:1.1_Einfache_Filterfunktionen|Aufgabe 1.1]] – hat folgenden Frequenzgang: | + | Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend [[Aufgaben:1.1_Einfache_Filterfunktionen|Aufgabe 1.1]] – hat folgenden Frequenzgang: |
:$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$ | :$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$ | ||
Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. In der Grafik dargestellt sind für dieses Filter | Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. In der Grafik dargestellt sind für dieses Filter | ||
| − | * oben der | + | * oben der Dämpfungsverlauf $a_1(f)$, |
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| − | Entsprechend gilt für einen Tiefpass $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung: | + | Entsprechend gilt für einen Tiefpass $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung: |
:$$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$ | :$$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$ | ||
| − | In dieser Aufgabe sollen | + | |
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| + | In dieser Aufgabe sollen | ||
| + | *ausgehend von den Funktionen $a_1(f)$ und $b_1(f)$ für den Tiefpass erster Ordnung | ||
| + | *der Dämpfungs– und Phasenverlauf eines Tiefpasses höherer Ordnung analysiert werden. | ||
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:$$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}.$$ | :$$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}.$$ | ||
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Systembeschreibung im Frequenzbereich]]. | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Systembeschreibung im Frequenzbereich]]. | ||
| − | *Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes $|H| = 1/x$ besteht folgender Zusammenhang: | + | *Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes $|H| = 1/x$ besteht folgender Zusammenhang: |
:$$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln | :$$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln | ||
(10)}{20} \cdot a_{\rm dB} \approx 0.11513 \cdot a_{\rm dB}.$$ | (10)}{20} \cdot a_{\rm dB} \approx 0.11513 \cdot a_{\rm dB}.$$ | ||
| − | *Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen $z_1$ und $z_2$ folgende Gleichungen gelten: | + | *Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen $z_1$ und $z_2$ folgende Gleichungen gelten: |
:$$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$ | :$$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$ | ||
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| − | {Berechnen Sie den Dämpfungsverlauf $a_1(f)$ eines Tiefpasses erster Ordnung in dB. <br>Welche | + | {Berechnen Sie den Dämpfungsverlauf $a_1(f)$ eines Tiefpasses erster Ordnung in $\rm dB$. <br>Welche $\rm dB$–Werte ergeben sich bei $f = f_0$ und $f = 2f_0$? |
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$a_1(f = f_0)\ = \ $ { 3.01 5% } $\text{dB}$ | $a_1(f = f_0)\ = \ $ { 3.01 5% } $\text{dB}$ | ||
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| − | {Berechnen Sie den Phasenverlauf $b_1(f)$. <br>Welche Werte in Radian (rad) erhält man bei $f = f_0$ und $f = 2f_0$? | + | {Berechnen Sie den Phasenverlauf $b_1(f)$. <br>Welche Werte in Radian (rad) erhält man bei $f = f_0$ und $f = 2f_0$? |
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$b_1(f = f_0)\ = \ $ { 0.786 5% } $\text{rad}$ | $b_1(f = f_0)\ = \ $ { 0.786 5% } $\text{rad}$ | ||
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| − | {Welchen Dämpfungsverlauf $a_n(f)$ hat ein Tiefpass $n$–ter Ordnung? <br>Welche | + | {Welchen Dämpfungsverlauf $a_n(f)$ hat ein Tiefpass $n$–ter Ordnung? <br>Welche $\rm dB$–Werte erhält man mit $n = 2$ für $f = f_0$ bzw. $f = \: –2f_0$? |
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$a_2(f = f_0)\ = \ $ { 6.02 5% } $\text{dB}$ | $a_2(f = f_0)\ = \ $ { 6.02 5% } $\text{dB}$ | ||
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| − | {Berechnen Sie die Phasenfunktion $b_2(f)$ eines Tiefpasses zweiter Ordnung. <br>Welche Werte (in Radian) erhält man für $f = f_0$ und $f = \: –2f_0$? | + | {Berechnen Sie die Phasenfunktion $b_2(f)$ eines Tiefpasses zweiter Ordnung. <br>Welche Werte (in Radian) erhält man für $f = f_0$ und $f = \: –2f_0$? |
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$b_2(f = f_0)\ = \ $ { 1.571 5% } $\text{rad}$ | $b_2(f = f_0)\ = \ $ { 1.571 5% } $\text{rad}$ | ||
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'''(1)''' Der Amplitudengang des Tiefpasses erster Ordnung lautet: | '''(1)''' Der Amplitudengang des Tiefpasses erster Ordnung lautet: | ||
:$$|H_{\rm 1}(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (f/f_0)^2}}.$$ | :$$|H_{\rm 1}(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (f/f_0)^2}}.$$ | ||
| − | Damit erhält man den Dämpfungsverlauf in Neper (Np): | + | *Damit erhält man den Dämpfungsverlauf in Neper (Np): |
| − | :$$a_1(f) = \ln \frac{1}{|H_1(f)|} = {1}/{2} \cdot \ln \left[1 + ({f}/{f_0})^2 \right] \Rightarrow a_1(f = f_0) = 0. | + | :$$a_1(f) = \ln \frac{1}{|H_1(f)|} = {1}/{2} \cdot \ln \left[1 + ({f}/{f_0})^2 \right] \Rightarrow a_1(f = f_0) = 0.3466 \hspace{0.1 cm}{\rm Np},\hspace{0.5 cm}a_1(f = 2 f_0) = 0.8047 \hspace{0.1 cm}{\rm Np}.$$ |
| − | Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit $1/0.11513 = 8.68589$ und führt zu den Ergebnissen $ \underline{3.01 \: {\rm dB} ≈ 3 \: {\rm dB}}$ für $ f = f_0$ | + | Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit $1/0.11513 = 8.68589$ und führt zu den Ergebnissen |
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| + | Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G} \approx f_0$. | ||
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| − | '''(2)''' Der Frequenzgang $H_1(f)$ kann auch nach Real– und Imaginärteil getrennt dargestellt werden: | + | '''(2)''' Der Frequenzgang $H_1(f)$ kann auch nach Real– und Imaginärteil getrennt dargestellt werden: |
:$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{ {1+ (f/f_0)^2} } - {\rm j} \cdot \frac{f/f_0}{ {1+ (f/f_0)^2} }.$$ | :$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{ {1+ (f/f_0)^2} } - {\rm j} \cdot \frac{f/f_0}{ {1+ (f/f_0)^2} }.$$ | ||
| − | Damit ergibt sich für den Phasengang: | + | *Damit ergibt sich für den Phasengang: |
:$$b_1(f) = - \arctan \hspace{0.1cm} ( {\rm Im} /{\rm Re} ) = \arctan \hspace{0.1cm} ({f}/{f_0}).$$ | :$$b_1(f) = - \arctan \hspace{0.1cm} ( {\rm Im} /{\rm Re} ) = \arctan \hspace{0.1cm} ({f}/{f_0}).$$ | ||
| − | Für $f = f_0$ erhält man $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$, für $f = 2f_0$ den Wert $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$. | + | *Für $f = f_0$ erhält man $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$, und für $f = 2f_0$ den Wert $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$. |
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| − | '''(3)''' Für den Amplitudengang eines Tiefpasses $n$–ter Ordnung gilt: | + | '''(3)''' Für den Amplitudengang eines Tiefpasses $n$–ter Ordnung gilt: |
:$$|H_n(f)| = |H_{\rm 1}(f)|^n.$$ | :$$|H_n(f)| = |H_{\rm 1}(f)|^n.$$ | ||
| − | Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der $n$–fachen Multiplikation die $n$–fache Summe: | + | Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der $n$–fachen Multiplikation die $n$–fache Summe: |
:$$a_n(f) = n \cdot a_1(f)= {n}/{2} \cdot \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right].$$ | :$$a_n(f) = n \cdot a_1(f)= {n}/{2} \cdot \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right].$$ | ||
Für den Tiefpass zweiter Ordnung ergibt sich daraus als Sonderfall: | Für den Tiefpass zweiter Ordnung ergibt sich daraus als Sonderfall: | ||
:$$a_2(f) = \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]= 2 \cdot a_1(f).$$ | :$$a_2(f) = \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]= 2 \cdot a_1(f).$$ | ||
Die dB–Werte lauten nun: | Die dB–Werte lauten nun: | ||
| − | *$ \underline{6.02 \: {\rm dB} ≈ 6 \: {\rm dB}}$ für $f = ±f_0$, | + | *$ \underline{6.02 \: {\rm dB} ≈ 6 \: {\rm dB}}$ für $f = ±f_0$, |
| − | *$\rm \underline{13.98 \: {\rm dB} ≈ 14 \: {\rm dB}}$ für $f = ±2f_0$. | + | *$\rm \underline{13.98 \: {\rm dB} ≈ 14 \: {\rm dB}}$ für $f = ±2f_0$. |
| − | Damit ist offensichtlich, dass für $n > 1$ der Parameter $f_0$ nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ angibt. Für $n = 2$ ⇒ „Tiefpass zweiter Ordnung” gilt vielmehr der Zusammenhang: ${f_{\rm G} } = {f_0}/\sqrt{2}$ | + | Damit ist offensichtlich, dass für $n > 1$ der Parameter $f_0$ nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ angibt. <br>Für $n = 2$ ⇒ „Tiefpass zweiter Ordnung” gilt vielmehr der Zusammenhang: |
| + | :$${f_{\rm G} } = {f_0}/\sqrt{2}.$$ | ||
'''(4)''' Auch bezüglich der Phasenfunktion gilt: | '''(4)''' Auch bezüglich der Phasenfunktion gilt: | ||
:$$b_n(f) = n \cdot b_1(f), \hspace{0.3 cm} b_2(f) = 2 \cdot b_1(f).$$ | :$$b_n(f) = n \cdot b_1(f), \hspace{0.3 cm} b_2(f) = 2 \cdot b_1(f).$$ | ||
| − | Beim Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen $±π$ möglich. Insbesondere ist | + | Beim Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen $±π$ möglich. Insbesondere ist |
*$b_2(f = f_0) = π/2 \rm \underline{\: = 1.571 \: rad}$, | *$b_2(f = f_0) = π/2 \rm \underline{\: = 1.571 \: rad}$, | ||
* $b_2(f = 2f_0) = \rm 2.216 \: rad$. | * $b_2(f = 2f_0) = \rm 2.216 \: rad$. | ||
Aktuelle Version vom 9. Juli 2021, 15:53 Uhr
Dämpfungs– & Phasenfunktion
Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend Aufgabe 1.1 – hat folgenden Frequenzgang:
- $$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$
Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. In der Grafik dargestellt sind für dieses Filter
- oben der Dämpfungsverlauf $a_1(f)$,
- unten der Phasenverlauf $b_1(f)$.
Entsprechend gilt für einen Tiefpass $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung:
- $$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$
In dieser Aufgabe sollen
- ausgehend von den Funktionen $a_1(f)$ und $b_1(f)$ für den Tiefpass erster Ordnung
- der Dämpfungs– und Phasenverlauf eines Tiefpasses höherer Ordnung analysiert werden.
Allgemein gilt:
- $$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Systembeschreibung im Frequenzbereich.
- Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes $|H| = 1/x$ besteht folgender Zusammenhang:
- $$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln (10)}{20} \cdot a_{\rm dB} \approx 0.11513 \cdot a_{\rm dB}.$$
- Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen $z_1$ und $z_2$ folgende Gleichungen gelten:
- $$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Der Amplitudengang des Tiefpasses erster Ordnung lautet:
- $$|H_{\rm 1}(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (f/f_0)^2}}.$$
- Damit erhält man den Dämpfungsverlauf in Neper (Np):
- $$a_1(f) = \ln \frac{1}{|H_1(f)|} = {1}/{2} \cdot \ln \left[1 + ({f}/{f_0})^2 \right] \Rightarrow a_1(f = f_0) = 0.3466 \hspace{0.1 cm}{\rm Np},\hspace{0.5 cm}a_1(f = 2 f_0) = 0.8047 \hspace{0.1 cm}{\rm Np}.$$
Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit $1/0.11513 = 8.68589$ und führt zu den Ergebnissen
- $ \underline{3.01 \: {\rm dB} ≈ 3 \: {\rm dB}}$ für $ f = f_0$,
- $ \underline{6.99 \: {\rm dB}≈ 7 \: {\rm dB}}$ für $ f = 2f_0$.
Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G} \approx f_0$.
(2) Der Frequenzgang $H_1(f)$ kann auch nach Real– und Imaginärteil getrennt dargestellt werden:
- $$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{ {1+ (f/f_0)^2} } - {\rm j} \cdot \frac{f/f_0}{ {1+ (f/f_0)^2} }.$$
- Damit ergibt sich für den Phasengang:
- $$b_1(f) = - \arctan \hspace{0.1cm} ( {\rm Im} /{\rm Re} ) = \arctan \hspace{0.1cm} ({f}/{f_0}).$$
- Für $f = f_0$ erhält man $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$, und für $f = 2f_0$ den Wert $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$.
(3) Für den Amplitudengang eines Tiefpasses $n$–ter Ordnung gilt:
- $$|H_n(f)| = |H_{\rm 1}(f)|^n.$$
Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der $n$–fachen Multiplikation die $n$–fache Summe:
- $$a_n(f) = n \cdot a_1(f)= {n}/{2} \cdot \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right].$$
Für den Tiefpass zweiter Ordnung ergibt sich daraus als Sonderfall:
- $$a_2(f) = \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]= 2 \cdot a_1(f).$$
Die dB–Werte lauten nun:
- $ \underline{6.02 \: {\rm dB} ≈ 6 \: {\rm dB}}$ für $f = ±f_0$,
- $\rm \underline{13.98 \: {\rm dB} ≈ 14 \: {\rm dB}}$ für $f = ±2f_0$.
Damit ist offensichtlich, dass für $n > 1$ der Parameter $f_0$ nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ angibt.
Für $n = 2$ ⇒ „Tiefpass zweiter Ordnung” gilt vielmehr der Zusammenhang:
- $${f_{\rm G} } = {f_0}/\sqrt{2}.$$
(4) Auch bezüglich der Phasenfunktion gilt:
- $$b_n(f) = n \cdot b_1(f), \hspace{0.3 cm} b_2(f) = 2 \cdot b_1(f).$$
Beim Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen $±π$ möglich. Insbesondere ist
- $b_2(f = f_0) = π/2 \rm \underline{\: = 1.571 \: rad}$,
- $b_2(f = 2f_0) = \rm 2.216 \: rad$.
Da die Phase eine ungerade Funktion ist, gilt hier: $b_2(f = \: –2f_0) = \rm \underline{–2.216 \: rad}$.
