Aufgabe 2.4Z: Kennlinienvermessung: Unterschied zwischen den Versionen
(3 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 3: | Zeile 3: | ||
}} | }} | ||
− | [[Datei:P_ID898__LZI_Z_2_4.png|right|frame|Vorgegebene Kennlinie $y = g(x)$]] | + | [[Datei:P_ID898__LZI_Z_2_4.png|right|frame|Vorgegebene Kennlinie $y = g(x)$]] |
− | Von einem nichtlinearen System ist bekannt, dass die Kennlinie wie folgt dargestellt werden kann: | + | Von einem nichtlinearen System ist bekannt, dass die Kennlinie wie folgt dargestellt werden kann: |
:$$y(t) = c_1 \cdot x(t) + c_2 \cdot x^2(t).$$ | :$$y(t) = c_1 \cdot x(t) + c_2 \cdot x^2(t).$$ | ||
− | Da die Verzerrungen nichtlinear sind, ist kein Frequenzgang $H(f)$ angebbar. | + | Da die Verzerrungen nichtlinear sind, ist kein Frequenzgang $H(f)$ angebbar. |
− | Zur Bestimmung des dimensionslosen Koeffizienten $c_1$ sowie des quadratischen Koeffizienten $c_2$ werden nun verschiedene Rechteckimpulse $x(t)$ – gekennzeichnet durch die Amplitude $A_x$ und Breite $T_x$ – an den Eingang gelegt und jeweils die Impulsamplitude $A_y$ am Ausgang gemessen. | + | Zur Bestimmung des dimensionslosen Koeffizienten $c_1$ sowie des quadratischen Koeffizienten $c_2$ werden nun verschiedene Rechteckimpulse $x(t)$ – gekennzeichnet durch die Amplitude $A_x$ und Breite $T_x$ – an den Eingang gelegt und jeweils die Impulsamplitude $A_y$ am Ausgang gemessen. |
Die ersten drei Versuchen ergeben folgende Werte: | Die ersten drei Versuchen ergeben folgende Werte: | ||
Zeile 17: | Zeile 17: | ||
− | Bei den Teilaufgaben '''(3)''' und '''(4)''' sei das Eingangssignal $x(t)$ eine harmonische Schwingung, da nur für eine solche ein Klirrfaktor angegeben werden kann. | + | Bei den Teilaufgaben '''(3)''' und '''(4)''' sei das Eingangssignal $x(t)$ eine harmonische Schwingung, da nur für eine solche ein Klirrfaktor angegeben werden kann. |
− | Dagegen wird für die Teilaufgabe '''(5)''' ein Dreieckimpuls mit Amplitude $A_x = 3 \ {\rm V}$ und der einseitigen Impulsdauer $T_x = 2 \ {\rm ms}$ betrachtet: | + | Dagegen wird für die Teilaufgabe '''(5)''' ein Dreieckimpuls mit Amplitude $A_x = 3 \ {\rm V}$ und der einseitigen Impulsdauer $T_x = 2 \ {\rm ms}$ betrachtet: |
− | :$$x(t) = A_x \cdot ( 1 - {|t|}/{T_x}) $$ | + | :$$x(t) = A_x \cdot ( 1 - {|t|}/{T_x}). $$ |
Zeile 26: | Zeile 26: | ||
− | + | Hinweise: | |
− | |||
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen|Nichtlineare Verzerrungen]]. | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen|Nichtlineare Verzerrungen]]. | ||
Zeile 39: | Zeile 38: | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | { | + | {Am Eingang liegt ein Rechteckimpuls $x(t)$ mit Amplitude $A_x$ und Dauer $T_x$ an. <br>Welche Aussagen gelten für den Ausgangsimpuls $y(t)$? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | - Der Ausgangsimpuls $y(t)$ ist dreieckförmig. | + | - Der Ausgangsimpuls $y(t)$ ist dreieckförmig. |
- Die Amplituden am Eingang und Ausgang sind gleich ⇒ $A_y = A_x$. | - Die Amplituden am Eingang und Ausgang sind gleich ⇒ $A_y = A_x$. | ||
+ Die Impulsdauer wird durch das System nicht verändert ⇒ $T_y = T_x$. | + Die Impulsdauer wird durch das System nicht verändert ⇒ $T_y = T_x$. | ||
Zeile 52: | Zeile 51: | ||
− | {Welcher Klirrfaktor $K$ wird mit dem Testsignal $x(t) = 1 \hspace{0.08cm} {\rm V} \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$ gemessen? Das heißt: $\underline{A_x = 1\hspace{0.08cm} \rm V}$. | + | {Welcher Klirrfaktor $K$ wird mit dem Testsignal $x(t) = 1 \hspace{0.08cm} {\rm V} \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$ gemessen? Das heißt: $\underline{A_x = 1\hspace{0.08cm} \rm V}$. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
$K \ = \ $ { 5 3% } $\ \%$ | $K \ = \ $ { 5 3% } $\ \%$ | ||
− | {Welcher Klirrfaktor $K$ wird mit dem Testsignal $x(t) = 3 \hspace{0.08cm} {\rm V} \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$ gemessen? Das heißt: $\underline{A_x = 3\hspace{0.08cm} \rm V}$. | + | {Welcher Klirrfaktor $K$ wird mit dem Testsignal $x(t) = 3 \hspace{0.08cm} {\rm V} \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$ gemessen? Das heißt: $\underline{A_x = 3\hspace{0.08cm} \rm V}$. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
$K \ = \ $ { 15 3% } $\ \%$ | $K \ = \ $ { 15 3% } $\ \%$ | ||
− | {Welcher Ausgangsimpuls $y(t)$ ergibt sich bei dreieckförmigem Eingangsimpuls? Wie lauten die Signalwerte bei $ t = 0$ und $ t = T_x/2$? | + | {Welcher Ausgangsimpuls $y(t)$ ergibt sich bei dreieckförmigem Eingangsimpuls? Wie lauten die Signalwerte bei $ t = 0$ und $ t = T_x/2$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
$y(t = 0) \ = \ $ { 1.95 3% } $\ \rm V$ | $y(t = 0) \ = \ $ { 1.95 3% } $\ \rm V$ | ||
Zeile 74: | Zeile 73: | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
'''(1)''' Richtig ist nur der <u>Lösungsvorschlag 3</u>: | '''(1)''' Richtig ist nur der <u>Lösungsvorschlag 3</u>: | ||
− | *Ist der Eingangsimpuls $x(t)$ rechteckförmig, so ist auch $x^2(t)$ ein Rechteck mit Höhe $A_x^2$ | + | *Ist der Eingangsimpuls $x(t)$ rechteckförmig, so ist auch $x^2(t)$ ein Rechteck mit Höhe $A_x^2$ zwischen $0$ und $T_x$; außerhalb Null. |
*Auch das gesamte Ausgangssignal $y(t)$ ist somit rechteckförmig mit der Amplitude | *Auch das gesamte Ausgangssignal $y(t)$ ist somit rechteckförmig mit der Amplitude | ||
:$$A_y= c_1 \cdot A_x + c_2 \cdot A_x^2 .$$ | :$$A_y= c_1 \cdot A_x + c_2 \cdot A_x^2 .$$ | ||
*Für die Impulsdauer gilt: $T_y = T_x$. | *Für die Impulsdauer gilt: $T_y = T_x$. | ||
+ | |||
Zeile 86: | Zeile 86: | ||
V}.\hspace{0.05cm}$$ | V}.\hspace{0.05cm}$$ | ||
− | Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit $-2$ und Addition der beiden Gleichungen erhält man: | + | *Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit $-2$ und Addition der beiden Gleichungen erhält man: |
:$$c_2 \cdot 2\,{\rm V}^2 = 0.1\,{\rm | :$$c_2 \cdot 2\,{\rm V}^2 = 0.1\,{\rm | ||
− | V} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} c_2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.05\ | + | V} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} c_2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.05\cdot{1/\rm |
V}}.$$ | V}}.$$ | ||
− | Der Linearkoeffizient ist somit $c_1 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}.$ | + | *Der Linearkoeffizient ist somit $c_1 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}.$ |
− | Der dritte Parametersatz kann genutzt werden, um das Ergebnis zu kontrollieren: | + | *Der dritte Parametersatz kann genutzt werden, um das Ergebnis zu kontrollieren: |
:$$c_1 \cdot 3\,{\rm V} + c_2 \cdot (3\,{\rm V})^2 = 0.5 \cdot 3\,{\rm | :$$c_1 \cdot 3\,{\rm V} + c_2 \cdot (3\,{\rm V})^2 = 0.5 \cdot 3\,{\rm | ||
V}+ 0.05 \ {1}/{\rm V}\cdot 9\,{\rm V}^2 = 1.95\,{\rm | V}+ 0.05 \ {1}/{\rm V}\cdot 9\,{\rm V}^2 = 1.95\,{\rm | ||
Zeile 100: | Zeile 100: | ||
'''(3)''' Die Angabe eines Klirrfaktors bedingt die Verwendung einer harmonischen Schwingung am Eingang. | '''(3)''' Die Angabe eines Klirrfaktors bedingt die Verwendung einer harmonischen Schwingung am Eingang. | ||
− | *Ist $X_+(f) = 1 \ {\rm V} \cdot \delta (f - f_0)$, so lautet das Spektrum des analytischen Signals am Ausgang: | + | *Ist $X_+(f) = 1 \ {\rm V} \cdot \delta (f - f_0)$, so lautet das Spektrum des analytischen Signals am Ausgang: |
:$$ Y_{+}(f)={c_2}/{2}\cdot A_x^2 \cdot \delta(f) + c_1\cdot A_x \cdot \delta(f- f_0)+ {c_2}/{2}\cdot A_x^2 \cdot \delta(f- 2 f_0). $$ | :$$ Y_{+}(f)={c_2}/{2}\cdot A_x^2 \cdot \delta(f) + c_1\cdot A_x \cdot \delta(f- f_0)+ {c_2}/{2}\cdot A_x^2 \cdot \delta(f- 2 f_0). $$ | ||
− | *Die Diracfunktion bei $f = 0$ folgt aus der trigonometrischen Umformung $\cos^2(\alpha) = 1/2 + 1/2 \cdot \cos(\alpha).$ | + | *Die Diracfunktion bei $f = 0$ folgt aus der trigonometrischen Umformung $\cos^2(\alpha) = 1/2 + 1/2 \cdot \cos(\alpha).$ |
− | *Mit $A_1 = c_1 \cdot A_x = 0.5 \ {\rm V} $ und $A_2 = (c_2/2) \cdot A_x^2 = 0.025 \ {\rm V}^2 $ ergibt sich somit für den Klirrfaktor: | + | *Mit $A_1 = c_1 \cdot A_x = 0.5 \ {\rm V} $ und $A_2 = (c_2/2) \cdot A_x^2 = 0.025 \ {\rm V}^2 $ ergibt sich somit für den Klirrfaktor: |
:$$K= \frac{A_2}{A_1}= \frac{c_2/2 \cdot A_x}{c_1 }= \frac{0.025}{0.5} \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \%}.$$ | :$$K= \frac{A_2}{A_1}= \frac{c_2/2 \cdot A_x}{c_1 }= \frac{0.025}{0.5} \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \%}.$$ | ||
− | '''(4)''' Entsprechend der Musterlösung zur letzten Teilaufgabe ist $K$ proportional zu $A_x$. Deshalb erhält man nun $K \hspace{0.15cm}\underline{= 15 \%}.$ | + | |
+ | '''(4)''' Entsprechend der Musterlösung zur letzten Teilaufgabe ist $K$ proportional zu $A_x$. Deshalb erhält man nun $K \hspace{0.15cm}\underline{= 15 \%}.$ | ||
+ | |||
Aktuelle Version vom 1. Oktober 2021, 14:11 Uhr
Von einem nichtlinearen System ist bekannt, dass die Kennlinie wie folgt dargestellt werden kann:
- $$y(t) = c_1 \cdot x(t) + c_2 \cdot x^2(t).$$
Da die Verzerrungen nichtlinear sind, ist kein Frequenzgang $H(f)$ angebbar.
Zur Bestimmung des dimensionslosen Koeffizienten $c_1$ sowie des quadratischen Koeffizienten $c_2$ werden nun verschiedene Rechteckimpulse $x(t)$ – gekennzeichnet durch die Amplitude $A_x$ und Breite $T_x$ – an den Eingang gelegt und jeweils die Impulsamplitude $A_y$ am Ausgang gemessen.
Die ersten drei Versuchen ergeben folgende Werte:
- $A_x = 1 \ {\rm V}, \; \; T_x = 8 \ {\rm ms}$ : $A_y = 0.55 \ {\rm V}$,
- $A_x = 2 \ {\rm V}, \; \; T_x = 4 \ {\rm ms}$ : $A_y = 1.20 \ {\rm V}$,
- $A_x = 3 \ {\rm V}, \; \; T_x = 2 \ {\rm ms}$ : $A_y = 1.95 \ {\rm V}$.
Bei den Teilaufgaben (3) und (4) sei das Eingangssignal $x(t)$ eine harmonische Schwingung, da nur für eine solche ein Klirrfaktor angegeben werden kann.
Dagegen wird für die Teilaufgabe (5) ein Dreieckimpuls mit Amplitude $A_x = 3 \ {\rm V}$ und der einseitigen Impulsdauer $T_x = 2 \ {\rm ms}$ betrachtet:
- $$x(t) = A_x \cdot ( 1 - {|t|}/{T_x}). $$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Nichtlineare Verzerrungen.
- Im Fragenkatalog werden folgende Abkürzungen benutzt:
- $$y_1(t) = c_1 \cdot x(t), \hspace{0.5cm} y_2(t) = c_2 \cdot x^2(t).$$
Fragebogen
Musterlösung
- Ist der Eingangsimpuls $x(t)$ rechteckförmig, so ist auch $x^2(t)$ ein Rechteck mit Höhe $A_x^2$ zwischen $0$ und $T_x$; außerhalb Null.
- Auch das gesamte Ausgangssignal $y(t)$ ist somit rechteckförmig mit der Amplitude
- $$A_y= c_1 \cdot A_x + c_2 \cdot A_x^2 .$$
- Für die Impulsdauer gilt: $T_y = T_x$.
(2) Mit den beiden ersten Parametersätzen kann folgendes lineares Gleichungssystem angegeben werden:
- $$c_1 \cdot 1\,{\rm V} + c_2 \cdot (1\,{\rm V})^2 = 0.55\,{\rm V},$$
- $$c_1 \cdot 2\,{\rm V} + c_2 \cdot (2\,{\rm V})^2 = 1.20\,{\rm V}.\hspace{0.05cm}$$
- Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit $-2$ und Addition der beiden Gleichungen erhält man:
- $$c_2 \cdot 2\,{\rm V}^2 = 0.1\,{\rm V} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} c_2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.05\cdot{1/\rm V}}.$$
- Der Linearkoeffizient ist somit $c_1 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}.$
- Der dritte Parametersatz kann genutzt werden, um das Ergebnis zu kontrollieren:
- $$c_1 \cdot 3\,{\rm V} + c_2 \cdot (3\,{\rm V})^2 = 0.5 \cdot 3\,{\rm V}+ 0.05 \ {1}/{\rm V}\cdot 9\,{\rm V}^2 = 1.95\,{\rm V}.$$
(3) Die Angabe eines Klirrfaktors bedingt die Verwendung einer harmonischen Schwingung am Eingang.
- Ist $X_+(f) = 1 \ {\rm V} \cdot \delta (f - f_0)$, so lautet das Spektrum des analytischen Signals am Ausgang:
- $$ Y_{+}(f)={c_2}/{2}\cdot A_x^2 \cdot \delta(f) + c_1\cdot A_x \cdot \delta(f- f_0)+ {c_2}/{2}\cdot A_x^2 \cdot \delta(f- 2 f_0). $$
- Die Diracfunktion bei $f = 0$ folgt aus der trigonometrischen Umformung $\cos^2(\alpha) = 1/2 + 1/2 \cdot \cos(\alpha).$
- Mit $A_1 = c_1 \cdot A_x = 0.5 \ {\rm V} $ und $A_2 = (c_2/2) \cdot A_x^2 = 0.025 \ {\rm V}^2 $ ergibt sich somit für den Klirrfaktor:
- $$K= \frac{A_2}{A_1}= \frac{c_2/2 \cdot A_x}{c_1 }= \frac{0.025}{0.5} \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \%}.$$
(4) Entsprechend der Musterlösung zur letzten Teilaufgabe ist $K$ proportional zu $A_x$. Deshalb erhält man nun $K \hspace{0.15cm}\underline{= 15 \%}.$
(5) Nun lautet das Ausgangssignal:
- $$y(t)= c_1\cdot A_x \cdot \left( 1 - {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/{T_x}\right) +\hspace{0.1cm} {c_2}\cdot A_x^2 \cdot \left( 1 - {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/{T_x}\right)^2.$$
- Zum Zeitpunkt $t = 0$ bzw. $t = T_x/2$ treten folgende Werte auf:
- $$y(t=0) = c_1\cdot A_x + {c_2}\cdot A_x^2 \hspace{0.15cm}\underline{= 1.95\,{\rm V}},$$
- $$y(t=T_x/2) = c_1\cdot A_x \cdot {1}/{2} + \hspace{0.1cm}{c_2}\cdot A_x^2 \cdot {1}/{4}= 0.75\,{\rm V}+ 0.1125\,{\rm V} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8625\,{\rm V}}.$$