Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation

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2. Amplitudenmodulation und AM–Demodulation
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Beschreibung im Frequenzbereich

Die  Zweiseitenband–Amplitudenmodulation  $\rm (ZSB–AM)$   – sowohl mit als auch ohne Träger –  besitzt folgende Eigenschaften:

• Das modulierte Signal  $s(t)$  benötigt die doppelte Bandbreite wie das Quellensignal  $q(t)$.
• Die vollständige Information über  $q(t)$  steckt sowohl im oberen Seitenband  $\rm (OSB)$  als auch im unteren Seitenband  $\rm (USB)$.

Die so genannte  Einseitenband–Amplitudenmodulation  $\rm (ESB–AM)$  macht sich diese Eigenschaft dadurch zunutze,  dass nur eines dieser Seitenbänder übertragen wird,  entweder das obere Seitenband (OSB) oder das untere Seitenband (USB).  Dadurch reduziert sich die erforderliche Bandbreite gegenüber der ZSB–AM auf die Hälfte.

Die Grafik verdeutlicht die Einseitenband–Amplitudenmodulation im Frequenzbereich und gibt gleichzeitig eine Realisierungsform des ESB–Modulators an. 

Spektren bei Zweiseitenband– und Einseitenbandmodulation

Man erkennt aus dieser Darstellung:

• Das ESB–Spektrum ergibt sich aus dem ZSB–Spektrum durch Filterung mit einem Bandpass,  der bezüglich der Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  ein unsymmetrisches Verhalten zeigt.
• Bei OSB–Modulation wird die untere Grenzfrequenz  $f_{\rm U} = f_{\rm T} - f_ε$  und die obere Grenzfrequenz zu  $f_{\rm O} ≥ f_{\rm T} + B_{\rm NF}$  gewählt.  Hierbei bezeichnet  $f_ε$  eine beliebig kleine positive Frequenz.
• Das OSB–Spektrum beinhaltet somit nur das obere Seitenband und  (nicht notwendigerweise)  den Träger.
• Zur Erzeugung einer USB–Modulation müssen dagegen die untere bzw. obere Grenzfrequenz des Bandpasses wie folgt festgelegt werden:

$$f_{\rm U} ≤ f_{\rm T} \ - \ B_{\rm NF}, \hspace{0.5cm}f_{\rm O} = f_{\rm T} + f_ε.$$

$\text{Beispiel 1:}$  Bei  $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$  und  $B_{\rm NF} = 3 \ \rm kHz$  erhält man aus dem ZSB–Signal ein  "OSB–Signal mit Träger",  wenn das Filter alle Frequenzen unterhalb von  $99.999\text{...} \ \rm kHz$  abschneidet.

• Ist die untere Grenzfrequenz  $f_{\rm U}$  um ein (beliebig kleines) „epsilon” größer als  $f_{\rm T}$,  so ergibt sich eine „OSB–AM ohne Träger”.
• Eine „USB mit/ohne Träger” kann entsprechend mit  $f_{\rm O} =100 \ \rm kHz$  bzw.  $f_{\rm O} = 99.999\text{...} \ \rm kHz$ realisiert werden.

$\text{Beispiel 2:}$  Um Bandbreite zu sparen, wurde die Einseitenband-Technik schon in den 1960er–Jahren bei der analogen Übertragung von Telefongesprächen eingesetzt.

• Entsprechend eines hierarchischen Aufbaus wurden zunächst drei Fernsprechkanäle – jeweils auf den Bereich  $300\ \rm Hz$  bis  $3.4 \ \rm kHz$  bandbegrenzt – zu einer Vorgruppe mit der Bandbreite  $12 \ \rm kHz$  zusammengefasst.
• Um drei Kanäle in  $12 \ \rm kHz$  mit einem gewissen Sicherheitsabstand unterbringen zu können, wurde von jedem Fernsprechkanal nur ein Seitenband  (das untere oder das obere)  berücksichtichtigt.
• Durch weiteres Zusammenfassen wurde so das Weitverkehrssystem  V10800  mit bis zu 10800 Sprachkanälen und einer Gesamtbandbreite von  $60 \ \rm MHz$  realisiert.

$\text{Fazit:}$ 

• Der große Vorteil einer ESB–AM liegt in der nur  halben Bandbreite  gegenüber der ZSB–AM.
• Mit welchen Nachteilen dieser Vorteil erkauft werden muss, wird auf den nächsten Seiten erläutert.

Synchrondemodulation eines ESB–Signals

Wir betrachten nun ein ESB–moduliertes Signal und beim Empfänger den  Synchrondemodulator.

• Vorausgesetzt wird zunächst eine perfekte Frequenz– und Phasensynchronisation.
• Ohne Einfluss auf die Allgemeingültigkeit ist im weiteren Verlauf dieses Abschnitts stets  ${ ϕ}_{\rm T} = 0$  gesetzt   ⇒   Cosinus–Träger.

Synchrondemodulation eines ESB–Signals

Ein Vergleich mit den Eigenschaften des Synchrondemodulators bei ZSB–AM im vorletzten Kapitel zeigt folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede:

• Das Spektrum  $V(f)$  des Sinkensignals ergibt sich in beiden Fällen aus der Faltung der Spektren  $R(f)$  und  $Z_{\rm E}(f)$, wobei Letzteres sich aus zwei Diracfunktionen bei  $±f_{\rm T}$  zusammensetzt.

• Bei ZSB–AM überlagern sich für jede Frequenz die Faltungsprodukte mit der rechten und der linken Diracfunktion. In der entsprechenden ZSB–Grafik sind diese Anteile mit „+” bzw. „–” markiert.

• Dagegen liefert bei OSB–Modulation nur die Faltung mit der Diraclinie bei  $ -f_{\rm T}$  den  $V(f)$–Anteil bei positiven Frequenzen und bei USB–Modulation die Faltung mit der Diracfunktion  $δ(f - f_{\rm T})$.

• Bei ZSB–AM wird  $v(t) = q(t)$  mit dem empfangsseitigen Trägersignal  $z_{\rm E}(t) = 2 · \cos(ω_{\rm T} · t)$  erreicht.  Dagegen muss bei ESB–AM die Trägeramplitude auf  $A_{\rm T} = 4$   erhöht werden.

$\text{Fazit:}$  Besteht ein Frequenzversatz zwischen den Trägersignalen  $z(t)$  und  $z_{\rm E}(t)$,  so kommt es stets zu starken nichtlinearen Verzerrungen,  also unabhängig davon,  ob ZSB–AM oder ESB–AM vorliegt.  Bei der  Realisierung eines Synchrondemodulators  ist deshalb eine  perfekte Frequenzsynchronisation  unerlässlich.

Einfluss eines Phasenversatzes bei ESB-AM

Betrachten wir nun den Einfluss eines Phasenversatzes  $Δ{\mathbf ϕ}_{\rm T}$  zwischen sende– und empfangsseitigem Trägersignal, und zwar am Beispiel des Quellensignals

$$q(t) = A_1 \cdot \cos(\omega_1 \cdot t ) + A_2 \cdot \cos(\omega_2 \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$

• Bei ZSB–AM führt ein solcher Phasenversatz lediglich zu einer frequenzunabhängigen Dämpfung, aber nicht zu Verzerrungen:

$$v(t) = \cos (\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q(t) = \cos (\Delta \phi_{\rm T}) \cdot A_1 \cdot \cos(\omega_1 \cdot t ) + \cos (\Delta \phi_{\rm T}) \cdot A_2 \cdot \cos(\omega_2 \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$

• Dagegen erhält man bei der OSB–AM:

$$v(t) = A_1 \cdot \cos(\omega_1 \cdot t - \Delta \phi_{\rm T}) + A_2 \cdot \cos(\omega_2 \cdot t - \Delta \phi_{\rm T})= A_1 \cdot \cos(\omega_1 \cdot (t - \tau_1)) + A_2 \cdot \cos(\omega_2 \cdot (t - \tau_2))\hspace{0.05cm}.$$

$\text{Man erkennt aus dieser Gleichung:}$

• Die beiden Laufzeiten  $τ_1 = Δ{\mathbf ϕ}_{\rm T}/ω_1$  und  $τ_2 = Δ{\mathbf ϕ}_{\rm T}/ω_2$  sind unterschiedlich.
• Das bedeutet, dass ein Phasenversatz bei ESB–AM (OSB–AM oder USB–AM) zu  Phasenverzerrungen  (also zu linearen Verzerrungen) führt.
• Ein positiver Wert von  $Δ{\mathbf ϕ}_{\rm T}$  bewirkt
  • bei OSB positive Werte von  $τ_1$  und  $τ_2$  (also gegenüber dem Cosinus nachlaufende Signale)  und
  • bei USB negative  $τ_1$–  bzw.  $τ_2$–Werte  (vorlaufende Signale).

Die Auswirkungen von Phasenverzerrungen auf ein aus zwei Cosinusschwingungen zusammengesetztes Nachrichtensignal können Sie sich mit dem HTML5/JavaScript–Applet  "Lineare Verzerrungen periodischer Signale"  verdeutlichen.

Seitenband–zu–Träger–Verhältnis

Ein wichtiger Parameter der ZSB–AM ist der  Modulationsgrad  $m = q_{\rm max}/A_{\rm T}$.

Im Sonderfall einer harmonischen Schwingung gilt  $m = A_{\rm N}/A_{\rm T}$  und man erhält das Spektrum  $S_+(f)$  des analytischen Signals entsprechend der oberen Grafik.  Beachten Sie bitte die Normierung auf  $A_{\rm T}$.

Spektren bei ZSB- und ESB-AM

Bei der ESB–AM ist die Anwendung des Parameters  $m$  zwar prinzipiell möglich, aber nicht zweckmäßig.  Beispielsweise gilt für die Zeitbereichsdarstellung der OSB–AM mit dem Spektrum  $S_+(f)$  entsprechend der unteren Grafik:

$$s_+(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm} \omega_{\rm T} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t } + {A_{\rm N}}/{2} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} (\omega_{\rm T} + \omega_{\rm N}) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t }\hspace{0.05cm}.$$

Hierfür kann in gleicher Weise

$$s_+(t) = A_{\rm T} \cdot \left({\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm} \omega_{\rm T} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t } + \mu \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} (\omega_{\rm T} + \omega_{\rm N}) \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t }\right)$$

geschrieben werden, wobei nun das  Seitenband–zu–Träger–Verhältnis  verwendet ist:

$$\mu = \frac{A_{\rm N}}{2 \cdot A_{\rm T}} \hspace{0.05cm}.$$

Ist das Quellensignal keine harmonische Schwingung, so ist die Angabe dieser Größe schwierig.

• Hier kann man folgende Näherung benutzen:

$$\mu \approx \frac{q_{\rm max}}{2 \cdot A_{\rm T}} \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} q_{\rm max} = \max_{t} \hspace{0.05cm} |q(t)| \hspace{0.05cm}.$$

• Somit ist  $\mu \approx m/2.$  Ein Vergleich zwischen ZSB–AM und ESB-AM sollte jedoch stets für den gleichen Zahlenwert von  $m$  bzw.  $\mu$  erfolgen.

Signalverläufe bei ZSB-AM und OSB-AM

$\text{Beispiel 3:}$ 

• Die obere Grafik zeigt das ZSB–AM–Signal für den Modulationsgrad  $m = q_{\rm max}/A_{\rm T} = 1$   ⇒   Grenzfall für die Anwendung der Hüllkurvendemodulation bei ZSB-AM   ⇒   Das Nachrichtensignal  $q(t)$  ist dann in der Hüllkurve  $a(t)$  noch verzerrungsfrei enthalten.
• Für das OSB–Signal in der mittleren Grafik zeigt wurde ebenfalls  $A_{\rm T} = q_{\rm max}$  gewählt, was den Zahlenwerten  $m = 1$  bzw.  $\mu = 0.5$  entspricht   ⇒   Da der USB-Beitrag fehlt, unterscheidet sich hier die Hüllkurve  $a(t)$  deutlich von  $q(t) + A_{\rm T}.$
• Dagegen wurde für den unteren Signalverlauf  $q_{\rm max} = 2 · A_{\rm T}$  gewählt.  ⇒   Das Seitenband–zu–Träger–Verhältnis hat hier den Zahlenwert  $\mu =1$.

Diese Grafik macht Folgendes deutlich:

1. Es sind mehr Ähnlichkeiten zwischen dem oberen und dem unteren Signal festzustellen als zwischen den ersten beiden.
2. Der Vergleich zwischen einer ZSB–AM und einer ESB–AM sollte möglichst bei gleichem Zahlenwert für  $m$  bzw.  $\mu$  erfolgen.
3. Die Hüllkurvendemodulation führt bei einer Einseitenband–AM für jeden Zahlenwert von  $\mu$  zu gravierenden Verzerrungen. 
4. Diese sind von nichtlinearer Art und somit irreversibel.

Zusammenfassende Bewertung der ESB–AM

Der entscheidende Vorteil der ESB–AM gegenüber der ZSB–AM ist der um den Faktor  $2$  geringere Bandbreitenbedarf.  Für die halbe Bandbreite der ESB–AM müssen aber auch Nachteile in Kauf genommen werden,  die in den Aufgaben zu diesem Abschnitt untersucht werden sollen:

• Die Information über das Quellensignal  $q(t)$  steckt nun im Gegensatz zur ZSB–AM nicht mehr ausschließlich in der Amplitude,  sondern gleichermaßen auch in der Phase
  (siehe Aufgabe 2.11).
• Die Anwendung der Hüllkurvendemodulation bei OSB–AM oder USB–AM führt deshalb stets zu starken nichtlinearen Verzerrungen  (siehe Aufgabe 2.11Z).
• Synchrondemodulation eines ESB–AM–Signals führt zu Phasenverzerrungen,  wenn zwischen den Trägersignalen bei Sender und Empfänger ein Phasenversatz besteht.

Ebenso wie bei einer ZSB–AM mit Synchrondemodulation gelten auch hier folgende Aussagen:

• Dämpfungsverzerrungen des Kanals führen ebenfalls nur zu  (linearen)  Dämpfungsverzerrungen bezüglich des Sinkensignals.  Es entstehen keine nichtlinearen Verzerrungen  (siehe  Aufgabe 2.10).
• Die ESB–AM ohne Träger zeigt genau gleiches Rauschverhalten wie die ZSB–AM ohne Träger.  Der Vorteil der kleineren HF–Bandbreite wird durch die notwendige Pegelanpassung aufgehoben.
• Eine ESB–AM mit Seitenband–zu–Träger–Verhältnis  $\mu$  zeigt ähnliches Rauschverhalten wie eine ZSB–AM mit Modulationsgrad  $m = \sqrt{2} · \mu$  (siehe  Aufgabe 2.10Z).
• Allerdings ist zu beachten,  dass die ESB–AM mit Träger aufgrund der nichtlinearen Verzerrungen bei Hüllkurvendemodulation wenig sinnvoll ist.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 2.10: ESB-AM mit Kanalverzerrungen

Aufgabe 2.10Z: Rauschen bei ZSB-AM und ESB-AM

Aufgabe 2.11: Hüllkurvendemodulation eines ESB-Signals

Aufgabe 2.11Z: Nochmals ESB-AM und Hüllkurvendemodulator