Aufgaben:Aufgabe 3.3: Summe zweier Schwingungen: Unterschied zwischen den Versionen

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Das äquivalente Tiefpass–Signal bei Phasenmodulation lautet
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Das äquivalente Tiefpass–Signal bei Phasenmodulation lautet bei Normierung auf die Trägeramplitude  $(A_{\rm T} = 1)$: 
 
:$$ s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}K_{\rm PM}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q(t) }\hspace{0.05cm},$$
 
:$$ s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}K_{\rm PM}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q(t) }\hspace{0.05cm},$$
wenn eine Normierung auf die Trägeramplitude vorgenommen wird  $(A_{\rm T} = 1)$ . Die Modulatorkonstante wird in der gesamten Aufgabe zu  $K_{\rm PM} = \rm 1/V$  angenommen.
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Die Modulatorkonstante wird in der gesamten Aufgabe zu  $K_{\rm PM} = \rm 1/V$  angenommen.
  
  
 
Die obere Grafik zeigt die dazugehörige Spektralfunktion  $B_1(f)$, wenn das Quellensignal
 
Die obere Grafik zeigt die dazugehörige Spektralfunktion  $B_1(f)$, wenn das Quellensignal
 
:$$q_1(t) = 0.9\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 1\,{\rm kHz} \cdot t)$$
 
:$$q_1(t) = 0.9\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 1\,{\rm kHz} \cdot t)$$
anliegt. Die Gewichte der Bessel-Diraclinien ergeben sich mit  $η_1 = 0.9$  wie folgt:
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anliegt.  Die Gewichte der Bessel-Diraclinien ergeben sich mit  $η_1 = 0.9$  wie folgt:
 
:$${\rm J}_0 (0.9)  = 0.808 \approx 0.8,\hspace{1cm}
 
:$${\rm J}_0 (0.9)  = 0.808 \approx 0.8,\hspace{1cm}
 
{\rm J}_1 (0.9) = 0.406 \approx 0.4,$$  
 
{\rm J}_1 (0.9) = 0.406 \approx 0.4,$$  
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Im Fragebogen bezeichnen  
 
Im Fragebogen bezeichnen  
*$S_{\rm TP}(f)$  die Spektralfunktion des  äquivalenten TP–Signals,  
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*$S_{\rm TP}(f)$  die Spektralfunktion des  äquivalenten Tiefpass–Signals,  
 
*$S_+(f)$  die Spektralfunktionen des analytischem Signals,  
 
*$S_+(f)$  die Spektralfunktionen des analytischem Signals,  
  
  
 
jeweils unter der Annahme, dass  $q(t) = q_1(t) + q_2(t)$  anliegt und die Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$  beträgt.
 
jeweils unter der Annahme, dass  $q(t) = q_1(t) + q_2(t)$  anliegt und die Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$  beträgt.
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite   [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].
 
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite   [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].
 
*Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen  in tabellarischer Form.  
 
*Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen  in tabellarischer Form.  
*Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das interaktive Applet [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art_(neues_Applet)| Besselfunktion erster Art]] benutzen.
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*Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das interaktive Applet  [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art| Besselfunktion erster Art]]  benutzen.
  
  
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Es gelte &nbsp;$q(t) = q_1(t)+q_2(t)$. Welche geometrische Figur beschreibt die angegebene Ortskurve &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$?
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{Es gelte &nbsp;$q(t) = q_1(t)+q_2(t)$.&nbsp; Welche geometrische Figur beschreibt die angegebene Ortskurve &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$?
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- Die Ortskurve ist eine Ellipse.
 
- Die Ortskurve ist eine Ellipse.
 
- Die Ortskurve ist ein Kreis.
 
- Die Ortskurve ist ein Kreis.
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- Die Ortskurve ist ein Kreisbogen, etwa mit Öffnungswinkel &nbsp;$90^\circ$.
 
- Die Ortskurve ist ein Kreisbogen, etwa mit Öffnungswinkel &nbsp;$90^\circ$.
  
{Berechnen Sie die Spektralfunktion &nbsp;$S_{\rm TP}(f)$. Zwischen welchen Frequenzen &nbsp;$f_{\rm min}$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm max}$&nbsp; liegen Spektrallinien?
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{Berechnen Sie die Spektralfunktion &nbsp;$S_{\rm TP}(f)$.&nbsp; Zwischen welchen Frequenzen &nbsp;$f_{\rm min}$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm max}$&nbsp; liegen Spektrallinien?
 
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$f_{\rm min} \ = \ $ { -5.15--4.85 } $\ \rm kHz$
 
$f_{\rm min} \ = \ $ { -5.15--4.85 } $\ \rm kHz$
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{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
 
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist die <u>dritte Antwort</u>:
 
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist die <u>dritte Antwort</u>:
*Bei Winkelmodulation bewegt sich der komplexe Zeiger $s_{\rm TP}(t)$ stets auf einem Kreisbogen, dessen Öffnungswinkel $2 · K_{\rm PM} · q_{\rm max} = 2 \cdot  {\rm 1/V} \cdot 1.45 \ \rm V = 2.9 \ \rm rad \approx 166^\circ$ beträgt.
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*Bei Winkelmodulation bewegt sich der komplexe Zeiger&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; stets auf einem Kreisbogen mit folgendem Öffnungswinkel:
*Mit der (zugegebenermaßen sehr groben) Näherung $166^\circ \approx 180^\circ$ ergibt sich tatsächlich ein Halbkreis.  
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:$$2 · K_{\rm PM} · q_{\rm max} = 2 \cdot  {\rm 1/V} \cdot 1.45 \ \rm V = 2.9 \ \rm rad \approx 166^\circ.$$
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*Mit der (zugegebenermaßen sehr groben) Näherung&nbsp; $166^\circ \approx 180^\circ$&nbsp; ergibt sich tatsächlich ein Halbkreis.  
  
  
'''(2)'''&nbsp; Es gilt $S_{\rm TP}(f) = B_1(f) ∗ B_2(f)$. Da $B_1(f)$ auf Frequenzen $|f| ≤ 2 \ \rm kHz$ und $B_2(f)$ auf den Bereich $±3 \ \rm  kHz$ begrenzt sind, ist das Faltungsprodukt auf $|f| ≤ 5 \ \rm kHz$ beschränkt. Daraus folgt:  
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'''(2)'''&nbsp; Es gilt allgemein&nbsp; $S_{\rm TP}(f) = B_1(f) ∗ B_2(f)$.  
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*Da&nbsp; $B_1(f)$&nbsp; auf Frequenzen&nbsp; $|f| ≤ 2 \ \rm kHz$&nbsp; und&nbsp; $B_2(f)$&nbsp; auf den Bereich&nbsp; $±3 \ \rm  kHz$&nbsp; begrenzt sind, ist das Faltungsprodukt auf&nbsp; $|f| ≤ 5 \ \rm kHz$&nbsp; beschränkt.  
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*Daraus folgt:  
 
:$$f_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline {= -5 \ \rm kHz},$$  
 
:$$f_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline {= -5 \ \rm kHz},$$  
 
:$$f_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline {=+5 \ \rm kHz}.$$  
 
:$$f_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline {=+5 \ \rm kHz}.$$  
  
  
'''(3)'''&nbsp; Das Faltungsprodukt für die Frequenz $f = 0$ ergibt sich durch Multiplikation von $B_1(f)$ mit $B_2(f)$ und anschließender Summation.  
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*Nur für $f = 0$ sind sowohl $B_1(f)$ als auch $B_2(f)$ von Null verschieden.  
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'''(3)'''&nbsp; Das Faltungsprodukt für die Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ergibt sich durch Multiplikation von&nbsp; $B_1(f)$&nbsp; mit&nbsp; $B_2(f)$&nbsp; und anschließender Summation.  
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*Nur für&nbsp; $f = 0$&nbsp; sind sowohl&nbsp; $B_1(f)$&nbsp; als auch&nbsp; $B_2(f)$&nbsp; von Null verschieden.  
 
*Damit erhält man:
 
*Damit erhält man:
 
:$$ S_{\rm TP}(f = 0) = B_{1}(f = 0) \cdot B_{2}(f = 0)= 0.8 \cdot 0.9 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.72}\hspace{0.2cm}{\rm (rein \hspace{0.15cm} reell)} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$ S_{\rm TP}(f = 0) = B_{1}(f = 0) \cdot B_{2}(f = 0)= 0.8 \cdot 0.9 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.72}\hspace{0.2cm}{\rm (rein \hspace{0.15cm} reell)} \hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(4)'''&nbsp; Nun muss vor der Multiplikation und Summation noch eine Frequenzverschiebung von $B_2(f)$ nach rechts – oder von $B_1(f)$ nach links – um $1 \ \rm kHz$ erfolgen. Somit erhält man:
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'''(4)'''&nbsp; Nun muss vor der Multiplikation und Summation noch eine Frequenzverschiebung von&nbsp; $B_2(f)$&nbsp; nach rechts – oder von&nbsp; $B_1(f)$&nbsp; nach links – um&nbsp; $1 \ \rm kHz$&nbsp; erfolgen.&nbsp; Somit erhält man:
 
:$$S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz}) =  B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 3\,{\rm kHz})  
 
:$$S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz}) =  B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 3\,{\rm kHz})  
 
  +  B_{1}(f = 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 0)
 
  +  B_{1}(f = 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 0)
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'''(5)'''&nbsp; Die Diraclinie $S_+(f = 98 \ \rm kHz)$ entspricht der $S_{\rm TP}(f)$–Linie bei $f = -2 \ \rm kHz$. Diese ist
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'''(5)'''&nbsp; Die Diraclinie&nbsp; $S_+(f = 98 \ \rm kHz)$&nbsp; entspricht der&nbsp; $S_{\rm TP}(f)$–Linie bei&nbsp; $f = -2 \ \rm kHz$.&nbsp; Diese ist
 
:$$S_{\rm TP}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} -2\,{\rm kHz}) \hspace{-0.03cm}=\hspace{-0.03cm}  B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0) +
 
:$$S_{\rm TP}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} -2\,{\rm kHz}) \hspace{-0.03cm}=\hspace{-0.03cm}  B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0) +
 
  B_{1}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} -3\,{\rm kHz})= 0.1 \cdot 0.9 + 0.4 \cdot {\rm j} \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\hspace{-0.03cm}=\hspace{-0.03cm} 0.09 + {\rm j} \cdot 0.12$$
 
  B_{1}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} -3\,{\rm kHz})= 0.1 \cdot 0.9 + 0.4 \cdot {\rm j} \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\hspace{-0.03cm}=\hspace{-0.03cm} 0.09 + {\rm j} \cdot 0.12$$

Aktuelle Version vom 10. Juni 2020, 09:04 Uhr

Zwei verschiedene Besselspektren

Das äquivalente Tiefpass–Signal bei Phasenmodulation lautet bei Normierung auf die Trägeramplitude  $(A_{\rm T} = 1)$: 

$$ s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}K_{\rm PM}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q(t) }\hspace{0.05cm},$$

Die Modulatorkonstante wird in der gesamten Aufgabe zu  $K_{\rm PM} = \rm 1/V$  angenommen.


Die obere Grafik zeigt die dazugehörige Spektralfunktion  $B_1(f)$, wenn das Quellensignal

$$q_1(t) = 0.9\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 1\,{\rm kHz} \cdot t)$$

anliegt.  Die Gewichte der Bessel-Diraclinien ergeben sich mit  $η_1 = 0.9$  wie folgt:

$${\rm J}_0 (0.9) = 0.808 \approx 0.8,\hspace{1cm} {\rm J}_1 (0.9) = 0.406 \approx 0.4,$$
$${\rm J}_2 (0.9) = 0.095 \approx 0.1,\hspace{1cm} {\rm J}_3 (0.9) \approx {\rm J}_4 (0.9) \approx\ \text{ ...} \ \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$

Verwenden Sie zur Vereinfachung der Berechnungen die in der Skizze angegebenen Näherungswerte.

Die Besselfunktion  $B_2(f)$  ergibt sich für das Quellensignal

$$q_2(t) = 0.65\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 3\,{\rm kHz} \cdot t)$$

Die Zahlenwerte der Diraclinien erhält man hier aus folgender Angabe:

$${\rm J}_0 (0.65) = 0.897 \approx 0.9,\hspace{0.3cm}{\rm J}_1 (0.65) = 0.308 \approx 0.3, \hspace{0.3cm}{\rm J}_2 (0.65) = 0.051 \approx 0\hspace{0.05cm}.$$

Aus der Grafik ist zu erkennen, dass aufgrund des cosinusförmigen Quellensignals  $q_2(t)$  und des cosinusförmigen Trägersignals  $z(t)$  die Spektrallinien bei  $±3 \ \rm kHz$  jeweils positiv–imaginär sind.

Im Rahmen dieser Aufgabe soll nun der Fall untersucht werden, dass das Quellensignal

$$q(t) = q_1(t) + q_2(t)$$

am Eingang des Phasenmodulators anliegt.

  • Zu erwähnen ist, dass  $|q(t)| < q_{\rm max} = 1.45 \ \rm V$  gilt.
  • Dieser Maximalwert ist etwas kleiner als die Summe  $A_1 + A_2$  der Einzelamplituden, wenn eine Sinus– und eine Cosinusfunktion mit den gegebenen Amplituden aufaddiert werden.


Im Fragebogen bezeichnen

  • $S_{\rm TP}(f)$  die Spektralfunktion des äquivalenten Tiefpass–Signals,
  • $S_+(f)$  die Spektralfunktionen des analytischem Signals,


jeweils unter der Annahme, dass  $q(t) = q_1(t) + q_2(t)$  anliegt und die Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$  beträgt.





Hinweise:


Fragebogen

1

Es gelte  $q(t) = q_1(t)+q_2(t)$.  Welche geometrische Figur beschreibt die angegebene Ortskurve  $s_{\rm TP}(t)$?

Die Ortskurve ist eine Ellipse.
Die Ortskurve ist ein Kreis.
Die Ortskurve ist näherungsweise ein Halbkreis.
Die Ortskurve ist ein Kreisbogen, etwa mit Öffnungswinkel  $90^\circ$.

2

Berechnen Sie die Spektralfunktion  $S_{\rm TP}(f)$.  Zwischen welchen Frequenzen  $f_{\rm min}$  und  $f_{\rm max}$  liegen Spektrallinien?

$f_{\rm min} \ = \ $

$\ \rm kHz$
$f_{\rm max} \ = \ $

$\ \rm kHz$

3

Berechnen Sie das Gewicht der Diracfunktion bei  $f = 0$.

${\rm Re}\big[S_{\rm TP}(f = 0)\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[S_{\rm TP}(f = 0)\big] \ = \ $

4

Berechnen Sie das Gewicht der Diracfunktion bei  $f = 1\ \rm kHz$.

${\rm Re}\big[S_{\rm TP}(f = 1 \ \rm kHz)\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[S_{\rm TP}(f = 1 \ \rm kHz)\big] \ = \ $

5

Berechnen Sie das Gewicht der  $S_+(f)$–Diracfunktion bei  $f = 98 \ \rm kHz$.

${\rm Re}\big[S_{\rm +}(f = 98 \ \rm kHz)\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[S_{\rm +}(f = 98 \ \rm kHz)\big] \ = \ $


Musterlösung

(1)  Richtig ist die dritte Antwort:

  • Bei Winkelmodulation bewegt sich der komplexe Zeiger  $s_{\rm TP}(t)$  stets auf einem Kreisbogen mit folgendem Öffnungswinkel:
$$2 · K_{\rm PM} · q_{\rm max} = 2 \cdot {\rm 1/V} \cdot 1.45 \ \rm V = 2.9 \ \rm rad \approx 166^\circ.$$
  • Mit der (zugegebenermaßen sehr groben) Näherung  $166^\circ \approx 180^\circ$  ergibt sich tatsächlich ein Halbkreis.


(2)  Es gilt allgemein  $S_{\rm TP}(f) = B_1(f) ∗ B_2(f)$.

  • Da  $B_1(f)$  auf Frequenzen  $|f| ≤ 2 \ \rm kHz$  und  $B_2(f)$  auf den Bereich  $±3 \ \rm kHz$  begrenzt sind, ist das Faltungsprodukt auf  $|f| ≤ 5 \ \rm kHz$  beschränkt.
  • Daraus folgt:
$$f_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline {= -5 \ \rm kHz},$$
$$f_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline {=+5 \ \rm kHz}.$$


(3)  Das Faltungsprodukt für die Frequenz  $f = 0$  ergibt sich durch Multiplikation von  $B_1(f)$  mit  $B_2(f)$  und anschließender Summation.

  • Nur für  $f = 0$  sind sowohl  $B_1(f)$  als auch  $B_2(f)$  von Null verschieden.
  • Damit erhält man:
$$ S_{\rm TP}(f = 0) = B_{1}(f = 0) \cdot B_{2}(f = 0)= 0.8 \cdot 0.9 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.72}\hspace{0.2cm}{\rm (rein \hspace{0.15cm} reell)} \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Nun muss vor der Multiplikation und Summation noch eine Frequenzverschiebung von  $B_2(f)$  nach rechts – oder von  $B_1(f)$  nach links – um  $1 \ \rm kHz$  erfolgen.  Somit erhält man:

$$S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz}) = B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 3\,{\rm kHz}) + B_{1}(f = 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 0) = 0.1 \cdot {\rm j} \cdot 0.3 + 0.4 \cdot 0.9\hspace{0.15cm} = 0.36 + {\rm j} \cdot 0.03$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.36} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {\rm Im}[S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.03} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Die Diraclinie  $S_+(f = 98 \ \rm kHz)$  entspricht der  $S_{\rm TP}(f)$–Linie bei  $f = -2 \ \rm kHz$.  Diese ist

$$S_{\rm TP}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} -2\,{\rm kHz}) \hspace{-0.03cm}=\hspace{-0.03cm} B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0) + B_{1}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} -3\,{\rm kHz})= 0.1 \cdot 0.9 + 0.4 \cdot {\rm j} \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\hspace{-0.03cm}=\hspace{-0.03cm} 0.09 + {\rm j} \cdot 0.12$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[S_{\rm +}(f = 98\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.09} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm Im}[S_{\rm +}(f = 98\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12} \hspace{0.05cm}.$$