Aufgaben:Aufgabe 3.5: GMSK–Modulation: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Das bei GSM eingesetzte Modulationsverfahren ist ''Gaussian Minimum Shift Keying'', kurz GMSK. Es handelt sich hierbei um eine spezielle Art von FSK (''Frequency Shift Keying'') mit CP–FSK (''kontinuierliche Phasenanpassung''), bei der | + | Das bei GSM eingesetzte Modulationsverfahren ist ''Gaussian Minimum Shift Keying'', kurz $\rm GMSK$. Es handelt sich hierbei um eine spezielle Art von $\rm FSK$ (''Frequency Shift Keying'') mit $\rm CP–FSK$ (''kontinuierliche Phasenanpassung''), bei der |
| − | *der Modulationsindex den kleinsten Wert besitzt, der die Orthogonalitätsbedingung gerade noch erfüllt: $h = 0.5$ ⇒ ''Minimum Shift Keying'', | + | *der Modulationsindex den kleinsten Wert besitzt, der die Orthogonalitätsbedingung gerade noch erfüllt: $h = 0.5$ ⇒ ''Minimum Shift Keying'' $\rm (MSK)$, |
*ein Gaußtiefpass mit der Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$ vor dem FSK–Modulator eingebracht wird, mit dem Ziel, um so noch weiter Bandbreite einzusparen. | *ein Gaußtiefpass mit der Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$ vor dem FSK–Modulator eingebracht wird, mit dem Ziel, um so noch weiter Bandbreite einzusparen. | ||
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Die Grafik verdeutlicht den Sachverhalt: | Die Grafik verdeutlicht den Sachverhalt: | ||
| − | *Die digitale Nachricht wird durch die Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu} ∈ \{±1\}$ repräsentiert, die einem Diracpuls beaufschlagt sind. Anzumerken ist, dass die eingezeichnete Folge für die Teilaufgabe '''(3)''' vorausgesetzt wird. | + | *Die digitale Nachricht wird durch die Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu} ∈ \{±1\}$ repräsentiert, die einem Diracpuls beaufschlagt sind. Anzumerken ist, dass die eingezeichnete Folge für die Teilaufgabe '''(3)''' vorausgesetzt wird. |
*Der symmetrische Rechteckimpuls mit Dauer $T = T_{\rm B}$ (GSM–Bitdauer) sei dimensionslos: | *Der symmetrische Rechteckimpuls mit Dauer $T = T_{\rm B}$ (GSM–Bitdauer) sei dimensionslos: | ||
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:$$q_{\rm R} (t) = q_{\rm \delta} (t) \star g_{\rm R}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g_{\rm R}(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$ | :$$q_{\rm R} (t) = q_{\rm \delta} (t) \star g_{\rm R}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g_{\rm R}(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
*Der Gaußtiefpass ist durch seinen Frequenzgang bzw. seine Impulsantwort gegeben: | *Der Gaußtiefpass ist durch seinen Frequenzgang bzw. seine Impulsantwort gegeben: | ||
| − | :$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi\cdot ( | + | :$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\big({f}/(2 f_{\rm G})\big)^2} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\cdot (2 f_{\rm G}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t)^2}\hspace{0.05cm},$$ |
| − | :wobei die systemtheoretische Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ verwendet wird. In der GSM–Spezifikation wird aber die 3dB–Grenzfrequenz mit $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$ angegeben. Daraus kann $f_{\rm G}$ direkt berechnet werden – siehe Teilaufgabe '''(2)'''. | + | :wobei die systemtheoretische Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ verwendet wird. In der GSM–Spezifikation wird aber die 3dB–Grenzfrequenz mit $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$ angegeben. Daraus kann $f_{\rm G}$ direkt berechnet werden – siehe Teilaufgabe '''(2)'''. |
*Das Signal nach dem Gaußtiefpass lautet somit: | *Das Signal nach dem Gaußtiefpass lautet somit: | ||
:$$q_{\rm G} (t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$ | :$$q_{\rm G} (t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | :Hierbei wird $g(t)$ als ''Frequenzimpuls'' bezeichnet. Für diesen gilt: | + | :Hierbei wird $g(t)$ als ''Frequenzimpuls'' bezeichnet. Für diesen gilt: |
:$$g(t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) \hspace{0.05cm}.$$ | :$$g(t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
*Mit dem tiefpassgefilterten Signal $q_{\rm G}(t)$, der Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ und dem Frequenzhub $\Delta f_{\rm A}$ kann somit für die Augenblicksfrequenz am Ausgang des FSK–Modulators geschrieben werden: | *Mit dem tiefpassgefilterten Signal $q_{\rm G}(t)$, der Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ und dem Frequenzhub $\Delta f_{\rm A}$ kann somit für die Augenblicksfrequenz am Ausgang des FSK–Modulators geschrieben werden: | ||
| + | [[Datei:P_ID2226__Bei_A_3_4b.png|right|frame|Tabelle der Gaußschen Fehlerfunktion]] | ||
:$$f_{\rm A}(t) = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \cdot q_{\rm G} (t)\hspace{0.05cm}.$$ | :$$f_{\rm A}(t) = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \cdot q_{\rm G} (t)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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*Verwenden Sie für Ihre Berechnungen die beispielhaften Werte $f_{\rm T} = 900 \ \rm MHz$ und $\Delta f_{\rm A} = 68 \ \rm kHz$. | *Verwenden Sie für Ihre Berechnungen die beispielhaften Werte $f_{\rm T} = 900 \ \rm MHz$ und $\Delta f_{\rm A} = 68 \ \rm kHz$. | ||
| − | *Verwenden Sie zur Lösung der Aufgabe das Gaußintegral (einige Zahlenwerte sind in | + | *Verwenden Sie zur Lösung der Aufgabe das Gaußintegral (einige Zahlenwerte sind in obiger Tabelle angegeben): |
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| − | :$$\phi(x) =\frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int^{x} _{-\infty} {\rm e}^{-u^2/2}\,{\rm d}u \hspace{0.05cm}.$$ | + | :$${\rm \phi}(x) =\frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int^{x} _{-\infty} {\rm e}^{-u^2/2}\,{\rm d}u \hspace{0.05cm}.$$ |
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| − | {In welchem Wertebereich kann die Augenblicksfrequenz $f_{\rm A}(t)$ schwanken? Welche Voraussetzungen müssen dafür erfüllt sein? | + | {In welchem Wertebereich kann die Augenblicksfrequenz $f_{\rm A}(t)$ schwanken? Welche Voraussetzungen müssen dafür erfüllt sein? |
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${\rm Max} \ \big[f_{\rm A}(t)\big] \ = \hspace{0.2cm} $ { 900.068 0.01% } $\ \rm MHz$ | ${\rm Max} \ \big[f_{\rm A}(t)\big] \ = \hspace{0.2cm} $ { 900.068 0.01% } $\ \rm MHz$ | ||
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$f_{\rm G} \cdot T \ = \ $ { 0.45 3% } | $f_{\rm G} \cdot T \ = \ $ { 0.45 3% } | ||
| − | {Berechnen Sie den Frequenzimpuls $g(t)$ unter Verwendung der Funktion $\phi (x)$. Wie groß ist der Impulswert $g(t = 0)$? | + | {Berechnen Sie den Frequenzimpuls $g(t)$ unter Verwendung der Funktion $\phi (x)$. Wie groß ist der Impulswert $g(t = 0)$? |
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$g(t = 0) \ = \ $ { 0.737 3% } | $g(t = 0) \ = \ $ { 0.737 3% } | ||
| − | {Welcher Signalwert ergibt sich für $q_{\rm G}(t = 3T)$ mit $a_{3} = | + | {Welcher Signalwert ergibt sich für $q_{\rm G}(t = 3T)$ mit $a_{3} = -1$ sowie $a_{\mu \ne 3} = +1$? Wie groß ist die Augenblicksfrequenz $f_{\rm A}(t = 3T)$? |
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$q_{\rm G}(t = 3T) \ = \ $ { -0.51822--0.42978 } | $q_{\rm G}(t = 3T) \ = \ $ { -0.51822--0.42978 } | ||
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$g(t = ±T) \ = \ $ { 0.131 3% } | $g(t = ±T) \ = \ $ { 0.131 3% } | ||
| − | {Die Amplitudenkoeffizienten seien alternierend. Welcher maximale Betrag von $q_{G}(t)$ ergibt sich? Berücksichtigen Sie $g(t ≥ 2 T) \approx 0$. | + | {Die Amplitudenkoeffizienten seien alternierend. Welcher maximale Betrag von $q_{\rm G}(t)$ ergibt sich? Berücksichtigen Sie $g(t ≥ 2 T) \approx 0$. |
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${\rm Max} \ |q_{\rm G}(t)| \ = \ $ { 0.475 3% } | ${\rm Max} \ |q_{\rm G}(t)| \ = \ $ { 0.475 3% } | ||
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{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | '''(1)''' Sind alle Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu}$ gleich $+1$, so ist $q_{\rm R}(t) = 1$ eine Konstante. Damit hat der Gaußtiefpass keinen Einfluss und es ergibt sich $q_{\rm G}(t) = 1$. Die maximale Frequenz ist somit | + | '''(1)''' Sind alle Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu}$ gleich $+1$, so ist $q_{\rm R}(t) = 1$ eine Konstante. Damit hat der Gaußtiefpass keinen Einfluss und es ergibt sich $q_{\rm G}(t) = 1$. |
| + | *Die maximale Frequenz ist somit | ||
:$${\rm Max}\ [f_{\rm A}(t)] = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline {= 900.068\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$ | :$${\rm Max}\ [f_{\rm A}(t)] = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline {= 900.068\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Das Minimum der Augenblicksfrequenz | + | *Das Minimum der Augenblicksfrequenz |
:$${\rm Min}\ [f_{\rm A}(t)] = f_{\rm T} - \Delta f_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline { = 899.932\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$ | :$${\rm Min}\ [f_{\rm A}(t)] = f_{\rm T} - \Delta f_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline { = 899.932\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$ | ||
| − | ergibt sich, wenn alle Amplitudenkoeffizienten negativ sind. In diesem Fall ist $q_{\rm R}(t) = q_{\rm G}(t) = -1$. | + | :ergibt sich, wenn alle Amplitudenkoeffizienten negativ sind. In diesem Fall ist $q_{\rm R}(t) = q_{\rm G}(t) = -1$. |
| − | '''(2)''' Diejenige Frequenz, bei der die logarithmierte Leistungsübertragungsfunktion gegenüber $f = 0$ um $3 \ \rm dB$ kleiner ist, bezeichnet man als die 3dB–Grenzfrequenz. Dies lässt sich auch wie folgt ausdrücken: | + | |
| + | '''(2)''' Diejenige Frequenz, bei der die logarithmierte Leistungsübertragungsfunktion gegenüber $f = 0$ um $3 \ \rm dB$ kleiner ist, bezeichnet man als die 3dB–Grenzfrequenz. | ||
| + | *Dies lässt sich auch wie folgt ausdrücken: | ||
:$$\frac {|H(f = f_{\rm 3dB})|}{|H(f = 0)|}= \frac{1}{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$\frac {|H(f = f_{\rm 3dB})|}{|H(f = 0)|}= \frac{1}{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Insbesondere gilt für den Gaußtiefpass wegen $H(f = 0) = 1$: | + | *Insbesondere gilt für den Gaußtiefpass wegen $H(f = 0) = 1$: |
| − | :$$ H(f = f_{\rm 3dB})= {\rm e}^{-\pi\cdot ({f_{\rm 3dB}}/ | + | :$$ H(f = f_{\rm 3dB})= {\rm e}^{-\pi\cdot \big ({f_{\rm 3dB}}/(2 f_{\rm G})\big)^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hspace{0.3cm} |
\Rightarrow \hspace{0.3cm}(\frac{f_{\rm 3dB}}{2 f_{\rm G}})^2 = \frac{{\rm ln}\hspace{0.1cm}\sqrt{2}}{\pi} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm G} = \sqrt{\frac{\pi}{4 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}\sqrt{2}}}\cdot f_{\rm 3dB}\hspace{0.05cm}.$$ | \Rightarrow \hspace{0.3cm}(\frac{f_{\rm 3dB}}{2 f_{\rm G}})^2 = \frac{{\rm ln}\hspace{0.1cm}\sqrt{2}}{\pi} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm G} = \sqrt{\frac{\pi}{4 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}\sqrt{2}}}\cdot f_{\rm 3dB}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Die numerische Auswertung führt auf $f_{\rm G} \approx 1.5 \cdot f_{\rm 3dB}$. Aus $f_{\rm 3dB} \cdot T = 0.3$ folgt somit $f_{\rm G} \cdot T \underline{\approx 0.45}$. | + | *Die numerische Auswertung führt auf $f_{\rm G} \approx 1.5 \cdot f_{\rm 3dB}$. |
| + | *Aus $f_{\rm 3dB} \cdot T = 0.3$ folgt somit $f_{\rm G} \cdot T \underline{\approx 0.45}$. | ||
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| − | '''(3)''' Der gesuchte Frequenzimpuls ${\rm g}(t)$ ergibt sich aus der Faltung von Rechteckfunktion $g_{\rm R}(t)$ mit der Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$: | + | '''(3)''' Der gesuchte Frequenzimpuls ${\rm g}(t)$ ergibt sich aus der Faltung von Rechteckfunktion $g_{\rm R}(t)$ mit der Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$: |
:$$g(t) = g_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot \int^{t + T/2} _{t - T/2} {\rm e}^{-\pi\cdot (2 f_{\rm G}\cdot \tau)^2}\,{\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$ | :$$g(t) = g_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot \int^{t + T/2} _{t - T/2} {\rm e}^{-\pi\cdot (2 f_{\rm G}\cdot \tau)^2}\,{\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Mit der Substitution $u^{2} = 8π \cdot {f_{G}}^{2} \cdot \tau^{2}$ und der Funktion $\phi (x)$ kann man hierfür auch schreiben: | + | *Mit der Substitution $u^{2} = 8π \cdot {f_{G}}^{2} \cdot \tau^{2}$ und der Funktion $\phi (x)$ kann man hierfür auch schreiben: |
:$$g(t) = \ \frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int^{2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t + T/2)} _{2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t - T/2)} {\rm e}^{-u^2/2}\,{\rm d}u = \ \phi(2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t + T/2))- \phi(2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t - T/2)) \hspace{0.05cm}.$$ | :$$g(t) = \ \frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int^{2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t + T/2)} _{2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t - T/2)} {\rm e}^{-u^2/2}\,{\rm d}u = \ \phi(2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t + T/2))- \phi(2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t - T/2)) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Für die Zeit $t = 0$ gilt unter Berücksichtigung von $\phi (-x) = 1 - \phi (x)$ und $f_{\rm G} \cdot T = 0.45$: | + | *Für die Zeit $t = 0$ gilt unter Berücksichtigung von $\phi (-x) = 1 - \phi (x)$ und $f_{\rm G} \cdot T = 0.45$: |
:$$g(t = 0) = \ \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)- \phi(-\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)= \ 2 \cdot \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)-1 \approx 2 \cdot \phi(1.12)-1 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.737} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$g(t = 0) = \ \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)- \phi(-\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)= \ 2 \cdot \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)-1 \approx 2 \cdot \phi(1.12)-1 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.737} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | '''(4)''' Mit $a_{3} = +1$ würde sich $q_{\rm G}(t = 3 T) = 1$ ergeben. Aufgrund der Linearität gilt somit: | + | |
| + | '''(4)''' Mit $a_{3} = +1$ würde sich $q_{\rm G}(t = 3 T) = 1$ ergeben. Aufgrund der Linearität gilt somit: | ||
:$$q_{\rm G}(t = 3 T ) = 1 - 2 \cdot g(t = 0)= 1 - 2 \cdot 0.737 \hspace{0.15cm} \underline {= -0.474} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$q_{\rm G}(t = 3 T ) = 1 - 2 \cdot g(t = 0)= 1 - 2 \cdot 0.737 \hspace{0.15cm} \underline {= -0.474} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | '''(5)''' Mit dem Ergebnis aus (3) und $f_{\rm G} \cdot T = 0.45$ erhält man: | + | |
| + | '''(5)''' Mit dem Ergebnis aus '''(3)''' und $f_{\rm G} \cdot T = 0.45$ erhält man: | ||
:$$g(t = T) = \ \phi(3 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)- \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T) \approx \phi(3.36)-\phi(1.12) = 0.999 - 0.868 \hspace{0.15cm} \underline { = 0.131} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$g(t = T) = \ \phi(3 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)- \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T) \approx \phi(3.36)-\phi(1.12) = 0.999 - 0.868 \hspace{0.15cm} \underline { = 0.131} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Der Impulswert $g(t = | + | *Der Impulswert $g(t = -T)$ ist aufgrund der Symmetrie des Gaußtiefpasses genau so groß. |
| + | |||
| − | '''(6)''' Bei alternierender Folge sind aus Symmetriegründen die Beträge $|q_{\rm G}(\mu \cdot T)|$ bei allen Vielfachen der Bitdauer $T$ alle gleich. Alle Zwischenwerte bei $t \approx \mu \cdot T$ sind dagegen kleiner. Unter Berücksichtigung von $g(t ≥ 2T) \approx 0$ wird jeder einzelne Impulswert $g(0)$ durch den vorangegangenen Impuls mit $g(t = T)$ verkleinert, ebenso vom folgenden Impuls mit $g(t = -T)$. | + | '''(6)''' Bei alternierender Folge sind aus Symmetriegründen die Beträge $|q_{\rm G}(\mu \cdot T)|$ bei allen Vielfachen der Bitdauer $T$ alle gleich. |
| + | *Alle Zwischenwerte bei $t \approx \mu \cdot T$ sind dagegen kleiner. | ||
| + | *Unter Berücksichtigung von $g(t ≥ 2T) \approx 0$ wird jeder einzelne Impulswert $g(0)$ durch den vorangegangenen Impuls mit $g(t = T) $ verkleinert, ebenso vom folgenden Impuls mit $g(t = -T)$. | ||
| − | Es ergeben sich also Impulsinterferenzen und man erhält: | + | *Es ergeben sich also Impulsinterferenzen und man erhält: |
:$${\rm Max} \hspace{0.12cm}[q_{\rm G}(t)] = g(t = 0) - 2 \cdot g(t = T) = 0.737 - 2 \cdot 0.131 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.475 }\hspace{0.05cm}.$$ | :$${\rm Max} \hspace{0.12cm}[q_{\rm G}(t)] = g(t = 0) - 2 \cdot g(t = T) = 0.737 - 2 \cdot 0.131 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.475 }\hspace{0.05cm}.$$ | ||
Aktuelle Version vom 13. August 2020, 17:08 Uhr
Verschiedene Signale bei GMSK-Modulation
Das bei GSM eingesetzte Modulationsverfahren ist Gaussian Minimum Shift Keying, kurz $\rm GMSK$. Es handelt sich hierbei um eine spezielle Art von $\rm FSK$ (Frequency Shift Keying) mit $\rm CP–FSK$ (kontinuierliche Phasenanpassung), bei der
- der Modulationsindex den kleinsten Wert besitzt, der die Orthogonalitätsbedingung gerade noch erfüllt: $h = 0.5$ ⇒ Minimum Shift Keying $\rm (MSK)$,
- ein Gaußtiefpass mit der Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$ vor dem FSK–Modulator eingebracht wird, mit dem Ziel, um so noch weiter Bandbreite einzusparen.
Die Grafik verdeutlicht den Sachverhalt:
- Die digitale Nachricht wird durch die Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu} ∈ \{±1\}$ repräsentiert, die einem Diracpuls beaufschlagt sind. Anzumerken ist, dass die eingezeichnete Folge für die Teilaufgabe (3) vorausgesetzt wird.
- Der symmetrische Rechteckimpuls mit Dauer $T = T_{\rm B}$ (GSM–Bitdauer) sei dimensionslos:
- $$g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c} |\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}| < T/2 \hspace{0.05cm}, \\ |\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}| > T/2 \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
- Damit ergibt sich für das Rechtecksignal:
- $$q_{\rm R} (t) = q_{\rm \delta} (t) \star g_{\rm R}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g_{\rm R}(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
- Der Gaußtiefpass ist durch seinen Frequenzgang bzw. seine Impulsantwort gegeben:
- $$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\big({f}/(2 f_{\rm G})\big)^2} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\cdot (2 f_{\rm G}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t)^2}\hspace{0.05cm},$$
- wobei die systemtheoretische Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ verwendet wird. In der GSM–Spezifikation wird aber die 3dB–Grenzfrequenz mit $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$ angegeben. Daraus kann $f_{\rm G}$ direkt berechnet werden – siehe Teilaufgabe (2).
- Das Signal nach dem Gaußtiefpass lautet somit:
- $$q_{\rm G} (t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
- Hierbei wird $g(t)$ als Frequenzimpuls bezeichnet. Für diesen gilt:
- $$g(t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) \hspace{0.05cm}.$$
- Mit dem tiefpassgefilterten Signal $q_{\rm G}(t)$, der Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ und dem Frequenzhub $\Delta f_{\rm A}$ kann somit für die Augenblicksfrequenz am Ausgang des FSK–Modulators geschrieben werden:
Tabelle der Gaußschen Fehlerfunktion
- $$f_{\rm A}(t) = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \cdot q_{\rm G} (t)\hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Die Charakteristika von GSM.
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Funkschnittstelle im Buch „Beispiele von Nachrichtensystemen”.
- Verwenden Sie für Ihre Berechnungen die beispielhaften Werte $f_{\rm T} = 900 \ \rm MHz$ und $\Delta f_{\rm A} = 68 \ \rm kHz$.
- Verwenden Sie zur Lösung der Aufgabe das Gaußintegral (einige Zahlenwerte sind in obiger Tabelle angegeben):
- $${\rm \phi}(x) =\frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int^{x} _{-\infty} {\rm e}^{-u^2/2}\,{\rm d}u \hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Sind alle Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu}$ gleich $+1$, so ist $q_{\rm R}(t) = 1$ eine Konstante. Damit hat der Gaußtiefpass keinen Einfluss und es ergibt sich $q_{\rm G}(t) = 1$.
- Die maximale Frequenz ist somit
- $${\rm Max}\ [f_{\rm A}(t)] = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline {= 900.068\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$
- Das Minimum der Augenblicksfrequenz
- $${\rm Min}\ [f_{\rm A}(t)] = f_{\rm T} - \Delta f_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline { = 899.932\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$
- ergibt sich, wenn alle Amplitudenkoeffizienten negativ sind. In diesem Fall ist $q_{\rm R}(t) = q_{\rm G}(t) = -1$.
(2) Diejenige Frequenz, bei der die logarithmierte Leistungsübertragungsfunktion gegenüber $f = 0$ um $3 \ \rm dB$ kleiner ist, bezeichnet man als die 3dB–Grenzfrequenz.
- Dies lässt sich auch wie folgt ausdrücken:
- $$\frac {|H(f = f_{\rm 3dB})|}{|H(f = 0)|}= \frac{1}{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm}.$$
- Insbesondere gilt für den Gaußtiefpass wegen $H(f = 0) = 1$:
- $$ H(f = f_{\rm 3dB})= {\rm e}^{-\pi\cdot \big ({f_{\rm 3dB}}/(2 f_{\rm G})\big)^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}(\frac{f_{\rm 3dB}}{2 f_{\rm G}})^2 = \frac{{\rm ln}\hspace{0.1cm}\sqrt{2}}{\pi} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm G} = \sqrt{\frac{\pi}{4 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}\sqrt{2}}}\cdot f_{\rm 3dB}\hspace{0.05cm}.$$
- Die numerische Auswertung führt auf $f_{\rm G} \approx 1.5 \cdot f_{\rm 3dB}$.
- Aus $f_{\rm 3dB} \cdot T = 0.3$ folgt somit $f_{\rm G} \cdot T \underline{\approx 0.45}$.
(3) Der gesuchte Frequenzimpuls ${\rm g}(t)$ ergibt sich aus der Faltung von Rechteckfunktion $g_{\rm R}(t)$ mit der Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$:
- $$g(t) = g_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot \int^{t + T/2} _{t - T/2} {\rm e}^{-\pi\cdot (2 f_{\rm G}\cdot \tau)^2}\,{\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$
- Mit der Substitution $u^{2} = 8π \cdot {f_{G}}^{2} \cdot \tau^{2}$ und der Funktion $\phi (x)$ kann man hierfür auch schreiben:
- $$g(t) = \ \frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int^{2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t + T/2)} _{2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t - T/2)} {\rm e}^{-u^2/2}\,{\rm d}u = \ \phi(2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t + T/2))- \phi(2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t - T/2)) \hspace{0.05cm}.$$
- Für die Zeit $t = 0$ gilt unter Berücksichtigung von $\phi (-x) = 1 - \phi (x)$ und $f_{\rm G} \cdot T = 0.45$:
- $$g(t = 0) = \ \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)- \phi(-\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)= \ 2 \cdot \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)-1 \approx 2 \cdot \phi(1.12)-1 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.737} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Mit $a_{3} = +1$ würde sich $q_{\rm G}(t = 3 T) = 1$ ergeben. Aufgrund der Linearität gilt somit:
- $$q_{\rm G}(t = 3 T ) = 1 - 2 \cdot g(t = 0)= 1 - 2 \cdot 0.737 \hspace{0.15cm} \underline {= -0.474} \hspace{0.05cm}.$$
(5) Mit dem Ergebnis aus (3) und $f_{\rm G} \cdot T = 0.45$ erhält man:
- $$g(t = T) = \ \phi(3 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)- \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T) \approx \phi(3.36)-\phi(1.12) = 0.999 - 0.868 \hspace{0.15cm} \underline { = 0.131} \hspace{0.05cm}.$$
- Der Impulswert $g(t = -T)$ ist aufgrund der Symmetrie des Gaußtiefpasses genau so groß.
(6) Bei alternierender Folge sind aus Symmetriegründen die Beträge $|q_{\rm G}(\mu \cdot T)|$ bei allen Vielfachen der Bitdauer $T$ alle gleich.
- Alle Zwischenwerte bei $t \approx \mu \cdot T$ sind dagegen kleiner.
- Unter Berücksichtigung von $g(t ≥ 2T) \approx 0$ wird jeder einzelne Impulswert $g(0)$ durch den vorangegangenen Impuls mit $g(t = T) $ verkleinert, ebenso vom folgenden Impuls mit $g(t = -T)$.
- Es ergeben sich also Impulsinterferenzen und man erhält:
- $${\rm Max} \hspace{0.12cm}[q_{\rm G}(t)] = g(t = 0) - 2 \cdot g(t = T) = 0.737 - 2 \cdot 0.131 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.475 }\hspace{0.05cm}.$$
