Applets:Diskrete Fouriertransformation und Inverse: Unterschied zwischen den Versionen

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{{LntAppletLink|gauss}}  
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{{LntAppletLinkDeEn|dft|dft_en}}
  
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==Programmbeschreibung==
 
==Programmbeschreibung==
 
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Das Applet verdeutlicht die Eigenschaften zweidimensionaler Gaußscher Zufallsgrößen&nbsp; $XY\hspace{-0.1cm}$, gekennzeichnet durch die Standardabweichungen (Streuungen)&nbsp; $\sigma_X$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_Y$&nbsp; ihrer beiden Komponenten sowie den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{XY}$&nbsp;zwischen diesen. Die Komponenten werden als mittelwertfrei vorausgesetzt:&nbsp; $m_X = m_Y = 0$.
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Die herkömmliche Fouriertransformation&nbsp; $\rm (FT)$&nbsp; ermöglicht die Berechnung der Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; eines zeitkontinuierlichen Signals&nbsp; $x(t)$.&nbsp;  
  
Das Applet zeigt
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Im Gegensatz dazu beschränkt man sich bei der Diskreten Fouriertransformation&nbsp; $\rm (DFT)$&nbsp; auf ein zeitdiskretes Signal, darstellbar durch&nbsp; $N$&nbsp; Zeitbereichskoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$&nbsp; mit Indizes&nbsp; $\nu = 0, \text{...} , N\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}1$, die als äquididante Abtastwerte des &nbsp;zeitkontinuierlichen Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; interpretiert werden können.
* die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; $f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$&nbsp; in dreidimensionaler Darstellung sowie in Form von Höhenlinien,
 
* die zugehörige Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; &rArr; &nbsp; $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; $f_{X}(x)$&nbsp;  der Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; als blaue Kurve;  ebenso&nbsp; $f_{Y}(y)$&nbsp; für die zweite Zufallsgröße,
 
* die zweidimensionale Verteilungsfunktion  &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$&nbsp; $F_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$&nbsp; als 3D-Plot,
 
* die Verteilungsfunktion&nbsp; &rArr; &nbsp; $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$&nbsp; $F_{X}(x)$&nbsp; der Zufallsgröße&nbsp; $X$;  ebenso&nbsp; $F_{Y}(y)$&nbsp; als rote Kurve.
 
  
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Ist das&nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Das_Abtasttheorem|Abtasttheorem]]&nbsp; erfüllt, so ermöglicht der DFT&ndash;Algorithmus die Berechnung von ebenfalls &nbsp;$N$&nbsp; Frequenzbereichskoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; mit Indizes&nbsp; $\mu = 0, \text{...} , N\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}1$.&nbsp; Diese sind äquididante Abtastwerte des &nbsp;frequenzkontinuierlichen Spektrums&nbsp; $X(f)$.   
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*Das Applet verdeutlicht die Eigenschaften der&nbsp; $\text{DFT:}\hspace{0.3cm}d(\nu)\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} D(\mu)$&nbsp; am Beispiel&nbsp; $N=16$.&nbsp; Die vorgegebenen&nbsp; $d(\nu)$&ndash;Belegungen für die DFT sind:
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:(a)&nbsp; entsprechend Zahlenfeld,&nbsp; (b)&nbsp; Gleichsignal,&nbsp; (c)&nbsp;  Komplexe Exponentialfunktion der Zeit,&nbsp; (d)&nbsp;  Harmonische Schwingung &nbsp;$($Phase &nbsp;$\varphi = 45^\circ)$,
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:(e)&nbsp; Cosinussignal (eine Periode),&nbsp; (f)&nbsp; Sinussignal (eine Periode),&nbsp; (g)&nbsp;  Cosinussignal (zwei Perioden),&nbsp;(h)&nbsp;  Alternierende Zeitkoeffizienten, 
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:&nbsp; (i)&nbsp; Diracimpuls,&nbsp; (j)&nbsp; Rechteckimpuls,&nbsp; (k)&nbsp;  Dreieckimpuls,&nbsp; (l)&nbsp;  Gaußimpuls.
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*Mögliche &nbsp;$D(\mu)$&ndash;Belegungen für die Invese Diskrete Fouriertransformation &nbsp; &rArr; &nbsp; $\text{IDFT:}\hspace{0.3cm}D(\mu)\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} d(\nu)$&nbsp;  sind:
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:(A)&nbsp; entsprechend Zahlenfeld,&nbsp; (B)&nbsp; Konstantes Spektrum,&nbsp; (C)&nbsp;  Komplexe Exponentialfunktion der Frequenz,&nbsp; (D)&nbsp;  äquivalent zur Einstellung (d) im Zeitbereich ,
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:(E)&nbsp; Cosinussignal (eine Frequenzperiode),&nbsp; (F)&nbsp; Sinussignal (eine Frequenzperiode),&nbsp; (G)&nbsp;  Cosinussignal (zwei Frequenzperioden),&nbsp; (H)&nbsp;  Alternierende Spektralkoeffizienten,
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:(I)&nbsp; Diracspektrum,&nbsp; (J)&nbsp; Rechteckspektrum,&nbsp; (K)&nbsp;  Dreieckspektrum,&nbsp; (L)&nbsp;  Gaußspektrum. 
  
 
Das Applet verwendet das Framework &nbsp;[https://en.wikipedia.org/wiki/Plotly Plot.ly]
 
Das Applet verwendet das Framework &nbsp;[https://en.wikipedia.org/wiki/Plotly Plot.ly]
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==Theoretischer Hintergrund==
 
==Theoretischer Hintergrund==
 
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===Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion &nbsp; &rArr; &nbsp; 2D&ndash;WDF===
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===Argumente für die diskrete Realisierung der Fouriertransformation===
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Die&nbsp; '''Fouriertransformation'''&nbsp; gemäß der herkömmlichen Beschreibung für zeitkontinuierliche Signale weist aufgrund der unbegrenzten Ausdehnung des Integrationsintervalls eine unendlich hohe Selektivität auf und ist deshalb ein ideales theoretisches Hilfsmittel der Spektralanalyse.
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Sollen die Spektralanteile&nbsp; $X(f)$&nbsp; einer Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; numerisch ermittelt werden, so sind die allgemeinen Transformationsgleichungen
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:$$\begin{align*}X(f) & =  \int_{-\infty
 +
}^{+\infty}x(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi f t}\hspace{0.1cm} {\rm d}t\hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} \text{Hintransformation}\hspace{0.7cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} \text{Erstes Fourierintegral}
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\hspace{0.05cm},\\
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x(t) & =  \int_{-\infty
 +
}^{+\infty}\hspace{-0.15cm}X(f) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi f t}\hspace{0.1cm} {\rm d}f\hspace{0.35cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm}
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\text{Rücktransformation}\hspace{0.4cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} \text{Zweites Fourierintegral}
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\hspace{0.05cm}\end{align*}$$
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aus zwei Gründen ungeeignet:
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*Die Gleichungen gelten ausschließlich für zeitkontinuierliche Signale. Mit Digitalrechnern oder Signalprozessoren kann man jedoch nur zeitdiskrete Signale verarbeiten.
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*Für eine numerische Auswertung der beiden Fourierintegrale ist es erforderlich, das jeweilige Integrationsintervall auf einen endlichen Wert zu begrenzen.
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{{BlaueBox|TEXT=
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$\text{Daraus ergibt sich folgende Konsequenz:}$&nbsp;
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Ein&nbsp; '''kontinuierliches Signal'''&nbsp; muss vor der numerischen Bestimmung seiner Spektraleigenschaften zwei Prozesse durchlaufen, nämlich
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*den der&nbsp; '''Abtastung'''&nbsp; zur Diskretisierung, und
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*den der&nbsp; '''Fensterung'''&nbsp; zur Begrenzung des Integrationsintervalls.}}
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Im Folgenden wird ausgehend von einer aperiodischen Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; und dem dazugehörigen Fourierspektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; eine für die Rechnerverarbeitung geeignete zeit– und frequenzdiskrete Beschreibung vorgestellt.
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===Zeitdiskretisierung &ndash; Periodifizierung im Frequenzbereich===
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Die folgenden Grafiken zeigen einheitlich links den Zeitbereich und rechts den Frequenzbereich. Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit sind&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $X(f)$&nbsp; jeweils reell und gaußförmig.
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[[Datei:P_ID1132__Sig_T_5_1_S2_neu.png|center|frame|Diskretisierung im Zeitbereich – Periodifizierung im Frequenzbereich]]
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Man kann die Abtastung des Zeitsignals&nbsp; $x(t)$&nbsp; durch die Multiplikation mit einem Diracpuls&nbsp; $p_{\delta}(t)$&nbsp; beschreiben. Es ergibt sich das im Abstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; abgetastete Zeitsignal
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:$${\rm A}\{x(t)\} =  \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A})\cdot
 +
\delta (t- \nu \cdot T_{\rm A}
 +
)\hspace{0.05cm}.$$
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Dieses abgetastete Signal&nbsp; $\text{A}\{ x(t)\}$&nbsp; transformieren wir nun in den Frequenzbereich. Der Multiplikation des Diracpulses&nbsp; $p_{\delta}(t)$&nbsp; mit&nbsp; $x(t)$&nbsp; entspricht im Frequenzbereich die Faltung von&nbsp; $P_{\delta}(f)$&nbsp; mit&nbsp; $X(f)$. Es ergibt sich das periodifizierte Spektrum&nbsp; $\text{P}\{ X(f)\}$, wobei&nbsp; $f_{\rm P}$&nbsp; die Frequenzperiode der Funktion&nbsp; $\text{P}\{ X(f)\}$&nbsp; angibt:
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:$${\rm A}\{x(t)\} \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} {\rm P}\{X(f)\} =  \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty}
 +
X (f- \mu \cdot f_{\rm P} )\hspace{0.5cm} {\rm mit }\hspace{0.5cm}f_{\rm
 +
P}= {1}/{T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
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*Das abgetastete Signal nennen wir&nbsp; $\text{A}\{ x(t)\}$.
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* Die&nbsp; '''Frequenzperiode'''&nbsp; wird mit&nbsp; $f_{\rm P}$ = $1/T_{\rm A}$&nbsp; bezeichnet.
  
Wir betrachten zwei wertkontinuierliche Zufallsgrößen&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y\hspace{-0.1cm}$, zwischen denen statistische Abhängigkeiten bestehen können. Zur Beschreibung der Wechselbeziehungen zwischen diesen Größen ist es zweckmäßig, die beiden Komponenten zu einer&nbsp; '''zweidimensionalen Zufallsgröße'''&nbsp; $XY =(X, Y)$&nbsp; zusammenzufassen. Dann gilt:
 
  
{{BlaueBox|TEXT= 
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Die obige Grafik zeigt den hier beschriebenen Funktionalzusammenhang. Es ist anzumerken:
$\text{Definition:}$&nbsp;  
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*Die Frequenzperiode&nbsp; $f_{\rm P}$&nbsp; wurde hier bewusst klein gewählt, so dass die Überlappung der zu summierenden Spektren deutlich zu erkennen ist.
Die &nbsp;'''Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion'''&nbsp; ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF, &nbsp;englisch:&nbsp; ''Probability Density Function'', kurz:&nbsp;PDF) der zweidimensionalen Zufallsgröße&nbsp; $XY$&nbsp; an der Stelle&nbsp; $(x, y)$:
+
*In der Praxis sollte&nbsp; $f_{\rm P}$&nbsp; aufgrund des Abtasttheorems mindestens doppelt so groß sein wie die größte im Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; enthaltene Frequenz.
:$$f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y) =  \lim_{\left.{\Delta x\rightarrow 0 \atop {\Delta y\rightarrow 0} }\right.}\frac{ {\rm Pr}\big [ (x - {\rm \Delta} x/{\rm 2} \le X  \le x  + {\rm \Delta} x/{\rm 2}) \cap (y - {\rm \Delta} y/{\rm 2} \le Y \le y +{\rm \Delta}y/{\rm 2}) \big]  }{ {\rm \Delta} \ x\cdot{\rm \Delta} y}.$$
+
*Ist dies nicht erfüllt, so muss mit&nbsp; '''Aliasing'''&nbsp; gerechnet werden.
  
*Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder kurz&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; ist eine Erweiterung der eindimensionalen WDF.
 
*$∩$&nbsp; kennzeichnet die logische UND-Verknüpfung.
 
*$X$&nbsp; und&nbsp; $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und&nbsp; $x \in X$&nbsp; sowie &nbsp; $y \in Y$ geben  Realisierungen hiervon an.
 
*Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Theorieteil]].}}
 
  
  
Anhand dieser 2D–WDF&nbsp; $f_{XY}(x, y)$&nbsp; werden auch statistische Abhängigkeiten innerhalb der zweidimensionalen Zufallsgröße &nbsp;$XY$&nbsp; vollständig erfasst im Gegensatz zu den beiden eindimensionalen Dichtefunktionen &nbsp; ⇒ &nbsp; '''Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen''':
+
===Frequenzdiskretisierung &ndash; Periodifizierung im Zeitbereich===
:$$f_{X}(x) = \int _{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}y  ,$$
 
:$$f_{Y}(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x  .$$
 
  
Diese beiden Randdichtefunktionen&nbsp; $f_X(x)$&nbsp; und&nbsp; $f_Y(y)$  
+
Die Diskretisierung von&nbsp; $X(f)$&nbsp; lässt sich ebenfalls durch eine Multiplikation mit einem Diracpuls beschreiben. Es ergibt sich das im Abstand&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; abgetastete Spektrum:
*liefern lediglich statistische Aussagen über die Einzelkomponenten&nbsp; $X$&nbsp; bzw.&nbsp; $Y$,
+
*nicht jedoch über die Bindungen zwischen diesen.
+
:$${\rm A}\{X(f)\} =  X(f) \cdot  \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty}
 +
f_{\rm A} \cdot \delta (f- \mu \cdot f_{\rm A } ) =  \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty}
 +
f_{\rm A} \cdot X(\mu \cdot f_{\rm A } ) \cdot\delta (f- \mu \cdot f_{\rm A } )\hspace{0.05cm}.$$
  
 +
Transformiert man den hier verwendeten Frequenz–Diracpuls $($mit Impulsgewichten&nbsp; $f_{\rm A})$&nbsp; in den Zeitbereich, so erhält man mit&nbsp; $T_{\rm P} = 1/f_{\rm A}$:
 +
 +
:$$\sum_{\mu = - \infty }^{+\infty}
 +
f_{\rm A} \cdot \delta (f- \mu \cdot f_{\rm A } ) \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}
 +
\sum_{\nu = - \infty }^{+\infty}
 +
  \delta (t- \nu \cdot T_{\rm P } ) \hspace{0.05cm}.$$
  
Als quantitatives Maß für die linearen statistischen Bindungen &nbsp; &rArr; &nbsp; '''Korrelation'''&nbsp; verwendet man
+
Die Multiplikation mit&nbsp; $X(f)$&nbsp; entspricht im Zeitbereich der Faltung mit&nbsp; $x(t)$. Man erhält das im Abstand&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; periodifizierte Signal&nbsp; $\text{P}\{ x(t)\}$:
* die&nbsp; '''Kovarianz'''&nbsp; $\mu_{XY}$, die bei mittelwertfreien Komponenten gleich dem gemeinsamen linearen Moment erster Ordnung ist:
+
:$$\mu_{XY} = {\rm E}\big[X \cdot Y\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} X \cdot Y \cdot f_{XY}(x,y) \,{\rm d}x \,  {\rm d}y ,$$ 
+
:$${\rm A}\{X(f)\} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}
*den&nbsp; '''Korrelationskoeffizienten'''&nbsp; nach Normierung auf die beiden  Effektivwerte &nbsp;$σ_X$&nbsp; und&nbsp;$σ_Y$&nbsp; der beiden Komponenten:
+
{\rm P}\{x(t)\} = x(t) \star \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty}
:$$\rho_{XY}=\frac{\mu_{XY} }{\sigma_X \cdot \sigma_Y}.$$
+
  \delta (t- \nu \cdot T_{\rm P } )= \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty}
 +
  x (t- \nu \cdot T_{\rm P } ) \hspace{0.05cm}.$$
  
{{BlaueBox|TEXT=
+
[[Datei:P_ID1134__Sig_T_5_1_S3_neu.png|right|frame|Diskretisierung im Frequenzbereich – Periodifizierung im Zeitbereich]]
$\text{Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten:}$&nbsp;  
+
{{GraueBox|TEXT=
*Aufgrund der Normierung gilt stets&nbsp;  $-1 \le  ρ_{XY}  ≤ +1$.
+
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
*Sind die beiden Zufallsgrößen &nbsp;$X$&nbsp; und &nbsp;$Y$ unkorreliert, so ist &nbsp;$ρ_{XY} = 0$.
+
Dieser Zusammenhang ist in der Grafik veranschaulicht:
*Bei strenger linearer Abhängigkeit zwischen &nbsp;$X$&nbsp; und &nbsp;$Y$ ist &nbsp;$ρ_{XY}= ±1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; vollständige Korrelation.
+
*Aufgrund der groben Frequenzrasterung ergibt sich in diesem Beispiel für die Zeitperiode&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; ein relativ kleiner Wert.
*Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet, dass bei größerem &nbsp;$X$–Wert im statistischen Mittel auch &nbsp;$Y$&nbsp; größer ist als bei kleinerem &nbsp;$X$.
 
*Dagegen drückt ein negativer Korrelationskoeffizient aus, dass &nbsp;$Y$&nbsp; mit steigendem &nbsp;$X$&nbsp; im Mittel kleiner wird.}} 
 
<br><br>
 
  
===2D&ndash;WDF bei Gaußschen Zufallsgrößen===
 
  
Für den Sonderfall&nbsp; '''Gaußscher Zufallsgrößen'''&nbsp; – der Name geht auf den Wissenschaftler&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F Carl Friedrich Gauß]&nbsp;  zurück – können wir weiterhin vermerken:
+
* Deshalb unterscheidet sich das (blaue) periodifizierte Zeitsignal&nbsp; $\text{P}\{ x(t)\}$&nbsp; aufgrund von Überlappungen deutlich von&nbsp; $x(t)$.}}
*Die Verbund&ndash;WDF einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße&nbsp; $XY$&nbsp; mit Mittelwerten&nbsp; $m_X = 0$&nbsp; und&nbsp; $m_Y = 0$&nbsp; sowie dem Korrelationskoeffizienten&nbsp; $ρ = ρ_{XY}$&nbsp; lautet:
 
:$$f_{XY}(x,y)=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y \cdot \sqrt{\rm 1-\rho^2}}\ \cdot\ \exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot (1-\it\rho^{\rm 2} {\rm)}}\cdot(\frac {\it x^{\rm 2}}{\sigma_X^{\rm 2}}+\frac {\it y^{\rm 2}}{\sigma_Y^{\rm 2}}-\rm 2\it\rho\cdot\frac{x \cdot y}{\sigma_x \cdot \sigma_Y}\rm ) \rm \Bigg]\hspace{0.8cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}-1 \le \rho \le +1.$$
 
*Ersetzt man&nbsp; $x$&nbsp; durch&nbsp; $(x - m_X)$&nbsp; sowie&nbsp; $y$&nbsp; durch&nbsp; $(y- m_Y)$, so ergibt sich die allgemeinere WDF einer zweidimensionalen Gaußschen Zufallsgröße mit Mittelwert.  
 
*Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen&nbsp; $f_{X}(x)$&nbsp; und&nbsp; $f_{Y}(y)$&nbsp; einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße sind ebenfalls gaußförmig mit den Streuungen&nbsp; $σ_X$&nbsp; bzw.&nbsp; $σ_Y$.
 
*Bei unkorrelierten Komponenten&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$ muss in obiger Gleichung&nbsp; $ρ = 0$&nbsp; eingesetzt werden, und man erhält dann das Ergebnis:
 
:$$f_{XY}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{X}} \cdot\rm e^{-\it {x^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\hspace{0.05cm}\it\sigma_{X}^{\rm 2}} {\rm )}} \cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{\it Y}}\cdot e^{-\it {y^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\hspace{0.05cm}\it\sigma_{Y}^{\rm 2}} {\rm )}} = \it  f_{X} \rm (  \it  x \rm ) \cdot \it  f_{Y} \rm (  \it  y \rm ) .$$
 
  
{{BlaueBox|TEXT= 
 
$\text{Fazit:}$&nbsp; Im Sonderfall einer 2D-Zufallsgröße mit Gaußscher WDF&nbsp; $f_{XY}(x, y)$&nbsp; folgt aus der &nbsp;''Unkorreliertheit''&nbsp; auch direkt die&nbsp; ''statistische Unabhängigkeit:''
 
:$$f_{XY}(x,y)= f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y) . $$
 
  
Bitte beachten Sie:
+
===Finite Signaldarstellung===
*Bei keiner anderen WDF kann aus der&nbsp; ''Unkorreliertheit''&nbsp; auf die&nbsp; ''statistische Unabhängigkeit''&nbsp; geschlossen werden.
 
*Man kann aber stets  &nbsp; ⇒ &nbsp;  für jede beliebige 2D–WDF&nbsp; $f_{XY}(x, y)$&nbsp; von der&nbsp; ''statistischen Unabhängigkeit''&nbsp; auf die&nbsp; ''Unkorreliertheit''&nbsp; schließen, weil:
 
*Sind zwei Zufallsgrößen&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$&nbsp; völlig voneinander (statistisch) unabhängig, so gibt es zwischen ihnen natürlich auch keine ''linearen''&nbsp; Abhängigkeiten &nbsp;  <br>⇒ &nbsp;  sie sind dann auch unkorreliert&nbsp; &rArr; &nbsp; $ρ = 0$. }}
 
<br><br>
 
===Höhenlinien bei unkorrelierten Zufallsgrößen===
 
  
[[Datei:Sto_App_Bild2.png |frame| Höhenlinien der 2D-WDF bei unkorrelierten Größen | rechts]]
+
[[Datei:P_ID1135__Sig_T_5_1_S4_neu.png|right|frame|Finite Signale der Diskreten Fouriertransformation (DFT)]]
Aus der Bedingungsgleichung&nbsp; $f_{XY}(x, y) = {\rm const.}$&nbsp; können die Höhenlinien der WDF berechnet werden.
+
Zur so genannten&nbsp; ''finiten Signaldarstellung''&nbsp; kommt man,
 +
*wenn sowohl die Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$  
 +
*als auch die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$
  
Sind die Komponenten&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$ unkorreliert&nbsp; $(ρ_{XY} = 0)$, so erhält man als Gleichung für die Höhenlinien:
 
  
:$$\frac{x^{\rm 2}}{\sigma_{X}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2}}{\sigma_{Y}^{\rm 2}} =\rm const.$$
+
ausschließlich durch ihre Abtastwerte angegeben werden.
Die Höhenlinien beschreiben in diesem Fall folgende Figuren:
 
*'''Kreise'''&nbsp; (falls&nbsp; $σ_X = σ_Y$, &nbsp; grüne Kurve), oder
 
*'''Ellipsen'''&nbsp; (für&nbsp; $σ_X ≠ σ_Y$, &nbsp; blaue Kurve) in Ausrichtung der beiden Achsen.  
 
 
<br clear=all>
 
<br clear=all>
===Korrelationsgerade===
+
Die Grafik ist wie folgt zu interpretieren:
 +
*Im linken Bild blau eingezeichnet ist die Funktion&nbsp; $\text{A}\{ \text{P}\{ x(t)\}\}$. Diese ergibt sich durch Abtastung der periodifizierten Zeitfunktion&nbsp; $\text{P}\{ x(t)\}$&nbsp; mit äquidistanten Diracimpulsen im Abstand&nbsp; $T_{\rm A} = 1/f_{\rm P}$.
 +
*Im rechten Bild grün eingezeichnet ist die Funktion&nbsp; $\text{P}\{ \text{A}\{ X(f)\}\}$. Diese ergibt sich durch Periodifizierung $($mit&nbsp; $f_{\rm P})$&nbsp; der abgetasteten Spektralfunktion&nbsp; $\{ \text{A}\{ X(f)\}\}$.
 +
*Zwischen dem blauen finiten Signal und dem grünen finiten Signal besteht ebenfalls eine Fourierkorrespondenz, und zwar die folgende:
 +
 +
:$${\rm A}\{{\rm P}\{x(t)\}\} \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} {\rm P}\{{\rm A}\{X(f)\}\} \hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
{{BlaueBox|TEXT=
 +
Die Diraclinien der periodischen Fortsetzung&nbsp; $\text{P}\{ \text{A}\{ X(f)\}\}$&nbsp; der abgetasteten Spektralfunktion fallen allerdings nur dann in das gleiche Frequenzraster wie diejenigen von&nbsp; $\text{A}\{ X(f)\}$, wenn die Frequenzperiode&nbsp; $f_{\rm P}$&nbsp; ein ganzzahliges Vielfaches&nbsp; $(N)$&nbsp; des Frequenzabtastabstandes&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; ist.
 +
 
 +
*Bei Anwendung der finiten Signaldarstellung muss stets die folgende Bedingung erfüllt sein, wobei für die natürliche Zahl&nbsp; $N$&nbsp; in der Praxis meist eine Zweierpotenz verwendet wird&nbsp; (der obigen Grafik liegt der Wert&nbsp; $N = 8$&nbsp; zugrunde):
 +
 +
:$$f_{\rm P} = N \cdot f_{\rm A} \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} {1}/{T_{\rm A} }= N \cdot f_{\rm A} \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm}
 +
N \cdot f_{\rm A}\cdot T_{\rm A} = 1\hspace{0.05cm}.$$}}
 +
 
 +
 
 +
Bei Einhaltung der Bedingung&nbsp; $N \cdot f_{\rm A} \cdot T_{\rm A} = 1$&nbsp; ist die Reihenfolge von Periodifizierung und Abtastung vertauschbar. Somit gilt:
 +
 +
:$${\rm A}\{{\rm P}\{x(t)\}\} = {\rm P}\{{\rm A}\{x(t)\}\}\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
 +
{\rm P}\{{\rm A}\{X(f)\}\} = {\rm A}\{{\rm P}\{X(f)\}\}\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
{{BlaueBox|TEXT=
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$\text{Fazit:}$&nbsp;
 +
*Die Zeitfunktion&nbsp; $\text{P}\{ \text{A}\{ x(t)\}\}$&nbsp; besitzt die Periode&nbsp; $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$.
 +
*Die Periode im Frequenzbereich ist&nbsp; $f_{\rm P} = N \cdot f_{\rm A}$.
 +
*Zur Beschreibung des diskretisierten Zeit– und Frequenzverlaufs reichen somit jeweils&nbsp; $N$&nbsp; '''komplexe Zahlenwerte''' in Form von Impulsgewichten aus.}}
 +
 
 +
 
 +
{{GraueBox|TEXT=
 +
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
 +
Es liegt ein zeitbegrenztes (impulsartiges) Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; in abgetasteter Form vor, wobei  der Abstand zweier Abtastwerte&nbsp; $T_{\rm A} = 1\, {\rm &micro; s}$&nbsp; beträgt:
 +
*Nach einer diskreten Fouriertransformation mit&nbsp; $N = 512$&nbsp; liegt das Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; in Form von Abtastwerten im Abstand&nbsp; $f_{\rm A} = (N \cdot T_{\rm A})^{–1} \approx 1.953\,\text{kHz} $&nbsp; vor.
 +
*Vergrößert man den DFT&ndash;Parameter auf&nbsp;  $N= 2048$, so ergibt sich ein feineres Frequenzraster mit&nbsp; $f_{\rm A} \approx 488\,\text{Hz}$.}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
===Diskrete Fouriertransformation===
 +
 
 +
Aus dem herkömmlichen&nbsp; &bdquo;ersten Fourierintegral&rdquo;
 +
 +
:$$X(f) =\int_{-\infty
 +
}^{+\infty}x(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm} {\rm d}t$$
 +
 
 +
entsteht durch Diskretisierung&nbsp; $(\text{d}t \to T_{\rm A}$,&nbsp;  $t \to \nu \cdot T_{\rm A}$,&nbsp;  $f \to \mu \cdot f_{\rm A}$,&nbsp;  $T_{\rm A} \cdot f_{\rm A} = 1/N)$&nbsp; die abgetastete und periodifizierte Spektralfunktion
 +
 +
:$${\rm P}\{X(\mu \cdot f_{\rm A})\} = T_{\rm A} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
 +
  {\rm P}\{x(\nu \cdot T_{\rm A})\}\cdot  {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}
 +
\cdot \hspace{0.05cm}\mu /N} \hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
Es ist berücksichtigt, dass aufgrund der Diskretisierung jeweils die periodifizierten Funktionen einzusetzen sind.
 +
 
 +
Aus Gründen einer vereinfachten Schreibweise nehmen wir nun die folgenden Substitutionen vor:
 +
*Die&nbsp; $N$&nbsp; '''Zeitbereichskoeffizienten'''&nbsp; seien mit der Laufvariablen&nbsp; $\nu = 0$, ... , $N - 1$:
 +
:$$d(\nu) =
 +
  {\rm P}\left\{x(t)\right\}{\big|}_{t \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
 +
*Die&nbsp; $N$&nbsp; '''Frequenzbereichskoeffizienten'''&nbsp; seien mit der Laufvariablen&nbsp; $\mu = 0,$ ... , $N$ – 1:
 +
:$$D(\mu) = f_{\rm A} \cdot
 +
  {\rm P}\left\{X(f)\right\}{\big|}_{f \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
 +
*Abkürzend wird für den von&nbsp; $N$&nbsp; abhängigen&nbsp;  '''komplexen Drehfaktor'''&nbsp;  geschrieben:
 +
:$$w  = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N}
 +
= \cos \left(  {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left(  {2 \pi}/{N}\right)
 +
\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
[[Datei:P_ID2730__Sig_T_5_1_S5_neu.png|right|frame|Zur Definition der Diskreten Fouriertransformation (DFT) mit&nbsp; $N=8$]]
 +
{{BlaueBox|TEXT=
 +
$\text{Definition:}$&nbsp;
 +
 
 +
Unter dem Begriff&nbsp;  '''Diskrete Fouriertransformation'''&nbsp; (kurz '''DFT''')&nbsp; versteht man die Berechnung der&nbsp; $N$&nbsp; Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; aus den&nbsp; $N$&nbsp; Signalkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$:
 +
 +
:$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
 +
  d(\nu)\cdot  {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}. $$
 +
 
 +
In der Grafik erkennt man  an einem Beispiel 
 +
*die&nbsp; $N = 8$&nbsp; Signalkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$&nbsp; an der blauen Füllung,
 +
*die&nbsp; $N = 8$&nbsp; Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; an der grünen Füllung.}}
 +
 
 +
 
 +
===Inverse Diskrete Fouriertransformation===
  
Als &nbsp;'''Korrelationsgerade'''&nbsp; bezeichnet man  die Gerade &nbsp;$y = K(x)$&nbsp; in der &nbsp;$(x, y)$&ndash;Ebene durch den „Mittelpunkt” $(m_X, m_Y)$. Diese besitzt folgende Eigenschaften:  
+
Die Inverse Diskrete Fouriertransformation (IDFT) beschreibt das&nbsp; &bdquo;zweite Fourierintegral&rdquo;
[[Datei:Sto_App_Bild1a.png|frame| Gaußsche 2D-WDF (Approximation mit $N$ Messpunkten) und <br>Korrelationsgerade &nbsp;$y = K(x)$]]
+
   
 +
:$$\begin{align*}x(t) & = \int_{-\infty
 +
}^{+\infty}X(f) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}
 +
t}\hspace{0.1cm} {\rm d}f\end{align*}$$
  
*Die mittlere quadratische Abweichung von dieser Geraden – in &nbsp;$y$&ndash;Richtung betrachtet und über alle &nbsp;$N$&nbsp; Messpunkte gemittelt – ist minimal:
+
in diskretisierter Form: &nbsp; $d(\nu) =
:$$\overline{\varepsilon_y^{\rm 2} }=\frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{\nu=\rm 1}^{N}\; \;\big [y_\nu - K(x_{\nu})\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$
+
  {\rm P}\left\{x(t)\right\}{\big|}_{t \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm
*Die Korrelationsgerade kann als eine Art „statistische Symmetrieachse“ interpretiert werden. Die Geradengleichung lautet im allgemeinen Fall:
+
  A}}\hspace{0.01cm}.$
:$$y=K(x)=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\cdot\rho_{XY}\cdot(x - m_X)+m_Y.$$
 
  
*Der Winkel, den die Korrelationsgerade zur &nbsp;$x$&ndash;Achse einnimmt, beträgt:
+
[[Datei:P_ID2731__Sig_T_5_1_S6_neu.png|right|frame|Zur Definition der IDFT mit&nbsp; $N=8$]]
:$$\theta={\rm arctan}(\frac{\sigma_{Y} }{\sigma_{X} }\cdot \rho_{XY}).$$
+
{{BlaueBox|TEXT=
 +
$\text{Definition:}$&nbsp;
  
 +
Unter dem Begriff&nbsp;  '''Inverse Diskrete Fouriertransformation'''&nbsp; (kurz '''IDFT''')&nbsp; versteht man die Berechnung der Signalkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$&nbsp; aus den Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$:
 +
 +
:$$d(\nu) =  \sum_{\mu = 0 }^{N-1}
 +
D(\mu) \cdot  {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
  
 +
Mit den Laufvariablen&nbsp; $\nu = 0,  \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, N-1$&nbsp; und&nbsp; $\mu = 0,  \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, N-1$&nbsp; gilt auch hier:
 +
:$$d(\nu) =
 +
  {\rm P}\left\{x(t)\right\}{\big \vert}_{t \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm
 +
  A} }\hspace{0.01cm},$$
 +
 +
:$$D(\mu) = f_{\rm A} \cdot
 +
  {\rm P}\left\{X(f)\right\}{\big \vert}_{f \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm A} }
 +
  \hspace{0.01cm},$$
  
===Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen===
+
:$$w  = {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N}
 +
\hspace{0.01cm}.$$}}
  
Bei korrelierten Komponenten&nbsp; $(ρ_{XY} ≠ 0)$&nbsp; sind die Höhenlinien der WDF (fast) immer elliptisch, also auch für den Sonderfall&nbsp; $σ_X = σ_Y$.  
+
 +
Ein Vergleich zwischen DFT und IDFT zeigt, dass genau der gleiche Algorithmus verwendet werden kann. Die einzigen Unterschiede der IDFT gegenüber der DFT sind:
 +
*Der Exponent des Drehfaktors ist mit unterschiedlichem Vorzeichen anzusetzen.
 +
*Bei der IDFT entfällt die Division durch&nbsp; $N$.
  
<u>Ausnahme:</u>&nbsp; $ρ_{XY}=\pm 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Diracwand; siehe&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Gaußsche_2D-WDF|Aufgabe 4.4]]&nbsp; im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;, Teilaufgabe &nbsp;'''(5)'''.
 
[[Datei:Sto_App_Bild3.png|right|frame|Höhenlinien der 2D-WDF bei korrelierten Größen]]
 
Hier lautet die Bestimmungsgleichung der WDF-Höhenlinien:
 
  
:$$f_{XY}(x, y) = {\rm const.} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \frac{x^{\rm 2} }{\sigma_{X}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2} }{\sigma_{Y}^{\rm 2} }-{\rm 2}\cdot\rho_{XY}\cdot\frac{x\cdot y}{\sigma_X\cdot \sigma_Y}={\rm const.}$$
+
===Interpretation von DFT und IDFT===
Die Grafik zeigt in hellerem Blau für zwei unterschiedliche Parametersätze je eine Höhenlinie.  
+
<br>
 +
Die Grafik zeigt die diskreten Koeffizienten im Zeit– und Frequenzbereich zusammen mit den periodifizierten zeitkontinuierlichen Funktionen.
  
*Die Ellipsenhauptachse ist dunkelblau gestrichelt.  
+
[[Datei:P_ID1136__Sig_T_5_1_S7_neu.png|center|frame|Zeit&ndash; und Frequenzbereichskoeffizienten der DFT]]
*Die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Korrelationsgerade|Korrelationsgerade]]&nbsp; $K(x)$&nbsp; ist durchgehend rot eingezeichnet.
 
  
 +
Bei Anwendung von DFT bzw. IDFT ist zu beachten:
 +
*Nach obigen Definitionen besitzen die DFT–Koeffizienten&nbsp; $d(ν)$&nbsp; und&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; stets die Einheit der Zeitfunktion.
 +
*Dividiert man&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; durch&nbsp; $f_{\rm A}$, so erhält man den Spektralwert&nbsp; $X(\mu \cdot f_{\rm A})$.
 +
*Die Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; müssen stets komplex angesetzt werden, um auch ungerade Zeitfunktionen berücksichtigen zu können.
 +
*Um auch Bandpass–Signale im äquivalenten Tiefpass&ndash;Bereich transformieren zu können, verwendet man meist auch komplexe Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$.
 +
*Als Grundintervall für&nbsp; $\nu$&nbsp; und&nbsp;  $\mu$&nbsp; definiert man meist – wie in obiger Grafik – den Bereich von&nbsp; $0$&nbsp; bis&nbsp; $N - 1$.
 +
*Mit den komplexwertigen Zahlenfolgen&nbsp; $\langle \hspace{0.1cm}d(\nu)\hspace{0.1cm}\rangle  = \langle \hspace{0.1cm}d(0), \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} , d(N-1) \hspace{0.1cm}\rangle$  &nbsp; sowie &nbsp; $\langle \hspace{0.1cm}D(\mu)\hspace{0.1cm}\rangle  =  \langle \hspace{0.1cm}D(0), \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} , D(N-1) \hspace{0.1cm}\rangle$&nbsp; werden DFT und IDFT ähnlich wie die herkömmliche Fouriertransformation symbolisiert:
 +
:$$\langle \hspace{0.1cm} D(\mu)\hspace{0.1cm}\rangle \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-(N)\!-\!\!\!-\!\!\hspace{0.05cm}\circ\, \hspace{0.2cm} \langle \hspace{0.1cm} d(\nu) \hspace{0.1cm}\rangle  \hspace{0.05cm}.$$
 +
*Ist die Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; bereits auf den Bereich&nbsp; $0 \le t \lt N \cdot T_{\rm A}$&nbsp; begrenzt, dann geben die von der IDFT ausgegebenen Zeitkoeffizienten direkt die Abtastwerte der Zeitfunktion an:  &nbsp; $d(\nu) = x(\nu \cdot T_{\rm A}).$
 +
*Ist&nbsp; $x(t)$&nbsp; gegenüber dem Grundintervall verschoben, so muss man die im&nbsp; $\text{Beispiel 3}$&nbsp; gezeigte Zuordnung zwischen&nbsp; $x(t)$&nbsp; und den Koeffizienten&nbsp; $d(\nu)$&nbsp; wählen.
  
Anhand dieser Darstellung sind folgende Aussagen möglich:
 
*Die Ellipsenform hängt außer vom Korrelationskoeffizienten&nbsp; $ρ_{XY}$&nbsp; auch vom Verhältnis der beiden Streuungen&nbsp; $σ_X$&nbsp; und&nbsp; $σ_Y$&nbsp; ab. 
 
*Der Neigungswinkel&nbsp; $α$&nbsp; der Ellipsenhauptachse (gestrichelte Gerade) gegenüber der&nbsp; $x$&ndash;Achse hängt ebenfalls von&nbsp; $σ_X$,&nbsp; $σ_Y$&nbsp; und&nbsp; $ρ_{XY}$&nbsp; ab:
 
:$$\alpha = {1}/{2} \cdot {\rm arctan } \big ( 2 \cdot \rho_{XY} \cdot \frac {\sigma_X \cdot \sigma_Y}{\sigma_X^2 - \sigma_Y^2} \big ).$$
 
*Die (rote) Korrelationsgerade&nbsp; $y = K(x)$&nbsp; einer Gaußschen 2D–Zufallsgröße liegt stets unterhalb der (blau gestrichelten) Ellipsenhauptachse.
 
* $K(x)$&nbsp; kann aus dem Schnittpunkt der Höhenlinien und ihrer vertikalen Tangenten geometrisch konstruiert werden, wie in der Skizze in grüner Farbe angedeutet. 
 
<br><br>
 
===Zweidimensionale Verteilungsfunktion &nbsp; &rArr; &nbsp; 2D&ndash;VTF===
 
  
{{BlaueBox|TEXT=
+
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''2D-Verteilungsfunktion'''&nbsp; ist ebenso wie die 2D-WDF lediglich eine sinnvolle Erweiterung der&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion_(VTF)#VTF_bei_kontinuierlichen_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen_.281.29|eindimensionalen Verteilungsfunktion]]&nbsp; (VTF):  
+
$\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
:$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ] .$$}}
+
Die obere Grafik zeigt den unsymmetrischen Dreieckimpuls&nbsp; $x(t)$, dessen absolute Breite kleiner ist als&nbsp; $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$.
 +
 
 +
[[Datei:P_ID1139__Sig_T_5_1_S7b_neu.png|right|frame|Zur Belegung der DFT-Koeffizienten  mit&nbsp; $N=8$]]
 +
 
 +
Die untere Skizze zeigt die zugeordneten DFT–Koeffizienten gültig für&nbsp;  $N = 8$
 +
 
 +
*Für&nbsp; $\nu = 0,\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} , N/2 = 4$&nbsp; gilt&nbsp; $d(\nu) = x(\nu \cdot T_{\rm A})$:
 +
 
 +
:$$d(0) = x (0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm}
 +
d(1) = x (T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm}
 +
d(2) = x (2T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, $$
 +
:$$d(3) = x (3T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm}
 +
d(4) = x (4T_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$
 +
*Dagegen sind die Koeffizienten&nbsp; $d(5)$,&nbsp; $d(6)$&nbsp; und&nbsp; d$(7)$&nbsp; wie folgt zu setzen:
 +
 
 +
:$$d(\nu) = x \big ((\nu\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm} N ) \cdot T_{\rm  A}\big ) $$
 +
 
 +
:$$ \Rightarrow \hspace{0.2cm}d(5) = x (-3T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.35cm}
 +
d(6) = x (-2T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.35cm}
 +
d(7) = x (-T_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$ }}
  
  
Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der &bdquo;1D-VTF&rdquo; und der&bdquo; 2D-VTF&rdquo;:
 
*Der Funktionalzusammenhang zwischen &bdquo;2D&ndash;WDF&rdquo; und &bdquo;2D&ndash;VTF&rdquo; ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:
 
:$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta  .$$
 
*Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; angeben:
 
:$$f_{XY}(x,y)=\frac{{\rm d}^{\rm 2} F_{XY}(\xi,\eta)}{{\rm d} \xi \,\, {\rm d} \eta}\Bigg|_{\left.{x=\xi \atop {y=\eta}}\right.}.$$
 
*Bezüglich der Verteilungsfunktion&nbsp; $F_{XY}(x, y)$&nbsp; gelten folgende Grenzwerte:
 
:$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}
 
F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$
 
*Im Grenzfall $($unendlich große&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y)$&nbsp; ergibt sich demnach für die &bdquo;2D-VTF&rdquo; der Wert&nbsp; $1$. Daraus erhält man die&nbsp; '''Normierungsbedingung'''&nbsp; für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
 
:$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1  .  $$
 
  
{{BlaueBox|TEXT= 
 
$\text{Fazit:}$&nbsp; Beachten Sie den signifikanten Unterschied zwischen eindimensionalen und zweidimensionalen Zufallsgrößen:
 
*Bei eindimensionalen Zufallsgrößen ergibt die Fläche unter der WDF stets den Wert $1$.
 
*Bei zweidimensionalen Zufallsgrößen ist das WDF-Volumen immer gleich $1$.}}
 
 
<br><br>
 
<br><br>
  
Zeile 154: Zeile 294:
 
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
 
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
 
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung&rdquo;.
 
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung&rdquo;.
*Bei der Aufgabenbeschreibung verwenden wir &nbsp;$\rho$&nbsp; anstelle von &nbsp;$\rho_{XY}$.
+
 
*Für die &bdquo;1D-WDF&rdquo; gilt:&nbsp;  $f_{X}(x) = \sqrt{1/(2\pi \cdot \sigma_X^2)} \cdot {\rm e}^{-x^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sigma_X^2)}$.
 
  
  
Zeile 163: Zeile 302:
  
  
 +
{{BlaueBox|TEXT=
 +
'''(1)'''&nbsp; Neue Einstellung:&nbsp; $\text{DFT von Signal (b): Gleichsignal}$. &nbsp;Interpretieren Sie das Ergebnis im Frequenzbereich. Wie lautet das Analogon der herkömmlichen&nbsp; $\text{FT}$&nbsp;?}}
 +
 +
::*&nbsp;Im Zeitbereich sind alle&nbsp; $d(\nu) =1$. Im Frequenzbereich sind alle&nbsp; $D(\mu) =0$&nbsp; mit Ausnahme von&nbsp; ${\rm Re}\big [D(0)] =1$.
 +
::*&nbsp;Dies entspricht bei der herkömmlichen (zeitkontinuierlichen) Fouriertransformation:&nbsp; &nbsp;$x(t) = A\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = A \cdot \delta(f=0)$&nbsp; mit&nbsp; $A=1$.
 +
 +
{{BlaueBox|TEXT=
 +
'''(2)'''&nbsp; Gehen Sie vom erhaltenen $D(\mu)$&ndash;Feld aus und verschieben Sie alle Koeffizienten um eine Stelle nach unten. Welche Zeitfunktion liefert die&nbsp; $\rm IDFT$?&nbsp;}}
 +
 +
::*&nbsp;Nun sind alle&nbsp; $D(\mu) =0$&nbsp; mit Ausnahme von&nbsp; ${\rm Re}\big [D(1)] =1$. Das Zeitbereichsergebnis ist eine komplexe Exponentialfunktion.
 +
::*&nbsp;Der Realteil des&nbsp; $d(\nu)$&ndash;Feldes zeigt einen Cosinus und der Imaginärteil eine Sinusfunktion. Bei beiden Funktionen erkennt man jeweils eine Periode.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''&nbsp; Machen Sie sich anhand der Voreinstellung &nbsp;$(\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5, \ \rho = 0.7)$&nbsp; mit dem Programm vertraut. Interpretieren Sie die Grafiken für &nbsp;$\rm WDF$&nbsp; und&nbsp; $\rm VTF$.}}
+
'''(3)'''&nbsp; Ergänzen Sie das aktuelle $D(\mu)$&ndash;Feld&nbsp; um den Koeffizienten&nbsp; ${\rm Im}\big [D(1)] =1$. Welche Unterschiede erkennt man gegenüber '''(2)''' im Zeitbereich?&nbsp;}}
  
::*&nbsp;$\rm WDF$&nbsp; ist ein Bergrücken mit dem Maximum bei&nbsp; $x = 0, \ y = 0$. Der Bergkamm ist leicht verdreht gegenüber der &nbsp;$x$&ndash;Achse.
+
::*&nbsp;Zum einen erkennt man nun  bei Realteil und Imaginärteil eine Phasenverschiebung um zwei Stützwerte. Dies entspricht der Phase&nbsp; $\varphi = 45^\circ$.
::*&nbsp;$\rm VTF$&nbsp; ergibt sich aus &nbsp;$\rm WDF$&nbsp; durch fortlaufende Integration in beide Richtungen. Das Maximum $($nahezu &nbsp;$1)$&nbsp; tritt bei &nbsp;$x=3, \ y=3$&nbsp; auf. 
+
::*&nbsp;Zudem wurden die Amplituden von Real&ndash; und Imaginärteil jeweils um den Faktor&nbsp; $\sqrt{2}$&nbsp; vergrößert.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''&nbsp; Nun lautet die Einstellung &nbsp;$\sigma_X= \sigma_Y=1, \ \rho = 0$. Welche Werte ergeben sich für &nbsp;$f_{XY}(0,\ 0)$&nbsp; und &nbsp;$F_{XY}(0,\ 0)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}
+
'''(4)'''&nbsp; Setzen Sie das $D(\mu)$&ndash;Feld auf Null mit Ausnahme von&nbsp; ${\rm Re}\big [D(1)] =1$. Durch welchen zusätzlichen $D(\mu)$&ndash;Koeffizienten erhält man ein reelles&nbsp; $d(\nu)$&ndash;Feld?}}
  
::*&nbsp;Das WDF&ndash;Maximum ist&nbsp; $f_{XY}(0,\ 0) = 1/(2\pi)= 0.1592$, wegen &nbsp;$\sigma_X= \sigma_Y = 1, \ \rho = 0$. Die Höhenlinien sind Kreise.
+
::*&nbsp;Durch Probieren oder Nachdenken erkennt man, dass auch&nbsp; ${\rm Re}\big [D(15)] =1$&nbsp; gesetzt werden muss. Dann beschreibt das $d(\nu)$&ndash;Feld einen Cosinus.
::*&nbsp;Für den VTF-Wert gilt:&nbsp; $F_{XY}(0,\ 0) = [{\rm Pr}(X \le 0)] \cdot [{\rm Pr}(Y \le 0)] = 0.25$. Geringfügige Abweichung wegen numerischer Integration.
+
::*&nbsp;Für die herkömmliche (zeitkontinuierliche) Fouriertransformation gilt:&nbsp; &nbsp;$x(t) = 2 \cdot \cos(2\pi \cdot f_0 \cdot  t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = \delta(f -f_0)+\delta(f +f_0)$.
 +
::*&nbsp;Das Feld&nbsp; $D(1)$&nbsp; steht für die Frequenz&nbsp; $+f_0$&nbsp; und aufgrund der Periodizät mit&nbsp; $N=16$&nbsp; wird die Frequenz&nbsp; $-f_0$&nbsp; durch&nbsp; $D(15) = D(-1)$&nbsp; ausgedrückt.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''&nbsp; Es gelten weiter die Einstellungen von '''(2)'''. Welche Werte ergeben sich für &nbsp;$f_{XY}(0,\ 1)$&nbsp; und &nbsp;$F_{XY}(0,\ 1)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}
+
'''(5)'''&nbsp; Mit welchem $D(\mu)$&ndash;Feld erhält man nach der&nbsp; $\rm IDFT$&nbsp; im&nbsp; $d(\nu)$&ndash;Feld eine reelle Cosinusfunktion mit der Amplitude $A=1$?}}
  
::*&nbsp;Es gilt&nbsp; $f_{XY}(0,\ 1) = f_{X}(0) \cdot f_{Y}(1) = [ \sqrt{1/(2\pi)}]  \cdot [\sqrt{1/(2\pi)} \cdot {\rm e}^{-0.5}] = 1/(2\pi) \cdot {\rm e}^{-0.5} = 0.0965$.
+
::*&nbsp;Die Diskrete Fouriertransformation ist ebenso wie die herkömmliche Fouriertransformation linear &nbsp; &rArr; &nbsp; $D(1) = D(15)=0.5$.
::*&nbsp;Das Programm liefert&nbsp; $F_{XY}(0,\ 1) = [{\rm Pr}(X \le 0)] \cdot [{\rm Pr}(Y \le 1)] = 0.4187$, also einen größeren Wert als in '''(2)''', da weiter integriert wird.
 
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''&nbsp; Die Einstellungen bleiben erhalten. Welche Werte ergeben sich für &nbsp;$f_{XY}(1,\ 0)$&nbsp; und &nbsp;$F_{XY}(1,\ 0)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}
+
'''(6)'''&nbsp; Neue Einstellung:&nbsp; $\text{DFT von Signal (e): Cosinussignal}$ und anschließende Signalverschiebungen. &nbsp;Was bewirken diese Verschiebungen im Frequenzbereich?&nbsp;}}
  
::*&nbsp;Aufgrund der Rotationssysmmetrie gleiche Ergebnisse wie in '''(3)'''.
+
::*&nbsp;Eine Verschiebung im Zeitbereich verändert das Cosinussignal zu einer &bdquo;Harmonischen Schwingung&rdquo; mit beliebiger Phase.
 +
::*&nbsp;Das&nbsp; $D(\mu)$&ndash;Feld ist weiterhin Null bis auf&nbsp; $D(1)$&nbsp; und&nbsp; $D(15)$. Die Beträge &nbsp; $|D(1)|$&nbsp; und&nbsp; $|D(15)|$&nbsp; bleiben ebenfalls gleich.
 +
::*&nbsp;Die alleinige Veränderung betrifft die Phase, also die unterschiedliche Aufteilung der Beträge auf Real&ndash; und Imaginärteil.  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''&nbsp; Stimmt die Aussage:&nbsp;&bdquo;Elliptische Höhenlinien gibt es nur für &nbsp;$\rho \ne 0$&rdquo;. Interpretieren Sie die&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; und $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$&nbsp; für &nbsp;$\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5$&nbsp; und&nbsp; $\rho = 0$.}}
+
'''(7)'''&nbsp; Neue Einstellung:&nbsp; $\text{DFT von Signal (f): Sinussignal}$. &nbsp;Interpretieren Sie das Ergebnis im Frequenzbereich. Wie lautet das Analogon der herkömmlichen&nbsp; $\text{FT}$&nbsp;?}}
  
::*&nbsp;Nein! Auch für&nbsp; $\ \rho = 0$&nbsp; sind die Höhenlinien elliptisch (nicht kreisförmig), falls &nbsp;$\sigma_X \ne \sigma_Y$.
+
::*&nbsp;Das Sinussignal ergibt sich aus dem Cosinussignal durch vier Zeitverschiebungen. Deshalb gelten alle Aussagen von '''(6)''' weiterhin.
::*&nbsp;Für&nbsp;$\sigma_X \gg \sigma_Y$&nbsp; hat die&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; die Form eines langgestreckten Bergkamms parallel zur&nbsp; $x$&ndash;Achse, für&nbsp;$\sigma_X \ll \sigma_Y$&nbsp; parallel zur&nbsp; $y$&ndash;Achse.
+
::*&nbsp;Für die herkömmliche (zeitkontinuierliche) Fouriertransformation gilt:&nbsp; &nbsp;$x(t) = \sin(2\pi \cdot f_0 \cdot  t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = {\rm j}/2 \cdot \big [\delta(f +f_0)-\delta(f -f_0)\big ]$.
::*&nbsp;Für&nbsp;$\sigma_X \gg \sigma_Y$&nbsp; ist der Anstieg der&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$&nbsp; in Richtung der &nbsp;$y$&ndash;Achse deutlich steiler als in Richtung der &nbsp;$x$&ndash;Achse.
+
::*&nbsp;Der Koeffizient&nbsp; $D(1)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $($Frequenz: $+f_0)$&nbsp; ist imaginär und hat den Imaginärteil&nbsp; $-0.5$. Entsprechend gilt&nbsp; ${\rm Im}\big [D(15)] =+0.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $($Frequenz: $-f_0)$.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''&nbsp; Variieren Sie ausgehend von&nbsp; $\sigma_X=\sigma_Y=1, \ \rho = 0.7$&nbsp; den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho$. Wie groß ist der Neigungswinkel &nbsp;$\alpha$&nbsp; der Ellipsen&ndash;Hauptachse?}}
+
'''(8)'''&nbsp; Neue Einstellung:&nbsp; $\text{DFT von Signal (g): Cosinussignal (zwei Perioden)}$. &nbsp;Interpretieren Sie das Ergebnis im Vergleich zur Aufgabe &nbsp;'''(5)'''.}}
  
::*&nbsp;Für&nbsp; $\rho > 0$&nbsp; ist &nbsp;$\alpha = 45^\circ$&nbsp; und für&nbsp; $\rho < 0$&nbsp; ist &nbsp;$\alpha = -45^\circ$. Für&nbsp; $\rho = 0$&nbsp; sind die Höhenlinien kreisfömig und somit gibt es auch keine Ellipsen&ndash;Hauptachse.
+
::*&nbsp;Hier lautet die zeitkontinuierliche Fouriertransformation:&nbsp; &nbsp;$x(t) = \cos(2\pi \cdot (2f_0) \cdot  t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = 0.5 \cdot \delta(f -2 f_0)+0.5 \cdot \delta(f +2f_0)$.
 +
::*&nbsp;Für die Frequenz&nbsp; $2f_0$&nbsp;steht das Feld&nbsp; $D(2)$&nbsp; und für die Frequenz&nbsp; $-2f_0$&nbsp;aufgrund der Periodizät das Feld&nbsp; $D(14) = D(-2)$&nbsp;: &nbsp; $D(2) = D(14) = 0.5$.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''&nbsp; Variieren Sie ausgehend von&nbsp; $\sigma_X=\sigma_Y=1, \ \rho = 0.7$&nbsp; den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho > 0$. Wie groß ist der Neigungswinkel &nbsp;$\theta$&nbsp; der Korrelationsgeraden&nbsp; $K(x)$?}}
+
'''(9)'''&nbsp; Untersuchen Sie nun den Fall&nbsp; $\text{DFT von Sinussignal (zwei Perioden)}$. Welche Einstellung müssen Sie vornehmen?&nbsp;Interpretieren Sie das Ergebnis.}}
  
::*&nbsp;Für&nbsp; $\sigma_X=\sigma_Y$&nbsp; ist &nbsp;$\theta={\rm arctan}\ (\rho)$. Die Steigung nimmt mit wachsendem&nbsp; $\rho > 0$&nbsp; zu. In allen Fällen gilt  &nbsp;$\theta < \alpha = 45^\circ$. Für&nbsp; $\rho = 0.7$&nbsp; ergibt sich &nbsp;$\theta = 35^\circ$.
+
::*&nbsp;Zum gewünschten Signal kommt man von&nbsp; $\text{DFT von Signal (g): Cosinussignal (zwei Perioden)}$&nbsp; mit zwei Verschiebungen. Bei&nbsp; '''(7)''':&nbsp; Vier Verschiebungen.  
 +
::*&nbsp;&nbsp;Das DFT&ndash;Ergebnis lautet dementsprechend:&nbsp; ${\rm Im}\big [D(2)] =-0.5$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Im}\big [D(14)] =+0.5$.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''&nbsp; Variieren Sie ausgehend von&nbsp; $\sigma_X=\sigma_Y=0.75, \ \rho = 0.7$&nbsp; die Parameter&nbsp; $\sigma_Y$&nbsp; und&nbsp; $\rho \ (>0)$. Welche Aussagen gelten für die Winkel &nbsp;$\alpha$&nbsp; und&nbsp; $\theta$?}}
+
'''(10)'''&nbsp; Neue Einstellung:&nbsp; $\text{DFT von (h) Alternierende Zeitkoeffizienten}$. Interpretieren Sie das DFT&ndash;Ergebnis.}}
 +
 
 +
::*&nbsp;Hier lautet die zeitkontinuierliche Fouriertransformation:&nbsp; &nbsp;$x(t) = \cos(2\pi \cdot (8f_0) \cdot  t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = 0.5 \cdot \delta(f -8 f_0)+0.5 \cdot \delta(f +8f_0)$.
 +
::*&nbsp;$8f_0$&nbsp; ist die höchste mit&nbsp; $N=16$&nbsp; in der DFT darstellbare Frequenz. Pro Periodendauer gibt es nur zwei Abtastwerte, nämlich&nbsp; $+1$&nbsp; und&nbsp; $-1$.
 +
::*&nbsp;Unterschied zur Teilaufgabe&nbsp; '''(5)''': Aus&nbsp; $D(1) =0.5$&nbsp; wird nun&nbsp; $D(8) =0.5$. Ebenso verschiebt sich&nbsp; $D(15) =0.5$&nbsp; auf&nbsp; $D(8) =0.5$. &nbsp; Endergebnis:&nbsp; $D(8) =1$.
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 +
{{BlaueBox|TEXT=
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'''(11)'''&nbsp; Welche Unterschiede erhält man mit den beiden Einstellungen &nbsp; &raquo;$\text{DFT von Signal (i): Diracimpuls}$&laquo;&nbsp; &nbsp; sowie&nbsp;&nbsp; &raquo;$\text{IDFT von Spektrum (I): Diracspektrum}$&laquo;&nbsp;?}}
 +
 
 +
::*&nbsp;Nur wenige! Im ersten Fall sind alle Koeffizienten&nbsp; $D(\mu) = 1/N=0.0625$&nbsp; $($reell$)$;&nbsp; im zweiten Fall dagegen  alle  Koeffizienten&nbsp; $d(\nu) = 1$&nbsp; $($reell$)$.
  
::*&nbsp;Für&nbsp; $\sigma_Y<\sigma_X$&nbsp; ist &nbsp;$\alpha < 45^\circ$&nbsp; und für&nbsp; $\sigma_Y>\sigma_X$&nbsp; dagegen &nbsp;$\alpha > 45^\circ$.  
+
{{BlaueBox|TEXT=
::*&nbsp;Bei allen Einstellungen gilt:&nbsp;   '''Die Korrelationsgerade liegt unter der Ellipsen&ndash;Hauptachse'''.
+
'''(12)'''&nbsp; Gibt es Unterschiede, wenn man im jeweiligen Eingabefeld die reelle&nbsp; $1$&nbsp; um jeweils eine Stelle nach unten verschiebt, also&nbsp; $d(\nu=1) = 1$&nbsp; bzw.&nbsp; $D(\mu=1) = 1$?}}
 +
::*&nbsp;Im ersten Fall&nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Re}\big [d(\nu=1)] = 1$&nbsp; ergibt sich im Frequenzbereich die komplexe Exponentialfunktion &nbsp; &rArr; &nbsp; $X(f) = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f/f_0}$&nbsp; mit negativem Vorzeichen.
 +
::*&nbsp;Im zweiten Fall&nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Re}\big [D(\mu=1)] = 1$&nbsp; ergibt sich im Zeitbereich die komplexe Exponentialfunktion &nbsp; &rArr; &nbsp; $x(t) = {\rm e}^{+{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f_0 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}  t}$&nbsp; mit positivem Vorzeichen.
 +
::*&nbsp;''Hinweis'': &nbsp; Mit&nbsp; ${\rm Re}\big [D(\mu=15)] = 1$&nbsp; ergäbe sich auch im Zeitbereich die komplexe Exponentialfunktion &nbsp; &rArr; &nbsp; $x(t) = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f_0 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}  t}$&nbsp; mit negativem Vorzeichen.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''&nbsp; Gehen Sie von&nbsp; $\sigma_X= 1, \ \sigma_Y=0.75, \ \rho = 0.7$&nbsp; aus und variieren Sie&nbsp; $\rho$. Wie könnte man die Korrelationsgerade aus den Höhenlinien konstruieren?}}
+
'''(13)'''&nbsp; Neue Einstellung:&nbsp; $\text{DFT von Signal  (k): Dreieckimpuls}$. Interpretieren Sie die&nbsp; $d(\nu)$&ndash;Belegungunter der Annahme&nbsp; $T_{\rm A} = 1 \ \rm ms$.}}
  
::*&nbsp;Die Korrelationsgerade schneidet alle Höhenlinien an den Punkten, an denen die Tangente zu der Höhenlinie senkrecht verläuft.
+
::*&nbsp;Wählen Sie die Betragsdarstellung. $x(t)$&nbsp; ist symmetrisch um&nbsp; $t=0$&nbsp; und erstreckt sich von&nbsp; $-8 \cdot T_{\rm A} = -8 \ \rm ms$&nbsp; bis&nbsp; $+8 \cdot T_{\rm A} = +8 \ \rm ms$.
 +
::* $d(\nu)$&ndash;Belegung:&nbsp; &nbsp; $d(0)=x(0)= 1$,&nbsp;$d(1)=x(T_{\rm A})= 0.875$, ... , &nbsp;$d(8)=x(8T_{\rm A})= 0$, &nbsp;$d(9)=x(-7T_{\rm A})= 0.125$, ..., &nbsp;$d(15)=x(-T_{\rm A})= 0.875$.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''&nbsp; Nun gelte&nbsp; $\sigma_X=  \sigma_Y=1, \ \rho = 0.95$. Interpretieren Sie die&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$. Welche Aussagen würden für den Grenzfall&nbsp; $\rho \to 1$&nbsp; zutreffen?}}
+
'''(14)'''&nbsp; Gleiche Einstellung wie bei '''(13)'''. Interpretieren Sie das DFT&ndash;Ergebnis, insbesondere die Koeffizienten $D(0)$,&nbsp; $D(1)$,&nbsp; $D(2)$&nbsp; und &nbsp;$D(15)$.}}
  
::*&nbsp;Die&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; hat nur Anteile in der Nähe der Ellipsen&ndash;Hauptachse. Die Korrelationsgerade liegt nur knapp darunter:&nbsp; $\alpha = 45^\circ, \ \theta = 43.5^\circ$.
+
::* Im Frequenzbereich steht &nbsp;$D(0)$&nbsp; für die Frequenz &nbsp;$f= 0$&nbsp; und &nbsp;$D(1)$&nbsp; und &nbsp;$D(15)$&nbsp; für die Frequenzen &nbsp;$\pm f_{\rm A}$. Es gilt &nbsp;$f_{\rm A} = 1/(N \cdot T_{\rm A}) = 62.5\text{ Hz}$.
::*&nbsp;Im Grenzfall&nbsp; $\rho \to 1$&nbsp; wäre&nbsp; $\theta = \alpha = 45^\circ$. Außerhalb der Korrelationsgeraden hätte die&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; keine Anteile. Das heißt:
+
::* Für den Wert des kontinuierlichen Spektrums bei &nbsp;$f=0$&nbsp; gilt &nbsp;$X(f=0)=D(0)/f_{\rm A} = 0.5/(0.0625\text{ kHz}) = 8\cdot \text{ kHz}^{-1}$.
::*&nbsp;Längs der Korrelationsgeraden ergäbe sich eine '''Diracwand'''&nbsp; &rArr; &nbsp; Alle Werte sind unendlich groß, trotzdem um den Mittelwert gaußisch gewichtet.  
+
::*Die erste Nullstelle des &nbsp;${\rm si}^2$&ndash;förmigen Spektrums &nbsp;$X(f)$&nbsp; tritt bei &nbsp;$2 \cdot f_{\rm A}= 125\text{ Hz}$ auf. Die weiteren Nullstellen sind äquidistant.
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{{BlaueBox|TEXT=
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'''(15)'''&nbsp; Neue Einstellung:&nbsp; $\text{DFT von Signal  (i): Rechteckimpuls}$. Interpretieren Sie die dargestellten Ergebnisse.}}
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::*&nbsp;Das eingestellte (symmetrische) Rechteck erstreckt sich über&nbsp; $\pm 4 \cdot T_{\rm A}$. An den Rändern sind die Zeitkoeffizienten nur halb so groß: &nbsp;$d(4) = d(12) =0.5$.
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::* Die weiteren Aussagen von&nbsp; '''(14)'''&nbsp; gelten auch für dieses &nbsp;${\rm si}$&ndash;förmige Spektrum &nbsp;$X(f)$.
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{{BlaueBox|TEXT=
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'''(16)'''&nbsp; Gleiche Einstellung wie bei '''(15)'''. Welche Modifikationen sind am&nbsp; $d(\nu)$&ndash;Feld vorzunehmen, um die Rechteckdauer zu halbieren &nbsp; &rArr; &nbsp; $\pm 2 \cdot T_{\rm A}$.}}
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::*&nbsp;$d(0) = d(1) = d(15) =1, \ d(2) = d(14) = 0.5$. Alle anderen Zeitkoeffizienten Null&nbsp; &rArr; &nbsp; erste Nullstelle des &nbsp;${\rm si}$&ndash;Spektrums bei &nbsp;$4 \cdot f_{\rm A}= 250\text{ Hz}$.
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{{BlaueBox|TEXT=
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'''(17)'''&nbsp; Neue Einstellung:&nbsp; $\text{IDFT von Spektrum  (L): Gaußspektrum}$. Interpretieren Sie das Ergebnis im Zeitbereich.}}
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::*&nbsp;Die Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist hier ebenfalls gaußförmig mit dem Maximum&nbsp; $x(t=0)=4$. Für das Spektrum gilt &nbsp;$X(f=0)=D(0)/f_{\rm A} = 16\cdot \text{ kHz}^{-1}$.
 +
::*&nbsp;Die äquivalente Impulsdauer ist&nbsp; $\Delta t= X(f= 0)/x(t= 0) = 4\text{ ms}$. Der Kehrwert ergibt die äquivalente Bandbreite &nbsp;$\Delta f = 1/\Delta t=  250\text{ Hz}$.
  
  
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==Zur Handhabung des Applets==
 
==Zur Handhabung des Applets==
 
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[[Datei:Anleitung_2D-Gauss.png|left|600px]]
+
[[Datei:Anleitung_DFT_endgültig.png|left|600px]]
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe per Slider:&nbsp; $\sigma_X$, &nbsp;$\sigma_Y$ und&nbsp; $\rho$
+
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Zeitbereich (Eingabe- und Ergebnisfeld)
  
&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl:&nbsp; Darstellung von WDF oder VTF
+
&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; '''(A)'''&ndash;Darstellung numerisch, grafisch, Betrag
  
&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Reset:&nbsp; Einstellung wie beim Programmstart
+
&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Frequenzbereich (Eingabe- und Ergebnisfeld)
  
&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Höhenlinien darstellen anstelle von &bdquo;1D-WDF&rdquo;
+
&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; '''(C)'''&ndash;Darstellung numerisch, grafisch, Betrag
  
&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für &bdquo;2D-WDF&rdquo;
+
&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl: DFT &nbsp;$(t \to f)$&nbsp; oder IDFT &nbsp;$(f \to t)$
  
&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)
+
&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Vorgegebene &nbsp;$d(\nu)$&ndash;Belegungen (falls DFT), oder
  
&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für &bdquo;1D-WDF&rdquo; bzw. &bdquo;Höhenlinien&rdquo;
+
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp; Vorgegebene &nbsp;$D(\mu)$&ndash;Belegungen (falls IDFT)
  
&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Manipulation der 2D-Grafik (&bdquo;1D-WDF&rdquo;)
+
&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Eingabefeld auf Null setzen
  
&nbsp; &nbsp; '''( I )''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung:  Aufgabenauswahl 
+
&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Eingabefeld zyklisch nach unten (bzw. oben) verschieben
  
&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenstellung
+
&nbsp; &nbsp; '''( I )''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung: &nbsp;  Aufgabenauwahl 
  
&nbsp; &nbsp; '''(K)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung einblenden
+
&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung: &nbsp;  Aufgabenstellung
  
&nbsp; &nbsp; '''( L)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung
+
&nbsp; &nbsp; '''(K)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung: &nbspMusterlösung einblenden
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Werte&ndash;Ausgabe über Maussteuerung (sowohl bei 2D als auch bei 3D)  
 
 
<br clear=all>
 
<br clear=all>
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*Vorgegebene  &nbsp;$d(\nu)$&ndash;Belegungen  (für DFT):
 +
 +
:(a)&nbsp; entsprechend Zahlenfeld,&nbsp; (b)&nbsp; Gleichsignal,&nbsp; (c)&nbsp;  Komplexe Exponentialfunktion der Zeit,&nbsp; (d)&nbsp;  Harmonische Schwingung &nbsp;$($Phase &nbsp;$\varphi = 45^\circ)$,
 +
:(e)&nbsp; Cosinussignal (eine Periode),&nbsp; (f)&nbsp; Sinussignal (eine Periode),&nbsp; (g)&nbsp;  Cosinussignal (zwei Perioden),&nbsp;(h)&nbsp;  Alternierende Zeitkoeffizienten, 
 +
:&nbsp; (i)&nbsp; Diracimpuls,&nbsp; (j)&nbsp; Rechteckimpuls,&nbsp; (k)&nbsp;  Dreieckimpuls,&nbsp; (l)&nbsp;  Gaußimpuls.
 +
 +
*Vorgegebene  &nbsp;$D(\mu)$&ndash;Belegungen  (für IDFT):
 +
 +
:(A)&nbsp; entsprechend Zahlenfeld,&nbsp; (B)&nbsp; Konstantes Spektrum,&nbsp; (C)&nbsp;  Komplexe Exponentialfunktion der Frequenz,&nbsp; (D)&nbsp;  äquivalent zur Einstellung (d) im Zeitbereich ,
 +
:(E)&nbsp; Cosinussignal (eine Frequenzperiode),&nbsp; (F)&nbsp; Sinussignal (eine Frequenzperiode),&nbsp; (G)&nbsp;  Cosinussignal (zwei Frequenzperioden),&nbsp; (H)&nbsp;  Alternierende Spektralkoeffizienten,
 +
:(I)&nbsp; Diracspektrum,&nbsp; (J)&nbsp; Rechteckspektrum,&nbsp; (K)&nbsp;  Dreieckspektrum,&nbsp; (L)&nbsp;  Gaußspektrum. 
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==Über die Autoren==
 
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.  
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Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am&nbsp; [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]&nbsp; der&nbsp; [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]&nbsp; konzipiert und realisiert.  
*Die erste Version wurde 2003 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).  
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*Die erste Version wurde 2003 von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Gro.C3.9Fer_.28Diplomarbeit_LB_2006.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2010.29|Thomas Großer]]&nbsp; im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).  
* 2019 wurde das Programm  von&nbsp;[[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).
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* 2019 wurde das Programm  von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]]).
  
  
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==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
 
==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
  
{{LntAppletLink|gauss}}
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{{LntAppletLinkDeEn|dft|dft_en}}

Aktuelle Version vom 26. Oktober 2023, 10:47 Uhr

Applet in neuem Tab öffnen   Open English Version


Programmbeschreibung


Die herkömmliche Fouriertransformation  $\rm (FT)$  ermöglicht die Berechnung der Spektralfunktion  $X(f)$  eines zeitkontinuierlichen Signals  $x(t)$. 

Im Gegensatz dazu beschränkt man sich bei der Diskreten Fouriertransformation  $\rm (DFT)$  auf ein zeitdiskretes Signal, darstellbar durch  $N$  Zeitbereichskoeffizienten  $d(\nu)$  mit Indizes  $\nu = 0, \text{...} , N\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}1$, die als äquididante Abtastwerte des  zeitkontinuierlichen Signals  $x(t)$  interpretiert werden können.

Ist das  Abtasttheorem  erfüllt, so ermöglicht der DFT–Algorithmus die Berechnung von ebenfalls  $N$  Frequenzbereichskoeffizienten  $D(\mu)$  mit Indizes  $\mu = 0, \text{...} , N\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}1$.  Diese sind äquididante Abtastwerte des  frequenzkontinuierlichen Spektrums  $X(f)$.

  • Das Applet verdeutlicht die Eigenschaften der  $\text{DFT:}\hspace{0.3cm}d(\nu)\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} D(\mu)$  am Beispiel  $N=16$.  Die vorgegebenen  $d(\nu)$–Belegungen für die DFT sind:
(a)  entsprechend Zahlenfeld,  (b)  Gleichsignal,  (c)  Komplexe Exponentialfunktion der Zeit,  (d)  Harmonische Schwingung  $($Phase  $\varphi = 45^\circ)$,
(e)  Cosinussignal (eine Periode),  (f)  Sinussignal (eine Periode),  (g)  Cosinussignal (zwei Perioden), (h)  Alternierende Zeitkoeffizienten,
  (i)  Diracimpuls,  (j)  Rechteckimpuls,  (k)  Dreieckimpuls,  (l)  Gaußimpuls.
  • Mögliche  $D(\mu)$–Belegungen für die Invese Diskrete Fouriertransformation   ⇒   $\text{IDFT:}\hspace{0.3cm}D(\mu)\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} d(\nu)$  sind:
(A)  entsprechend Zahlenfeld,  (B)  Konstantes Spektrum,  (C)  Komplexe Exponentialfunktion der Frequenz,  (D)  äquivalent zur Einstellung (d) im Zeitbereich ,
(E)  Cosinussignal (eine Frequenzperiode),  (F)  Sinussignal (eine Frequenzperiode),  (G)  Cosinussignal (zwei Frequenzperioden),  (H)  Alternierende Spektralkoeffizienten,
(I)  Diracspektrum,  (J)  Rechteckspektrum,  (K)  Dreieckspektrum,  (L)  Gaußspektrum.

Das Applet verwendet das Framework  Plot.ly

Theoretischer Hintergrund


Argumente für die diskrete Realisierung der Fouriertransformation

Die  Fouriertransformation  gemäß der herkömmlichen Beschreibung für zeitkontinuierliche Signale weist aufgrund der unbegrenzten Ausdehnung des Integrationsintervalls eine unendlich hohe Selektivität auf und ist deshalb ein ideales theoretisches Hilfsmittel der Spektralanalyse.

Sollen die Spektralanteile  $X(f)$  einer Zeitfunktion  $x(t)$  numerisch ermittelt werden, so sind die allgemeinen Transformationsgleichungen

$$\begin{align*}X(f) & = \int_{-\infty }^{+\infty}x(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi f t}\hspace{0.1cm} {\rm d}t\hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} \text{Hintransformation}\hspace{0.7cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} \text{Erstes Fourierintegral} \hspace{0.05cm},\\ x(t) & = \int_{-\infty }^{+\infty}\hspace{-0.15cm}X(f) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi f t}\hspace{0.1cm} {\rm d}f\hspace{0.35cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} \text{Rücktransformation}\hspace{0.4cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} \text{Zweites Fourierintegral} \hspace{0.05cm}\end{align*}$$

aus zwei Gründen ungeeignet:

  • Die Gleichungen gelten ausschließlich für zeitkontinuierliche Signale. Mit Digitalrechnern oder Signalprozessoren kann man jedoch nur zeitdiskrete Signale verarbeiten.
  • Für eine numerische Auswertung der beiden Fourierintegrale ist es erforderlich, das jeweilige Integrationsintervall auf einen endlichen Wert zu begrenzen.


$\text{Daraus ergibt sich folgende Konsequenz:}$ 

Ein  kontinuierliches Signal  muss vor der numerischen Bestimmung seiner Spektraleigenschaften zwei Prozesse durchlaufen, nämlich

  • den der  Abtastung  zur Diskretisierung, und
  • den der  Fensterung  zur Begrenzung des Integrationsintervalls.


Im Folgenden wird ausgehend von einer aperiodischen Zeitfunktion  $x(t)$  und dem dazugehörigen Fourierspektrum  $X(f)$  eine für die Rechnerverarbeitung geeignete zeit– und frequenzdiskrete Beschreibung vorgestellt.


Zeitdiskretisierung – Periodifizierung im Frequenzbereich

Die folgenden Grafiken zeigen einheitlich links den Zeitbereich und rechts den Frequenzbereich. Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit sind  $x(t)$  und  $X(f)$  jeweils reell und gaußförmig.

Diskretisierung im Zeitbereich – Periodifizierung im Frequenzbereich

Man kann die Abtastung des Zeitsignals  $x(t)$  durch die Multiplikation mit einem Diracpuls  $p_{\delta}(t)$  beschreiben. Es ergibt sich das im Abstand  $T_{\rm A}$  abgetastete Zeitsignal

$${\rm A}\{x(t)\} = \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A})\cdot \delta (t- \nu \cdot T_{\rm A} )\hspace{0.05cm}.$$

Dieses abgetastete Signal  $\text{A}\{ x(t)\}$  transformieren wir nun in den Frequenzbereich. Der Multiplikation des Diracpulses  $p_{\delta}(t)$  mit  $x(t)$  entspricht im Frequenzbereich die Faltung von  $P_{\delta}(f)$  mit  $X(f)$. Es ergibt sich das periodifizierte Spektrum  $\text{P}\{ X(f)\}$, wobei  $f_{\rm P}$  die Frequenzperiode der Funktion  $\text{P}\{ X(f)\}$  angibt:

$${\rm A}\{x(t)\} \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} {\rm P}\{X(f)\} = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- \mu \cdot f_{\rm P} )\hspace{0.5cm} {\rm mit }\hspace{0.5cm}f_{\rm P}= {1}/{T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
  • Das abgetastete Signal nennen wir  $\text{A}\{ x(t)\}$.
  • Die  Frequenzperiode  wird mit  $f_{\rm P}$ = $1/T_{\rm A}$  bezeichnet.


Die obige Grafik zeigt den hier beschriebenen Funktionalzusammenhang. Es ist anzumerken:

  • Die Frequenzperiode  $f_{\rm P}$  wurde hier bewusst klein gewählt, so dass die Überlappung der zu summierenden Spektren deutlich zu erkennen ist.
  • In der Praxis sollte  $f_{\rm P}$  aufgrund des Abtasttheorems mindestens doppelt so groß sein wie die größte im Signal  $x(t)$  enthaltene Frequenz.
  • Ist dies nicht erfüllt, so muss mit  Aliasing  gerechnet werden.


Frequenzdiskretisierung – Periodifizierung im Zeitbereich

Die Diskretisierung von  $X(f)$  lässt sich ebenfalls durch eine Multiplikation mit einem Diracpuls beschreiben. Es ergibt sich das im Abstand  $f_{\rm A}$  abgetastete Spektrum:

$${\rm A}\{X(f)\} = X(f) \cdot \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} f_{\rm A} \cdot \delta (f- \mu \cdot f_{\rm A } ) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} f_{\rm A} \cdot X(\mu \cdot f_{\rm A } ) \cdot\delta (f- \mu \cdot f_{\rm A } )\hspace{0.05cm}.$$

Transformiert man den hier verwendeten Frequenz–Diracpuls $($mit Impulsgewichten  $f_{\rm A})$  in den Zeitbereich, so erhält man mit  $T_{\rm P} = 1/f_{\rm A}$:

$$\sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} f_{\rm A} \cdot \delta (f- \mu \cdot f_{\rm A } ) \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} \delta (t- \nu \cdot T_{\rm P } ) \hspace{0.05cm}.$$

Die Multiplikation mit  $X(f)$  entspricht im Zeitbereich der Faltung mit  $x(t)$. Man erhält das im Abstand  $T_{\rm P}$  periodifizierte Signal  $\text{P}\{ x(t)\}$:

$${\rm A}\{X(f)\} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} {\rm P}\{x(t)\} = x(t) \star \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} \delta (t- \nu \cdot T_{\rm P } )= \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} x (t- \nu \cdot T_{\rm P } ) \hspace{0.05cm}.$$
Diskretisierung im Frequenzbereich – Periodifizierung im Zeitbereich

$\text{Beispiel 1:}$  Dieser Zusammenhang ist in der Grafik veranschaulicht:

  • Aufgrund der groben Frequenzrasterung ergibt sich in diesem Beispiel für die Zeitperiode  $T_{\rm P}$  ein relativ kleiner Wert.


  • Deshalb unterscheidet sich das (blaue) periodifizierte Zeitsignal  $\text{P}\{ x(t)\}$  aufgrund von Überlappungen deutlich von  $x(t)$.


Finite Signaldarstellung

Finite Signale der Diskreten Fouriertransformation (DFT)

Zur so genannten  finiten Signaldarstellung  kommt man,

  • wenn sowohl die Zeitfunktion  $x(t)$
  • als auch die Spektralfunktion  $X(f)$


ausschließlich durch ihre Abtastwerte angegeben werden.
Die Grafik ist wie folgt zu interpretieren:

  • Im linken Bild blau eingezeichnet ist die Funktion  $\text{A}\{ \text{P}\{ x(t)\}\}$. Diese ergibt sich durch Abtastung der periodifizierten Zeitfunktion  $\text{P}\{ x(t)\}$  mit äquidistanten Diracimpulsen im Abstand  $T_{\rm A} = 1/f_{\rm P}$.
  • Im rechten Bild grün eingezeichnet ist die Funktion  $\text{P}\{ \text{A}\{ X(f)\}\}$. Diese ergibt sich durch Periodifizierung $($mit  $f_{\rm P})$  der abgetasteten Spektralfunktion  $\{ \text{A}\{ X(f)\}\}$.
  • Zwischen dem blauen finiten Signal und dem grünen finiten Signal besteht ebenfalls eine Fourierkorrespondenz, und zwar die folgende:
$${\rm A}\{{\rm P}\{x(t)\}\} \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} {\rm P}\{{\rm A}\{X(f)\}\} \hspace{0.05cm}.$$

Die Diraclinien der periodischen Fortsetzung  $\text{P}\{ \text{A}\{ X(f)\}\}$  der abgetasteten Spektralfunktion fallen allerdings nur dann in das gleiche Frequenzraster wie diejenigen von  $\text{A}\{ X(f)\}$, wenn die Frequenzperiode  $f_{\rm P}$  ein ganzzahliges Vielfaches  $(N)$  des Frequenzabtastabstandes  $f_{\rm A}$  ist.

  • Bei Anwendung der finiten Signaldarstellung muss stets die folgende Bedingung erfüllt sein, wobei für die natürliche Zahl  $N$  in der Praxis meist eine Zweierpotenz verwendet wird  (der obigen Grafik liegt der Wert  $N = 8$  zugrunde):
$$f_{\rm P} = N \cdot f_{\rm A} \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} {1}/{T_{\rm A} }= N \cdot f_{\rm A} \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} N \cdot f_{\rm A}\cdot T_{\rm A} = 1\hspace{0.05cm}.$$


Bei Einhaltung der Bedingung  $N \cdot f_{\rm A} \cdot T_{\rm A} = 1$  ist die Reihenfolge von Periodifizierung und Abtastung vertauschbar. Somit gilt:

$${\rm A}\{{\rm P}\{x(t)\}\} = {\rm P}\{{\rm A}\{x(t)\}\}\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} {\rm P}\{{\rm A}\{X(f)\}\} = {\rm A}\{{\rm P}\{X(f)\}\}\hspace{0.05cm}.$$

$\text{Fazit:}$ 

  • Die Zeitfunktion  $\text{P}\{ \text{A}\{ x(t)\}\}$  besitzt die Periode  $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$.
  • Die Periode im Frequenzbereich ist  $f_{\rm P} = N \cdot f_{\rm A}$.
  • Zur Beschreibung des diskretisierten Zeit– und Frequenzverlaufs reichen somit jeweils  $N$  komplexe Zahlenwerte in Form von Impulsgewichten aus.


$\text{Beispiel 2:}$  Es liegt ein zeitbegrenztes (impulsartiges) Signal  $x(t)$  in abgetasteter Form vor, wobei der Abstand zweier Abtastwerte  $T_{\rm A} = 1\, {\rm µ s}$  beträgt:

  • Nach einer diskreten Fouriertransformation mit  $N = 512$  liegt das Spektrum  $X(f)$  in Form von Abtastwerten im Abstand  $f_{\rm A} = (N \cdot T_{\rm A})^{–1} \approx 1.953\,\text{kHz} $  vor.
  • Vergrößert man den DFT–Parameter auf  $N= 2048$, so ergibt sich ein feineres Frequenzraster mit  $f_{\rm A} \approx 488\,\text{Hz}$.


Diskrete Fouriertransformation

Aus dem herkömmlichen  „ersten Fourierintegral”

$$X(f) =\int_{-\infty }^{+\infty}x(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm} {\rm d}t$$

entsteht durch Diskretisierung  $(\text{d}t \to T_{\rm A}$,  $t \to \nu \cdot T_{\rm A}$,  $f \to \mu \cdot f_{\rm A}$,  $T_{\rm A} \cdot f_{\rm A} = 1/N)$  die abgetastete und periodifizierte Spektralfunktion

$${\rm P}\{X(\mu \cdot f_{\rm A})\} = T_{\rm A} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} {\rm P}\{x(\nu \cdot T_{\rm A})\}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu /N} \hspace{0.05cm}.$$

Es ist berücksichtigt, dass aufgrund der Diskretisierung jeweils die periodifizierten Funktionen einzusetzen sind.

Aus Gründen einer vereinfachten Schreibweise nehmen wir nun die folgenden Substitutionen vor:

  • Die  $N$  Zeitbereichskoeffizienten  seien mit der Laufvariablen  $\nu = 0$, ... , $N - 1$:
$$d(\nu) = {\rm P}\left\{x(t)\right\}{\big|}_{t \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
  • Die  $N$  Frequenzbereichskoeffizienten  seien mit der Laufvariablen  $\mu = 0,$ ... , $N$ – 1:
$$D(\mu) = f_{\rm A} \cdot {\rm P}\left\{X(f)\right\}{\big|}_{f \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
  • Abkürzend wird für den von  $N$  abhängigen  komplexen Drehfaktor  geschrieben:
$$w = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N} = \cos \left( {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left( {2 \pi}/{N}\right) \hspace{0.05cm}.$$
Zur Definition der Diskreten Fouriertransformation (DFT) mit  $N=8$

$\text{Definition:}$ 

Unter dem Begriff  Diskrete Fouriertransformation  (kurz DFT)  versteht man die Berechnung der  $N$  Spektralkoeffizienten  $D(\mu)$  aus den  $N$  Signalkoeffizienten  $d(\nu)$:

$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}. $$

In der Grafik erkennt man an einem Beispiel

  • die  $N = 8$  Signalkoeffizienten  $d(\nu)$  an der blauen Füllung,
  • die  $N = 8$  Spektralkoeffizienten  $D(\mu)$  an der grünen Füllung.


Inverse Diskrete Fouriertransformation

Die Inverse Diskrete Fouriertransformation (IDFT) beschreibt das  „zweite Fourierintegral”

$$\begin{align*}x(t) & = \int_{-\infty }^{+\infty}X(f) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}\hspace{0.1cm} {\rm d}f\end{align*}$$

in diskretisierter Form:   $d(\nu) = {\rm P}\left\{x(t)\right\}{\big|}_{t \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm A}}\hspace{0.01cm}.$

Zur Definition der IDFT mit  $N=8$

$\text{Definition:}$ 

Unter dem Begriff  Inverse Diskrete Fouriertransformation  (kurz IDFT)  versteht man die Berechnung der Signalkoeffizienten  $d(\nu)$  aus den Spektralkoeffizienten  $D(\mu)$:

$$d(\nu) = \sum_{\mu = 0 }^{N-1} D(\mu) \cdot {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$

Mit den Laufvariablen  $\nu = 0, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, N-1$  und  $\mu = 0, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, N-1$  gilt auch hier:

$$d(\nu) = {\rm P}\left\{x(t)\right\}{\big \vert}_{t \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm A} }\hspace{0.01cm},$$
$$D(\mu) = f_{\rm A} \cdot {\rm P}\left\{X(f)\right\}{\big \vert}_{f \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm A} } \hspace{0.01cm},$$
$$w = {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N} \hspace{0.01cm}.$$


Ein Vergleich zwischen DFT und IDFT zeigt, dass genau der gleiche Algorithmus verwendet werden kann. Die einzigen Unterschiede der IDFT gegenüber der DFT sind:

  • Der Exponent des Drehfaktors ist mit unterschiedlichem Vorzeichen anzusetzen.
  • Bei der IDFT entfällt die Division durch  $N$.


Interpretation von DFT und IDFT


Die Grafik zeigt die diskreten Koeffizienten im Zeit– und Frequenzbereich zusammen mit den periodifizierten zeitkontinuierlichen Funktionen.

Zeit– und Frequenzbereichskoeffizienten der DFT

Bei Anwendung von DFT bzw. IDFT ist zu beachten:

  • Nach obigen Definitionen besitzen die DFT–Koeffizienten  $d(ν)$  und  $D(\mu)$  stets die Einheit der Zeitfunktion.
  • Dividiert man  $D(\mu)$  durch  $f_{\rm A}$, so erhält man den Spektralwert  $X(\mu \cdot f_{\rm A})$.
  • Die Spektralkoeffizienten  $D(\mu)$  müssen stets komplex angesetzt werden, um auch ungerade Zeitfunktionen berücksichtigen zu können.
  • Um auch Bandpass–Signale im äquivalenten Tiefpass–Bereich transformieren zu können, verwendet man meist auch komplexe Zeitkoeffizienten  $d(\nu)$.
  • Als Grundintervall für  $\nu$  und  $\mu$  definiert man meist – wie in obiger Grafik – den Bereich von  $0$  bis  $N - 1$.
  • Mit den komplexwertigen Zahlenfolgen  $\langle \hspace{0.1cm}d(\nu)\hspace{0.1cm}\rangle = \langle \hspace{0.1cm}d(0), \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} , d(N-1) \hspace{0.1cm}\rangle$   sowie   $\langle \hspace{0.1cm}D(\mu)\hspace{0.1cm}\rangle = \langle \hspace{0.1cm}D(0), \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} , D(N-1) \hspace{0.1cm}\rangle$  werden DFT und IDFT ähnlich wie die herkömmliche Fouriertransformation symbolisiert:
$$\langle \hspace{0.1cm} D(\mu)\hspace{0.1cm}\rangle \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-(N)\!-\!\!\!-\!\!\hspace{0.05cm}\circ\, \hspace{0.2cm} \langle \hspace{0.1cm} d(\nu) \hspace{0.1cm}\rangle \hspace{0.05cm}.$$
  • Ist die Zeitfunktion  $x(t)$  bereits auf den Bereich  $0 \le t \lt N \cdot T_{\rm A}$  begrenzt, dann geben die von der IDFT ausgegebenen Zeitkoeffizienten direkt die Abtastwerte der Zeitfunktion an:   $d(\nu) = x(\nu \cdot T_{\rm A}).$
  • Ist  $x(t)$  gegenüber dem Grundintervall verschoben, so muss man die im  $\text{Beispiel 3}$  gezeigte Zuordnung zwischen  $x(t)$  und den Koeffizienten  $d(\nu)$  wählen.


$\text{Beispiel 3:}$  Die obere Grafik zeigt den unsymmetrischen Dreieckimpuls  $x(t)$, dessen absolute Breite kleiner ist als  $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$.

Zur Belegung der DFT-Koeffizienten mit  $N=8$

Die untere Skizze zeigt die zugeordneten DFT–Koeffizienten gültig für  $N = 8$

  • Für  $\nu = 0,\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} , N/2 = 4$  gilt  $d(\nu) = x(\nu \cdot T_{\rm A})$:
$$d(0) = x (0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} d(1) = x (T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} d(2) = x (2T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, $$
$$d(3) = x (3T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} d(4) = x (4T_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$
  • Dagegen sind die Koeffizienten  $d(5)$,  $d(6)$  und  d$(7)$  wie folgt zu setzen:
$$d(\nu) = x \big ((\nu\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm} N ) \cdot T_{\rm A}\big ) $$
$$ \Rightarrow \hspace{0.2cm}d(5) = x (-3T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.35cm} d(6) = x (-2T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.35cm} d(7) = x (-T_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$




Versuchsdurchführung


Aufgaben 2D-Gauss.png
  • Wählen Sie zunächst die Nummer (1, ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
  • Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
  • Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.


Die Nummer 0 entspricht einem „Reset”:

  • Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
  • Ausgabe eines „Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.


(1)  Neue Einstellung:  $\text{DFT von Signal (b): Gleichsignal}$.  Interpretieren Sie das Ergebnis im Frequenzbereich. Wie lautet das Analogon der herkömmlichen  $\text{FT}$ ?

  •  Im Zeitbereich sind alle  $d(\nu) =1$. Im Frequenzbereich sind alle  $D(\mu) =0$  mit Ausnahme von  ${\rm Re}\big [D(0)] =1$.
  •  Dies entspricht bei der herkömmlichen (zeitkontinuierlichen) Fouriertransformation:   $x(t) = A\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = A \cdot \delta(f=0)$  mit  $A=1$.

(2)  Gehen Sie vom erhaltenen $D(\mu)$–Feld aus und verschieben Sie alle Koeffizienten um eine Stelle nach unten. Welche Zeitfunktion liefert die  $\rm IDFT$? 

  •  Nun sind alle  $D(\mu) =0$  mit Ausnahme von  ${\rm Re}\big [D(1)] =1$. Das Zeitbereichsergebnis ist eine komplexe Exponentialfunktion.
  •  Der Realteil des  $d(\nu)$–Feldes zeigt einen Cosinus und der Imaginärteil eine Sinusfunktion. Bei beiden Funktionen erkennt man jeweils eine Periode.

(3)  Ergänzen Sie das aktuelle $D(\mu)$–Feld  um den Koeffizienten  ${\rm Im}\big [D(1)] =1$. Welche Unterschiede erkennt man gegenüber (2) im Zeitbereich? 

  •  Zum einen erkennt man nun bei Realteil und Imaginärteil eine Phasenverschiebung um zwei Stützwerte. Dies entspricht der Phase  $\varphi = 45^\circ$.
  •  Zudem wurden die Amplituden von Real– und Imaginärteil jeweils um den Faktor  $\sqrt{2}$  vergrößert.

(4)  Setzen Sie das $D(\mu)$–Feld auf Null mit Ausnahme von  ${\rm Re}\big [D(1)] =1$. Durch welchen zusätzlichen $D(\mu)$–Koeffizienten erhält man ein reelles  $d(\nu)$–Feld?

  •  Durch Probieren oder Nachdenken erkennt man, dass auch  ${\rm Re}\big [D(15)] =1$  gesetzt werden muss. Dann beschreibt das $d(\nu)$–Feld einen Cosinus.
  •  Für die herkömmliche (zeitkontinuierliche) Fouriertransformation gilt:   $x(t) = 2 \cdot \cos(2\pi \cdot f_0 \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = \delta(f -f_0)+\delta(f +f_0)$.
  •  Das Feld  $D(1)$  steht für die Frequenz  $+f_0$  und aufgrund der Periodizät mit  $N=16$  wird die Frequenz  $-f_0$  durch  $D(15) = D(-1)$  ausgedrückt.

(5)  Mit welchem $D(\mu)$–Feld erhält man nach der  $\rm IDFT$  im  $d(\nu)$–Feld eine reelle Cosinusfunktion mit der Amplitude $A=1$?

  •  Die Diskrete Fouriertransformation ist ebenso wie die herkömmliche Fouriertransformation linear   ⇒   $D(1) = D(15)=0.5$.

(6)  Neue Einstellung:  $\text{DFT von Signal (e): Cosinussignal}$ und anschließende Signalverschiebungen.  Was bewirken diese Verschiebungen im Frequenzbereich? 

  •  Eine Verschiebung im Zeitbereich verändert das Cosinussignal zu einer „Harmonischen Schwingung” mit beliebiger Phase.
  •  Das  $D(\mu)$–Feld ist weiterhin Null bis auf  $D(1)$  und  $D(15)$. Die Beträge   $|D(1)|$  und  $|D(15)|$  bleiben ebenfalls gleich.
  •  Die alleinige Veränderung betrifft die Phase, also die unterschiedliche Aufteilung der Beträge auf Real– und Imaginärteil.

(7)  Neue Einstellung:  $\text{DFT von Signal (f): Sinussignal}$.  Interpretieren Sie das Ergebnis im Frequenzbereich. Wie lautet das Analogon der herkömmlichen  $\text{FT}$ ?

  •  Das Sinussignal ergibt sich aus dem Cosinussignal durch vier Zeitverschiebungen. Deshalb gelten alle Aussagen von (6) weiterhin.
  •  Für die herkömmliche (zeitkontinuierliche) Fouriertransformation gilt:   $x(t) = \sin(2\pi \cdot f_0 \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = {\rm j}/2 \cdot \big [\delta(f +f_0)-\delta(f -f_0)\big ]$.
  •  Der Koeffizient  $D(1)$   ⇒   $($Frequenz: $+f_0)$  ist imaginär und hat den Imaginärteil  $-0.5$. Entsprechend gilt  ${\rm Im}\big [D(15)] =+0.5$   ⇒   $($Frequenz: $-f_0)$.

(8)  Neue Einstellung:  $\text{DFT von Signal (g): Cosinussignal (zwei Perioden)}$.  Interpretieren Sie das Ergebnis im Vergleich zur Aufgabe  (5).

  •  Hier lautet die zeitkontinuierliche Fouriertransformation:   $x(t) = \cos(2\pi \cdot (2f_0) \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = 0.5 \cdot \delta(f -2 f_0)+0.5 \cdot \delta(f +2f_0)$.
  •  Für die Frequenz  $2f_0$ steht das Feld  $D(2)$  und für die Frequenz  $-2f_0$ aufgrund der Periodizät das Feld  $D(14) = D(-2)$ :   $D(2) = D(14) = 0.5$.

(9)  Untersuchen Sie nun den Fall  $\text{DFT von Sinussignal (zwei Perioden)}$. Welche Einstellung müssen Sie vornehmen? Interpretieren Sie das Ergebnis.

  •  Zum gewünschten Signal kommt man von  $\text{DFT von Signal (g): Cosinussignal (zwei Perioden)}$  mit zwei Verschiebungen. Bei  (7):  Vier Verschiebungen.
  •   Das DFT–Ergebnis lautet dementsprechend:  ${\rm Im}\big [D(2)] =-0.5$  und  ${\rm Im}\big [D(14)] =+0.5$.

(10)  Neue Einstellung:  $\text{DFT von (h) Alternierende Zeitkoeffizienten}$. Interpretieren Sie das DFT–Ergebnis.

  •  Hier lautet die zeitkontinuierliche Fouriertransformation:   $x(t) = \cos(2\pi \cdot (8f_0) \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = 0.5 \cdot \delta(f -8 f_0)+0.5 \cdot \delta(f +8f_0)$.
  •  $8f_0$  ist die höchste mit  $N=16$  in der DFT darstellbare Frequenz. Pro Periodendauer gibt es nur zwei Abtastwerte, nämlich  $+1$  und  $-1$.
  •  Unterschied zur Teilaufgabe  (5): Aus  $D(1) =0.5$  wird nun  $D(8) =0.5$. Ebenso verschiebt sich  $D(15) =0.5$  auf  $D(8) =0.5$.   Endergebnis:  $D(8) =1$.

(11)  Welche Unterschiede erhält man mit den beiden Einstellungen   »$\text{DFT von Signal (i): Diracimpuls}$«    sowie   »$\text{IDFT von Spektrum (I): Diracspektrum}$« ?

  •  Nur wenige! Im ersten Fall sind alle Koeffizienten  $D(\mu) = 1/N=0.0625$  $($reell$)$;  im zweiten Fall dagegen alle Koeffizienten  $d(\nu) = 1$  $($reell$)$.

(12)  Gibt es Unterschiede, wenn man im jeweiligen Eingabefeld die reelle  $1$  um jeweils eine Stelle nach unten verschiebt, also  $d(\nu=1) = 1$  bzw.  $D(\mu=1) = 1$?

  •  Im ersten Fall  ⇒   ${\rm Re}\big [d(\nu=1)] = 1$  ergibt sich im Frequenzbereich die komplexe Exponentialfunktion   ⇒   $X(f) = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f/f_0}$  mit negativem Vorzeichen.
  •  Im zweiten Fall  ⇒   ${\rm Re}\big [D(\mu=1)] = 1$  ergibt sich im Zeitbereich die komplexe Exponentialfunktion   ⇒   $x(t) = {\rm e}^{+{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f_0 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t}$  mit positivem Vorzeichen.
  •  Hinweis:   Mit  ${\rm Re}\big [D(\mu=15)] = 1$  ergäbe sich auch im Zeitbereich die komplexe Exponentialfunktion   ⇒   $x(t) = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f_0 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t}$  mit negativem Vorzeichen.

(13)  Neue Einstellung:  $\text{DFT von Signal (k): Dreieckimpuls}$. Interpretieren Sie die  $d(\nu)$–Belegungunter der Annahme  $T_{\rm A} = 1 \ \rm ms$.

  •  Wählen Sie die Betragsdarstellung. $x(t)$  ist symmetrisch um  $t=0$  und erstreckt sich von  $-8 \cdot T_{\rm A} = -8 \ \rm ms$  bis  $+8 \cdot T_{\rm A} = +8 \ \rm ms$.
  • $d(\nu)$–Belegung:    $d(0)=x(0)= 1$, $d(1)=x(T_{\rm A})= 0.875$, ... ,  $d(8)=x(8T_{\rm A})= 0$,  $d(9)=x(-7T_{\rm A})= 0.125$, ...,  $d(15)=x(-T_{\rm A})= 0.875$.

(14)  Gleiche Einstellung wie bei (13). Interpretieren Sie das DFT–Ergebnis, insbesondere die Koeffizienten $D(0)$,  $D(1)$,  $D(2)$  und  $D(15)$.

  • Im Frequenzbereich steht  $D(0)$  für die Frequenz  $f= 0$  und  $D(1)$  und  $D(15)$  für die Frequenzen  $\pm f_{\rm A}$. Es gilt  $f_{\rm A} = 1/(N \cdot T_{\rm A}) = 62.5\text{ Hz}$.
  • Für den Wert des kontinuierlichen Spektrums bei  $f=0$  gilt  $X(f=0)=D(0)/f_{\rm A} = 0.5/(0.0625\text{ kHz}) = 8\cdot \text{ kHz}^{-1}$.
  • Die erste Nullstelle des  ${\rm si}^2$–förmigen Spektrums  $X(f)$  tritt bei  $2 \cdot f_{\rm A}= 125\text{ Hz}$ auf. Die weiteren Nullstellen sind äquidistant.

(15)  Neue Einstellung:  $\text{DFT von Signal (i): Rechteckimpuls}$. Interpretieren Sie die dargestellten Ergebnisse.

  •  Das eingestellte (symmetrische) Rechteck erstreckt sich über  $\pm 4 \cdot T_{\rm A}$. An den Rändern sind die Zeitkoeffizienten nur halb so groß:  $d(4) = d(12) =0.5$.
  • Die weiteren Aussagen von  (14)  gelten auch für dieses  ${\rm si}$–förmige Spektrum  $X(f)$.

(16)  Gleiche Einstellung wie bei (15). Welche Modifikationen sind am  $d(\nu)$–Feld vorzunehmen, um die Rechteckdauer zu halbieren   ⇒   $\pm 2 \cdot T_{\rm A}$.

  •  $d(0) = d(1) = d(15) =1, \ d(2) = d(14) = 0.5$. Alle anderen Zeitkoeffizienten Null  ⇒   erste Nullstelle des  ${\rm si}$–Spektrums bei  $4 \cdot f_{\rm A}= 250\text{ Hz}$.

(17)  Neue Einstellung:  $\text{IDFT von Spektrum (L): Gaußspektrum}$. Interpretieren Sie das Ergebnis im Zeitbereich.

  •  Die Zeitfunktion  $x(t)$  ist hier ebenfalls gaußförmig mit dem Maximum  $x(t=0)=4$. Für das Spektrum gilt  $X(f=0)=D(0)/f_{\rm A} = 16\cdot \text{ kHz}^{-1}$.
  •  Die äquivalente Impulsdauer ist  $\Delta t= X(f= 0)/x(t= 0) = 4\text{ ms}$. Der Kehrwert ergibt die äquivalente Bandbreite  $\Delta f = 1/\Delta t= 250\text{ Hz}$.




Zur Handhabung des Applets


Anleitung DFT endgültig.png

    (A)     Zeitbereich (Eingabe- und Ergebnisfeld)

    (B)     (A)–Darstellung numerisch, grafisch, Betrag

    (C)     Frequenzbereich (Eingabe- und Ergebnisfeld)

    (D)     (C)–Darstellung numerisch, grafisch, Betrag

    (E)     Auswahl: DFT  $(t \to f)$  oder IDFT  $(f \to t)$

    (F)     Vorgegebene  $d(\nu)$–Belegungen (falls DFT), oder

                    Vorgegebene  $D(\mu)$–Belegungen (falls IDFT)

    (G)     Eingabefeld auf Null setzen

    (H)     Eingabefeld zyklisch nach unten (bzw. oben) verschieben

    ( I )     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauwahl

    (J)     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenstellung

    (K)     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung einblenden

  • Vorgegebene  $d(\nu)$–Belegungen (für DFT):
(a)  entsprechend Zahlenfeld,  (b)  Gleichsignal,  (c)  Komplexe Exponentialfunktion der Zeit,  (d)  Harmonische Schwingung  $($Phase  $\varphi = 45^\circ)$,
(e)  Cosinussignal (eine Periode),  (f)  Sinussignal (eine Periode),  (g)  Cosinussignal (zwei Perioden), (h)  Alternierende Zeitkoeffizienten,
  (i)  Diracimpuls,  (j)  Rechteckimpuls,  (k)  Dreieckimpuls,  (l)  Gaußimpuls.
  • Vorgegebene  $D(\mu)$–Belegungen (für IDFT):
(A)  entsprechend Zahlenfeld,  (B)  Konstantes Spektrum,  (C)  Komplexe Exponentialfunktion der Frequenz,  (D)  äquivalent zur Einstellung (d) im Zeitbereich ,
(E)  Cosinussignal (eine Frequenzperiode),  (F)  Sinussignal (eine Frequenzperiode),  (G)  Cosinussignal (zwei Frequenzperioden),  (H)  Alternierende Spektralkoeffizienten,
(I)  Diracspektrum,  (J)  Rechteckspektrum,  (K)  Dreieckspektrum,  (L)  Gaußspektrum.


Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  Lehrstuhl für Nachrichtentechnik  der  Technischen Universität München  konzipiert und realisiert.

  • Die erste Version wurde 2003 von  Thomas Großer  im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer:  Günter Söder).
  • 2019 wurde das Programm von  Carolin Mirschina  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer:  Tasnád Kernetzky).


Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  Studienzuschüsse  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.


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