Aufgaben:Aufgabe 3.8Z: Faltung zweier Rechtecke: Unterschied zwischen den Versionen

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Am Eingang eines kausalen LZI-Systems (also linear und zeitinvariant) mit einer rechteckförmigen Impulsantwort  ${h(t)}$  der Dauer  $2 \,\text{ms}$  liegt ein Rechteckimpuls  ${x(t)}$  der Dauer  $T = 3 \,\text{ms}$  und der Amplitude  $A = 2\,\text{ V}$  an. Die Rechteckfunktionen beginnen jeweils zum Zeitpunkt  $t = 0$.
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Am Eingang eines kausalen LZI-Systems  (also linear und zeitinvariant)  mit einer rechteckförmigen Impulsantwort  ${h(t)}$  der Dauer  $2 \,\text{ms}$  liegt ein Rechteckimpuls  ${x(t)}$  der Dauer  $T = 3 \,\text{ms}$  und der Amplitude  $A = 2\,\text{ V}$  an.  Die Rechteckfunktionen beginnen jeweils zum Zeitpunkt  $t = 0$.
  
In dieser Aufgabe sollen Sie das Ausgangssignal  ${y(t)}$  mit Hilfe der grafischen Faltung berechnen. Wie man leicht nachprüfen kann, ist das Ausgangssignal  ${y(t)}$
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In dieser Aufgabe sollen Sie das Ausgangssignal  ${y(t)}$  mit Hilfe der grafischen Faltung berechnen.  Wie man leicht nachprüfen kann, ist das Ausgangssignal  ${y(t)}$
 
*nur im Bereich von  $0$  bis  $5 \, \text{ms}$  von Null verschieden, und
 
*nur im Bereich von  $0$  bis  $5 \, \text{ms}$  von Null verschieden, und
 
*symmetrisch zum Zeitpunkt  $t = 2.5 \, \text{ms}$.
 
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'''(1)'''&nbsp;  Allgemein gilt für das Faltungsintegral:
 
'''(1)'''&nbsp;  Allgemein gilt für das Faltungsintegral:
 
:$$y(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( \tau  ) \cdot h( {t - \tau } )}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau.$$
 
:$$y(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( \tau  ) \cdot h( {t - \tau } )}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau.$$
''Hinweis:''&nbsp; Die Abszissen in nebenstehender Grafik wurden zu&nbsp; $\tau$&nbsp; umbenannt.
 
  
 
Der Signalwert zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 1 \,\text{ms}$&nbsp; kann wie folgt berechnet werden:
 
Der Signalwert zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 1 \,\text{ms}$&nbsp; kann wie folgt berechnet werden:
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Das Produkt ist ebenfalls rechteckförmig mit der Höhe&nbsp; $2 \text{ V} \cdot 300 \; \text{1/s}$&nbsp; und der Breite&nbsp; $1 \,\text{ms}$. Daraus ergibt sich für die Fläche:
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Das Produkt ist ebenfalls rechteckförmig mit Höhe&nbsp; $2 \text{ V} \cdot 300 \; \text{1/s}$&nbsp; und Breite&nbsp; $1 \,\text{ms}$. Daraus ergibt sich für die Fläche:
 
:$$y( {t = 1\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
 
:$$y( {t = 1\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
Das grüne Rechteck verdeutlicht die Berechnung des zweiten Signalwertes. Nun ist das resultierende Rechteck nach der Multiplikation doppelt so breit und man erhält:
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Das grüne Rechteck verdeutlicht die Berechnung des zweiten Signalwertes.&nbsp; Nun ist das resultierende Rechteck nach der Multiplikation doppelt so breit und man erhält:
 
:$$y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) = 2\;{\rm{V}} \cdot {\rm{300}}\;{1}/{{\rm{s}}} \cdot 2\;{\rm{ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{={\rm{1.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
 
:$$y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) = 2\;{\rm{V}} \cdot {\rm{300}}\;{1}/{{\rm{s}}} \cdot 2\;{\rm{ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{={\rm{1.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
  
  
'''(2)'''&nbsp; Wegen der Symmetrie von ${y(t)}$ bezüglich des Zeitpunktes&nbsp; $t = 2.5\, \text {ms}$&nbsp; gilt:
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'''(2)'''&nbsp; Wegen der Symmetrie von&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; bezüglich des Zeitpunktes&nbsp; $t = 2.5\, \text {ms}$&nbsp; gilt:
 
:$$y( {t = 3\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm{1}}{\rm{.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{,}}$$
 
:$$y( {t = 3\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm{1}}{\rm{.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{,}}$$
 
:$$y( {t = 4\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 1\;{\rm{ms}}} )\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
 
:$$y( {t = 4\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 1\;{\rm{ms}}} )\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
  
  
[[Datei:P_ID537__Sig_Z_3_8_c.png|right|frame|Faltungsergebnis&nbsp; $y(t)$]]
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[[Datei:P_ID537__Sig_Z_3_8_c.png|right|frame|Gesamtes Faltungsergebnis&nbsp; $y(t)$]]
'''(3)'''&nbsp;  In den Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(2)'''&nbsp; wurden die Signalwerte zu diskreten Zeitpunkten berechnet.  
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'''(3)'''&nbsp;  Richtig sind die Lösungsvorschläge <u>1 und 3</u>:
*Alle Punkte sind durch Geradenstücke zu verbinden, da die Integration über Rechteckfunktionen wachsender Breite einen linearen Verlauf ergibt.  
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*In den Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(2)'''&nbsp; wurden die Signalwerte zu diskreten Zeitpunkten berechnet.  
*Das heißt:&nbsp; Das Ausgangssignal&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; ist trapezförmig.
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*Alle Punkte sind durch Geradenstücke zu verbinden, da die Integration über Rechteckfunktionen wachsender Breite einen linearen Verlauf ergibt.&nbsp; Das heißt:&nbsp; Das Ausgangssignal&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; ist trapezförmig.
  
 
*Das dazugehörige Spektrum ist komplex und lautet:
 
*Das dazugehörige Spektrum ist komplex und lautet:
 
:$$Y(f) = 6 \cdot 10^{ - 3} \;{{\rm{V}}}/{{{\rm{Hz}}}} \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {2\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {3\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2.5\;{\rm{ms}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi }}f} .$$
 
:$$Y(f) = 6 \cdot 10^{ - 3} \;{{\rm{V}}}/{{{\rm{Hz}}}} \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {2\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {3\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2.5\;{\rm{ms}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi }}f} .$$
*Hätte der Eingangsimpuls&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; die Dauer&nbsp; $T = 2\, \text {ms}$, so würde&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; einen dreieckförmigen Signalverlauf zwischen&nbsp; ${t = 0}$&nbsp; und&nbsp; $t = 4  \text { ms}$&nbsp; zeigen.  
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*Hätte der Eingangsimpuls&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; die Dauer&nbsp; $T = 2\, \text {ms}$, so würde&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; einen dreieckförmigen Signalverlauf zwischen&nbsp; ${t = 0}$&nbsp; und&nbsp; $t = 4  \text { ms}$&nbsp; zeigen.&nbsp; Das Maximum&nbsp; $1.2 \, \text {V}$&nbsp; ergäbe sich dann nur zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 2 \, \text {ms}$.  
*Das Maximum&nbsp; $1.2 \, \text {V}$&nbsp; ergäbe sich dann nur zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 2 \, \text {ms}$.  
 
  
 
Richtig sind somit die Lösungsvorschläge <u>1 und 3</u>.
 
 
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Aktuelle Version vom 29. April 2021, 14:15 Uhr

Zur Faltung zweier Rechtecke

Am Eingang eines kausalen LZI-Systems  (also linear und zeitinvariant)  mit einer rechteckförmigen Impulsantwort  ${h(t)}$  der Dauer  $2 \,\text{ms}$  liegt ein Rechteckimpuls  ${x(t)}$  der Dauer  $T = 3 \,\text{ms}$  und der Amplitude  $A = 2\,\text{ V}$  an.  Die Rechteckfunktionen beginnen jeweils zum Zeitpunkt  $t = 0$.

In dieser Aufgabe sollen Sie das Ausgangssignal  ${y(t)}$  mit Hilfe der grafischen Faltung berechnen.  Wie man leicht nachprüfen kann, ist das Ausgangssignal  ${y(t)}$

  • nur im Bereich von  $0$  bis  $5 \, \text{ms}$  von Null verschieden, und
  • symmetrisch zum Zeitpunkt  $t = 2.5 \, \text{ms}$.





Hinweise:



Fragebogen

1

Berechnen Sie die Signalwerte zu den Zeitpunkten  $t = 1 \,\text{ms}$  und  $t = 2 \,\text{ms}$.

$y(t = 1 \,\text{ms})\ = \ $

 $\text{V}$
$y(t = 2 \,\text{ms})\ = \ $

 $\text{V}$

2

Bestimmen Sie die Signalwerte für die Zeitpunkte  $t = 3 \,\text{ms}$  und  $t = 4 \,\text{ms}$  durch Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften.

$y(t = 3 \,\text{ms})\ = \ $

 $\text{V}$
$y(t = 4 \,\text{ms})\ = \ $

 $\text{V}$

3

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Das Ausgangssignal  ${y(t)}$  hat einen trapezförmigen Verlauf.
Das Spektrum lautet:   ${Y(f)} = Y_0 \cdot \text{si}^{2}(\pi f T)$.
Mit  $T = 2 \,\text{ms}$  würde sich eine Dreiecksform ergeben.


Musterlösung

Zur grafischen Faltung  $x(t) \star h(t)$;
die Abszissen wurden in  $\tau$  umbenannt

(1)  Allgemein gilt für das Faltungsintegral:

$$y(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( \tau ) \cdot h( {t - \tau } )}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau.$$

Der Signalwert zum Zeitpunkt  $t = 1 \,\text{ms}$  kann wie folgt berechnet werden:

  • Spiegelung der Impulsantwort  ${h(\tau)}$,
  • Verschiebung um  $t = 1 \text{ ms}$  nach rechts (violette Kurve in der Skizze),
  • Multiplikation der beiden Funktionen sowie Integration.


Das Produkt ist ebenfalls rechteckförmig mit Höhe  $2 \text{ V} \cdot 300 \; \text{1/s}$  und Breite  $1 \,\text{ms}$. Daraus ergibt sich für die Fläche:

$$y( {t = 1\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$

Das grüne Rechteck verdeutlicht die Berechnung des zweiten Signalwertes.  Nun ist das resultierende Rechteck nach der Multiplikation doppelt so breit und man erhält:

$$y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) = 2\;{\rm{V}} \cdot {\rm{300}}\;{1}/{{\rm{s}}} \cdot 2\;{\rm{ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{={\rm{1.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$


(2)  Wegen der Symmetrie von  ${y(t)}$  bezüglich des Zeitpunktes  $t = 2.5\, \text {ms}$  gilt:

$$y( {t = 3\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm{1}}{\rm{.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{,}}$$
$$y( {t = 4\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 1\;{\rm{ms}}} )\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$


Gesamtes Faltungsergebnis  $y(t)$

(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • In den Teilaufgaben  (1)  und  (2)  wurden die Signalwerte zu diskreten Zeitpunkten berechnet.
  • Alle Punkte sind durch Geradenstücke zu verbinden, da die Integration über Rechteckfunktionen wachsender Breite einen linearen Verlauf ergibt.  Das heißt:  Das Ausgangssignal  ${y(t)}$  ist trapezförmig.
  • Das dazugehörige Spektrum ist komplex und lautet:
$$Y(f) = 6 \cdot 10^{ - 3} \;{{\rm{V}}}/{{{\rm{Hz}}}} \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {2\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {3\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2.5\;{\rm{ms}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi }}f} .$$
  • Hätte der Eingangsimpuls  ${x(t)}$  die Dauer  $T = 2\, \text {ms}$, so würde  ${y(t)}$  einen dreieckförmigen Signalverlauf zwischen  ${t = 0}$  und  $t = 4 \text { ms}$  zeigen.  Das Maximum  $1.2 \, \text {V}$  ergäbe sich dann nur zum Zeitpunkt  $t = 2 \, \text {ms}$.