Aufgaben:Aufgabe 4.2Z: Multiplikation mit Sinussignal: Unterschied zwischen den Versionen

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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen|Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass– und Bandpass–Signalen]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Signaldarstellung/Grundsätzliches_zu_Tiefpass-_und_Bandpass-Signalen|Grundsätzliches zu Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].
 
   
 
   
  
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{Geben Sie das Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; in analytischer Form an. Welche Werte ergeben sich für&nbsp; $t = 0$&nbsp; und&nbsp; $t = 0.125\, \text{ms}$?
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{Geben Sie das Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; in analytischer Form an.&nbsp; Welche Werte ergeben sich für&nbsp; $t = 0$&nbsp; und&nbsp; $t = 0.125\, \text{ms}$?
 
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$q(t = 0)\ = \ $  { 4 3% } &nbsp;$\text{V}$
 
$q(t = 0)\ = \ $  { 4 3% } &nbsp;$\text{V}$
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{Berechnen Sie die Spektrum&nbsp; $S(f)$&nbsp; getrennt nach Real– und Imaginärteil. Bei welchen Frequenzen gibt es Linien mit einem Realteil ungleich Null?
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+ $3\ \text{kHz},$
 
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===Musterlösung===
 
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'''(1)'''&nbsp;  Das Nachrichtensignal lässt sich mit den Abkürzungen $f_1 = 1\ \text{kHz}$ und $T_1 = 1/f_1 = 1 \ \text{ms}$ wie folgt darstellen (es gilt $f_2 = 2f_1$):
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'''(1)'''&nbsp;  Das Nachrichtensignal lässt sich mit den Abkürzungen&nbsp; $f_1 = 1\ \text{kHz}$&nbsp; und&nbsp; $T_1 = 1/f_1 = 1 \ \text{ms}$&nbsp; wie folgt darstellen&nbsp; $($es gilt&nbsp; $f_2 = 2f_1)$:
 
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  \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_1 t) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V}
 
  \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_1 t) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V}
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  \cdot  {\cos} ( 2 \pi {t}/{T_1}) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V}
 
  \cdot  {\cos} ( 2 \pi {t}/{T_1}) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V}
 
  \cdot  {\sin} ( 4 \pi {t}/{T_1}) .$$
 
  \cdot  {\sin} ( 4 \pi {t}/{T_1}) .$$
*Zum Zeitpunkt $t = 0$ verschwindet der zweite Anteil und es ergibt sich $q(t = 0)\; \underline{= 4 \ \text{V}}$.  
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*Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; verschwindet der zweite Anteil und es ergibt sich&nbsp; $q(t = 0)\; \underline{= 4 \ \text{V}}$.  
*Dagegen erhält man für $t = 0.125 \ \text{ms} = T_1/8$:
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*Dagegen erhält man für&nbsp; $t = 0.125 \ \text{ms} = T_1/8$:
 
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  \cdot  {\cos} ( {\pi}/{4}) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V}
 
  \cdot  {\cos} ( {\pi}/{4}) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V}
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  0.828 \hspace{0.05cm}{\rm V}}.$$
 
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'''(2)'''&nbsp; Entsprechend dem rein imaginären Spektrum $Z(f)$ und den Impulsgewichten $\pm 3$ muss gelten:
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'''(2)'''&nbsp; Entsprechend dem rein imaginären Spektrum&nbsp; $Z(f)$&nbsp; und den Impulsgewichten&nbsp; $\pm 3$&nbsp; muss gelten:
 
:$$z(t )  = 6 \cdot  {\sin} ( 2 \pi \cdot 5\hspace{0.05cm}{\rm
 
:$$z(t )  = 6 \cdot  {\sin} ( 2 \pi \cdot 5\hspace{0.05cm}{\rm
 
kHz})\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} z_{\rm max}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 6} .$$
 
kHz})\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} z_{\rm max}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 6} .$$
  
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'''(3)'''&nbsp; Die Spektralfunktion $S(f)$ ergibt sich aus der Faltung zwischen $Q(f)$ und $Z(f)$. Man erhält:
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[[Datei:P_ID706__Sig_Z_4_2_c.png|right|frame|Diskretes Bandpass&ndash;Spektrum]]
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'''(3)'''&nbsp; Die Spektralfunktion&nbsp; $S(f)$&nbsp; ergibt sich aus der Faltung zwischen&nbsp; $Q(f)$&nbsp; und&nbsp; $Z(f)$. Man erhält:
 
:$$S(f)  = - 3{\rm j} \cdot Q(f- f_{\rm T}) + 3{\rm j} \cdot Q(f+
 
:$$S(f)  = - 3{\rm j} \cdot Q(f- f_{\rm T}) + 3{\rm j} \cdot Q(f+
 
f_{\rm T}).$$
 
f_{\rm T}).$$
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Dazu noch die konjugiert–komplexen Anteile bei negativen Frequenzen.
 
Dazu noch die konjugiert–komplexen Anteile bei negativen Frequenzen.
  
Linien mit reellen Gewichten bei $\underline{\pm 3 \ \text{kHz}}$ <u>und</u> $\underline{\pm 7 \ \text{kHz}}$.
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Linien mit reellen Gewichten bei&nbsp; $\underline{\pm 3 \ \text{kHz}}$&nbsp; <u>und</u>&nbsp; $\underline{\pm 7 \ \text{kHz}}$.
  
'''(4)'''&nbsp;  Imaginäre Linien treten bei $\underline{\pm 4 \ \text{kHz}}$ <u>und</u> $\underline{\pm 6 \ \text{kHz}}$ auf.
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'''(4)'''&nbsp;  Imaginäre Linien treten bei&nbsp; $\underline{\pm 4 \ \text{kHz}}$&nbsp; <u>und</u>&nbsp; $\underline{\pm 6 \ \text{kHz}}$ auf.
  
 
Eine alternative Möglichkeit zur Lösung dieser Aufgabe ist die Anwendung trigonometrischer Gleichungen.  
 
Eine alternative Möglichkeit zur Lösung dieser Aufgabe ist die Anwendung trigonometrischer Gleichungen.  
  
Im Folgenden bezeichnet zum Beispiel $f_5 = 5 \text{ kHz}$. Dann gilt:
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Im Folgenden bezeichnet zum Beispiel&nbsp; $f_5 = 5 \text{ kHz}$. Dann gilt:
 
:$$4\hspace{0.05cm}{\rm V}
 
:$$4\hspace{0.05cm}{\rm V}
 
  \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_1 \hspace{0.03cm}t) \cdot 3
 
  \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_1 \hspace{0.03cm}t) \cdot 3
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  t)+ {\cos} ( 2 \pi f_7 \hspace{0.03cm} t)\big].$$
 
  t)+ {\cos} ( 2 \pi f_7 \hspace{0.03cm} t)\big].$$
  
Aus der ersten Gleichung ergeben sich folgende Spektrallinien:  
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*Aus der ersten Gleichung ergeben sich folgende Spektrallinien:  
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:* bei&nbsp; $+f_4$&nbsp; bzw.&nbsp; $-f_4$&nbsp; mit den Gewichten&nbsp; $–{\rm j} \cdot 3\ {\rm V}$&nbsp; bzw.&nbsp; $+{\rm j}\cdot 3 \ {\rm V}$,
  
:* bei $+f_4$ bzw. $-f_4$ mit den Gewichten $–{\rm j} \cdot 3\ {\rm V}$ bzw. $+{\rm j}\cdot 3 \ {\rm V}$,
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:* bei&nbsp; $+f_6$&nbsp; bzw.&nbsp; $-f_6$&nbsp; mit den Gewichten&nbsp; $–{\rm j} \cdot 3 \ {\rm V}$&nbsp; bzw.&nbsp; $+{\rm j} \cdot 3 \ {\rm V}$.
  
:* bei $+f_6$ bzw. $-f_6$ mit den Gewichten $–{\rm j} \cdot 3 \ {\rm V}$ bzw. $+{\rm j} \cdot 3 \ {\rm V}$.
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*Die zweite Gleichung liefert insgesamt vier Diraclinien&nbsp; (alle&nbsp; $6 \ {\rm V}$, reell und negativ) bei&nbsp; $\pm f_3$&nbsp; und&nbsp; $\pm f_7$.  
  
Die zweite Gleichung liefert insgesamt vier Diraclinien (alle $6 \ {\rm V}$, reell und negativ) bei $\pm f_3$ und $\pm f_7$.
 
  
 
Ein Vergleich mit obiger Skizze zeigt, dass beide Lösungswege zum gleichen Ergebnis führen.
 
Ein Vergleich mit obiger Skizze zeigt, dass beide Lösungswege zum gleichen Ergebnis führen.

Aktuelle Version vom 3. Mai 2021, 17:15 Uhr

Spektralfunktionen  $Q(f)$  und  $Z(f)$

Betrachtet wird ein periodisches Nachrichtensignal  $q(t)$, dessen Spektralfunktion  $Q(f)$  in der oberen Grafik zu sehen ist.

Eine Multiplikation mit dem dimensionslosen Träger  $z(t)$, dessen Spektrum  $Z(f)$  ebenfalls dargestellt ist, führt zum Signal  $s(t) = q(t) \cdot z(t).$

In dieser Aufgabe soll die Spektralfunktion  $S(f)$  dieses Signals ermittelt werden, wobei die Lösung entweder im Zeit– oder im Frequenzbereich erfolgen kann.




Hinweis:



Fragebogen

1

Geben Sie das Quellensignal  $q(t)$  in analytischer Form an.  Welche Werte ergeben sich für  $t = 0$  und  $t = 0.125\, \text{ms}$?

$q(t = 0)\ = \ $

 $\text{V}$
$q(t = 0.125 \,\text{ms})\ = \ $

$\text{V}$

2

Wie lautet das (dimensionslose) Trägersignal  $z(t)$?  Wie groß ist dessen Maximalwert?

$z_{\rm max}\ = \ $

3

Berechnen Sie die Spektrum  $S(f)$  getrennt nach Real– und Imaginärteil.  Bei welchen Frequenzen gibt es Linien mit einem Realteil ungleich Null?

$3\ \text{kHz},$
$4\ \text{kHz},$
$5\ \text{kHz},$
$6\ \text{kHz},$
$7\ \text{kHz}.$

4

Bei welchen Frequenzen treten rein imaginäre Spektrallinien auf?

$3\ \text{kHz},$
$4\ \text{kHz},$
$5\ \text{kHz},$
$6\ \text{kHz},$
$7\ \text{kHz}.$


Musterlösung

(1)  Das Nachrichtensignal lässt sich mit den Abkürzungen  $f_1 = 1\ \text{kHz}$  und  $T_1 = 1/f_1 = 1 \ \text{ms}$  wie folgt darstellen  $($es gilt  $f_2 = 2f_1)$:

$$q(t ) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 2 \pi f_1 t) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\sin} ( 4 \pi f_1 t)= 4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 2 \pi {t}/{T_1}) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\sin} ( 4 \pi {t}/{T_1}) .$$
  • Zum Zeitpunkt  $t = 0$  verschwindet der zweite Anteil und es ergibt sich  $q(t = 0)\; \underline{= 4 \ \text{V}}$.
  • Dagegen erhält man für  $t = 0.125 \ \text{ms} = T_1/8$:
$$q(t = 0.125{\rm ms}) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( {\pi}/{4}) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\sin} ( {\pi}/{2}) = \frac {4\hspace{0.05cm}{\rm V}}{\sqrt{2}} - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.828 \hspace{0.05cm}{\rm V}}.$$


(2)  Entsprechend dem rein imaginären Spektrum  $Z(f)$  und den Impulsgewichten  $\pm 3$  muss gelten:

$$z(t ) = 6 \cdot {\sin} ( 2 \pi \cdot 5\hspace{0.05cm}{\rm kHz})\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} z_{\rm max}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 6} .$$


Diskretes Bandpass–Spektrum

(3)  Die Spektralfunktion  $S(f)$  ergibt sich aus der Faltung zwischen  $Q(f)$  und  $Z(f)$. Man erhält:

$$S(f) = - 3{\rm j} \cdot Q(f- f_{\rm T}) + 3{\rm j} \cdot Q(f+ f_{\rm T}).$$

Es ergeben sich Spektrallinien bei

  • $3\ \text{kHz}\ (–3\ {\rm V})$,
  • $4\ \text{kHz} (–{\rm j} \cdot 6\ {\rm V})$,
  • $6\ \text{kHz} (–{\rm j} \cdot 6\ {\rm V})$,
  • $7\ \text{kHz}\ (–3\ {\rm V})$.


Dazu noch die konjugiert–komplexen Anteile bei negativen Frequenzen.

Linien mit reellen Gewichten bei  $\underline{\pm 3 \ \text{kHz}}$  und  $\underline{\pm 7 \ \text{kHz}}$.


(4)  Imaginäre Linien treten bei  $\underline{\pm 4 \ \text{kHz}}$  und  $\underline{\pm 6 \ \text{kHz}}$ auf.

Eine alternative Möglichkeit zur Lösung dieser Aufgabe ist die Anwendung trigonometrischer Gleichungen.

Im Folgenden bezeichnet zum Beispiel  $f_5 = 5 \text{ kHz}$. Dann gilt:

$$4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 2 \pi f_1 \hspace{0.03cm}t) \cdot 3 \cdot {\sin} ( 2 \pi f_5 \hspace{0.03cm} t)= \frac{12\hspace{0.05cm}{\rm V}}{2}\cdot \big[{\sin} ( 2 \pi f_4 \hspace{0.03cm} t)+ {\sin} ( 2 \pi f_6 \hspace{0.03cm} t)\big],$$
$$-2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\sin} ( 2 \pi f_2 \hspace{0.03cm}t) \cdot 3 \cdot {\sin} ( 2 \pi f_5 \hspace{0.03cm} t)= \frac{-6\hspace{0.05cm}{\rm V}}{2}\cdot \big[{\cos} ( 2 \pi f_3 \hspace{0.03cm} t)+ {\cos} ( 2 \pi f_7 \hspace{0.03cm} t)\big].$$
  • Aus der ersten Gleichung ergeben sich folgende Spektrallinien:
  • bei  $+f_4$  bzw.  $-f_4$  mit den Gewichten  $–{\rm j} \cdot 3\ {\rm V}$  bzw.  $+{\rm j}\cdot 3 \ {\rm V}$,
  • bei  $+f_6$  bzw.  $-f_6$  mit den Gewichten  $–{\rm j} \cdot 3 \ {\rm V}$  bzw.  $+{\rm j} \cdot 3 \ {\rm V}$.
  • Die zweite Gleichung liefert insgesamt vier Diraclinien  (alle  $6 \ {\rm V}$, reell und negativ) bei  $\pm f_3$  und  $\pm f_7$.


Ein Vergleich mit obiger Skizze zeigt, dass beide Lösungswege zum gleichen Ergebnis führen.