Aufgaben:Aufgabe 1.4: 2S/3E-Kanalmodell: Unterschied zwischen den Versionen
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${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm L} ) \ = \ $ { 1 3% } | ${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm L} ) \ = \ $ { 1 3% } | ||
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${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm K} ) \ =\ $ { 0.4614 3% } | ${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm K} ) \ =\ $ { 0.4614 3% } | ||
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| − | '''(1)''' Nur wenn das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, kann sich der Empfänger beim gegebenen Kanal für das Symbol $\rm L$ entscheiden. | + | '''(1)''' Nur wenn das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, kann sich der Empfänger beim gegebenen Kanal für das Symbol $\rm L$ entscheiden. |
| − | Die Wahrscheinlichkeit für ein empfangenes $\rm L$ ist allerdings um den Faktor $0.7$ kleiner als für ein gesendetes. Daraus folgt: | + | *Die Wahrscheinlichkeit für ein empfangenes $\rm L$ ist allerdings um den Faktor $0.7$ kleiner als für ein gesendetes. Daraus folgt: |
:$${\rm Pr} (E_{\rm L}) = {\rm Pr}(S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm L}) = 0.3 \cdot 0.7 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.21}.$$ | :$${\rm Pr} (E_{\rm L}) = {\rm Pr}(S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm L}) = 0.3 \cdot 0.7 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.21}.$$ | ||
| − | '''(2)''' Zum Ereignis $E_{\rm H}$ kommt man sowohl von $S_{\rm H}$ als auch von $S_{\rm L}$ aus. Deshalb gilt: | + | |
| + | '''(2)''' Zum Ereignis $E_{\rm H}$ kommt man sowohl von $S_{\rm H}$ als auch von $S_{\rm L}$ aus. Deshalb gilt: | ||
:$${\rm Pr} (E_{\rm H}) = {\rm Pr} (S_{\rm H}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm H}) + {\rm Pr} (S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L})= \rm 0.7 \cdot 0.9 + 0.3 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = \rm 0.66}.$$ | :$${\rm Pr} (E_{\rm H}) = {\rm Pr} (S_{\rm H}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm H}) + {\rm Pr} (S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L})= \rm 0.7 \cdot 0.9 + 0.3 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = \rm 0.66}.$$ | ||
| − | '''(3)''' Die Ereignisse $E_{\rm H}$, $E_{\rm L}$ und $E_{\rm K}$ bilden zusammen ein vollständiges System. Daraus folgt: | + | |
| + | '''(3)''' Die Ereignisse $E_{\rm H}$, $E_{\rm L}$ und $E_{\rm K}$ bilden zusammen ein vollständiges System. Daraus folgt: | ||
:$${\rm Pr} (E_{\rm K}) = 1 - {\rm Pr} (E_{\rm L}) - {\rm Pr} (E_{\rm H}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.13}.$$ | :$${\rm Pr} (E_{\rm K}) = 1 - {\rm Pr} (E_{\rm L}) - {\rm Pr} (E_{\rm H}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.13}.$$ | ||
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| − | '''(5)''' Wenn das Symbol $\rm L$ empfangen wurde, kann nur $\rm L$ gesendet worden sein. Daraus folgt: | + | |
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:$${\rm Pr} (S_{\rm L} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm L}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 1}.$$ | :$${\rm Pr} (S_{\rm L} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm L}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 1}.$$ | ||
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Aktuelle Version vom 30. November 2021, 15:22 Uhr
$\rm 2S/3E$-Kanalmodell
Ein Sender gibt die binären Symbole $\rm L$ $($Ereignis $S_{\rm L})$ und $\rm H$ $($Ereignis $S_{\rm H})$ ab.
- Bei guten Bedingungen entscheidet sich der Digitalempfänger ebenfalls nur für die Binärsymbole $\rm L$ $($Ereignis $E_{\rm L})$ oder $\rm H$ $($Ereignis $E_{\rm H})$.
- Kann der Empfänger allerdings vermuten, dass bei der Übertragung ein Fehler aufgetreten ist, so trifft er keine Entscheidung $($Ereignis $E_{\rm K})$; $\rm K$ steht hierbei für „Keine Entscheidung”).
Die Grafik zeigt ein einfaches Kanalmodell in Form von Übergangswahrscheinlichkeiten. Es ist zu erkennen, dass ein gesendetes $\rm L$ durchaus als Symbol $\rm H$ empfangen werden kann. Dagegen ist der Übergang von $\rm H$ nach $\rm L$ nicht möglich.
Die Symbolauftrittswahrscheinlichkeiten am Sender seien ${\rm Pr}(S_{\rm L}) = 0.3$ und ${\rm Pr}(S_{\rm H}) = 0.7$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.
- Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo
Fragebogen
Musterlösung
(1) Nur wenn das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, kann sich der Empfänger beim gegebenen Kanal für das Symbol $\rm L$ entscheiden.
- Die Wahrscheinlichkeit für ein empfangenes $\rm L$ ist allerdings um den Faktor $0.7$ kleiner als für ein gesendetes. Daraus folgt:
- $${\rm Pr} (E_{\rm L}) = {\rm Pr}(S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm L}) = 0.3 \cdot 0.7 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.21}.$$
(2) Zum Ereignis $E_{\rm H}$ kommt man sowohl von $S_{\rm H}$ als auch von $S_{\rm L}$ aus. Deshalb gilt:
- $${\rm Pr} (E_{\rm H}) = {\rm Pr} (S_{\rm H}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm H}) + {\rm Pr} (S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L})= \rm 0.7 \cdot 0.9 + 0.3 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = \rm 0.66}.$$
(3) Die Ereignisse $E_{\rm H}$, $E_{\rm L}$ und $E_{\rm K}$ bilden zusammen ein vollständiges System. Daraus folgt:
- $${\rm Pr} (E_{\rm K}) = 1 - {\rm Pr} (E_{\rm L}) - {\rm Pr} (E_{\rm H}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.13}.$$
(4) Eine falsche Entscheidung kann man mengentheoretisch wie folgt charakterisieren:
- $${\rm Pr} \text{(falsche Entscheidung)} = {\rm Pr} \big [(S_{\rm L} \cap E_{\rm H}) \cup (S_{\rm H} \cap E_{\rm L})\big ] = \rm 0.3 \cdot 0.1 + 0.7\cdot 0 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.03}.$$
(5) Wenn das Symbol $\rm L$ empfangen wurde, kann nur $\rm L$ gesendet worden sein. Daraus folgt:
- $${\rm Pr} (S_{\rm L} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm L}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 1}.$$
(6) Zur Lösung dieser Aufgabe eignet sich zum Beispiel der Satz von Bayes:
- $${\rm Pr} (S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm K}) =\frac{ {\rm Pr} ( E_{\rm K} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (S_{\rm L})}{{\rm Pr} (E_{\rm K})} =\frac{ \rm 0.2 \cdot 0.3}{\rm 0.13} = \frac{\rm 6}{\rm 13}\hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.462}.$$
