Stochastische Signaltheorie/Zweidimensionale Zufallsgrößen: Unterschied zwischen den Versionen

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== # ÜBERBLICK ZUM VIERTEN HAUPTKAPITEL # ==
 
== # ÜBERBLICK ZUM VIERTEN HAUPTKAPITEL # ==
 
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Nun werden Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen behandelt und anhand typischer Beispiele verdeutlicht.&nbsp; Nach der allgemeinen Beschreibung zweidimensionaler Zufallsgrößen wenden wir uns der Autokorrelationsfunktion&nbsp; (AKF),&nbsp; der Kreuzkorrelationsfunktion&nbsp; (KKF)&nbsp; und den zugehörigen Spektralfunktionen&nbsp; (LDS, KLDS)&nbsp; zu.
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Nun werden Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen behandelt und anhand typischer Beispiele verdeutlicht.&nbsp;  
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Nach der allgemeinen Beschreibung zweidimensionaler Zufallsgrößen wenden wir uns folgenden Beschreibungsgrößen zu:
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#der Autokorrelationsfunktion&nbsp; (AKF),&nbsp;  
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#der Kreuzkorrelationsfunktion&nbsp; (KKF),&nbsp;  
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#den zugehörigen Spektralfunktionen&nbsp; (Leistungsdichtespektrum, Kreuzleistungsdichtespektrum).
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Im Einzelnen werden behandelt:
 
Im Einzelnen werden behandelt:
  
*die statistische Beschreibung von ''2D–Zufallsgrößen''&nbsp; mit Hilfe der (Verbund–)WDF,
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*die statistische Beschreibung von&nbsp; &raquo;2D–Zufallsgrößen&laquo;&nbsp; mit Hilfe der Verbund–WDF,
*der Unterschied zwischen ''statistischer Abhängigkeit''&nbsp; und ''Korrelation'',
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*der Unterschied zwischen&nbsp; &raquo;statistischer Abhängigkeit&laquo;&nbsp; und&nbsp; &raquo;Korrelation&laquo;,
*die Klassifizierungsmerkmale ''Stationarität''&nbsp; und ''Ergodizität''&nbsp; stochastischer Prozesse,
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*die Klassifizierungsmerkmale&nbsp; &raquo;Stationarität&laquo;&nbsp; und&nbsp; &raquo;Ergodizität&laquo;&nbsp; stochastischer Prozesse,
* die Definitionen von ''Autokorrelationsfunktion''&nbsp; (AKF) und ''Leistungsdichtespektrum''&nbsp; (LDS),
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* die Definitionen von&nbsp; &raquo;Autokorrelationsfunktion&laquo;&nbsp; $\rm (AKF)$&nbsp; und&nbsp; &raquo;Leistungsdichtespektrum&laquo;&nbsp; $\rm (LDS)$,
*die Definitionen von ''Kreuzkorrelationsfunktion''&nbsp; und ''Kreuzleistungsdichtespektrum'', und
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*die Definitionen von&nbsp; &raquo;Kreuzkorrelationsfunktion&laquo;&nbsp; und&nbsp; &raquo;Kreuzleistungsdichtespektrum&laquo;,  
 
*die numerische Ermittlung all dieser Größen im zwei– und mehrdimensionalen Fall.
 
*die numerische Ermittlung all dieser Größen im zwei– und mehrdimensionalen Fall.
  
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==Eigenschaften und Beispiele==
 
==Eigenschaften und Beispiele==
 
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Als Überleitung zu den&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Korrelationsfunktionen]]&nbsp; betrachten wir nun zwei Zufallsgrößen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$,&nbsp; zwischen denen statistische Abhängigkeiten bestehen.&nbsp; Jede der beiden Zufallsgrößen kann für sich alleine beschrieben werden mit den eingeführten Kenngrößen  
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Als Überleitung zu den&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Korrelationsfunktionen]]&nbsp; betrachten wir nun zwei Zufallsgrößen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$,&nbsp; zwischen denen statistische Abhängigkeiten bestehen.&nbsp;  
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Jede der beiden Zufallsgrößen kann für sich alleine beschrieben werden mit den eingeführten Kenngrößen  
 
*entsprechend dem zweiten Hauptkapitel &nbsp; &rArr; &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße#.23_.C3.9CBERBLICK_ZUM_ZWEITEN_HAUPTKAPITEL_.23|Diskrete Zufallsgrößen]] &nbsp;   
 
*entsprechend dem zweiten Hauptkapitel &nbsp; &rArr; &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße#.23_.C3.9CBERBLICK_ZUM_ZWEITEN_HAUPTKAPITEL_.23|Diskrete Zufallsgrößen]] &nbsp;   
 
*bzw. dem dritten Hauptkapitel &nbsp; &rArr; &nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion#.23_.C3.9CBERBLICK_ZUM_DRITTEN_HAUPTKAPITEL_.23|Kontinuierliche Zufallsgrößen]].   
 
*bzw. dem dritten Hauptkapitel &nbsp; &rArr; &nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion#.23_.C3.9CBERBLICK_ZUM_DRITTEN_HAUPTKAPITEL_.23|Kontinuierliche Zufallsgrößen]].   
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{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
$\text{Definition:}$&nbsp; Zur Beschreibung der Wechselbeziehungen zwischen zwei Größen&nbsp; $x$ &nbsp;und&nbsp; $y$&nbsp; ist es zweckmäßig, die beiden Komponenten zu einer&nbsp; '''zweidimensionalen Zufallsgröße'''&nbsp; $(x, y)$ &nbsp;zusammenzufassen.  
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$\text{Definition:}$&nbsp; Zur Beschreibung der Wechselbeziehungen zwischen zwei Größen&nbsp; $x$ &nbsp;und&nbsp; $y$&nbsp; ist es zweckmäßig,&nbsp; die beiden Komponenten zu einer&nbsp; '''zweidimensionalen Zufallsgröße'''&nbsp; $(x, y)$ &nbsp;zusammenzufassen.  
 
*Die Einzelkomponenten können Signale sein wie der Real&ndash; und Imaginärteil eines phasenmodulierten Signals.  
 
*Die Einzelkomponenten können Signale sein wie der Real&ndash; und Imaginärteil eines phasenmodulierten Signals.  
*Aber es gibt auch in anderen Bereichen eine Vielzahl von 2D&ndash;Zufallsgrößen, wie das folgende Beispiel zeigen soll.}}  
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*Aber es gibt auch in anderen Bereichen eine Vielzahl von 2D&ndash;Zufallsgrößen,&nbsp; wie das folgende Beispiel zeigen soll.}}  
  
  
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
{{GraueBox|TEXT=   
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Das linke Diagramm stammt von dem Zufallsexperiment&nbsp; &bdquo;Werfen mit zwei Würfeln&rdquo;.&nbsp; Nach rechts aufgetragen ist die Augenzahl des ersten Würfels&nbsp; $(W_1)$,&nbsp; nach oben die Summe&nbsp; $S$&nbsp; beider Würfel.&nbsp; Die beiden Komponenten sind hier jeweils diskrete Zufallsgrößen, zwischen denen statistische Bindungen bestehen:  
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$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Das linke Diagramm stammt von dem Zufallsexperiment&nbsp; &bdquo;Werfen mit zwei Würfeln&rdquo;.&nbsp; Nach rechts aufgetragen ist die Augenzahl des ersten Würfels&nbsp; $(W_1)$,&nbsp; nach oben die Summe&nbsp; $S$&nbsp; beider Würfel.&nbsp; Die beiden Komponenten sind hier jeweils diskrete Zufallsgrößen,&nbsp; zwischen denen statistische Bindungen bestehen:  
*Ist&nbsp; $W_1 = 1$, so kann&nbsp; $S$&nbsp; nur Werte zwischen&nbsp; $2$&nbsp; und&nbsp; $7$&nbsp; annehmen und zwar mit jeweils gleicher Warscheinlichkeit.
 
*Dagegen sind bei&nbsp; $W_1 = 6$&nbsp; für&nbsp; $S$&nbsp; alle Werte zwischen&nbsp; $7$&nbsp; und&nbsp; $12$&nbsp; möglich, ebenfalls mit gleicher Warscheinlichkeit.
 
 
 
 
[[Datei: P_ID162__Sto_T_4_1_S1_neu.png |frame| Zwei Beispiele statistisch abhängiger Zufallsgrößen]]
 
[[Datei: P_ID162__Sto_T_4_1_S1_neu.png |frame| Zwei Beispiele statistisch abhängiger Zufallsgrößen]]
  
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*Ist&nbsp; $W_1 = 1$,&nbsp; so kann&nbsp; $S$&nbsp; nur Werte zwischen&nbsp; $2$&nbsp; und&nbsp; $7$&nbsp; annehmen und zwar mit jeweils gleicher Warscheinlichkeit.
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*Dagegen sind bei&nbsp; $W_1 = 6$&nbsp; für&nbsp; $S$&nbsp; alle Werte zwischen&nbsp; $7$&nbsp; und&nbsp; $12$&nbsp; möglich,&nbsp; ebenfalls mit gleicher Warscheinlichkeit.
  
  
In der rechten Grafik sind die Maximaltemperaturen der&nbsp; $31$ Tage im Mai 2002 von München (nach oben) und der Zugspitze (nach rechts) gegenübergestellt. Beide Zufallsgrößen sind wertkontinuierlich:  
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In der rechten Grafik sind die Maximaltemperaturen der&nbsp; $31$ Tage im Mai 2002 von München (nach oben) und der Zugspitze (nach rechts) gegenübergestellt.&nbsp; Beide Zufallsgrößen sind wertkontinuierlich:  
*Obwohl die Messpunkte etwa&nbsp; $\text{100 km}$&nbsp; auseinander liegen und es auf der Zugspitze aufgrund der unterschiedlichen Höhenlagen &nbsp;$($knapp&nbsp; $3000$&nbsp; gegenüber&nbsp; $520$&nbsp; Meter$)$&nbsp; im Mittel um etwa&nbsp; $20$&nbsp; Grad kälter ist als in München, erkennt man doch eine gewisse statistische Abhängigkeit zwischen den beiden Zufallsgrößen&nbsp; ${\it Θ}_{\rm M}$&nbsp; und&nbsp; ${\it Θ}_{\rm Z}$.  
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*Obwohl die Messpunkte etwa&nbsp; $\text{100 km}$&nbsp; auseinander liegen und es auf der Zugspitze aufgrund der unterschiedlichen Höhenlagen &nbsp;$($knapp&nbsp; $3000$&nbsp; gegenüber&nbsp; $520$&nbsp; Meter$)$&nbsp; im Mittel um etwa&nbsp; $20$&nbsp; Grad kälter ist als in München,&nbsp; erkennt man doch eine gewisse statistische Abhängigkeit zwischen den beiden Zufallsgrößen&nbsp; ${\it Θ}_{\rm M}$&nbsp; und&nbsp; ${\it Θ}_{\rm Z}$.  
*Ist es in München warm, dann sind auch auf der Zugspitze eher angenehme Temperaturen zu erwarten.&nbsp; Der Zusammenhang ist aber nicht deterministisch:&nbsp; Der kälteste Tag im Mai 2002 war in München ein anderer als der kälteste Tag auf der Zugspitze. }}
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*Ist es in München warm,&nbsp; dann sind auch auf der Zugspitze eher angenehme Temperaturen zu erwarten.&nbsp; Der Zusammenhang ist aber nicht deterministisch:&nbsp; Der kälteste Tag im Mai 2002 war in München ein anderer als der kälteste Tag auf der Zugspitze. }}
  
 
==Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion==
 
==Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion==
 
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Wir beschränken uns hier meist auf kontinuierliche Zufallsgrößen.&nbsp; Manchmal wird jedoch auch auf die Besonderheiten zweidimensionaler diskreter Zufallsgrößen genauer eingegangen.&nbsp; Die meisten der vorher für eindimensionale Zufallsgrößen definierten Kenngrößen kann man problemlos auf zweidimensionale Größen erweitern.  
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Wir beschränken uns hier meist auf kontinuierliche Zufallsgrößen.&nbsp;  
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*Manchmal wird jedoch auch auf die Besonderheiten zweidimensionaler diskreter Zufallsgrößen genauer eingegangen.&nbsp;  
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*Die meisten der vorher für eindimensionale Zufallsgrößen definierten Kenngrößen kann man problemlos auf zweidimensionale Größen erweitern.  
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{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
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$\rm Hinweis$:
 
$\rm Hinweis$:
 
*Ist die 2D&ndash;Zufallsgröße diskret, so muss die Definition geringfügig modifiziert werden:  
 
*Ist die 2D&ndash;Zufallsgröße diskret, so muss die Definition geringfügig modifiziert werden:  
*Bei den jeweils unteren Bereichsgrenzen ist dann gemäß der Seite&nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion#Verteilungsfunktion_bei_diskreten_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Verteilungsfunktion bei diskreten Zufallsgrößen]]&nbsp;  das „≤”–Zeichen durch das „<”–Zeichen zu ersetzen.}}
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*Bei den unteren Bereichsgrenzen ist dann gemäß der Seite&nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion#Verteilungsfunktion_bei_diskreten_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Verteilungsfunktion bei diskreten Zufallsgrößen]]&nbsp;  das „≤”–Zeichen durch das „<”–Zeichen zu ersetzen.}}
  
  
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Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der 1D-VTF und der 2D-VTF:
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Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der&nbsp; "1D-VTF"&nbsp; und der&nbsp; "2D-VTF":
*Der Funktionalzusammenhang zwischen zweidimensionaler WDF und zweidimensionaler VTF ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen.&nbsp; Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:  
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*Der Funktionalzusammenhang zwischen zweidimensionaler WDF und zweidimensionaler VTF ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben,&nbsp; aber nun in zwei Dimensionen.&nbsp; Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:  
 
:$$F_{xy}(r_{x},r_{y})=\int_{-\infty}^{r_{y}} \int_{-\infty}^{r_{x}} f_{xy}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\, {\rm d}y  .$$
 
:$$F_{xy}(r_{x},r_{y})=\int_{-\infty}^{r_{y}} \int_{-\infty}^{r_{x}} f_{xy}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\, {\rm d}y  .$$
 
*Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach&nbsp; $r_{x}$&nbsp; und&nbsp; $r_{y}$&nbsp; angeben:
 
*Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach&nbsp; $r_{x}$&nbsp; und&nbsp; $r_{y}$&nbsp; angeben:
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{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
$\text{Definition:}$&nbsp; Daraus folgt, dass bei&nbsp; '''statistischer Unabhängigkeit'''&nbsp; folgende Bedingung bezüglich der 2D&ndash;Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion erfüllt sein muss:  
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$\text{Definition:}$&nbsp; Daraus folgt,&nbsp; dass bei&nbsp; '''statistischer Unabhängigkeit'''&nbsp; folgende Bedingung bezüglich der 2D&ndash;Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion erfüllt sein muss:  
 
:$$f_{xy}(x,y)=f_{x}(x) \cdot f_y(y) .$$}}
 
:$$f_{xy}(x,y)=f_{x}(x) \cdot f_y(y) .$$}}
  
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*Bereiche mit vielen Punkten, die dementsprechend dunkel wirken, kennzeichnen große Werte der 2D&ndash;WDF&nbsp; $f_{xy}(x, y)$.  
 
*Bereiche mit vielen Punkten, die dementsprechend dunkel wirken, kennzeichnen große Werte der 2D&ndash;WDF&nbsp; $f_{xy}(x, y)$.  
 
*Dagegen besitzt die Zufallsgröße&nbsp; $(x, y)$&nbsp; in eher hellen Bereichen nur verhältnismäßig wenig Anteile.  
 
*Dagegen besitzt die Zufallsgröße&nbsp; $(x, y)$&nbsp; in eher hellen Bereichen nur verhältnismäßig wenig Anteile.  
 
  
 
[[Datei:P_ID153__Sto_T_4_1_S4_nochmals_neu.png |frame| Statistisch unabhängige Komponenten: &nbsp;$f_{xy}(x,y)$, $f_{x}(x)$&nbsp; und&nbsp;$f_{y}(y)$]]
 
[[Datei:P_ID153__Sto_T_4_1_S4_nochmals_neu.png |frame| Statistisch unabhängige Komponenten: &nbsp;$f_{xy}(x,y)$, $f_{x}(x)$&nbsp; und&nbsp;$f_{y}(y)$]]
  
Die Grafik kann wie folgt interpretiert werden:
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<br>Die Grafik kann wie folgt interpretiert werden:
*Die Randwahrscheinlichkeitsdichten&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; und&nbsp; $f_{y}(y)$&nbsp; lassen bereits erkennen, dass sowohl&nbsp; $x$&nbsp; als auch&nbsp; $y$&nbsp; gaußähnlich und mittelwertfrei sind, und dass die Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; eine größere Streuung als&nbsp; $y$&nbsp; aufweist.  
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*Die Randwahrscheinlichkeitsdichten&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; und&nbsp; $f_{y}(y)$&nbsp; lassen bereits erkennen,&nbsp; dass sowohl&nbsp; $x$&nbsp; als auch&nbsp; $y$&nbsp; gaußähnlich und mittelwertfrei sind,&nbsp; und dass die Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; eine größere Streuung als&nbsp; $y$&nbsp; aufweist.  
 
*$f_{x}(x)$&nbsp; und&nbsp; $f_{y}(y)$&nbsp; liefern jedoch keine Informationen darüber, ob bei der Zufallsgröße&nbsp; $(x, y)$&nbsp; statistische Bindungen bestehen oder nicht.  
 
*$f_{x}(x)$&nbsp; und&nbsp; $f_{y}(y)$&nbsp; liefern jedoch keine Informationen darüber, ob bei der Zufallsgröße&nbsp; $(x, y)$&nbsp; statistische Bindungen bestehen oder nicht.  
*Anhand der 2D-WDF&nbsp; $f_{xy}(x,y)$&nbsp; erkennt man aber, dass es hier zwischen den beiden Komponenten&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; keine statistischen Bindungen gibt.  
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*Anhand der 2D-WDF&nbsp; $f_{xy}(x,y)$&nbsp; erkennt man aber,&nbsp; dass es hier zwischen den beiden Komponenten&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; keine statistischen Bindungen gibt.  
*Bei statistischer Unabhängigkeit liefert jeder Schnitt durch&nbsp; $f_{xy}(x, y)$&nbsp; parallel zur&nbsp; $y$-Achse eine Funktion, die formgleich mit der Rand&ndash;WDF&nbsp; $f_{y}(y)$&nbsp; ist.&nbsp; Ebenso sind alle Schnitte parallel zur&nbsp; $x$-Achse formgleich mit&nbsp; $f_{x}(x)$.  
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*Bei statistischer Unabhängigkeit liefert jeder Schnitt durch&nbsp; $f_{xy}(x, y)$&nbsp; parallel zur&nbsp; $y$-Achse eine Funktion,&nbsp; die formgleich mit der Rand&ndash;WDF&nbsp; $f_{y}(y)$&nbsp; ist.&nbsp; Ebenso sind alle Schnitte parallel zur&nbsp; $x$-Achse formgleich mit&nbsp; $f_{x}(x)$.  
 
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*Diese Tatsache ist gleichbedeutend mit der Aussage,&nbsp; dass in diesem Beispiel&nbsp; $f_{xy}(x, y)$&nbsp; als Produkt der beiden Randwahrscheinlichkeitsdichten dargestellt werden kann: &nbsp;  
*Diese Tatsache ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass in diesem Beispiel&nbsp; $f_{xy}(x, y)$&nbsp; als Produkt der beiden Randwahrscheinlichkeitsdichten dargestellt werden kann: &nbsp; $f_{xy}(x,y)=f_{x}(x) \cdot f_y(y) .$}}
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:$$f_{xy}(x,y)=f_{x}(x) \cdot f_y(y) .$$}}
  
 
==WDF und VTF bei statistisch abhängigen Komponenten==
 
==WDF und VTF bei statistisch abhängigen Komponenten==
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Man erkennt aus dieser Darstellung:
 
Man erkennt aus dieser Darstellung:
*Die Integration über $f_{xy}(x, y)$&nbsp; parallel zur&nbsp; $x$&ndash;Achse führt zur dreieckförmigen Randdichte $f_{y}(y)$, die Integration parallel zur&nbsp; $y$&ndash;Achse zur trapezförmigen WDF $f_{x}(x)$.  
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#Die Integration über $f_{xy}(x, y)$&nbsp; parallel zur&nbsp; $x$&ndash;Achse führt zur dreieckförmigen Randdichte $f_{y}(y)$,&nbsp; die Integration parallel zur&nbsp; $y$&ndash;Achse zur trapezförmigen WDF $f_{x}(x)$.  
*Aus der 2D-WDF $f_{xy}(x, y)$&nbsp; ist bereits zu erahnen, dass für jeden&nbsp; $x$&ndash;Wert im statistischen Mittel ein anderer&nbsp; $y$&ndash;Wert zu erwarten ist.  
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#Aus der 2D-WDF $f_{xy}(x, y)$&nbsp; ist bereits zu erahnen,&nbsp; dass für jeden&nbsp; $x$&ndash;Wert im statistischen Mittel ein anderer&nbsp; $y$&ndash;Wert zu erwarten ist.  
*Das bedeutet, dass hier die Komponenten&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; statistisch voneinander abhängen. }}
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#Das bedeutet,&nbsp; dass hier die Komponenten&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; statistisch voneinander abhängen. }}
  
 
==Erwartungswerte zweidimensionaler Zufallsgrößen==
 
==Erwartungswerte zweidimensionaler Zufallsgrößen==
 
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Ein Sonderfall der statistischen Abhängigkeit ist die ''Korrelation''.  
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Ein Sonderfall der statistischen Abhängigkeit ist die&nbsp; "Korrelation".  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
$\text{Definition:}$&nbsp; Unter&nbsp; '''Korrelation'''&nbsp; versteht man eine ''lineare Abhängigkeit''&nbsp; zwischen den Einzelkomponenten&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$.  
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$\text{Definition:}$&nbsp; Unter&nbsp; '''Korrelation'''&nbsp; versteht man eine&nbsp; "lineare Abhängigkeit"&nbsp; zwischen den Einzelkomponenten&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$.  
 
*Korrelierte Zufallsgrößen sind damit stets auch statistisch abhängig.  
 
*Korrelierte Zufallsgrößen sind damit stets auch statistisch abhängig.  
 
*Aber nicht jede statistische Abhängigkeit bedeutet gleichzeitig eine Korrelation.}}  
 
*Aber nicht jede statistische Abhängigkeit bedeutet gleichzeitig eine Korrelation.}}  
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$\text{Definition:}$&nbsp; Für die (nichtzentrierten)&nbsp; '''Momente'''&nbsp; gilt die Beziehung:  
 
$\text{Definition:}$&nbsp; Für die (nichtzentrierten)&nbsp; '''Momente'''&nbsp; gilt die Beziehung:  
 
:$$m_{kl}={\rm E}\big[x^k\cdot y^l\big]=\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{0.2cm}\int_{-\infty}^{+\infty} x\hspace{0.05cm}^{k} \cdot y\hspace{0.05cm}^{l} \cdot f_{xy}(x,y) \, {\rm d}x\, {\rm d}y.$$
 
:$$m_{kl}={\rm E}\big[x^k\cdot y^l\big]=\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{0.2cm}\int_{-\infty}^{+\infty} x\hspace{0.05cm}^{k} \cdot y\hspace{0.05cm}^{l} \cdot f_{xy}(x,y) \, {\rm d}x\, {\rm d}y.$$
Die beiden linearen Mittelwerte sind somit&nbsp; $m_x = m_{10}$&nbsp; und&nbsp; $m_y = m_{01}.$ }}  
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Die beiden linearen Mittelwerte sind somit &nbsp; $m_x = m_{10}$&nbsp; und &nbsp; $m_y = m_{01}.$ }}  
  
  
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{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
$\text{Definition:}$&nbsp; Besondere Bedeutung besitzt die&nbsp;  '''Kovarianz'''&nbsp; $(k = l = 1)$, die ein Maß für die ''lineare statistische Abhängigkeit''&nbsp; zwischen den Zufallsgrößen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; ist:
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$\text{Definition:}$&nbsp; Besondere Bedeutung besitzt die&nbsp;  '''Kovarianz'''&nbsp; $(k = l = 1)$,&nbsp; die ein Maß für die lineare statistische Abhängigkeit zwischen den Zufallsgrößen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; ist:
 
:$$\mu_{11} = {\rm E}\big[(x-m_{x})\cdot(y-m_{y})\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} (x-m_{x}) \cdot (y-m_{y})\cdot f_{xy}(x,y) \,{\rm d}x \,  {\rm d}y .$$
 
:$$\mu_{11} = {\rm E}\big[(x-m_{x})\cdot(y-m_{y})\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} (x-m_{x}) \cdot (y-m_{y})\cdot f_{xy}(x,y) \,{\rm d}x \,  {\rm d}y .$$
Im Folgenden bezeichnen wir die Kovarianz&nbsp; $\mu_{11}$&nbsp; teilweise auch mit&nbsp; $\mu_{xy}$, falls sich die Kovarianz auf die Zufallsgrößen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; bezieht.}}  
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Im Folgenden bezeichnen wir die Kovarianz&nbsp; $\mu_{11}$&nbsp; teilweise auch mit&nbsp; $\mu_{xy}$,&nbsp; falls sich die Kovarianz auf die Zufallsgrößen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; bezieht.}}  
  
  
 
''Anmerkungen:''
 
''Anmerkungen:''
*Die Kovarianz&nbsp; $\mu_{11}=\mu_{xy}$&nbsp; hängt wie folgt mit dem nichtzentrierten Moment $m_{11} = m_{xy} = {\rm E}\big[x · y\big]$ zusammen:  
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*Die Kovarianz&nbsp; $\mu_{11}=\mu_{xy}$&nbsp; hängt wie folgt mit dem nichtzentrierten Moment&nbsp; $m_{11} = m_{xy} = {\rm E}\big[x · y\big]$ zusammen:  
 
:$$\mu_{xy} = m_{xy} -m_{x }\cdot m_{y}.$$
 
:$$\mu_{xy} = m_{xy} -m_{x }\cdot m_{y}.$$
 +
*Diese Gleichung ist für numerische Auswertungen enorm vorteilhaft,&nbsp; da&nbsp; $m_{xy}$,&nbsp; $m_x$&nbsp; und&nbsp; $m_y$&nbsp; aus den Folgen&nbsp; $〈x_v〉$&nbsp; und&nbsp; $〈y_v〉$&nbsp; in einem einzigen Durchlauf gefunden werden können.
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*Würde man dagegen die Kovarianz&nbsp; $\mu_{xy}$&nbsp; entsprechend der oberen Definitionsgleichung berechnen,&nbsp; so müsste man in einem ersten Durchlauf die Mittelwerte&nbsp; $m_x$&nbsp; und&nbsp; $m_y$&nbsp; ermitteln und könnte dann erst in einem zweiten Durchlauf den Erwartungswert&nbsp; ${\rm E}\big[(x - m_x) · (y - m_y)\big]$&nbsp; berechnen.
  
*Diese Gleichung ist für numerische Auswertungen enorm vorteilhaft, da&nbsp; $m_{xy}$,&nbsp; $m_x$&nbsp; und&nbsp; $m_y$&nbsp; aus den Folgen&nbsp; $〈x_v〉$&nbsp; und&nbsp; $〈y_v〉$&nbsp; in einem einzigen Durchlauf gefunden werden können.
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*Würde man dagegen die Kovarianz&nbsp; $\mu_{xy}$&nbsp; entsprechend der oberen Definitionsgleichung berechnen, so müsste man in einem ersten Durchlauf die Mittelwerte&nbsp; $m_x$&nbsp; und&nbsp; $m_y$&nbsp; ermitteln und könnte dann erst in einem zweiten Durchlauf den Erwartungswert&nbsp; ${\rm E}\big[(x - m_x) · (y - m_y)\big]$&nbsp; berechnen.
 
 
 
 
 
[[Datei:P_ID628__Sto_T_4_1_S6Neu.png |right|frame| Beispielhafte 2D-Erwartungswerte]]
 
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; In den beiden ersten Zeilen der Tabelle sind die jeweils ersten Elemente zweier Zufallsfolgen&nbsp; $〈x_ν〉$&nbsp; und&nbsp; $〈y_ν〉$&nbsp; eingetragen.&nbsp; In der letzten Zeile sind die jeweiligen Produkte&nbsp; $x_ν · y_ν$&nbsp; angegeben.  
 
$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; In den beiden ersten Zeilen der Tabelle sind die jeweils ersten Elemente zweier Zufallsfolgen&nbsp; $〈x_ν〉$&nbsp; und&nbsp; $〈y_ν〉$&nbsp; eingetragen.&nbsp; In der letzten Zeile sind die jeweiligen Produkte&nbsp; $x_ν · y_ν$&nbsp; angegeben.  
+
[[Datei:P_ID628__Sto_T_4_1_S6Neu.png |right|frame| Beispielhafte 2D-Erwartungswerte]]
*Durch Mittelung über die jeweils zehn Folgenelemente erhält man&nbsp;  
+
*Durch Mittelung über jeweils zehn Folgenelemente erhält man&nbsp;  
 
:$$m_x =0.5,\ \ m_y = 1, \ \ m_{xy} = 0.69.$$
 
:$$m_x =0.5,\ \ m_y = 1, \ \ m_{xy} = 0.69.$$
 
*Daraus ergibt sich direkt der Wert für die Kovarianz:  
 
*Daraus ergibt sich direkt der Wert für die Kovarianz:  
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==Korrelationskoeffizient==
 
==Korrelationskoeffizient==
 
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Bei statististischer Unabhängigkeit der beiden Komponenten $x$ und $y$ ist die Kovarianz $\mu_{xy} \equiv 0$. Dieser Fall wurde bereits im $\text{Beispiel 2}$ auf der Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#WDF_und_VTF_bei_statistisch_unabh.C3.A4ngigen_Komponenten|WDF und VTF bei statistisch unabhängigen Komponenten]] betrachtet.
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Bei statististischer Unabhängigkeit der beiden Komponenten&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; ist die Kovarianz&nbsp; $\mu_{xy} \equiv 0$.&nbsp; Dieser Fall wurde bereits im&nbsp; $\text{Beispiel 2}$&nbsp; auf der Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#WDF_und_VTF_bei_statistisch_unabh.C3.A4ngigen_Komponenten|WDF und VTF bei statistisch unabhängigen Komponenten]]&nbsp; betrachtet.
  
*Das Ergebnis $\mu_{xy} = 0$ ist aber auch bei statistisch abhängigen Komponenten $x$ und $y$ möglich, nämlich dann, wenn diese unkorreliert, also   ''linear unabhängig'' sind.  
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*Das Ergebnis&nbsp; $\mu_{xy} = 0$&nbsp; ist aber auch bei statistisch abhängigen Komponenten&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; möglich,&nbsp; nämlich dann,&nbsp; wenn diese unkorreliert, also linear unabhängig sind.  
*Die  statistische Abhängigkeit ist dann nicht von erster, sondern von höherer Ordnung, zum Beispiel entsprechend der Gleichung $y=x^2.$
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*Die  statistische Abhängigkeit ist dann nicht von erster,&nbsp; sondern von höherer Ordnung,&nbsp; zum Beispiel entsprechend der Gleichung&nbsp; $y=x^2.$
  
  
Man spricht von &bdquo;vollständiger Korrelation&rdquo;, wenn die (deterministische) Abhängigkeit zwischen $x$ und  $y$  durch die Gleichung $y = K · x$ ausgedrückt wird. Dann ergibt sich  für die Kovarianz:
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Man spricht von&nbsp; '''vollständiger Korrelation''', wenn die (deterministische) Abhängigkeit zwischen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; durch die Gleichung&nbsp; $y = K · x$&nbsp; ausgedrückt wird. Dann ergibt sich  für die Kovarianz:
* $\mu_{xy} = σ_x · σ_y$ bei positivem Wert von $K$,  
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* $\mu_{xy} = σ_x · σ_y$&nbsp; bei positivem&nbsp; $K$&ndash;Wert,  
* $\mu_{xy} = - σ_x · σ_y$ bei negativem $K$&ndash;Wert.   
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* $\mu_{xy} = - σ_x · σ_y$&nbsp; bei negativem&nbsp; $K$&ndash;Wert.   
  
  
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$\text{Definition:}$&nbsp; Der '''Korrelationskoeffizient''' ist der Quoient aus Kovarianz $\mu_{xy}$ und dem Produkt der Effektivwerte $σ_x$ und $σ_y$ der beiden Komponenten:  
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$\text{Definition:}$&nbsp; Der&nbsp; '''Korrelationskoeffizient'''&nbsp; ist der Quotient aus der Kovarianz&nbsp; $\mu_{xy}$&nbsp; und dem Produkt der Effektivwerte&nbsp; $σ_x$&nbsp; und&nbsp; $σ_y$&nbsp; der beiden Komponenten:  
 
:$$\rho_{xy}=\frac{\mu_{xy} }{\sigma_x \cdot \sigma_y}.$$}}
 
:$$\rho_{xy}=\frac{\mu_{xy} }{\sigma_x \cdot \sigma_y}.$$}}
  
  
Der Korrelationskoeffizient $\rho_{xy}$ weist folgende Eigenschaften auf:  
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Der Korrelationskoeffizient&nbsp; $\rho_{xy}$&nbsp; weist folgende Eigenschaften auf:  
*Aufgrund der Normierung gilt stets  $-1 \le  ρ_{xy}  ≤ +1$.  
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*Aufgrund der Normierung gilt stets&nbsp; $-1 \le  ρ_{xy}  ≤ +1$.  
*Sind die beiden Zufallsgrößen $x$ und $y$ unkorreliert, so ist $ρ_{xy} = 0$.  
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*Sind die beiden Zufallsgrößen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; unkorreliert,&nbsp; so ist&nbsp; $ρ_{xy} = 0$.  
*Bei strenger linearer Abhängigkeit zwischen $x$ und $y$ ist $ρ_{xy}= ±1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; vollständige Korrelation.
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*Bei strenger linearer Abhängigkeit zwischen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; ist&nbsp; $ρ_{xy}= ±1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; vollständige Korrelation.
*Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet, dass bei größerem $x$–Wert im statistischen Mittel auch $y$&nbsp; größer ist als bei kleinerem $x$.  
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*Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet,&nbsp;  dass bei größerem&nbsp; $x$–Wert im statistischen Mittel auch&nbsp; $y$&nbsp; größer ist als bei kleinerem&nbsp; $x$.  
*Dagegen drückt ein negativer Korrelationskoeffizient aus, dass $y$&nbsp; mit steigendem $x$ im Mittel kleiner wird.   
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*Dagegen drückt ein negativer Korrelationskoeffizient aus,&nbsp; dass&nbsp; $y$&nbsp; mit steigendem&nbsp; $x$&nbsp; im Mittel kleiner wird.   
  
  
[[Datei:P_ID232__Sto_T_4_1_S7a_neu.png |right|frame| Gaußsche 2D-WDF mit Korrelation]]
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[[Datei:P_ID232__Sto_T_4_1_S7a_neu.png |right|frame| Gaußsche 2D-WDF mit Korrelation]]  
 
$\text{Beispiel 5:}$&nbsp;  Es gelten folgende Voraussetzungen:
 
$\text{Beispiel 5:}$&nbsp;  Es gelten folgende Voraussetzungen:
*Die betrachteten Komponenten $x$ und $y$ besitzen jeweils eine gaußförmige WDF.
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*Die betrachteten Komponenten&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; besitzen jeweils eine gaußförmige WDF.
*Die beiden Streuungen sind unterschiedlich $(σ_y < σ_x)$.  
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*Die beiden Streuungen sind unterschiedlich&nbsp; $(σ_y < σ_x)$.  
*Der Korrelationskoeffizient beträgt $ρ_{xy} = 0.8$.  
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*Der Korrelationskoeffizient beträgt&nbsp; $ρ_{xy} = 0.8$.  
  
  
Im Unterschied zum [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#WDF_und_VTF_bei_statistisch_unabh.C3.A4ngigen_Komponenten| Beispiel 2]] mit statistisch unabhängigen Komponenten &nbsp; &rArr; &nbsp; $ρ_{xy} = 0$ (trotz $σ_y < σ_x$) erkennt man, dass hier bei größerem $x$–Wert im statistischen Mittel auch $y$ größer ist als bei kleinerem $x$.}}
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Im Unterschied zum&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#WDF_und_VTF_bei_statistisch_unabh.C3.A4ngigen_Komponenten| Beispiel 2]]&nbsp; mit statistisch unabhängigen Komponenten &nbsp; &rArr; &nbsp; $ρ_{xy} = 0$&nbsp; $($trotz&nbsp; $σ_y < σ_x)$&nbsp; erkennt man, dass hier bei größerem&nbsp; $x$–Wert im statistischen Mittel auch&nbsp; $y$&nbsp; größer ist als bei kleinerem&nbsp; $x$.}}
  
  
==Korrelationsgerade==
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==Regressionsgerade==
 
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[[Datei: P_ID1089__Sto_T_4_1_S7b_neu.png  |frame| Gaußsche 2D-WDF mit Korrelationsgerade]]
 
[[Datei: P_ID1089__Sto_T_4_1_S7b_neu.png  |frame| Gaußsche 2D-WDF mit Korrelationsgerade]]
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$\text{Definition:}$&nbsp; Als '''Korrelationsgerade''' bezeichnet man  die Gerade $y = K(x)$  in der $(x, y)$&ndash;Ebene durch den „Mittelpunkt” $(m_x, m_y)$. Manchmal wird diese Gerade auch  ''Regressionsgerade'' genannt.
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$\text{Definition:}$&nbsp; Als&nbsp; '''Regressionsgerade'''&nbsp; bezeichnet man  die Gerade&nbsp; $y = K(x)$&nbsp; in der&nbsp; $(x, y)$&ndash;Ebene durch den „Mittelpunkt”&nbsp; $(m_x, m_y)$.&nbsp; Manchmal wird diese Gerade auch&nbsp;   "Korrelationsgerade"&nbsp; genannt.
  
Die Korrelationsgerade besitzt folgende Eigenschaften:   
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Die Regressionsgerade besitzt folgende Eigenschaften:   
  
*Die mittlere quadratische Abweichung von dieser Geraden – in $y$&ndash;Richtung betrachtet und über alle $N$ Punkte gemittelt – ist minimal:  
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*Die mittlere quadratische Abweichung von dieser Geraden – in&nbsp; $y$&ndash;Richtung betrachtet und über alle&nbsp; $N$&nbsp; Punkte gemittelt – ist minimal:  
 
:$$\overline{\varepsilon_y^{\rm 2} }=\frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{\nu=\rm 1}^{N}\; \;\big [y_\nu - K(x_{\nu})\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$
 
:$$\overline{\varepsilon_y^{\rm 2} }=\frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{\nu=\rm 1}^{N}\; \;\big [y_\nu - K(x_{\nu})\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$
*Die Korrelationsgerade kann als eine Art „statistische Symmetrieachse“ interpretiert werden. Die Geradengleichung lautet:  
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*Die Korrelationsgerade kann als eine Art&nbsp; „statistische Symmetrieachse“&nbsp; interpretiert werden. Die Geradengleichung lautet:  
:$$y=K(x)=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot\rho_{xy}\cdot(x - m_x)+m_y.$$}}
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:$$y=K(x)=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot\rho_{xy}\cdot(x - m_x)+m_y.$$
 
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*Der Winkel, den die Regressionsgerade zur&nbsp; $x$&ndash;Achse einnimmt, beträgt:
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:$$\theta_{y\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}x}={\rm arctan}\ (\frac{\sigma_{y} }{\sigma_{x} }\cdot \rho_{xy}).$$}}
  
Der Winkel, den die Korrelationsgerade zur $x$&ndash;Achse einnimmt, beträgt:
 
:$$\theta_{y\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}x}={\rm arctan}(\frac{\sigma_{y} }{\sigma_{x} }\cdot \rho_{xy}).$$
 
  
Durch diese Nomenklatur soll deutlich gemacht werden, dass es sich hier um die Regression von $y$ auf $x$ handelt.  
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Durch diese Nomenklatur soll deutlich gemacht werden,&nbsp; dass es sich hier um die Regression von&nbsp; $y$&nbsp; auf&nbsp; $x$&nbsp; handelt.  
  
*Die Regression in Gegenrichtung – also von $x$ auf $y$ – bedeutet dagegen die Minimierung der mittleren quadratischen Abweichung in $x$–Richtung.  
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*Die Regression in Gegenrichtung – also von&nbsp; $x$&nbsp; auf&nbsp; $y$ – bedeutet dagegen die Minimierung der mittleren quadratischen Abweichung in&nbsp; $x$–Richtung.  
  
*Das interaktive Applet  [[Applets:Korrelationskoeffizient_%26_Regressionsgerade|Korrelationskoeffizient und Regressionsgerade]] verdeutlicht, dass sich im Allgemeinen (falls $σ_y \ne σ_x$) für die Regression von $x$ auf $y$  ein anderer Winkel und damit auch eine andere Regressionsgerade ergeben wird:  
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*Das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Korrelation_und_Regressionsgerade]]&nbsp; verdeutlicht, dass sich im Allgemeinen&nbsp; $($falls&nbsp; $σ_y \ne σ_x)$&nbsp; für die Regression von&nbsp; $x$&nbsp; auf&nbsp; $y$&nbsp; ein anderer Winkel und damit auch eine andere Regressionsgerade ergeben wird:  
:$$\theta_{x\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm} y}={\rm arctan}(\frac{\sigma_{x}}{\sigma_{y}}\cdot \rho_{xy}).$$
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:$$\theta_{x\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm} y}={\rm arctan}\ (\frac{\sigma_{x}}{\sigma_{y}}\cdot \rho_{xy}).$$
  
  

Aktuelle Version vom 24. Januar 2022, 14:01 Uhr

# ÜBERBLICK ZUM VIERTEN HAUPTKAPITEL #


Nun werden Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen behandelt und anhand typischer Beispiele verdeutlicht. 

Nach der allgemeinen Beschreibung zweidimensionaler Zufallsgrößen wenden wir uns folgenden Beschreibungsgrößen zu:

  1. der Autokorrelationsfunktion  (AKF), 
  2. der Kreuzkorrelationsfunktion  (KKF), 
  3. den zugehörigen Spektralfunktionen  (Leistungsdichtespektrum, Kreuzleistungsdichtespektrum).


Im Einzelnen werden behandelt:

  • die statistische Beschreibung von  »2D–Zufallsgrößen«  mit Hilfe der Verbund–WDF,
  • der Unterschied zwischen  »statistischer Abhängigkeit«  und  »Korrelation«,
  • die Klassifizierungsmerkmale  »Stationarität«  und  »Ergodizität«  stochastischer Prozesse,
  • die Definitionen von  »Autokorrelationsfunktion«  $\rm (AKF)$  und  »Leistungsdichtespektrum«  $\rm (LDS)$,
  • die Definitionen von  »Kreuzkorrelationsfunktion«  und  »Kreuzleistungsdichtespektrum«,
  • die numerische Ermittlung all dieser Größen im zwei– und mehrdimensionalen Fall.


Weitere Informationen zum Thema „Zweidimensionale Zufallsgrößen” sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im

  • Kapitel 5:   Zweidimensionale Zufallsgrößen (Programm „zwd”)
  • Kapitel 9:   Stochastische Prozesse (Programm „sto”)


des Praktikums „Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf


Eigenschaften und Beispiele


Als Überleitung zu den  Korrelationsfunktionen  betrachten wir nun zwei Zufallsgrößen  $x$  und  $y$,  zwischen denen statistische Abhängigkeiten bestehen. 

Jede der beiden Zufallsgrößen kann für sich alleine beschrieben werden mit den eingeführten Kenngrößen


$\text{Definition:}$  Zur Beschreibung der Wechselbeziehungen zwischen zwei Größen  $x$  und  $y$  ist es zweckmäßig,  die beiden Komponenten zu einer  zweidimensionalen Zufallsgröße  $(x, y)$  zusammenzufassen.

  • Die Einzelkomponenten können Signale sein wie der Real– und Imaginärteil eines phasenmodulierten Signals.
  • Aber es gibt auch in anderen Bereichen eine Vielzahl von 2D–Zufallsgrößen,  wie das folgende Beispiel zeigen soll.


$\text{Beispiel 1:}$  Das linke Diagramm stammt von dem Zufallsexperiment  „Werfen mit zwei Würfeln”.  Nach rechts aufgetragen ist die Augenzahl des ersten Würfels  $(W_1)$,  nach oben die Summe  $S$  beider Würfel.  Die beiden Komponenten sind hier jeweils diskrete Zufallsgrößen,  zwischen denen statistische Bindungen bestehen:

Zwei Beispiele statistisch abhängiger Zufallsgrößen
  • Ist  $W_1 = 1$,  so kann  $S$  nur Werte zwischen  $2$  und  $7$  annehmen und zwar mit jeweils gleicher Warscheinlichkeit.
  • Dagegen sind bei  $W_1 = 6$  für  $S$  alle Werte zwischen  $7$  und  $12$  möglich,  ebenfalls mit gleicher Warscheinlichkeit.


In der rechten Grafik sind die Maximaltemperaturen der  $31$ Tage im Mai 2002 von München (nach oben) und der Zugspitze (nach rechts) gegenübergestellt.  Beide Zufallsgrößen sind wertkontinuierlich:

  • Obwohl die Messpunkte etwa  $\text{100 km}$  auseinander liegen und es auf der Zugspitze aufgrund der unterschiedlichen Höhenlagen  $($knapp  $3000$  gegenüber  $520$  Meter$)$  im Mittel um etwa  $20$  Grad kälter ist als in München,  erkennt man doch eine gewisse statistische Abhängigkeit zwischen den beiden Zufallsgrößen  ${\it Θ}_{\rm M}$  und  ${\it Θ}_{\rm Z}$.
  • Ist es in München warm,  dann sind auch auf der Zugspitze eher angenehme Temperaturen zu erwarten.  Der Zusammenhang ist aber nicht deterministisch:  Der kälteste Tag im Mai 2002 war in München ein anderer als der kälteste Tag auf der Zugspitze.

Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion


Wir beschränken uns hier meist auf kontinuierliche Zufallsgrößen. 

  • Manchmal wird jedoch auch auf die Besonderheiten zweidimensionaler diskreter Zufallsgrößen genauer eingegangen. 
  • Die meisten der vorher für eindimensionale Zufallsgrößen definierten Kenngrößen kann man problemlos auf zweidimensionale Größen erweitern.


$\text{Definition:}$  Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der zweidimensionalen Zufallsgröße an der Stelle  $(x_\mu, y_\mu)$   ⇒   Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion  ist eine Erweiterung der eindimensionalen WDF  $(∩$  kennzeichnet die logische UND-Verknüpfung$)$:

$$f_{xy}(x_\mu, \hspace{0.1cm}y_\mu) = \lim_{\left.{\Delta x\rightarrow 0 \atop {\Delta y\rightarrow 0} }\right.}\frac{ {\rm Pr}\big [ (x_\mu - {\rm \Delta} x/{\rm 2} \le x \le x_\mu + {\rm \Delta} x/{\rm 2}) \cap (y_\mu - {\rm \Delta} y/{\rm 2} \le y \le y_\mu +{\rm \Delta}y/{\rm 2}) \big] }{ {\rm \Delta} \ x\cdot{\rm \Delta} y}.$$

$\rm Hinweis$:

  • Ist die 2D–Zufallsgröße diskret, so muss die Definition geringfügig modifiziert werden:
  • Bei den unteren Bereichsgrenzen ist dann gemäß der Seite  Verteilungsfunktion bei diskreten Zufallsgrößen  das „≤”–Zeichen durch das „<”–Zeichen zu ersetzen.


Anhand dieser (Verbund)–WDF  $f_{xy}(x, y)$  werden auch statistische Abhängigkeiten innerhalb der zweidimensionalen Zufallsgröße  $(x, y)$  vollständig erfasst im Gegensatz zu den beiden eindimensionalen Dichtefunktionen   ⇒   Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen:

$$f_{x}(x) = \int _{-\infty}^{+\infty} f_{xy}(x,y) \,\,{\rm d}y ,$$
$$f_{y}(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{xy}(x,y) \,\,{\rm d}x .$$

Diese beiden Randdichtefunktionen  $f_x(x)$  und  $f_y(y)$

  • liefern lediglich statistische Aussagen über die Einzelkomponenten  $x$  bzw.  $y$,
  • nicht jedoch über die Bindungen zwischen diesen.


Zweidimensionale Verteilungsfunktion


$\text{Definition:}$  Die  2D-Verteilungsfunktion  ist ebenso wie die 2D-WDF lediglich eine sinnvolle Erweiterung der  eindimensionalen Verteilungsfunktion  (VTF):

$$F_{xy}(r_{x},r_{y}) = {\rm Pr}\big [(x \le r_{x}) \cap (y \le r_{y}) \big ] .$$


Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der  "1D-VTF"  und der  "2D-VTF":

  • Der Funktionalzusammenhang zwischen zweidimensionaler WDF und zweidimensionaler VTF ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben,  aber nun in zwei Dimensionen.  Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:
$$F_{xy}(r_{x},r_{y})=\int_{-\infty}^{r_{y}} \int_{-\infty}^{r_{x}} f_{xy}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\, {\rm d}y .$$
  • Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach  $r_{x}$  und  $r_{y}$  angeben:
$$f_{xy}(x,y)=\frac{{\rm d}^{\rm 2} F_{xy}(r_{x},r_{y})}{{\rm d} r_{x} \,\, {\rm d} r_{y}}\Bigg|_{\left.{r_{x}=x \atop {r_{y}=y}}\right.}.$$
  • Bezüglich der Verteilungsfunktion  $F_{xy}(r_{x}, r_{y})$  gelten folgende Grenzwerte:
$$F_{xy}(-\infty,-\infty) = 0,$$
$$F_{xy}(r_{\rm x},+\infty)=F_{x}(r_{x} ),$$
$$F_{xy}(+\infty,r_{y})=F_{y}(r_{y} ) ,$$
$$F_{xy} (+\infty,+\infty) = 1.$$
  • Im Grenzfall  $($unendlich große  $r_{x}$  und  $r_{y})$  ergibt sich demnach für die 2D-VTF der Wert  $1$.  Daraus erhält man die  Normierungsbedingung  für die 2D-WDF:
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{xy}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1 . $$

$\text{Fazit:}$  Beachten Sie den signifikanten Unterschied zwischen eindimensionalen und zweidimensionalen Zufallsgrößen:

  • Bei eindimensionalen Zufallsgrößen ergibt die Fläche unter der WDF stets den Wert  $1$.
  • Bei zweidimensionalen Zufallsgrößen ist das WDF-Volumen immer gleich  $1$.

WDF und VTF bei statistisch unabhängigen Komponenten


Bei statistisch unabhängigen Komponenten  $x$  und  $y$  gilt für die Verbundwahrscheinlichkeit nach den elementaren Gesetzmäßigkeiten der Statistik, falls  $x$  und  $y$  wertkontinuierlich sind:

$${\rm Pr} \big[(x_{\rm 1}\le x \le x_{\rm 2}) \cap( y_{\rm 1}\le y\le y_{\rm 2})\big] ={\rm Pr} (x_{\rm 1}\le x \le x_{\rm 2}) \cdot {\rm Pr}(y_{\rm 1}\le y\le y_{\rm 2}) .$$

Hierfür kann bei unabhängigen Komponenten auch geschrieben werden:

$${\rm Pr} \big[(x_{\rm 1}\le x \le x_{\rm 2}) \cap(y_{\rm 1}\le y\le y_{\rm 2})\big] =\int _{x_{\rm 1}}^{x_{\rm 2}}f_{x}(x) \,{\rm d}x\cdot \int_{y_{\rm 1}}^{y_{\rm 2}} f_{y}(y) \, {\rm d}y.$$

$\text{Definition:}$  Daraus folgt,  dass bei  statistischer Unabhängigkeit  folgende Bedingung bezüglich der 2D–Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion erfüllt sein muss:

$$f_{xy}(x,y)=f_{x}(x) \cdot f_y(y) .$$


$\text{Beispiel 2:}$  In der Grafik sind die Momentanwerte einer zweidimensionalen Zufallsgröße als Punkte in der  $(x, y)$–Ebene eingetragen.

  • Bereiche mit vielen Punkten, die dementsprechend dunkel wirken, kennzeichnen große Werte der 2D–WDF  $f_{xy}(x, y)$.
  • Dagegen besitzt die Zufallsgröße  $(x, y)$  in eher hellen Bereichen nur verhältnismäßig wenig Anteile.
Statistisch unabhängige Komponenten:  $f_{xy}(x,y)$, $f_{x}(x)$  und $f_{y}(y)$


Die Grafik kann wie folgt interpretiert werden:

  • Die Randwahrscheinlichkeitsdichten  $f_{x}(x)$  und  $f_{y}(y)$  lassen bereits erkennen,  dass sowohl  $x$  als auch  $y$  gaußähnlich und mittelwertfrei sind,  und dass die Zufallsgröße  $x$  eine größere Streuung als  $y$  aufweist.
  • $f_{x}(x)$  und  $f_{y}(y)$  liefern jedoch keine Informationen darüber, ob bei der Zufallsgröße  $(x, y)$  statistische Bindungen bestehen oder nicht.
  • Anhand der 2D-WDF  $f_{xy}(x,y)$  erkennt man aber,  dass es hier zwischen den beiden Komponenten  $x$  und  $y$  keine statistischen Bindungen gibt.
  • Bei statistischer Unabhängigkeit liefert jeder Schnitt durch  $f_{xy}(x, y)$  parallel zur  $y$-Achse eine Funktion,  die formgleich mit der Rand–WDF  $f_{y}(y)$  ist.  Ebenso sind alle Schnitte parallel zur  $x$-Achse formgleich mit  $f_{x}(x)$.
  • Diese Tatsache ist gleichbedeutend mit der Aussage,  dass in diesem Beispiel  $f_{xy}(x, y)$  als Produkt der beiden Randwahrscheinlichkeitsdichten dargestellt werden kann:  
$$f_{xy}(x,y)=f_{x}(x) \cdot f_y(y) .$$

WDF und VTF bei statistisch abhängigen Komponenten


Bestehen statistische Bindungen zwischen  $x$  und  $y$, so liefern unterschiedliche Schnitte parallel zur  $x$– bzw.  $y$–Achse jeweils unterschiedliche, nicht formgleiche Funktionen.  In diesem Fall lässt sich die Verbund–WDF natürlich auch nicht als Produkt der beiden (eindimensionalen) Randwahrscheinlichkeitsdichten beschreiben.

Statistisch abhängige Komponenten:  $f_{xy}(x,y)$, $f_{x}(x)$,  $f_{y}(y)$

$\text{Beispiel 3:}$  Die Grafik zeigt die Momentanwerte einer zweidimensionalen Zufallsgröße in der  $(x, y)$–Ebene, wobei nun im Gegensatz zum  $\text{Beispiel 2}$  zwischen  $x$  und  $y$  statistische Bindungen bestehen.

  • Die 2D–Zufallsgröße nimmt im blau eingezeichneten Parallelogramm alle 2D–Werte mit gleicher Wahrscheinlichkeit an.
  • Außerhalb des Parallelogramms sind keine Werte möglich.


Man erkennt aus dieser Darstellung:

  1. Die Integration über $f_{xy}(x, y)$  parallel zur  $x$–Achse führt zur dreieckförmigen Randdichte $f_{y}(y)$,  die Integration parallel zur  $y$–Achse zur trapezförmigen WDF $f_{x}(x)$.
  2. Aus der 2D-WDF $f_{xy}(x, y)$  ist bereits zu erahnen,  dass für jeden  $x$–Wert im statistischen Mittel ein anderer  $y$–Wert zu erwarten ist.
  3. Das bedeutet,  dass hier die Komponenten  $x$  und  $y$  statistisch voneinander abhängen.

Erwartungswerte zweidimensionaler Zufallsgrößen


Ein Sonderfall der statistischen Abhängigkeit ist die  "Korrelation".

$\text{Definition:}$  Unter  Korrelation  versteht man eine  "lineare Abhängigkeit"  zwischen den Einzelkomponenten  $x$  und  $y$.

  • Korrelierte Zufallsgrößen sind damit stets auch statistisch abhängig.
  • Aber nicht jede statistische Abhängigkeit bedeutet gleichzeitig eine Korrelation.


Zur quantitativen Erfassung der Korrelation verwendet man verschiedene Erwartungswerte der 2D-Zufallsgröße  $(x, y)$.

Diese sind analog definiert zum eindimensionalen Fall

  • gemäß  Kapitel 2  (bei wertdiskreten Zufallsgrößen)
  • bzw.  Kapitel 3  (bei wertkontinuierlichen Zufallsgrößen):


$\text{Definition:}$  Für die (nichtzentrierten)  Momente  gilt die Beziehung:

$$m_{kl}={\rm E}\big[x^k\cdot y^l\big]=\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{0.2cm}\int_{-\infty}^{+\infty} x\hspace{0.05cm}^{k} \cdot y\hspace{0.05cm}^{l} \cdot f_{xy}(x,y) \, {\rm d}x\, {\rm d}y.$$

Die beiden linearen Mittelwerte sind somit   $m_x = m_{10}$  und   $m_y = m_{01}.$


$\text{Definition:}$  Die auf  $m_x$  bzw.  $m_y$  bezogenen  Zentralmomente  lauten:

$$\mu_{kl} = {\rm E}\big[(x-m_{x})\hspace{0.05cm}^k \cdot (y-m_{y})\hspace{0.05cm}^l\big] .$$

In dieser allgemein gültigen Definitionsgleichung sind die Varianzen  $σ_x^2$  und  $σ_y^2$  der zwei Einzelkomponenten durch  $\mu_{20}$  bzw.  $\mu_{02}$  mit enthalten.


$\text{Definition:}$  Besondere Bedeutung besitzt die  Kovarianz  $(k = l = 1)$,  die ein Maß für die lineare statistische Abhängigkeit zwischen den Zufallsgrößen  $x$  und  $y$  ist:

$$\mu_{11} = {\rm E}\big[(x-m_{x})\cdot(y-m_{y})\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} (x-m_{x}) \cdot (y-m_{y})\cdot f_{xy}(x,y) \,{\rm d}x \, {\rm d}y .$$

Im Folgenden bezeichnen wir die Kovarianz  $\mu_{11}$  teilweise auch mit  $\mu_{xy}$,  falls sich die Kovarianz auf die Zufallsgrößen  $x$  und  $y$  bezieht.


Anmerkungen:

  • Die Kovarianz  $\mu_{11}=\mu_{xy}$  hängt wie folgt mit dem nichtzentrierten Moment  $m_{11} = m_{xy} = {\rm E}\big[x · y\big]$ zusammen:
$$\mu_{xy} = m_{xy} -m_{x }\cdot m_{y}.$$
  • Diese Gleichung ist für numerische Auswertungen enorm vorteilhaft,  da  $m_{xy}$,  $m_x$  und  $m_y$  aus den Folgen  $〈x_v〉$  und  $〈y_v〉$  in einem einzigen Durchlauf gefunden werden können.
  • Würde man dagegen die Kovarianz  $\mu_{xy}$  entsprechend der oberen Definitionsgleichung berechnen,  so müsste man in einem ersten Durchlauf die Mittelwerte  $m_x$  und  $m_y$  ermitteln und könnte dann erst in einem zweiten Durchlauf den Erwartungswert  ${\rm E}\big[(x - m_x) · (y - m_y)\big]$  berechnen.


$\text{Beispiel 4:}$  In den beiden ersten Zeilen der Tabelle sind die jeweils ersten Elemente zweier Zufallsfolgen  $〈x_ν〉$  und  $〈y_ν〉$  eingetragen.  In der letzten Zeile sind die jeweiligen Produkte  $x_ν · y_ν$  angegeben.

Beispielhafte 2D-Erwartungswerte
  • Durch Mittelung über jeweils zehn Folgenelemente erhält man 
$$m_x =0.5,\ \ m_y = 1, \ \ m_{xy} = 0.69.$$
  • Daraus ergibt sich direkt der Wert für die Kovarianz:
$$\mu_{xy} = 0.69 - 0.5 · 1 = 0.19.$$


Ohne Kenntnis der Gleichung  $\mu_{xy} = m_{xy} - m_x · m_y$  hätte man zunächst im ersten Durchlauf die Mittelwerte  $m_x$  und  $m_y$  ermitteln müssen,
um dann in einem zweiten Durchlauf die Kovarianz  $\mu_{xy}$  als Erwartungswert des Produkts der mittelwertfreien Größen bestimmen zu können.

Korrelationskoeffizient


Bei statististischer Unabhängigkeit der beiden Komponenten  $x$  und  $y$  ist die Kovarianz  $\mu_{xy} \equiv 0$.  Dieser Fall wurde bereits im  $\text{Beispiel 2}$  auf der Seite  WDF und VTF bei statistisch unabhängigen Komponenten  betrachtet.

  • Das Ergebnis  $\mu_{xy} = 0$  ist aber auch bei statistisch abhängigen Komponenten  $x$  und  $y$  möglich,  nämlich dann,  wenn diese unkorreliert, also linear unabhängig sind.
  • Die statistische Abhängigkeit ist dann nicht von erster,  sondern von höherer Ordnung,  zum Beispiel entsprechend der Gleichung  $y=x^2.$


Man spricht von  vollständiger Korrelation, wenn die (deterministische) Abhängigkeit zwischen  $x$  und  $y$  durch die Gleichung  $y = K · x$  ausgedrückt wird. Dann ergibt sich für die Kovarianz:

  • $\mu_{xy} = σ_x · σ_y$  bei positivem  $K$–Wert,
  • $\mu_{xy} = - σ_x · σ_y$  bei negativem  $K$–Wert.


Deshalb verwendet man häufig als Beschreibungsgröße anstelle der Kovarianz den so genannten Korrelationskoeffizienten.

$\text{Definition:}$  Der  Korrelationskoeffizient  ist der Quotient aus der Kovarianz  $\mu_{xy}$  und dem Produkt der Effektivwerte  $σ_x$  und  $σ_y$  der beiden Komponenten:

$$\rho_{xy}=\frac{\mu_{xy} }{\sigma_x \cdot \sigma_y}.$$


Der Korrelationskoeffizient  $\rho_{xy}$  weist folgende Eigenschaften auf:

  • Aufgrund der Normierung gilt stets  $-1 \le ρ_{xy} ≤ +1$.
  • Sind die beiden Zufallsgrößen  $x$  und  $y$  unkorreliert,  so ist  $ρ_{xy} = 0$.
  • Bei strenger linearer Abhängigkeit zwischen  $x$  und  $y$  ist  $ρ_{xy}= ±1$   ⇒   vollständige Korrelation.
  • Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet,  dass bei größerem  $x$–Wert im statistischen Mittel auch  $y$  größer ist als bei kleinerem  $x$.
  • Dagegen drückt ein negativer Korrelationskoeffizient aus,  dass  $y$  mit steigendem  $x$  im Mittel kleiner wird.


Gaußsche 2D-WDF mit Korrelation

$\text{Beispiel 5:}$  Es gelten folgende Voraussetzungen:

  • Die betrachteten Komponenten  $x$  und  $y$  besitzen jeweils eine gaußförmige WDF.
  • Die beiden Streuungen sind unterschiedlich  $(σ_y < σ_x)$.
  • Der Korrelationskoeffizient beträgt  $ρ_{xy} = 0.8$.


Im Unterschied zum  Beispiel 2  mit statistisch unabhängigen Komponenten   ⇒   $ρ_{xy} = 0$  $($trotz  $σ_y < σ_x)$  erkennt man, dass hier bei größerem  $x$–Wert im statistischen Mittel auch  $y$  größer ist als bei kleinerem  $x$.


Regressionsgerade


Gaußsche 2D-WDF mit Korrelationsgerade

$\text{Definition:}$  Als  Regressionsgerade  bezeichnet man die Gerade  $y = K(x)$  in der  $(x, y)$–Ebene durch den „Mittelpunkt”  $(m_x, m_y)$.  Manchmal wird diese Gerade auch  "Korrelationsgerade"  genannt.

Die Regressionsgerade besitzt folgende Eigenschaften:

  • Die mittlere quadratische Abweichung von dieser Geraden – in  $y$–Richtung betrachtet und über alle  $N$  Punkte gemittelt – ist minimal:
$$\overline{\varepsilon_y^{\rm 2} }=\frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{\nu=\rm 1}^{N}\; \;\big [y_\nu - K(x_{\nu})\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$
  • Die Korrelationsgerade kann als eine Art  „statistische Symmetrieachse“  interpretiert werden. Die Geradengleichung lautet:
$$y=K(x)=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot\rho_{xy}\cdot(x - m_x)+m_y.$$
  • Der Winkel, den die Regressionsgerade zur  $x$–Achse einnimmt, beträgt:
$$\theta_{y\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}x}={\rm arctan}\ (\frac{\sigma_{y} }{\sigma_{x} }\cdot \rho_{xy}).$$


Durch diese Nomenklatur soll deutlich gemacht werden,  dass es sich hier um die Regression von  $y$  auf  $x$  handelt.

  • Die Regression in Gegenrichtung – also von  $x$  auf  $y$ – bedeutet dagegen die Minimierung der mittleren quadratischen Abweichung in  $x$–Richtung.
  • Das interaktive Applet  Korrelation und Regressionsgerade  verdeutlicht, dass sich im Allgemeinen  $($falls  $σ_y \ne σ_x)$  für die Regression von  $x$  auf  $y$  ein anderer Winkel und damit auch eine andere Regressionsgerade ergeben wird:
$$\theta_{x\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm} y}={\rm arctan}\ (\frac{\sigma_{x}}{\sigma_{y}}\cdot \rho_{xy}).$$


Aufgaben zum Kapitel


Aufgabe 4.1: Dreieckiges (x, y)-Gebiet

Aufgabe 4.1Z: Verabredung zum Frühstück

Aufgabe 4.1: Wieder Dreieckgebiet

Aufgabe 4.2Z: Korrelation zwischen $x$ und $e^x$

Aufgabe 4.3: Algebraische und Modulo-Summe

Aufgabe 4.3Z: Diracförmige 2D-WDF