Aufgaben:Aufgabe 1.4: Zeigerdiagramm und Ortskurve: Unterschied zwischen den Versionen

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{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation}}
 
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[[Datei:P_ID966__Mod_A_1_4_neu.png|right|frame|Vorgegebenes nalytisches Signal in der komplexen Ebene]]
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Die beiliegende Grafik zeigt das analytische Signal  $s_+(t)$  in der komplexen Ebene.  
 
Die beiliegende Grafik zeigt das analytische Signal  $s_+(t)$  in der komplexen Ebene.  
 
*Die in den Rechtecken angegebenen Zahlen geben die Zeitpunkte in Mikrosekunden an.  
 
*Die in den Rechtecken angegebenen Zahlen geben die Zeitpunkte in Mikrosekunden an.  
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:$$\text{.....................................} $$
 
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:$$s_+(t = 25\;{\rm µ s}) =  -0.500\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$s_+(t = 25\;{\rm µ s}) =  -0.500\hspace{0.05cm}.$$
Als bekannt vorausgesetzt wird, dass das dazugehörige physikalische Signal folgende Form hat:
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Als bekannt vorausgesetzt wird,  dass das dazugehörige physikalische Signal folgende Form hat:
 
:$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \left(\omega_{\rm T}\cdot t\right) + {A_0}/{2}\cdot \cos\left(\left(\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 0}\right)\cdot t \right) + {A_0}/{2}\cdot \cos\left(\left(\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 0}\right)\cdot t \right)\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \left(\omega_{\rm T}\cdot t\right) + {A_0}/{2}\cdot \cos\left(\left(\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 0}\right)\cdot t \right) + {A_0}/{2}\cdot \cos\left(\left(\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 0}\right)\cdot t \right)\hspace{0.05cm}.$$
 
*Gegeben ist die Frequenz des Trägersignals zu  $f_{\rm T} = 100\text{ kHz}$.  
 
*Gegeben ist die Frequenz des Trägersignals zu  $f_{\rm T} = 100\text{ kHz}$.  
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Bezug genommen wird auch auf das  [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Beschreibung_von_s.28t.29_mit_Hilfe_des_analytischen_Signals|äquivalente TP–Signal]]  $s_{\rm TP}(t)$, wobei folgender Zusammenhang mit dem analytischen Signal besteht:
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Bezug genommen wird auch auf das  [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Beschreibung_des_physikalischen_Signals_mit_Hilfe_des_.C3.A4quivalenten_Tiefpass-Signals|äquivalente Tiefpass–Signal]]  $s_{\rm TP}(t)$, wobei folgender Zusammenhang mit dem analytischen Signal besteht:
 
:$$s_{\rm TP}(t) = s_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$s_{\rm TP}(t) = s_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t} \hspace{0.05cm}.$$
  
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Hinweise:  
 
 
 
 
 
 
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation|Allgemeines Modell der Modulation]].
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation|Allgemeines Modell der Modulation]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite   [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Beschreibung_des_physikalischen_Signals_mit_Hilfe_des_.C3.A4quivalenten_TP-Signals|Beschreibung des physikalischen Signals mit Hilfe des äquivalenten Tiefpass-Signals]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite   [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Beschreibung_des_physikalischen_Signals_mit_Hilfe_des_.C3.A4quivalenten_Tiefpass-Signals|Beschreibung des physikalischen Signals mit Hilfe des äquivalenten Tiefpass-Signals]].
 
*Weitere Informationen zu dieser Thematik finden Sie in den Kapiteln  des Buches „Signaldarstellung”:  
 
*Weitere Informationen zu dieser Thematik finden Sie in den Kapiteln  des Buches „Signaldarstellung”:  
 
::(1)   [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung|Harmonische Schwingung]],  
 
::(1)   [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung|Harmonische Schwingung]],  
::(2)  [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugeh%C3%B6rige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]]  und
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::(2)  [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugeh%C3%B6rige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]],   
 
::(3)  [[Signaldarstellung/%C3%84quivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugeh%C3%B6rige_Spektralfunktion| Äquivalentes Tiefpass-Signal  und zugehörige Spektralfunktion]].
 
::(3)  [[Signaldarstellung/%C3%84quivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugeh%C3%B6rige_Spektralfunktion| Äquivalentes Tiefpass-Signal  und zugehörige Spektralfunktion]].
 
   
 
   
*In unserem Tutorial $\rm LNTwww$ wird die Darstellung des analytischen Signals  $s_+(t)$  in der komplexen Ebene teilweise auch als „Zeigerdiagramm” bezeichnet, während die „Ortskurve” den zeitlichen Verlauf des äquivalenten TP–Signals  $s_{\rm TP}(t)$  angibt. Wir verweisen auf die entsprechenden interaktiven Applets  
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*In unserem Tutorial $\rm LNTwww$ wird die Darstellung des analytischen Signals  $s_+(t)$  in der komplexen Ebene teilweise auch als „Zeigerdiagramm” bezeichnet, während die „Ortskurve” den zeitlichen Verlauf des äquivalenten Tiefpass–Signals  $s_{\rm TP}(t)$  angibt. Wir verweisen auf die entsprechenden interaktiven Applets  
::(1)  [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & analytisches Signal ]],
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::(1)  [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal ]],
::(2)  [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & äquivalentes TP-Signal]].
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{Geben Sie ausgehend von $s(t)$ die Gleichung für &nbsp;$s_+(t)$&nbsp; an und vereinfachen Sie diese. <br>Welche Gleichung gilt für das äquivalente Tiefpass–Signal?
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{Geben Sie ausgehend von&nbsp; $s(t)$&nbsp; die Gleichung für &nbsp;$s_+(t)$&nbsp; an und vereinfachen Sie diese. &nbsp;Welche Gleichung gilt für das äquivalente Tiefpass–Signal?
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- Es gilt &nbsp; $s_{\rm TP}(t) = A_0 · {\rm e}^{–{\rm j}ω_0t}.$
 
- Es gilt &nbsp; $s_{\rm TP}(t) = A_0 · {\rm e}^{–{\rm j}ω_0t}.$
 
- Es gilt &nbsp; $s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} + A_0 · {\rm e}^{+{\rm j}ω_0t}.$
 
- Es gilt &nbsp; $s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} + A_0 · {\rm e}^{+{\rm j}ω_0t}.$
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'''(1)'''&nbsp; Alle Cosinusfunktionen sind in entsprechende komplexe Exponentialfunktionen umzuwandeln:
 
'''(1)'''&nbsp; Alle Cosinusfunktionen sind in entsprechende komplexe Exponentialfunktionen umzuwandeln:
 
:$$s_+(t)  =  A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.03cm}t} + \frac{A_0}{2}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}(\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 0})\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} + \frac{A_0}{2}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}(\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 0})\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t}  =  {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.03cm}t} \cdot \left[ A_{\rm T}+ \frac{A_0}{2} \cdot \left( {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm 0}\cdot \hspace{0.05cm}t} + {\rm e}^{\hspace{0.03cm}-{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm 0}\cdot \hspace{0.05cm}t}\right)\right]\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$s_+(t)  =  A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.03cm}t} + \frac{A_0}{2}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}(\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 0})\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} + \frac{A_0}{2}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}(\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 0})\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t}  =  {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.03cm}t} \cdot \left[ A_{\rm T}+ \frac{A_0}{2} \cdot \left( {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm 0}\cdot \hspace{0.05cm}t} + {\rm e}^{\hspace{0.03cm}-{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm 0}\cdot \hspace{0.05cm}t}\right)\right]\hspace{0.05cm}.$$
Mit der Gleichung ${\rm e}^{{\rm j} · α} + {\rm e}^{-{\rm j} · α} = 2 · \cos(α)$ folgt weiter:
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*Mit der Gleichung&nbsp; ${\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm\hspace{0.05cm}α} + {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm\hspace{0.05cm} α} = 2 · \cos(α)$&nbsp; folgt weiter:
 
:$$s_+(t) = {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.03cm}t} \cdot \left[ A_{\rm T}+ {A_0} \cdot \cos (\omega_{\rm 0}\cdot t) \right] \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$s_+(t) = {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.03cm}t} \cdot \left[ A_{\rm T}+ {A_0} \cdot \cos (\omega_{\rm 0}\cdot t) \right] \hspace{0.05cm}.$$
Damit erhält man für das äquivalente Tiefpass–Signal:
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*Damit erhält man für das äquivalente Tiefpass–Signal:
 
:$$s_{\rm TP}(t) = s_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t} = A_{\rm T}+ {A_0} \cdot \cos (\omega_{\rm 0}\cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$s_{\rm TP}(t) = s_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t} = A_{\rm T}+ {A_0} \cdot \cos (\omega_{\rm 0}\cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
 
Richtig ist also der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>.  
 
Richtig ist also der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>.  
*Im Kapitel &bdquo;Hüllkurvendemodulation&rdquo; des vorliegenden Buches werden wir sehen, dass es sich dabei um die ''Zweiseitenband–Amplitudenmodulation eines Cosinussignals mit cosinusförmigem Träger'' handelt.
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*Im Kapitel&nbsp; &bdquo;Hüllkurvendemodulation&rdquo;&nbsp; des vorliegenden Buches werden wir sehen, dass es sich dabei um die&nbsp; "Zweiseitenband–Amplitudenmodulation eines Cosinussignals mit cosinusförmigem Träger"&nbsp; handelt.
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'''(2)'''&nbsp; Die Periodendauer des analytischen Signals&nbsp; $s_+(t)$&nbsp; beträgt&nbsp; $T_0 = 50$&nbsp; μs. 
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*Das physikalische Signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; hat die gleiche Periodendauer.
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*Unter der Voraussetzung,&nbsp; dass&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; ein ganzzahliges Vielfaches von&nbsp; $f_0$&nbsp; ist&nbsp; (was stets zu überprüfen ist,&nbsp; aber für dieses Beispiel zutrifft),&nbsp; ergibt sich&nbsp;
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:$$f_0 = 1/T_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = 20 \ \rm kHz}.$$
  
'''(2)'''&nbsp; Die Periodendauer des analytischen Signals $s_+(t)$ beträgt $T_0 = 50$ μs. 
 
*Das physikalische Signal $s(t)$ hat die gleiche Periodendauer.
 
*Unter der Voraussetzung, dass $f_{\rm T}$ ein ganzzahliges Vielfaches von $f_0$ ist (was stets zu überprüfen ist, aber für dieses Beispiel zutrifft), ergibt sich $f_0 = 1/T_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = 20 \ \rm kHz}$.
 
  
  
'''(3)'''&nbsp; Bei den gegebenen Zeitpunkten (Vielfache von $5$ μs) gilt für den komplexen Drehzeiger des Trägers:
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'''(3)'''&nbsp; Bei den gegebenen Zeitpunkten&nbsp; (Vielfache von&nbsp; $5$&nbsp; μs)&nbsp; gilt für den komplexen Drehzeiger des Trägers:
 
:$${\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \cdot \hspace{0.05cm} {100\,{\rm kHz}}\cdot \hspace{0.05cm}(k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 5\,{\rm \mu s})} = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}k \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi } = \left\{ \begin{array}{c} +1 \\ -1 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{falls}} \\ {\rm{falls}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} k \hspace{0.1cm}{\rm gerade} , \\ k \hspace{0.1cm}{\rm ungerade} . \\ \end{array}$$
 
:$${\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \cdot \hspace{0.05cm} {100\,{\rm kHz}}\cdot \hspace{0.05cm}(k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 5\,{\rm \mu s})} = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}k \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi } = \left\{ \begin{array}{c} +1 \\ -1 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{falls}} \\ {\rm{falls}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} k \hspace{0.1cm}{\rm gerade} , \\ k \hspace{0.1cm}{\rm ungerade} . \\ \end{array}$$
Deshalb folgt aus der in der Teilaufgabe '''(1)''' berechneten Gleichung:
+
*Deshalb folgt aus der in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; berechneten Gleichung:
 
:$$k = 0  \Rightarrow  \hspace{0.2cm} s_{\rm +}(t = 0) = A_{\rm T}+ {A_0} \cdot \cos (\omega_{\rm 0}\cdot 0) = A_{\rm T}+ {A_0} \hspace{0.05cm},$$  
 
:$$k = 0  \Rightarrow  \hspace{0.2cm} s_{\rm +}(t = 0) = A_{\rm T}+ {A_0} \cdot \cos (\omega_{\rm 0}\cdot 0) = A_{\rm T}+ {A_0} \hspace{0.05cm},$$  
 
:$$k = 5  \Rightarrow \hspace{0.2cm} s_{\rm +}(t = 25\;{\rm &micro; s}) = - \left[ A_{\rm T}+ {A_0} \cdot \cos (\omega_{\rm 0}\cdot {T_0}/{2}) \right] = -A_{\rm T}+ {A_0} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$k = 5  \Rightarrow \hspace{0.2cm} s_{\rm +}(t = 25\;{\rm &micro; s}) = - \left[ A_{\rm T}+ {A_0} \cdot \cos (\omega_{\rm 0}\cdot {T_0}/{2}) \right] = -A_{\rm T}+ {A_0} \hspace{0.05cm}.$$
Ein Vergleich mit der ersten und letzten Gleichung auf dem Angabenblatt zeigt:
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*Ein Vergleich mit der ersten und letzten Gleichung auf dem Angabenblatt zeigt:
 
:$$ s_{\rm +}(t = 0)  =  A_{\rm T}+ {A_0}=1.5 \hspace{0.05cm}, $$
 
:$$ s_{\rm +}(t = 0)  =  A_{\rm T}+ {A_0}=1.5 \hspace{0.05cm}, $$
 
:$$ s_{\rm +}(t = 25\;{\rm \mu s})  =  -A_{\rm T}+ {A_0} = -0.5 \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$ s_{\rm +}(t = 25\;{\rm \mu s})  =  -A_{\rm T}+ {A_0} = -0.5 \hspace{0.05cm}.$$
Daraus erhält man $A_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1}$ und $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}$.
+
*Daraus erhält man&nbsp; $A_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1}$&nbsp; und&nbsp; $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}$.
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'''(4)'''&nbsp; Zum Zeitpunkt $t = 15$ μs ($k = 3$, ungerade) gilt:
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'''(4)'''&nbsp; Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 15$ μs&nbsp; $(k = 3$, ungerade$)$&nbsp; gilt:
:$$ s_{\rm +}(t = 15\;{\rm &micro; s})  =  - \left[ 1+ 0.5 \cdot \cos (2 \pi \cdot 20\,{\rm kHz} \cdot 0.015\,{\rm ms}) \right] \hspace{0.05cm}, =  -1- 0.5 \cdot \cos (108^{\circ})\hspace{0.15cm}\underline {= -0.845} \hspace{0.05cm}.$$
+
:$$ s_{\rm +}(t = 15\;{\rm &micro; s})  =  - \left[ 1+ 0.5 \cdot \cos (2 \pi \cdot 20\,{\rm kHz} \cdot 0.015\,{\rm ms}) \right] \hspace{0.05cm}  =  -1- 0.5 \cdot \cos (108^{\circ})\hspace{0.15cm}\underline {= -0.845} \hspace{0.05cm}.$$
Dagegen ergibt sich für den Zeitpunkt $t = 20$ μs ($k = 4$, gerade):
+
*Dagegen ergibt sich für den Zeitpunkt&nbsp; $t = 20$&nbsp; μs&nbsp; $(k = 4$, gerade$)$:
 
:$$ s_{\rm +}(t = 20\;{\rm &micro; s}) = 1 + 0.5 \cdot \cos (144^{\circ})\hspace{0.15cm}\underline {= 0.595} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$ s_{\rm +}(t = 20\;{\rm &micro; s}) = 1 + 0.5 \cdot \cos (144^{\circ})\hspace{0.15cm}\underline {= 0.595} \hspace{0.05cm}.$$
Bei allen diesen betrachteten Zeitpunkten ist das physikalische Signal $s(t) = {\rm Re}[s_+(t)]$ genau so groß.
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Bei allen diesen betrachteten Zeitpunkten ist das physikalische Signal&nbsp; $s(t) = {\rm Re}[s_+(t)]$&nbsp; genau so groß.
  
 
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Aktuelle Version vom 16. November 2021, 15:33 Uhr

Vorgegebenes analytisches Signal in der komplexen Ebene

Die beiliegende Grafik zeigt das analytische Signal  $s_+(t)$  in der komplexen Ebene.

  • Die in den Rechtecken angegebenen Zahlen geben die Zeitpunkte in Mikrosekunden an.
  • Bei allen Vielfachen von  $5 \ \rm µ s$  ist  $s_+(t)$  stets reell und hat dabei folgende Werte:
$$s_+(t = 0) =s_+(t = 50\;{\rm µ s})= 1.500\hspace{0.05cm},$$
$$s_+(t = 5\;{\rm µ s}) = s_+(t = 45\;{\rm µ s})= -1.405\hspace{0.05cm},$$
$$s_+(t = 10\;{\rm µ s}) = s_+(t = 40\;{\rm µ s})= 1.155\hspace{0.05cm},$$
$$\text{.....................................} $$
$$s_+(t = 25\;{\rm µ s}) = -0.500\hspace{0.05cm}.$$

Als bekannt vorausgesetzt wird,  dass das dazugehörige physikalische Signal folgende Form hat:

$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \left(\omega_{\rm T}\cdot t\right) + {A_0}/{2}\cdot \cos\left(\left(\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 0}\right)\cdot t \right) + {A_0}/{2}\cdot \cos\left(\left(\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 0}\right)\cdot t \right)\hspace{0.05cm}.$$
  • Gegeben ist die Frequenz des Trägersignals zu  $f_{\rm T} = 100\text{ kHz}$.
  • Ermittelt werden sollen die drei weiteren Parameter  $f_0$,  $A_{\rm T}$  und  $A_0$.


Bezug genommen wird auch auf das  äquivalente Tiefpass–Signal  $s_{\rm TP}(t)$, wobei folgender Zusammenhang mit dem analytischen Signal besteht:

$$s_{\rm TP}(t) = s_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t} \hspace{0.05cm}.$$



Hinweise:

(1)   Harmonische Schwingung,
(2)  Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion
(3)  Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion.
  • In unserem Tutorial $\rm LNTwww$ wird die Darstellung des analytischen Signals  $s_+(t)$  in der komplexen Ebene teilweise auch als „Zeigerdiagramm” bezeichnet, während die „Ortskurve” den zeitlichen Verlauf des äquivalenten Tiefpass–Signals  $s_{\rm TP}(t)$  angibt. Wir verweisen auf die entsprechenden interaktiven Applets
(1)  Physikalisches Signal & Analytisches Signal ,
(2)  Physikalisches Signal & Äquivalentes Tiefpass-Signal.



Fragebogen

1

Geben Sie ausgehend von  $s(t)$  die Gleichung für  $s_+(t)$  an und vereinfachen Sie diese.  Welche Gleichung gilt für das äquivalente Tiefpass–Signal?

Es gilt   $s_{\rm TP}(t) = A_0 · {\rm e}^{–{\rm j}ω_0t}.$
Es gilt   $s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} + A_0 · {\rm e}^{+{\rm j}ω_0t}.$
Es gilt   $s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} + A_0 · \cos(ω_0t).$

2

Bestimmen Sie den Signalparameter  $f_0$.

$f_0 \ = \ $

$\ \text{kHz}$

3

Bestimmen Sie die weiteren Signalparameter  $A_{\rm T}$  und  $A_0$.

$A_{\rm T} \ = \ $

$A_0 \ = \ $

4

Berechnen Sie die Werte des analytischen Signals  $s_+(t)$  zu den Zeiten  $t = 15 \;{\rm µ s}$  und  $t = 20\;{\rm µ s}$.

$s_+(t = 15 \ \rm µ s) \ = \ $

$s_+(t = 20 \ \rm µ s) \ = \ $


Musterlösung

(1)  Alle Cosinusfunktionen sind in entsprechende komplexe Exponentialfunktionen umzuwandeln:

$$s_+(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.03cm}t} + \frac{A_0}{2}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}(\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 0})\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} + \frac{A_0}{2}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}(\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 0})\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t} = {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.03cm}t} \cdot \left[ A_{\rm T}+ \frac{A_0}{2} \cdot \left( {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm 0}\cdot \hspace{0.05cm}t} + {\rm e}^{\hspace{0.03cm}-{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm 0}\cdot \hspace{0.05cm}t}\right)\right]\hspace{0.05cm}.$$
  • Mit der Gleichung  ${\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}· \hspace{0.05cm}α} + {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}·\hspace{0.05cm} α} = 2 · \cos(α)$  folgt weiter:
$$s_+(t) = {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.03cm}t} \cdot \left[ A_{\rm T}+ {A_0} \cdot \cos (\omega_{\rm 0}\cdot t) \right] \hspace{0.05cm}.$$
  • Damit erhält man für das äquivalente Tiefpass–Signal:
$$s_{\rm TP}(t) = s_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t} = A_{\rm T}+ {A_0} \cdot \cos (\omega_{\rm 0}\cdot t) \hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist also der letzte Lösungsvorschlag.

  • Im Kapitel  „Hüllkurvendemodulation”  des vorliegenden Buches werden wir sehen, dass es sich dabei um die  "Zweiseitenband–Amplitudenmodulation eines Cosinussignals mit cosinusförmigem Träger"  handelt.


(2)  Die Periodendauer des analytischen Signals  $s_+(t)$  beträgt  $T_0 = 50$  μs.

  • Das physikalische Signal  $s(t)$  hat die gleiche Periodendauer.
  • Unter der Voraussetzung,  dass  $f_{\rm T}$  ein ganzzahliges Vielfaches von  $f_0$  ist  (was stets zu überprüfen ist,  aber für dieses Beispiel zutrifft),  ergibt sich 
$$f_0 = 1/T_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = 20 \ \rm kHz}.$$


(3)  Bei den gegebenen Zeitpunkten  (Vielfache von  $5$  μs)  gilt für den komplexen Drehzeiger des Trägers:

$${\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \cdot \hspace{0.05cm} {100\,{\rm kHz}}\cdot \hspace{0.05cm}(k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 5\,{\rm \mu s})} = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}k \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi } = \left\{ \begin{array}{c} +1 \\ -1 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{falls}} \\ {\rm{falls}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} k \hspace{0.1cm}{\rm gerade} , \\ k \hspace{0.1cm}{\rm ungerade} . \\ \end{array}$$
  • Deshalb folgt aus der in der Teilaufgabe  (1)  berechneten Gleichung:
$$k = 0 \Rightarrow \hspace{0.2cm} s_{\rm +}(t = 0) = A_{\rm T}+ {A_0} \cdot \cos (\omega_{\rm 0}\cdot 0) = A_{\rm T}+ {A_0} \hspace{0.05cm},$$
$$k = 5 \Rightarrow \hspace{0.2cm} s_{\rm +}(t = 25\;{\rm µ s}) = - \left[ A_{\rm T}+ {A_0} \cdot \cos (\omega_{\rm 0}\cdot {T_0}/{2}) \right] = -A_{\rm T}+ {A_0} \hspace{0.05cm}.$$
  • Ein Vergleich mit der ersten und letzten Gleichung auf dem Angabenblatt zeigt:
$$ s_{\rm +}(t = 0) = A_{\rm T}+ {A_0}=1.5 \hspace{0.05cm}, $$
$$ s_{\rm +}(t = 25\;{\rm \mu s}) = -A_{\rm T}+ {A_0} = -0.5 \hspace{0.05cm}.$$
  • Daraus erhält man  $A_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1}$  und  $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}$.



(4)  Zum Zeitpunkt  $t = 15$ μs  $(k = 3$, ungerade$)$  gilt:

$$ s_{\rm +}(t = 15\;{\rm µ s}) = - \left[ 1+ 0.5 \cdot \cos (2 \pi \cdot 20\,{\rm kHz} \cdot 0.015\,{\rm ms}) \right] \hspace{0.05cm} = -1- 0.5 \cdot \cos (108^{\circ})\hspace{0.15cm}\underline {= -0.845} \hspace{0.05cm}.$$
  • Dagegen ergibt sich für den Zeitpunkt  $t = 20$  μs  $(k = 4$, gerade$)$:
$$ s_{\rm +}(t = 20\;{\rm µ s}) = 1 + 0.5 \cdot \cos (144^{\circ})\hspace{0.15cm}\underline {= 0.595} \hspace{0.05cm}.$$

Bei allen diesen betrachteten Zeitpunkten ist das physikalische Signal  $s(t) = {\rm Re}[s_+(t)]$  genau so groß.