Aufgaben:Aufgabe 5.8Z: Zyklisches Präfix und Guard–Intervall: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Wir gehen in dieser Aufgabe von einem $\rm OFDM$–System mit $N = 8$ Trägern und zyklischem Präfix aus. Der Subträgerabstand sei $f_0 = 4 \ \rm kHz$. Die Grafik zeigt das Prinzip des zyklischen Präfixes. | + | Wir gehen in dieser Aufgabe von einem $\rm OFDM$–System mit $N = 8$ Trägern und zyklischem Präfix aus. Der Subträgerabstand sei $f_0 = 4 \ \rm kHz$ ⇒ Grundsymboldauer: $T=1/f_0$. Die Grafik zeigt das Prinzip des zyklischen Präfixes. |
− | *Die Übertragung erfolgt über einen Zweiwegekanal, wobei beide Pfade verzögert sind. Die Kanalimpulsantwort lautet somit mit $τ_1 = \ \rm 50 µs$ und $τ_2 = 125\ \rm µs$: | + | *Die Übertragung erfolgt über einen Zweiwegekanal, wobei beide Pfade verzögert sind. Die Kanalimpulsantwort lautet somit mit $τ_1 = \ \rm 50\ µs$ und $τ_2 = 125\ \rm µs$: |
:$$ h(t) = h_1 \cdot \delta (t- \tau_1) + h_2 \cdot \delta (t- \tau_2).$$ | :$$ h(t) = h_1 \cdot \delta (t- \tau_1) + h_2 \cdot \delta (t- \tau_2).$$ | ||
*Der Einsatz eines solchen zyklischen Präfixes vermindert allerdings die Bandbreiteneffizienz $($Verhältnis von Symbolrate zu Bandbreite$)$ um den Faktor | *Der Einsatz eines solchen zyklischen Präfixes vermindert allerdings die Bandbreiteneffizienz $($Verhältnis von Symbolrate zu Bandbreite$)$ um den Faktor | ||
− | :$$ \beta = \frac{1}{{1 + T_{\rm{G}} /T}} $$ | + | :$$ \beta = \frac{1}{{1 + T_{\rm{G}} /T}}, $$ |
:und führt auch zu einer Verringerung des Signal–Rausch–Verhältnisses um ebenfalls diesen Wert <i>β</i>. | :und führt auch zu einer Verringerung des Signal–Rausch–Verhältnisses um ebenfalls diesen Wert <i>β</i>. | ||
− | *Voraussetzung für die Gültigkeit des hier angegebenen SNR–Verlustes ist allerdings, dass die Impulsantworten $g_{\rm S}(t)$ und $g_{\rm E}(t)$ von Sende– und Empfangsfilter an die Symboldauer $T$ angepasst sind $($Matched–Filter–Ansatz$)$. | + | *Voraussetzung für die Gültigkeit des hier angegebenen SNR–Verlustes ist allerdings, dass die Impulsantworten $g_{\rm S}(t)$ und $g_{\rm E}(t)$ von Sende– und Empfangsfilter an die Symboldauer $T$ angepasst sind $($Matched–Filter–Ansatz$)$. |
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− | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen|Realisierung von OFDM-Systemen]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen|"Realisierung von OFDM-Systemen"]]. |
− | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen#Zyklisches_Pr.C3.A4fix|Zyklisches Präfix]] sowie [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen#OFDM.E2.80.93System_mit_zyklischem_Pr.C3.A4fix|OFDM-System mit zyklischem Präfix]]. | + | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen#Zyklisches_Pr.C3.A4fix|"Zyklisches Präfix"]] sowie [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen#OFDM.E2.80.93System_mit_zyklischem_Pr.C3.A4fix|"OFDM-System mit zyklischem Präfix"]]. |
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− | {Geben Sie die | + | {Geben Sie die Grundsymboldauer $T$ an. |
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− | {Welche Aussagen sind richtig? Durch eine Guardlücke, also das Nullsetzen des OFDM–Signals im Guard–Intervall, können | + | {Welche Aussagen sind richtig? Durch eine Guardlücke, also das Nullsetzen des OFDM–Signals im Guard–Intervall, können |
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- Intercarrier–Interferenzen $\rm (ICI)$ unterdrückt werden, | - Intercarrier–Interferenzen $\rm (ICI)$ unterdrückt werden, | ||
+ Impulsinterferenzen $\rm (ISI)$ unterdrückt werden. | + Impulsinterferenzen $\rm (ISI)$ unterdrückt werden. | ||
− | {Welche Aussagen sind richtig? | + | {Welche Aussagen sind richtig? Durch ein zyklisches Präfix, also durch eine zyklische Erweiterung des OFDM–Signals im Guard–Intervall, können |
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+ Intercarrier–Interferenzen $\rm (ICI)$ unterdrückt werden, | + Intercarrier–Interferenzen $\rm (ICI)$ unterdrückt werden, | ||
+ Impulsinterferenzen $\rm (ISI)$ unterdrückt werden. | + Impulsinterferenzen $\rm (ISI)$ unterdrückt werden. | ||
− | {Nennen Sie die jeweilige Anzahl der Abtastwerte für das Kernsymbol $(N)$, das Guard–Intervall $(N_{\rm G})$ und den gesamten Rahmen $(N_{\rm R})$. | + | {Nennen Sie die jeweilige Anzahl der Abtastwerte für das Kernsymbol $(N)$, das Guard–Intervall $(N_{\rm G})$ und den gesamten Rahmen $(N_{\rm R})$. |
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$N \hspace{0.35cm} = \ $ { 8 } | $N \hspace{0.35cm} = \ $ { 8 } | ||
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$N_{\rm R} \ = \ $ { 12 } | $N_{\rm R} \ = \ $ { 12 } | ||
− | {Geben Sie unter der | + | {Geben Sie die Abtastwerte des Guard–Intervalls an, unter der Voraussetzung, dass lediglich der erste Träger mit dem Trägerkoeffizienten $-1$ verwendet wird. |
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$\text{Re}\big[d_{-1}\big] \ = \ $ { -714--0.700 } | $\text{Re}\big[d_{-1}\big] \ = \ $ { -714--0.700 } | ||
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$\beta\ = \ $ { 0.667 3% } | $\beta\ = \ $ { 0.667 3% } | ||
− | {Wie groß ist der damit verbundene SNR–Verlust $10 · \lg \ | + | {Wie groß ist der damit verbundene SNR–Verlust $10 · \lg \ Δρ$ (in dB) unter der Voraussetzung des Matched–Filter–Ansatzes? |
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− | $10 · \lg \ | + | $10 · \lg \ Δρ \ = \ $ { 1.76 3% } $\ \rm dB$ |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
− | '''(1)''' Die | + | '''(1)''' Die Grundsymboldauer ist gleich dem Kehrwert des Trägerabstands: |
:$$ T = {1}/{f_0} \hspace{0.15cm}\underline {= 250\,\,{\rm µ s}}.$$ | :$$ T = {1}/{f_0} \hspace{0.15cm}\underline {= 250\,\,{\rm µ s}}.$$ | ||
− | '''(2)''' Um Interferenzen zu vermeiden, ist die Dauer | + | '''(2)''' Um Interferenzen zu vermeiden, ist die Dauer $T_{\rm G}$ des Guard–Intervalls mindestens so groß zu wählen wie die maximale Kanalverzögerung $($hier: $τ_2 = 125\ \rm µ s)$: |
:$$ T_{\rm G} \hspace{0.15cm}\underline {= 125\,\,{\rm µ s}}.$$ | :$$ T_{\rm G} \hspace{0.15cm}\underline {= 125\,\,{\rm µ s}}.$$ | ||
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− | '''(4)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: | + | '''(4)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: |
− | *Durch eine Guardlücke geeigneter Länge können ausschließlich Impulsinterferenzen (ISI) vermieden werden. | + | *Durch eine Guardlücke geeigneter Länge können ausschließlich Impulsinterferenzen $\rm (ISI)$ vermieden werden. |
− | *Die Lückendauer $T_{\rm G}$ muss dabei so groß gewählt werden, dass das aktuelle Symbol durch das Vorgängersymbol nicht beeinträchtigt wird. | + | *Die Lückendauer $T_{\rm G}$ muss dabei so groß gewählt werden, dass das aktuelle Symbol durch das Vorgängersymbol nicht beeinträchtigt wird. |
− | *Im vorliegenden Beispiel muss $T_{\rm G}≥ 125\ \rm µ s$ sein. | + | *Im vorliegenden Beispiel muss $T_{\rm G}≥ 125\ \rm µ s$ sein. |
− | '''(5)''' <u>Beide Lösungsvorschläge</u> sind zutreffend: | + | '''(5)''' <u>Beide Lösungsvorschläge</u> sind zutreffend: |
− | *Durch ein zyklisches Präfix geeigneter Länge werden zusätzlich auch Intercarrier–Interferenzen (ICI) unterdrückt. | + | *Durch ein zyklisches Präfix geeigneter Länge werden zusätzlich auch Intercarrier–Interferenzen $\rm (ICI)$ unterdrückt. |
− | *Es wird damit sichergestellt, dass für alle Träger innerhalb der | + | *Es wird damit sichergestellt, dass für alle Träger innerhalb der Grundsymboldauer $T$ eine vollständige und unverfälschte Schwingung auftritt, <br>auch wenn andere Träger aktiv sind. |
− | '''(6)''' Die Anzahl der Abtastwerte innerhalb des | + | '''(6)''' Die Anzahl der Abtastwerte innerhalb des Grundsymbols ist gleich der Anzahl der Träger ⇒ $\underline{N=8}$. |
− | *Wegen $T_{\rm G}= T/2$ gilt $N_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 4}$ und damit $N_{\rm R} = N + N_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 12}$. | + | *Wegen $T_{\rm G}= T/2$ gilt $N_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 4}$ |
+ | *und damit $N_{\rm R} = N + N_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 12}$. | ||
− | '''(7)''' Die Belegung des ersten Trägers (Frequenz $f_0$ | + | '''(7)''' Die Belegung des ersten Trägers $($Frequenz $f_0)$ mit dem Koeffizienten „–1” führt zu den Abtastwerten |
:$$d_0 = -1, \hspace{0.3cm}d_1 = -0.707 - {\rm j} \cdot 0.707, \hspace{0.3cm}d_2 = -{\rm j} ,\hspace{0.3cm} d_3 = +0.707 -{\rm j} \cdot 0.707, $$ | :$$d_0 = -1, \hspace{0.3cm}d_1 = -0.707 - {\rm j} \cdot 0.707, \hspace{0.3cm}d_2 = -{\rm j} ,\hspace{0.3cm} d_3 = +0.707 -{\rm j} \cdot 0.707, $$ | ||
:$$d_4 = +1, \hspace{0.3cm}d_5 = +0.707 + {\rm j} \cdot 0.707, \hspace{0.3cm}d_6 = +{\rm j} ,\hspace{0.3cm} d_7 = -0.707 +{\rm j} \cdot 0.707. $$ | :$$d_4 = +1, \hspace{0.3cm}d_5 = +0.707 + {\rm j} \cdot 0.707, \hspace{0.3cm}d_6 = +{\rm j} ,\hspace{0.3cm} d_7 = -0.707 +{\rm j} \cdot 0.707. $$ | ||
− | Die zyklische Erweiterung liefert die zusätzlichen Abtastwerte $d_{-1} = d_7$, $d_{-2} = d_6$, $d_{-3} = d_5$ und $d_{-4} = d_4$: | + | *Die zyklische Erweiterung liefert die zusätzlichen Abtastwerte $d_{-1} = d_7$, $d_{-2} = d_6$, $d_{-3} = d_5$ und $d_{-4} = d_4$: |
:$$\underline{{\rm Re}[d_{-1}] = -0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Im}[d_{-1}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Re}[d_{-2}] = 0,\hspace{0.3cm} {\rm Im}[d_{-2}] = 1},$$ | :$$\underline{{\rm Re}[d_{-1}] = -0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Im}[d_{-1}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Re}[d_{-2}] = 0,\hspace{0.3cm} {\rm Im}[d_{-2}] = 1},$$ | ||
:$$\underline{{\rm Re}[d_{-3}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Im}[d_{-3}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Re}[d_{-4}] = 1,\hspace{0.3cm} {\rm Im}\{d_{-4}] = 0}.$$ | :$$\underline{{\rm Re}[d_{-3}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Im}[d_{-3}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Re}[d_{-4}] = 1,\hspace{0.3cm} {\rm Im}\{d_{-4}] = 0}.$$ | ||
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− | '''(9)''' | + | '''(9)''' Diese Bandbreiteneffizienz $β = 2/3$ führt zu einem SNR–Verlust von |
:$$10 \cdot {\rm{lg}}\hspace{0.04cm}\Delta \rho = 10 \cdot {\rm{lg}}\hspace{0.04cm}(\beta) \hspace{0.15cm}\underline {\approx1.76\,\,{\rm{dB}}}.$$ | :$$10 \cdot {\rm{lg}}\hspace{0.04cm}\Delta \rho = 10 \cdot {\rm{lg}}\hspace{0.04cm}(\beta) \hspace{0.15cm}\underline {\approx1.76\,\,{\rm{dB}}}.$$ | ||
Aktuelle Version vom 24. Januar 2022, 18:46 Uhr
Wir gehen in dieser Aufgabe von einem $\rm OFDM$–System mit $N = 8$ Trägern und zyklischem Präfix aus. Der Subträgerabstand sei $f_0 = 4 \ \rm kHz$ ⇒ Grundsymboldauer: $T=1/f_0$. Die Grafik zeigt das Prinzip des zyklischen Präfixes.
- Die Übertragung erfolgt über einen Zweiwegekanal, wobei beide Pfade verzögert sind. Die Kanalimpulsantwort lautet somit mit $τ_1 = \ \rm 50\ µs$ und $τ_2 = 125\ \rm µs$:
- $$ h(t) = h_1 \cdot \delta (t- \tau_1) + h_2 \cdot \delta (t- \tau_2).$$
- Der Einsatz eines solchen zyklischen Präfixes vermindert allerdings die Bandbreiteneffizienz $($Verhältnis von Symbolrate zu Bandbreite$)$ um den Faktor
- $$ \beta = \frac{1}{{1 + T_{\rm{G}} /T}}, $$
- und führt auch zu einer Verringerung des Signal–Rausch–Verhältnisses um ebenfalls diesen Wert β.
- Voraussetzung für die Gültigkeit des hier angegebenen SNR–Verlustes ist allerdings, dass die Impulsantworten $g_{\rm S}(t)$ und $g_{\rm E}(t)$ von Sende– und Empfangsfilter an die Symboldauer $T$ angepasst sind $($Matched–Filter–Ansatz$)$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Realisierung von OFDM-Systemen".
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten "Zyklisches Präfix" sowie "OFDM-System mit zyklischem Präfix".
Fragebogen
Musterlösung
- $$ T = {1}/{f_0} \hspace{0.15cm}\underline {= 250\,\,{\rm µ s}}.$$
(2) Um Interferenzen zu vermeiden, ist die Dauer $T_{\rm G}$ des Guard–Intervalls mindestens so groß zu wählen wie die maximale Kanalverzögerung $($hier: $τ_2 = 125\ \rm µ s)$:
- $$ T_{\rm G} \hspace{0.15cm}\underline {= 125\,\,{\rm µ s}}.$$
(3) Für die Rahmendauer gilt somit:
- $$ T_{\rm{R}} = T + T_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 375\,\,{\rm µ s}}.$$
(4) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:
- Durch eine Guardlücke geeigneter Länge können ausschließlich Impulsinterferenzen $\rm (ISI)$ vermieden werden.
- Die Lückendauer $T_{\rm G}$ muss dabei so groß gewählt werden, dass das aktuelle Symbol durch das Vorgängersymbol nicht beeinträchtigt wird.
- Im vorliegenden Beispiel muss $T_{\rm G}≥ 125\ \rm µ s$ sein.
(5) Beide Lösungsvorschläge sind zutreffend:
- Durch ein zyklisches Präfix geeigneter Länge werden zusätzlich auch Intercarrier–Interferenzen $\rm (ICI)$ unterdrückt.
- Es wird damit sichergestellt, dass für alle Träger innerhalb der Grundsymboldauer $T$ eine vollständige und unverfälschte Schwingung auftritt,
auch wenn andere Träger aktiv sind.
(6) Die Anzahl der Abtastwerte innerhalb des Grundsymbols ist gleich der Anzahl der Träger ⇒ $\underline{N=8}$.
- Wegen $T_{\rm G}= T/2$ gilt $N_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 4}$
- und damit $N_{\rm R} = N + N_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 12}$.
(7) Die Belegung des ersten Trägers $($Frequenz $f_0)$ mit dem Koeffizienten „–1” führt zu den Abtastwerten
- $$d_0 = -1, \hspace{0.3cm}d_1 = -0.707 - {\rm j} \cdot 0.707, \hspace{0.3cm}d_2 = -{\rm j} ,\hspace{0.3cm} d_3 = +0.707 -{\rm j} \cdot 0.707, $$
- $$d_4 = +1, \hspace{0.3cm}d_5 = +0.707 + {\rm j} \cdot 0.707, \hspace{0.3cm}d_6 = +{\rm j} ,\hspace{0.3cm} d_7 = -0.707 +{\rm j} \cdot 0.707. $$
- Die zyklische Erweiterung liefert die zusätzlichen Abtastwerte $d_{-1} = d_7$, $d_{-2} = d_6$, $d_{-3} = d_5$ und $d_{-4} = d_4$:
- $$\underline{{\rm Re}[d_{-1}] = -0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Im}[d_{-1}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Re}[d_{-2}] = 0,\hspace{0.3cm} {\rm Im}[d_{-2}] = 1},$$
- $$\underline{{\rm Re}[d_{-3}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Im}[d_{-3}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Re}[d_{-4}] = 1,\hspace{0.3cm} {\rm Im}\{d_{-4}] = 0}.$$
(8) Entsprechend der angegebenen Gleichung ist die Bandbreiteneffizienz gleich
- $$\beta = \frac{1}{1 + {T_{\rm{G}}}/{T}} = \frac{1}{1 + ({125\,\,{\rm \mu s}})/({250\,\,{\rm \mu s}})} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.667}.$$
(9) Diese Bandbreiteneffizienz $β = 2/3$ führt zu einem SNR–Verlust von
- $$10 \cdot {\rm{lg}}\hspace{0.04cm}\Delta \rho = 10 \cdot {\rm{lg}}\hspace{0.04cm}(\beta) \hspace{0.15cm}\underline {\approx1.76\,\,{\rm{dB}}}.$$