Aufgaben:Aufgabe 3.12: Cauchyverteilung: Unterschied zwischen den Versionen
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:$$F_x ( r ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(\it r/\rm 2).$$ | :$$F_x ( r ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(\it r/\rm 2).$$ | ||
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:$${\rm Pr} (|x| < 2) = 0.75 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline{=50\%}.$$ | :$${\rm Pr} (|x| < 2) = 0.75 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline{=50\%}.$$ | ||
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\frac{\it x^{\rm 2}}{\rm 1+(\it x/\rm 2)^{\rm 2}} \,\,{\rm d}x.$$ | \frac{\it x^{\rm 2}}{\rm 1+(\it x/\rm 2)^{\rm 2}} \,\,{\rm d}x.$$ | ||
| − | *Für große $x$ liefert der Integrand den konstanten Wert $4$. Deshalb divergiert das Integral. | + | *Für große $x$ liefert der Integrand den konstanten Wert $4$. Deshalb divergiert das Integral. |
*Mit $\sigma_x \to \infty$ liefert aber auch die Tschebyscheffsche Ungleichung keine auswertbare Schranke. | *Mit $\sigma_x \to \infty$ liefert aber auch die Tschebyscheffsche Ungleichung keine auswertbare Schranke. | ||
*„Natürliche“ Zufallsgrößen (physikalisch interpretierbar) können nie cauchyverteilt sein, da sie sonst eine unendlich große Leistung besitzen müssten. | *„Natürliche“ Zufallsgrößen (physikalisch interpretierbar) können nie cauchyverteilt sein, da sie sonst eine unendlich große Leistung besitzen müssten. | ||
| − | *Dagegen unterliegt eine „künstliche“ (oder mathematische) Zufallsgröße | + | *Dagegen unterliegt eine „künstliche“ (oder mathematische) Zufallsgröße nicht dieser Beschränkung. Beispiel: Der Quotient zweier mittelwertfreier Gaußgrößen. |
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Aktuelle Version vom 3. Februar 2022, 13:30 Uhr
WDF der Cauchyverteilung
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Cauchyverteilung ist wie folgt gegeben:
- $$f_x(x)=\frac{\rm 1}{\rm 2 \pi}\cdot \frac{\rm 1}{\rm 1+ (\it x/\rm 2)^{\rm 2}}.$$
Aus der Grafik ist bereits der extrem langsame Abfall des WDF–Verlaufs zu erkennen.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Weitere Verteilungen.
- Insbesondere wird auf die Seite "Cauchyverteilung" Bezug genommen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Vergleicht man die vorgegebene WDF mit der allgemeinen Gleichung im Theorieteil, so erkennt man, dass der Parameter $\lambda= 2$ ist.
- Daraus folgt (nach Integration über die WDF):
- $$F_x ( r ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(\it r/\rm 2).$$
- Insbesondere sind
- $$F_x ( r = +2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(1)=\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.75,$$
- $$F_x ( r = -2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(-1)=\frac{1}{2} - \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.25.$$
- Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich als die Differenz zu
- $${\rm Pr} (|x| < 2) = 0.75 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline{=50\%}.$$
(2) Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) ist $F_x ( r = 4 ) = 0.5 + 1/\pi = 0.852$.
- Damit gilt für die „komplementäre” Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr} (x > 4)= 0.148$.
- Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist aus Symmetriegründen doppelt so groß:
- $${\rm Pr} (|x| >4) \hspace{0.15cm}\underline{ = 29.6\%}.$$
(3) Alle Lösungsvorschläge treffen zu:
- Für die Varianz der Cauchyverteilung gilt nämlich:
- $$\sigma_x^{\rm 2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.15cm} \frac{\it x^{\rm 2}}{\rm 1+(\it x/\rm 2)^{\rm 2}} \,\,{\rm d}x.$$
- Für große $x$ liefert der Integrand den konstanten Wert $4$. Deshalb divergiert das Integral.
- Mit $\sigma_x \to \infty$ liefert aber auch die Tschebyscheffsche Ungleichung keine auswertbare Schranke.
- „Natürliche“ Zufallsgrößen (physikalisch interpretierbar) können nie cauchyverteilt sein, da sie sonst eine unendlich große Leistung besitzen müssten.
- Dagegen unterliegt eine „künstliche“ (oder mathematische) Zufallsgröße nicht dieser Beschränkung. Beispiel: Der Quotient zweier mittelwertfreier Gaußgrößen.
