Aufgaben:Aufgabe 3.7: Synchrondemodulator: Unterschied zwischen den Versionen

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Zur Rücksetzung eines amplitudenmodulierten Signals in den ursprünglichen Frequenzbereich verwendet man oft einen&nbsp; [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Blockschaltbild_und_Zeitbereichsdarstellung|Synchrondemodulator]]:
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*Dieser multipliziert das AM-Eingangssignal&nbsp; $r(t)$&nbsp; mit einem empfangsseitigen Trägersignal&nbsp; $z_{\rm E}(t)$, das sowohl hinsichtlich Frequenz $f_{\rm T}$&nbsp; als auch Phase&nbsp; $\varphi_{\rm T}$&nbsp; mit dem sendeseitigen Trägersignal&nbsp; $z_{\rm S}(t)$&nbsp; übereinstimmen sollte.
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*Es folgt ein rechteckförmiger Tiefpass zur Eliminierung aller spektralen Anteile oberhalb der Trägerfrequenz $f_{\rm T}$.&nbsp; Das Ausgangssignal des Synchrondemodulators nennen wir&nbsp; $v(t)$. 
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Das oben skizzierte Spektrum&nbsp; $R(f)$&nbsp; des Empfangssignals&nbsp; $r(t)$&nbsp; ist durch Zweiseitenband–Amplitudenmodulation eines sinusförmigen Quellensignals&nbsp; $q(t)$&nbsp; mit der Frequenz&nbsp; $5\,\text{kHz}$&nbsp; und der Amplitude&nbsp; $8\,\text{V}$&nbsp; entstanden.&nbsp; Als sendeseitiges Trägersignal&nbsp; $z_{\rm S}(t)$&nbsp; wurde ein Cosinussignal mit der Frequenz&nbsp; $30\,\text{kHz}$&nbsp; verwendet.
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Das Spektrum des empfangsseitigen Trägersignals&nbsp; $z_{\rm E}(t)$&nbsp; besteht entsprechend der unteren Skizze aus zwei Diraclinien, jeweils mit dem Gewicht&nbsp; $A/2$.&nbsp; Da&nbsp; $z_{\rm E}(t)$&nbsp; keine Einheit beinhalten soll, sind auch die Gewichte der Diracfunktionen dimensionslos.
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*Die Aufgabe gehört zum&nbsp;  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungssatz und Faltungsoperation]].
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*Wichtige Informationen finden Sie vor allem auf der Seite&nbsp; [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_einer_Funktion_mit_einer_Diracfunktion|Faltung einer Funktion mit einer Diracfunktion]].
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
  
 
<quiz display=simple>
 
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{Multiple-Choice Frage
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{Es gelte&nbsp; $f_{\rm T} = 30\,\text{kHz}$&nbsp; und&nbsp; $A=1$.&nbsp; Berechnen Sie das Ausgangssignal&nbsp; $v(t)$. <br>Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 50\, {\rm  &micro;} \text{s}$&nbsp; auf?
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{Wie groß muss die Amplitude des empfangsseitigen Trägersignals&nbsp; $z_{\rm E}(t)$&nbsp; gewählt werden, damit&nbsp; $v(t) = q(t)$&nbsp; gilt?
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|type="{}"}
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$A\ = \ $ { 2 3% }
  
{Input-Box Frage
+
{Berechnen Sie das Ausgangssignal&nbsp; $v(t)$&nbsp; unter den Voraussetzungen&nbsp; $A = 2$&nbsp; und&nbsp; $f_{\rm T} =  31\,\text{kHz}$. <br>Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt&nbsp; $ t = 50\, µ\text{s}$&nbsp; auf?
 
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$v(t = 50\, µ\text{s})\ = \ $  { 7.608 3% } &nbsp;$\text{V}$
 
 
 
 
  
 
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===Musterlösung===
 
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{{ML-Kopf}}
 
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'''1.'''  Antwort 1
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'''(1)'''&nbsp; Benennen wir das Signal nach dem Multiplizierer mit&nbsp; $m(t) = r(t) \cdot z_{\rm E}(t)$, so ist das zugehörige Spektrum&nbsp; $M(f)$&nbsp; das Faltungsprodukt aus&nbsp; $R(f)$&nbsp; und&nbsp; $Z_{\rm E}(f)$.  
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*Die Faltung des Spektrums&nbsp; $R(f)$&nbsp; mit der rechten Diraclinie bei&nbsp; $+30 \text{ kHz}$&nbsp; führt zu diskreten Spektrallinien bei&nbsp;  $-\hspace{-0.08cm}5\, \text{kHz}$,&nbsp; $+5 \,\text{kHz}$,&nbsp; $+55 \,\text{kHz}$&nbsp; und&nbsp; $+65 \,\text{kHz}$.&nbsp; Diese sind alle imaginär und gegenüber den Impulsgewichten von&nbsp; $R(f)$&nbsp; um den Faktor&nbsp; $A/2 = 0.5$&nbsp; kleiner.
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*Die Faltung von&nbsp; $R(f)$&nbsp; mit dem Dirac bei&nbsp; $-\hspace{-0.08cm}30 \,\text{kHz}$&nbsp; ergibt Linien bei&nbsp; $-\hspace{-0.08cm}65 \,\text{kHz}$,&nbsp; $-55 \,\text{kHz}$, $-5 \,\text{kHz}$&nbsp; und&nbsp;  $+5 \,\text{kHz}$.
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Durch Überlagerung der beiden Zwischenresultate und Berücksichtigung des Tiefpassfilters, der die Linien bei&nbsp; $\pm 55 \text{ kHz}$&nbsp; und&nbsp; $\pm 65 \text{ kHz}$&nbsp; unterdrückt, folgt somit für das Spektrum des Sinkensignals:
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:$$V( f) =  - {\rm{j}} \cdot 2\;{\rm{V}} \cdot \delta ( {f - f_{\rm N} }) + {\rm{j}} \cdot 2\;{\rm{V}} \cdot \delta ( {f + f_{\rm N} } )\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}f_{\rm N} = 5\;{\rm kHz}.$$
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*Das Sinkensignal&nbsp; $v(t)$&nbsp; ist also ein&nbsp; $5 \text{ kHz}$–Sinussignal mit der Amplitude&nbsp; $4 \text{ V}$.
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*Der Zeitpunkt&nbsp; $t = 50\, µ\text{s}$&nbsp; entspricht einem Viertel der Periodendauer&nbsp; $T_0 = 1/f_{\rm N} = 200\, µ\text{s}$.
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*Somit ist hier das Sinkensignal maximal, also&nbsp; $\underline{4 \text{ V}}$.
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'''(2)'''&nbsp; Mit&nbsp; $A = 1$&nbsp; ist&nbsp; $v(t)$&nbsp; nur halb so groß wie&nbsp; $q(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Mit&nbsp; $\underline{A = 2}$&nbsp; wären beide Signale gleich.
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'''(3)'''&nbsp; Die Diraclinien bei&nbsp; $\pm f_{\rm T}$&nbsp; haben jeweils das Gewicht&nbsp; $1$.&nbsp; Alle nachfolgend genannten Spektrallinien sind imaginär und betragsmäßig gleich&nbsp; $2 \text{ V}$.
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*Die Faltung von&nbsp; $R(f)$&nbsp; mit der rechten Diraclinie von&nbsp; $z_{\rm E}(t)$&nbsp; liefert Anteile bei&nbsp; $-\hspace{-0.08cm}4\, \text{kHz (p: positiv)}$,&nbsp;  $+6 \,\text{kHz (n: negativ)}$, $+56 \,\text{kHz (p)}$&nbsp; und&nbsp; $+66 \,\text{kHz (n)}$.
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*Dagegen führt die Faltung mit der linken Diracfunktion zu Spektrallinien bei&nbsp; $-\hspace{-0.08cm}66 \,\text{kHz (p)}$,&nbsp; $-\hspace{-0.08cm}56 \,\text{kHz (n)}$,&nbsp; $-\hspace{-0.08cm}6 \,\text{kHz (p)}$&nbsp; und&nbsp; $+4 \,\text{kHz (n)}$, alle ebenfalls mit den (betragsmäßigen) Impulsgewichten&nbsp; $2 \text{ V}$.
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*Unter Berücksichtigung des Tiefpasses verbleiben nur die vier Spektrallinien bei&nbsp; $\pm 4 \,\text{kHz}$&nbsp; und&nbsp; $\pm 6 \,\text{kHz}$.
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*Das dazugehörige Zeitsignal lautet somit mit&nbsp; $f_4 = 4 \,\text{kHz}$&nbsp; und&nbsp; $f_6 = 6 \,\text{kHz}$:
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:$$v( t ) = 4\;{\rm{V}} \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_4 t} ) + 4\;{\rm{V}} \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_6 t} ) \ne q( t ) = 8\;{\rm{V}} \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_5 t} ).$$
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*Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 50\, µ\text{s}$&nbsp; erhält man:
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:$$v( t = 50\, µ\text{s}) = 4\;{\rm{V}} \cdot \big[ {\sin \big ( {0.4{\rm{\pi }}} ) + \sin ( {0.6{\rm{\pi }}} )} \big]\hspace{0.15 cm}\underline{ = 7.608\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
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[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^3. Aperiodische Signale - Impulse^]]
 
[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^3. Aperiodische Signale - Impulse^]]

Aktuelle Version vom 28. April 2021, 12:20 Uhr

Die Spektralfunktionen  $R(f)$  und  $Z_{\rm E}(f)$

Zur Rücksetzung eines amplitudenmodulierten Signals in den ursprünglichen Frequenzbereich verwendet man oft einen  Synchrondemodulator:

  • Dieser multipliziert das AM-Eingangssignal  $r(t)$  mit einem empfangsseitigen Trägersignal  $z_{\rm E}(t)$, das sowohl hinsichtlich Frequenz $f_{\rm T}$  als auch Phase  $\varphi_{\rm T}$  mit dem sendeseitigen Trägersignal  $z_{\rm S}(t)$  übereinstimmen sollte.
  • Es folgt ein rechteckförmiger Tiefpass zur Eliminierung aller spektralen Anteile oberhalb der Trägerfrequenz $f_{\rm T}$.  Das Ausgangssignal des Synchrondemodulators nennen wir  $v(t)$.


Das oben skizzierte Spektrum  $R(f)$  des Empfangssignals  $r(t)$  ist durch Zweiseitenband–Amplitudenmodulation eines sinusförmigen Quellensignals  $q(t)$  mit der Frequenz  $5\,\text{kHz}$  und der Amplitude  $8\,\text{V}$  entstanden.  Als sendeseitiges Trägersignal  $z_{\rm S}(t)$  wurde ein Cosinussignal mit der Frequenz  $30\,\text{kHz}$  verwendet.

Das Spektrum des empfangsseitigen Trägersignals  $z_{\rm E}(t)$  besteht entsprechend der unteren Skizze aus zwei Diraclinien, jeweils mit dem Gewicht  $A/2$.  Da  $z_{\rm E}(t)$  keine Einheit beinhalten soll, sind auch die Gewichte der Diracfunktionen dimensionslos.





Hinweise:



Fragebogen

1

Es gelte  $f_{\rm T} = 30\,\text{kHz}$  und  $A=1$.  Berechnen Sie das Ausgangssignal  $v(t)$.
Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt  $t = 50\, {\rm µ} \text{s}$  auf?

$v(t = 50\, µ\text{s})\ = \ $

 $\text{V}$

2

Wie groß muss die Amplitude des empfangsseitigen Trägersignals  $z_{\rm E}(t)$  gewählt werden, damit  $v(t) = q(t)$  gilt?

$A\ = \ $

3

Berechnen Sie das Ausgangssignal  $v(t)$  unter den Voraussetzungen  $A = 2$  und  $f_{\rm T} = 31\,\text{kHz}$.
Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt  $ t = 50\, µ\text{s}$  auf?

$v(t = 50\, µ\text{s})\ = \ $

 $\text{V}$


Musterlösung

(1)  Benennen wir das Signal nach dem Multiplizierer mit  $m(t) = r(t) \cdot z_{\rm E}(t)$, so ist das zugehörige Spektrum  $M(f)$  das Faltungsprodukt aus  $R(f)$  und  $Z_{\rm E}(f)$.

  • Die Faltung des Spektrums  $R(f)$  mit der rechten Diraclinie bei  $+30 \text{ kHz}$  führt zu diskreten Spektrallinien bei  $-\hspace{-0.08cm}5\, \text{kHz}$,  $+5 \,\text{kHz}$,  $+55 \,\text{kHz}$  und  $+65 \,\text{kHz}$.  Diese sind alle imaginär und gegenüber den Impulsgewichten von  $R(f)$  um den Faktor  $A/2 = 0.5$  kleiner.
  • Die Faltung von  $R(f)$  mit dem Dirac bei  $-\hspace{-0.08cm}30 \,\text{kHz}$  ergibt Linien bei  $-\hspace{-0.08cm}65 \,\text{kHz}$,  $-55 \,\text{kHz}$, $-5 \,\text{kHz}$  und  $+5 \,\text{kHz}$.


Durch Überlagerung der beiden Zwischenresultate und Berücksichtigung des Tiefpassfilters, der die Linien bei  $\pm 55 \text{ kHz}$  und  $\pm 65 \text{ kHz}$  unterdrückt, folgt somit für das Spektrum des Sinkensignals:

$$V( f) = - {\rm{j}} \cdot 2\;{\rm{V}} \cdot \delta ( {f - f_{\rm N} }) + {\rm{j}} \cdot 2\;{\rm{V}} \cdot \delta ( {f + f_{\rm N} } )\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}f_{\rm N} = 5\;{\rm kHz}.$$
  • Das Sinkensignal  $v(t)$  ist also ein  $5 \text{ kHz}$–Sinussignal mit der Amplitude  $4 \text{ V}$.
  • Der Zeitpunkt  $t = 50\, µ\text{s}$  entspricht einem Viertel der Periodendauer  $T_0 = 1/f_{\rm N} = 200\, µ\text{s}$.
  • Somit ist hier das Sinkensignal maximal, also  $\underline{4 \text{ V}}$.


(2)  Mit  $A = 1$  ist  $v(t)$  nur halb so groß wie  $q(t)$   ⇒   Mit  $\underline{A = 2}$  wären beide Signale gleich.


(3)  Die Diraclinien bei  $\pm f_{\rm T}$  haben jeweils das Gewicht  $1$.  Alle nachfolgend genannten Spektrallinien sind imaginär und betragsmäßig gleich  $2 \text{ V}$.

  • Die Faltung von  $R(f)$  mit der rechten Diraclinie von  $z_{\rm E}(t)$  liefert Anteile bei  $-\hspace{-0.08cm}4\, \text{kHz (p: positiv)}$,  $+6 \,\text{kHz (n: negativ)}$, $+56 \,\text{kHz (p)}$  und  $+66 \,\text{kHz (n)}$.
  • Dagegen führt die Faltung mit der linken Diracfunktion zu Spektrallinien bei  $-\hspace{-0.08cm}66 \,\text{kHz (p)}$,  $-\hspace{-0.08cm}56 \,\text{kHz (n)}$,  $-\hspace{-0.08cm}6 \,\text{kHz (p)}$  und  $+4 \,\text{kHz (n)}$, alle ebenfalls mit den (betragsmäßigen) Impulsgewichten  $2 \text{ V}$.
  • Unter Berücksichtigung des Tiefpasses verbleiben nur die vier Spektrallinien bei  $\pm 4 \,\text{kHz}$  und  $\pm 6 \,\text{kHz}$.
  • Das dazugehörige Zeitsignal lautet somit mit  $f_4 = 4 \,\text{kHz}$  und  $f_6 = 6 \,\text{kHz}$:
$$v( t ) = 4\;{\rm{V}} \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_4 t} ) + 4\;{\rm{V}} \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_6 t} ) \ne q( t ) = 8\;{\rm{V}} \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_5 t} ).$$
  • Zum Zeitpunkt  $t = 50\, µ\text{s}$  erhält man:
$$v( t = 50\, µ\text{s}) = 4\;{\rm{V}} \cdot \big[ {\sin \big ( {0.4{\rm{\pi }}} ) + \sin ( {0.6{\rm{\pi }}} )} \big]\hspace{0.15 cm}\underline{ = 7.608\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$