Aufgaben:Aufgabe 3.1: Spektrum des Exponentialimpulses: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 21. April 2021, 13:44 Uhr

Exponentialimpuls

In dieser Aufgabe wird ein kausales Signal $x(t)$ betrachtet,

das zum Zeitpunkt $t = 0$ sprungartig von Null auf $A$ ansteigt, und
für Zeiten $t > 0$ exponentiell mit der Zeitkonstanten $T$ abfällt:

$$x(t) = A \cdot {\rm e}^{ - t/T} .$$

An der Sprungstelle zum Zeitpunkt $t = 0$ gilt $x(t = 0) = A/2$.

Verwenden Sie für die numerischen Berechnungen folgende Parameter:

$$A = 3 \hspace{0.1cm} {\rm V}, \hspace{0.4cm} T = 1 \hspace{0.1cm} {\rm ms} .$$

Die zu berechnende Spektralfunktion $X(f)$ wird komplex sein und kann daher

nach Real– und Imaginärteil, aber auch
nach Betrag und Phase

dargestellt werden. Verwenden Sie hierbei die Notation:

$$X( f ) = \left| {X( f )} \right| \cdot {\rm e}^{ - {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi( f )} .$$

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fouriertransformation und –rücktransformation.

Fragebogen

$\text{Re}[X(f=0)] \ = \ $

$\rm mV/Hz$

$\text{Im}[X(f=0)] \ = \ $

$\rm mV/Hz$

$\text{Re}[X(f=f_0)] \ = \ $

$\rm mV/Hz$

$\text{Im}[X(f=f_0)] \ = \ $

$\rm mV/Hz$

$|X(f=f_0)| \hspace{0.25cm} = \ $

$\rm mV/Hz$

$|X(f\rightarrow \infty)| \ = \ $

$\rm mV/Hz$

$\varphi(f=f_0) \hspace{0.25cm} = \ $

$\rm rad$

$\varphi(f \rightarrow \infty) \ = \ $

$\rm rad$

Musterlösung

(1) Mit dem ersten Fourierintegral erhält man:

$$X( f ) = \int_0^\infty {A \cdot {\rm e}^{ - t\left( {1/T + {\rm j \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}}2\pi f} \right)} } {\rm d}t = \left. {\frac{ { - A}}{ {1/T + {\rm j}2\pi f}} \cdot {\rm e}^{ - t\left( {1/T + {\rm j}2\pi f} \right)} } \right|_0^\infty .$$

Die obere Integralgrenze $(t \rightarrow \infty)$ ergibt Null, die untere Grenze $(t = 0)$ den Wert $1$. Somit gilt:

$$X(f) = \frac{ {A \cdot T}}{ {1 + {\rm j}2\pi fT}}\hspace{0.3 cm}\Rightarrow\hspace{0.3 cm} X( {f = 0}) = A \cdot T{ = 3 \cdot 10^{ - 3}\; {\rm V/Hz}} \hspace{0.15 cm}\underline{ = 3 \; {\rm mV/Hz}}.$$

Bei der Frequenz $f = 0$ ist demnach das Spektrum rein reell:

$$\text{Re}[X(f=0)] \hspace{0.15 cm}\underline{ = 3 \; {\rm mV/Hz}} \hspace{1.15 cm}\text{Im}[X(f=0)] \hspace{0.15 cm}\underline{ =0}.$$

(2) Mit den Abkürzungen $X_0 = A \cdot T$ und $f_0 = 1/(2\pi T)$ lautet die Spektralfunktion:

$$X( f) = \frac{ {X_0 }}{ {1 +{\rm j} \cdot f/f_0 }} = \frac{ {X_0 }}{ {1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }} \cdot \left( {1 - {\rm j} \cdot f/f_0 } \right).$$

Aufgeteilt nach Real- und Imaginärteil ergibt dies:

$${\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X(f)}] = \frac{ {X_0 }}{{1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }}, \hspace{0.5 cm}{\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X(f)}] = - \frac{ {X_0 \cdot f/f_0 }}{ {1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }}.$$

Bei der Frequenz $f_0$ ist

der Realteil gleich $X_0/2 \hspace{0.15 cm}\underline{ = 1.5 \; {\rm mV/Hz}},$
der Imaginärteil gleich $–X_0/2 \hspace{0.15 cm}\underline{ = \hspace{0.1 cm}-1.5 \; {\rm mV/Hz}}.$

(3) Der Betrag einer komplexwertigen Funktion, die als Quotient vorliegt, ist gleich dem Quotienten der Beträge von Zähler und Nenner.

Betragsspektrum des Exponentialimpulses

Damit erhält man:

$$ \left| {X( f)} \right| =\frac{ {X_0 }}{ {\left| 1 +{\rm j} \cdot f/ {f_0 } \right|}} = \frac{ {X_0 }}{{\sqrt {1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 } }},$$

$$\Rightarrow \hspace{0.5 cm} \left| {X( {f = f_0} )} \right| = { {X_0 }}/{ {\sqrt 2 }}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 2.12 \;{\rm mV/Hz}}.$$

Bei sehr großen Frequenzen $(f \rightarrow \infty)$ ist der Betrag nahezu Null (siehe Skizze).

(4) Für die Phasenfunktion gilt allgemein:

$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\frac{ { - {\mathop{\rm Im}\nolimits}[{X(f)} ]}}{{ {\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X(f)} ]}}} \right) = \arctan \left( {f/f_0 } \right).$$

Für $f = f_0$ ergibt sich $\arctan(1)= \pi /4 \hspace{0.15 cm}\underline{\approx 0.785}$.
Für sehr große Werte von $f$ nähert sich die Phasenfunktion dem Wert $\arctan(\infty) = \pi /2 \hspace{0.15 cm}\underline{ \approx 1.571}$ an.
Beide Angaben sind im Bogenmaß („Radian”) zu verstehen.

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-{{quiz-Header|Buchseite=*Buch*/*Kapitel*
+{{quiz-Header|Buchseite=Signaldarstellung/Fouriertransformation und -rücktransformation
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-[[Datei:P_ID494__Sig_A_3_1.png|250px|right|Exponentialimpuls (Aufgabe A3.1)]]
+[[Datei:P_ID494__Sig_A_3_1.png|right|frame|Exponentialimpuls]]
-In dieser Aufgabe wird ein kausales Signal $x(t)$ betrachtet, das zum Zeitpunkt $t = 0$ sprungartig von 0 auf $A$ ansteigt und für Zeiten $t > 0$ exponentiell mit der Zeitkonstanten $T$ abfällt:
+In dieser Aufgabe wird ein kausales Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; betrachtet,
+*das zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; sprungartig von Null auf&nbsp; $A$&nbsp; ansteigt, und
+*für Zeiten&nbsp; $t > 0$&nbsp; exponentiell mit der Zeitkonstanten&nbsp; $T$&nbsp; abfällt:
-$$x(t) = A \cdot {\rm e}^{ - t/T} .$$
+:$$x(t) = A \cdot {\rm e}^{ - t/T} .$$
-An der Sprungstelle zum Zeitpunkt $t = 0$ gilt $x(t = 0) = A/2$.
+An der Sprungstelle zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; gilt&nbsp; $x(t = 0) = A/2$.
-Verwenden Sie für die numerischen Berechnungen die Parameter
+Verwenden Sie für die numerischen Berechnungen folgende Parameter:
-$$A = 3 \hspace{0.1cm} {\rm V}, \hspace{0.2cm} T = 1 \hspace{0.1cm} {\rm ms} .$$
+:$$A = 3 \hspace{0.1cm} {\rm V}, \hspace{0.4cm} T = 1 \hspace{0.1cm} {\rm ms} .$$
-Die zu berechnende Spektralfunktion $X(f)$ wird komplex sein und kann daher nach Real– und Imaginärteil, aber auch nach Betrag und Phase dargestellt werden. Verwenden Sie die Notation:
+Die zu berechnende Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; wird komplex sein und kann daher
+*nach Real– und Imaginärteil, aber auch
+*nach Betrag und Phase
+dargestellt werden. Verwenden Sie hierbei die Notation:
+:$$X( f ) = \left| {X( f )} \right| \cdot {\rm e}^{ - {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi( f )} .$$
+''Hinweis:''
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Fouriertransformation und &ndash;rücktransformation]].
-$$X( f ) = \left| {X( f )} \right| \cdot {\rm e}^{ - {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi( f )} .$$
 ===Fragebogen===
-{Berechnen Sie die Spektralfunktion $X(f)$. Welcher Spektralwert ergibt sich bei der Frequenz $f = 0$?
+<quiz display=simple>
+{Berechnen Sie die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$.&nbsp; Welcher Spektralwert ergibt sich bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$?
 |type="{}"}
-$\text{Re}[X(f=0)] = $ {3 3%} mV/Hz
+$\text{Re}[X(f=0)] \ = \ $ { 3 3% }  &nbsp;$\rm mV/Hz$
-$\text{Im}[X(f=0)] = $ { 00 } mV/Hz
+$\text{Im}[X(f=0)] \ = \  $ { 0. } &nbsp;$\rm mV/Hz$
-{Wie lauten der Real– und der Imaginärteil von $X(f)$ unter Verwendung von $f_0 = 1/(2\pi T)$. Welche Werte weisen diese Funktionen bei $f = f_0$ auf?
+{Wie lauten der Real– und der Imaginärteil von&nbsp; $X(f)$&nbsp; unter Verwendung von&nbsp; $f_0 = 1/(2\pi T)$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich bei&nbsp; $f = f_0$?
 |type="{}"}
-$\text{Re}[X(f=f_0)] = $ {1.5 3%} mV/Hz
+$\text{Re}[X(f=f_0)] \ = \  $ { 1.5 3% } &nbsp;$\rm mV/Hz$
-$\text{Im}[X(f=f_0)] = $ { -1.5 3% } mV/Hz
+$\text{Im}[X(f=f_0)] \ = \  $ { -1.55--1.45 } &nbsp;$\rm mV/Hz$
-{Berechnen Sie die Betragsfunktion $|X(f)|$. Welche Werte ergeben sich bei der Frequenz $f = f_0$ und bei sehr großen Frequenzen?
+{Berechnen Sie die Betragsfunktion&nbsp; $|X(f)|$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich bei der Frequenz&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und bei sehr großen Frequenzen?
 |type="{}"}
-$|X(f=f_0)| = $ {2.12 3%} mV/Hz
+$|X(f=f_0)| \hspace{0.25cm} = \  $ { 2.12 3% } &nbsp;$\rm mV/Hz$
-$|X(f\rightarrow \infty)| = $ { 00 } mV/Hz
+$|X(f\rightarrow \infty)| \ = \  $ { 0. } &nbsp;$\rm mV/Hz$
-{Berechnen Sie die Phasenfunktion $\phi(f)$. Welche Werte ergeben sich hierfür bei der Frequenz $f = f_0$ und bei sehr großen Frequenzen?
+{Berechnen Sie die Phasenfunktion&nbsp; $\varphi(f)$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich hierfür bei der Frequenz&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und bei sehr großen Frequenzen?
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-$\phi(f=f_0) = $ {0.785 3%} rad
+$\varphi(f=f_0) \hspace{0.25cm} = \  $ { 0.785 3% } &nbsp;$\rm rad$
-$\phi(f \rightarrow \infty) $ { 00 } rad
+$\varphi(f \rightarrow \infty) \ = \ $ { 1.571 3% } &nbsp;$\rm rad$
 </quiz>
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.''' Mit dem ersten Fourierintegral erhält man:
+'''(1)'''&nbsp;  Mit dem ersten Fourierintegral erhält man:
-$$X( f ) = \int_0^\infty  {A \cdot {\rm e}^{ - t\left( {1/T + {\rm j \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}}2\pi f} \right)} } {\rm d}t = \left. {\frac{{ - A}}{{1/T + {\rm j}2\pi f}} \cdot {\rm e}^{ - t\left( {1/T + {\rm j}2\pi f} \right)} } \right|_0^\infty  .$$
+:$$X( f ) = \int_0^\infty  {A \cdot {\rm e}^{ - t\left( {1/T + {\rm j \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}}2\pi f} \right)} } {\rm d}t = \left. {\frac{ { - A}}{ {1/T + {\rm j}2\pi f}} \cdot {\rm e}^{ - t\left( {1/T + {\rm j}2\pi f} \right)} } \right|_0^\infty  .$$
-Die obere Integralgrenze $(t \rightarrow \infty)$ ergibt 0, die untere Grenze $(t = 0)$ den Wert 1. Somit gilt:
+*Die obere Integralgrenze&nbsp; $(t \rightarrow \infty)$&nbsp; ergibt Null, die untere Grenze&nbsp; $(t = 0)$&nbsp; den Wert&nbsp; $1$.&nbsp; Somit gilt:
-$$X(f) = \frac{{A \cdot T}}{{1 + {\rm j}2\pi fT}}\hspace{0.3 cm}\Rightarrow\hspace{0.3 cm}
+:$$X(f) = \frac{ {A \cdot T}}{ {1 + {\rm j}2\pi fT}}\hspace{0.3 cm}\Rightarrow\hspace{0.3 cm}
-X( {f = 0}) = A \cdot T\hspace{0.15 cm}\underline{ = 3 \cdot 10^{ - 3}\; {\rm V/Hz}}.$$
+X( {f = 0}) = A \cdot T{ = 3 \cdot 10^{ - 3}\; {\rm V/Hz}} \hspace{0.15 cm}\underline{ = 3 \; {\rm mV/Hz}}.$$
+*Bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ist demnach das Spektrum rein reell:
+:$$\text{Re}[X(f=0)] \hspace{0.15 cm}\underline{ = 3 \; {\rm mV/Hz}}&nbsp; \hspace{1.15 cm}\text{Im}[X(f=0)] \hspace{0.15 cm}\underline{ =0}.$$
-Bei der Frequenz $f = 0$ ist demnach das Spektrum rein reell.
-'''2.''' Mit den Abkürzungen $X_0 = A \cdot T$ und $f_0 = 1/(2\pi T)$ lautet die Spektralfunktion:
+'''(2)'''&nbsp; Mit den Abkürzungen&nbsp; $X_0 = A \cdot T$&nbsp; und&nbsp; $f_0 = 1/(2\pi T)$&nbsp; lautet die Spektralfunktion:
-$$X( f) = \frac{{X_0 }}{{1 +{\rm j} \cdot f/f_0 }} = \frac{{X_0 }}{{1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }} \cdot \left( {1 - {\rm j} \cdot f/f_0 } \right).$$
+:$$X( f) = \frac{ {X_0 }}{ {1 +{\rm j} \cdot f/f_0 }} = \frac{ {X_0 }}{ {1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }} \cdot \left( {1 - {\rm j} \cdot f/f_0 } \right).$$
 Aufgeteilt nach Real- und Imaginärteil ergibt dies:
+$${\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X(f)}] = \frac{ {X_0 }}{{1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }},
+\hspace{0.5 cm}{\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X(f)}] =  - \frac{ {X_0  \cdot f/f_0 }}{ {1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }}.$$
-$${\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X(f)}] = \frac{{X_0 }}{{1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }},
+Bei der Frequenz&nbsp; $f_0$&nbsp; ist
-\hspace{0.5 cm}{\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X(f)}] =  - \frac{{X_0  \cdot f/f_0 }}{{1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }}.$$
+*der Realteil gleich&nbsp;  $X_0/2  \hspace{0.15 cm}\underline{ = 1.5 \; {\rm mV/Hz}},$
+*der Imaginärteil gleich&nbsp; $–X_0/2 \hspace{0.15 cm}\underline{ = \hspace{0.1 cm}-1.5 \; {\rm mV/Hz}}.$
-[[Datei:P_ID548__Sig_A_3_1_c_neu.png|250px|right|Spektrum des Exponentialimpulses (ML zu Aufgabe A3.1)]]
-Bei der Frequenz $f_0$ ist
+'''(3)'''&nbsp; Der Betrag einer komplexwertigen Funktion, die als Quotient vorliegt, ist gleich dem Quotienten der Beträge von Zähler und Nenner.
-der Realteil gleich
+[[Datei:P_ID548__Sig_A_3_1_c_neu.png|right|frame|Betragsspektrum des Exponentialimpulses]]
-$X_0/2 = 1.5 mV/Hz, und
-der Imaginärteil gleich
+*Damit erhält man:
-$–X_0/2 = –1.5 mV/Hz.
+:$$ \left| {X( f)} \right| =\frac{ {X_0 }}{ {\left| 1 +{\rm j} \cdot f/ {f_0 } \right|}} = \frac{ {X_0 }}{{\sqrt {1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 } }},$$
-'''3.''' Der Betrag einer komplexwertigen Funktion, die als Quotient vorliegt, ist gleich dem Quotienten der Beträge von Zähler und Nenner. Damit erhält man:
+:$$\Rightarrow \hspace{0.5 cm} \left| {X( {f = f_0} )} \right| = { {X_0 }}/{ {\sqrt 2 }}\hspace{0.15 cm}\underline{  = 2.12 \;{\rm mV/Hz}}.$$
-$$\left| {X( f)} \right| =\frac{{X_0 }}{{\left| 1 +{\rm j} \cdot f/ {f_0 } \right|}} = \frac{{X_0 }}{{\sqrt {1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 } }},$$
+*Bei sehr großen Frequenzen&nbsp; $(f \rightarrow \infty)$&nbsp; ist der Betrag <u>nahezu Null</u> (siehe Skizze).
-$$\left| {X( {f = f_0} )} \right| = {{X_0 }}/{{\sqrt 2 }}\hspace{0.15 cm}\underline{  = 2.12 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm V/Hz}}.$$
-Bei sehr großen Frequenzen $(f \rightarrow \infty)$ ist der Betrag nahezu 0 (siehe Skizze).
-'''4.''' Für die Phasenfunktion gilt allgemein:
+'''(4)'''&nbsp; Für die Phasenfunktion gilt allgemein:
-$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\frac{{ - {\mathop{\rm Im}\nolimits}[{X(f)} ]}}{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X(f)} ]}}} \right) = \arctan \left( {f/f_0 } \right).$$
+:$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\frac{ { - {\mathop{\rm Im}\nolimits}[{X(f)} ]}}{{ {\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X(f)} ]}}} \right) = \arctan \left( {f/f_0 } \right).$$
-Für $f = f_0$ ergibt sich $\arctan(1)= \pi /4 \approx 0.785$, für sehr große Werte von $f$ nähert sich die Phasenfunktion dem Wert $\arctan(\infty) = \pi /2 \approx 1.571$ an. Beide Angaben sind im Bogenmaß („Radian”) zu verstehen.
+*Für&nbsp; $f = f_0$&nbsp; ergibt sich&nbsp; $\arctan(1)= \pi /4 \hspace{0.15 cm}\underline{\approx 0.785}$.
+* Für sehr große Werte von&nbsp; $f$&nbsp; nähert sich die Phasenfunktion dem Wert&nbsp; $\arctan(\infty) = \pi /2 \hspace{0.15 cm}\underline{ \approx 1.571}$&nbsp; an.
+*Beide Angaben sind im Bogenmaß („Radian”) zu verstehen.
 {{ML-Fuß}}