Aufgaben:Aufgabe 2.3: cos- und sin-Anteil: Unterschied zwischen den Versionen
Aus LNTwww
David (Diskussion | Beiträge) |
|||
| (19 dazwischenliegende Versionen von 3 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
| Zeile 3: | Zeile 3: | ||
}} | }} | ||
| − | [[Datei: | + | [[Datei: P_ID278_Sig_A_2_3neu.png|right|frame|Spektrum von Cosinus- und Sinusanteilen]] |
| − | Gegeben ist das Amplitudenspektrum $X(f)$ eines Signals $x(t)$. | + | Gegeben ist das Amplitudenspektrum $X(f)$ eines Signals $x(t)$ entsprechend der Grafik. |
| − | Die Normierungsfrequenz sei $f_1 = 4$ | + | *Die Normierungsfrequenz sei $f_1 = 4\,\text{kHz}$. |
| − | + | *Damit liegen die tatsächlichen Frequenzen der Signalanteile bei $0\,\text{kHz}$, $4\,\text{kHz}$ und $10\,\text{kHz}$. | |
| − | $$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{\rm d | + | |
| + | Dieses Signal $x(t)$ liegt am Eingang eines linearen Differenzierers, dessen Ausgang mit $\omega_1 = 2\pi f_1$ wie folgt dargestellt werden kann: | ||
| + | |||
| + | :$$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{ {\rm d} x(t)}{{\rm d} t}.$$ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | ''Hinweis:'' | ||
| + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung|Harmonische Schwingung]]. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | {Geben Sie $x(t)$ analytisch an. Wie groß ist der Signalwert bei $t = 0$? | + | {Geben Sie $x(t)$ analytisch an. Wie groß ist der Signalwert bei $t = 0$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $x(t=0)$ | + | $x(t=0)\ = \ $ { 1 3% } ${\rm V}$ |
| − | {Wie groß ist die Periodendauer des Signals $x(t)$? | + | {Wie groß ist die Periodendauer des Signals $x(t)$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $T_0$ | + | $T_0\ = \ $ { 0.5 3% } ${\rm ms}$ |
| − | {Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t)$ des Differenzierers. Wie groß ist der Signalwert zum Zeitpunkt $t = 0$? | + | {Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t)$ des Differenzierers. Wie groß ist der Signalwert zum Zeitpunkt $t = 0$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $y(t=0)$ | + | $y(t=0)\ = \ $ { 10 3% } ${\rm V}$ |
| − | {Welche der | + | {Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich des Signals $y(t)$ bzw. seines Spektrums $Y(f)$ zutreffend? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
| − | + $y(t)$ hat die gleiche Periodendauer wie das Signal $x(t)$. | + | + $y(t)$ hat die gleiche Periodendauer wie das Signal $x(t)$. |
| − | - $Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei der Frequenz $f | + | - $Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei der Frequenz $f = 0$. |
| − | - $Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei $f_1$ mit Gewicht j · | + | - $Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei $+f_1$ mit dem Gewicht $\rm{j} · 1\,{\rm V}$. |
| − | + $Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei | + | + $Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei $–\hspace{-0.1cm}2.5 \cdot f_1$ mit dem Gewicht $5\,{\rm V}$. |
| Zeile 39: | Zeile 57: | ||
===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | '''1 | + | [[Datei:P_ID293__Sig_A_2_3_a.png|right|frame|Summensignal aus Cosinus- und Sinusanteilen]] |
| + | '''(1)''' Das Zeitsignal hat die folgende Form: | ||
| − | $$x(t)=\rm 3V-2V\cdot \cos( | + | :$$x(t)={\rm 3V}-{\rm 2V}\cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t)+{\rm 4V} \cdot \sin(2.5 \cdot \omega_{\rm 1} \cdot t).$$ |
| + | |||
| + | *Hierbei bezeichnet $\omega_1 = 2\pi f_1$ die Kreisfrequenz des Cosinusanteils. | ||
| + | *Zum Zeitpunkt $t = 0$ hat das Signal den Wert $x(t=0)\hspace{0.15 cm}\underline{=1\,\rm V}$. | ||
| + | |||
| − | |||
| − | + | '''(2)''' Die Grundfrequenz $f_0$ ist der größte gemeinsame Teiler | |
| + | *von $f_1 = 4{\,\rm kHz}$ | ||
| + | *und $2.5 · f_1 = 10{\,\rm kHz}$. | ||
| − | |||
| − | '''3 | + | Daraus folgt $f_0 = 2{\,\rm kHz}$ ⇒ Periodendauer $T_0 = 1/f_0 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.5 {\,\rm ms}}$. |
| + | <br clear=all> | ||
| + | [[Datei:P_ID294__Sig_A_2_3_d_neu.png|right|300px|frame|Spektrum mit diskreten Anteilen]] | ||
| + | '''(3)''' Für das Ausgangssignal $y(t)$ des Differenzierers gilt: | ||
| − | $$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{ {\rm d}x(t)}{{\rm d}t}=\frac{ {\rm -2V}}{\omega_1}\cdot\omega_1 \cdot (-\sin(\omega_1 t))+\frac{\rm 4V}{\omega_1}\cdot 2.5\omega_1\cdot {\rm cos}(2.5\omega_1t).$$ | + | :$$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{ {\rm d}x(t)}{{\rm d}t}=\frac{ {\rm -2V}}{\omega_1}\cdot\omega_1 \cdot (-\sin(\omega_1 t))+\frac{\rm 4V}{\omega_1}\cdot 2.5\omega_1\cdot {\rm cos}(2.5\omega_1t).$$ |
| − | Dies führt zum Ergebnis: | + | *Dies führt zum Ergebnis: |
| − | $$y(t)={\rm 2V}\cdot\sin(\omega_1 t)+{\rm 10V}\cdot\cos(2.5\omega_1 t).$$ | + | :$$y(t)={\rm 2V}\cdot\sin(\omega_1 t)+{\rm 10V}\cdot\cos(2.5\omega_1 t).$$ |
| − | + | *Für $t = 0$ ergibt sich der Wert $y(t=0)\hspace{0.15cm}\underline{=10\,\rm V}$. | |
| + | *Rechts ist das Spektrum $Y(f)$ dargestellt. | ||
| + | |||
| − | |||
| − | '''4 | + | '''(4)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>: |
| − | Der Gleichanteil verschwindet aufgrund der Differentiation. Der Anteil bei $f_1$ ist sinusförmig. Somit hat $X(f)$ einen (imaginären) Dirac bei $f = f_1$, jedoch mit negativem Vorzeichen. Der Cosinusanteil mit der Amplitude 10 V hat die beiden Diracfunktionen bei $\pm 2.5 \cdot f_1$ zur Folge, jeweils mit dem Gewicht 5 V | + | *Die Periodendauer $T_0$ wird durch die Amplitude und die Phase der beiden Anteile nicht verändert. |
| + | *Das bedeutet, dass weiterhin $T_0 = 0.5 {\,\rm ms}$ gilt. | ||
| + | *Der Gleichanteil verschwindet aufgrund der Differentiation. | ||
| + | *Der Anteil bei $f_1$ ist sinusförmig. Somit hat $X(f)$ einen (imaginären) Dirac bei $f = f_1$, jedoch mit negativem Vorzeichen. | ||
| + | *Der Cosinusanteil mit der Amplitude ${10\,\rm V}$ hat die beiden Diracfunktionen bei $\pm 2.5 \cdot f_1$ zur Folge, jeweils mit dem Gewicht ${5\,\rm V}$ . | ||
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} | ||
__NOEDITSECTION__ | __NOEDITSECTION__ | ||
[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^2. Periodische Signale^]] | [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^2. Periodische Signale^]] | ||
Aktuelle Version vom 13. April 2021, 15:16 Uhr
Spektrum von Cosinus- und Sinusanteilen
Gegeben ist das Amplitudenspektrum $X(f)$ eines Signals $x(t)$ entsprechend der Grafik.
- Die Normierungsfrequenz sei $f_1 = 4\,\text{kHz}$.
- Damit liegen die tatsächlichen Frequenzen der Signalanteile bei $0\,\text{kHz}$, $4\,\text{kHz}$ und $10\,\text{kHz}$.
Dieses Signal $x(t)$ liegt am Eingang eines linearen Differenzierers, dessen Ausgang mit $\omega_1 = 2\pi f_1$ wie folgt dargestellt werden kann:
- $$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{ {\rm d} x(t)}{{\rm d} t}.$$
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Harmonische Schwingung.
Fragebogen
Musterlösung
Summensignal aus Cosinus- und Sinusanteilen
(1) Das Zeitsignal hat die folgende Form:
- $$x(t)={\rm 3V}-{\rm 2V}\cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t)+{\rm 4V} \cdot \sin(2.5 \cdot \omega_{\rm 1} \cdot t).$$
- Hierbei bezeichnet $\omega_1 = 2\pi f_1$ die Kreisfrequenz des Cosinusanteils.
- Zum Zeitpunkt $t = 0$ hat das Signal den Wert $x(t=0)\hspace{0.15 cm}\underline{=1\,\rm V}$.
(2) Die Grundfrequenz $f_0$ ist der größte gemeinsame Teiler
- von $f_1 = 4{\,\rm kHz}$
- und $2.5 · f_1 = 10{\,\rm kHz}$.
Daraus folgt $f_0 = 2{\,\rm kHz}$ ⇒ Periodendauer $T_0 = 1/f_0 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.5 {\,\rm ms}}$.
Spektrum mit diskreten Anteilen
(3) Für das Ausgangssignal $y(t)$ des Differenzierers gilt:
- $$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{ {\rm d}x(t)}{{\rm d}t}=\frac{ {\rm -2V}}{\omega_1}\cdot\omega_1 \cdot (-\sin(\omega_1 t))+\frac{\rm 4V}{\omega_1}\cdot 2.5\omega_1\cdot {\rm cos}(2.5\omega_1t).$$
- Dies führt zum Ergebnis:
- $$y(t)={\rm 2V}\cdot\sin(\omega_1 t)+{\rm 10V}\cdot\cos(2.5\omega_1 t).$$
- Für $t = 0$ ergibt sich der Wert $y(t=0)\hspace{0.15cm}\underline{=10\,\rm V}$.
- Rechts ist das Spektrum $Y(f)$ dargestellt.
(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:
- Die Periodendauer $T_0$ wird durch die Amplitude und die Phase der beiden Anteile nicht verändert.
- Das bedeutet, dass weiterhin $T_0 = 0.5 {\,\rm ms}$ gilt.
- Der Gleichanteil verschwindet aufgrund der Differentiation.
- Der Anteil bei $f_1$ ist sinusförmig. Somit hat $X(f)$ einen (imaginären) Dirac bei $f = f_1$, jedoch mit negativem Vorzeichen.
- Der Cosinusanteil mit der Amplitude ${10\,\rm V}$ hat die beiden Diracfunktionen bei $\pm 2.5 \cdot f_1$ zur Folge, jeweils mit dem Gewicht ${5\,\rm V}$ .
