Modulationsverfahren/Qualitätskriterien: Unterschied zwischen den Versionen

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==Ideales und verzerrungsfreies System==
 
==Ideales und verzerrungsfreies System==
In allen nachfolgenden Kapiteln wird stets von folgendem Modell ausgegangen:
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[[Datei:P_ID940__Mod_T_1_2_S1_neu.png |right|frame| Blockschaltbild zur Beschreibung von Modulation und Demodulation]]
  
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In allen folgenden Kapiteln wird von folgendem Modell ausgegangen:
  
[[Datei:P_ID940__Mod_T_1_2_S1_neu.png | Blockschaltbild zur Beschreibung von Modulation und Demodulation]]
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Die Aufgabe eines jeden Nachrichtenübertragungssystems besteht darin,
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*an der räumlich entfernten Sinke ein Signal&nbsp; $v(t)$&nbsp; zur Verfügung zu stellen,
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*das sich möglichst wenig vom Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; unterscheidet.
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{{BlaueBox|TEXT=
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$\text{Definition:}$&nbsp;  Ein&nbsp; '''ideales System'''&nbsp; liegt vor, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
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:$$v(t) = q(t) + n(t), \hspace{1cm}n(t)  \to 0.$$
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Hierbei ist berücksichtigt, dass &nbsp;$n(t) \equiv 0$&nbsp; aus physikalischen Gründen aufgrund des [[Aufgaben:1.3Z_Thermisches_Rauschen|Thermischen Rauschens]] nicht möglich ist.}}
  
  
Die Aufgabe eines jeden Nachrichtenübertragungssystems besteht darin, an der räumlich entfernten Sinke ein Signal $υ(t)$ zur Verfügung zu stellen, das sich möglichst wenig vom Quellensignal $q(t)$ unterscheidet. Bei $υ(t) = q(t)$ würde man von einem idealen System sprechen.
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In der Praxis werden sich die Signale &nbsp;$q(t)$&nbsp; und &nbsp;$v(t)$&nbsp;  um mehr als den Rauschterm&nbsp; $n(t)$&nbsp; unterscheiden, wofür es folgende Gründe gibt:  
 
 
In der Praxis werden sich die Signale $q(t)$ und $υ(t)$ stets unterscheiden, wofür es folgende Gründe gibt:  
 
 
*Nichtideale Realisierung von Modulator und Demodulator,  
 
*Nichtideale Realisierung von Modulator und Demodulator,  
 
*lineare Dämpfungs– und Phasenverzerrungen sowie Nichtlinearitäten,  
 
*lineare Dämpfungs– und Phasenverzerrungen sowie Nichtlinearitäten,  
*externe Störungen und stochastische Rauschprozesse,  
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*externe Störungen und zusätzliche stochastische Rauschprozesse,  
 
*frequenzunabhängige Dämpfung und Laufzeit.  
 
*frequenzunabhängige Dämpfung und Laufzeit.  
  
  
Ist nur die letztgenannte Einschränkung wirksam, so liegt ein verzerrungs– und rauschfreies System vor, und es gilt:  
+
{{BlaueBox|TEXT=
$$v(t) = \alpha \cdot q(t- \tau).$$
+
$\text{Definition:}$&nbsp;  Ein&nbsp; '''verzerrungsfreies System'''&nbsp; liegt vor, wenn von obiger Auflistung nur die letztgenannte Einschränkung wirksam ist:  
 +
:$$v(t) = \alpha \cdot q(t- \tau) + n(t), \hspace{1cm}n(t)  \to 0.$$}}
  
Durch den Dämpfungsfaktor $α$ ist das Sinkensignal $υ(t)$ gegenüber dem Quellensignal $q(t)$ nur „leiser”. Auch eine Laufzeit $τ$ ist oft tolerabel, zumindest bei einer unidirektionalen Übertragung. Dagegen wird bei einer bidirektionalen Kommunikation – zum Beispiel einem Telefonat – schon eine Laufzeit von 300 Millisekunden als sehr störend empfunden.
 
  
==Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis (1)==
+
*Durch den Dämpfungsfaktor &nbsp;$α$&nbsp; ist das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; gegenüber dem Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; nur „leiser”.
Im allgemeinen Fall wird sich das Sinkensignal $υ(t)$ auch gegenüber $α · q(t – τ)$ unterscheiden, und es gilt für das Fehlersignal:
+
*Auch eine Laufzeit &nbsp;$τ$&nbsp; ist oft tolerabel, zumindest bei einer unidirektionalen Übertragung.  
$$\varepsilon (t) = v(t) - \alpha \cdot q(t- \tau) = \varepsilon_{\rm V} (t) +  \varepsilon_{\rm St} (t).$$
+
*Dagegen wird bei einer bidirektionalen Kommunikation – zum Beispiel einem Telefonat – schon eine Laufzeit von&nbsp; $300$&nbsp; Millisekunden als sehr störend empfunden.
  
Dieses setzt sich aus zwei Anteilen zusammen:
+
==Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis==
*den linearen und nichtlinearen Verzerrungen $ε_{\rm V}(t)$, die durch Modulator, Kanal und Demodulator hervorgerufen werden können und deterministisches Verhalten zeigen,
+
<br>
*der stochastischen Komponente $ε_{\rm St}(t)$, die von der HF–Störung $n(t)$ am Demodulatoreingang herrührt. Im Gegensatz zu $n(t)$ handelt es sich bei $ε_{\rm St}(t)$ um eine niederfrequente Störung.
+
Im allgemeinen Fall wird sich das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; auch gegenüber&nbsp; $α · q(t - τ)$ &nbsp; noch unterscheiden, und es gilt für das Fehlersignal:
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:$$\varepsilon (t) = v(t) - \alpha \cdot q(t- \tau) = \varepsilon_{\rm V} (t) +  \varepsilon_{\rm St} (t).$$
  
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Dieses Fehlersignal setzt sich aus zwei Anteilen zusammen:
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*den linearen und nichtlinearen Verzerrungen&nbsp; $ε_{\rm V}(t)$&nbsp; (German:&nbsp; "Verzerrungen" &nbsp; &rArr; &nbsp; subscript "V"),&nbsp; die durch die Frequenzgänge von Modulator, Kanal und Demodulator hervorgerufen werden und somit deterministisches&nbsp; (zeitinvariantes)&nbsp;Verhalten zeigen;
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*der stochastischen Komponente &nbsp;$ε_{\rm St}(t)$,&nbsp; die von der HF–Störung&nbsp; $n(t)$&nbsp; am Demodulatoreingang herrührt.&nbsp; Im Gegensatz zu &nbsp;$n(t)$&nbsp; handelt es sich bei&nbsp; $ε_{\rm St}(t)$&nbsp; jedoch meist aufgrund des Demodulators mit Tiefpass&nbsp;Charakteristik um eine niederfrequente Rauschstörung.
  
Als Maß für die Qualität des Nachrichtensystems wird das Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis $ρ_υ$ an der Sinke als Quotient der Leistungen (Varianzen) von Nutzanteil $υ(t) – ε(t)$ und Störanteil $ε(t)$ definiert:
 
$$P_{v -\varepsilon}  = \overline{[v(t)-\varepsilon(t)]^2} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int\limits_{0}^{  T_{\rm M}}
 
{[v(t)-\varepsilon(t)]^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t,$$
 
$$P_{\varepsilon}  = \overline{\varepsilon^2(t)} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int\limits_{0}^{  T_{\rm M}}
 
{\varepsilon^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t$$
 
$$\Rightarrow \hspace{0.5cm}\rho_{v} = \frac{  P_{v -\varepsilon}}{P_{\varepsilon}} \hspace{0.05cm}.$$
 
  
Für die Leistung des Nutzanteils erhält man unabhängig von der Laufzeit $τ$:
+
{{BlaueBox|TEXT=
$$P_{v -\varepsilon} = \overline{[v(t)-\varepsilon(t)]^2} = \overline{\alpha^2 \cdot q^2(t - \tau)}= \alpha^2 \cdot P_{q}.$$
+
$\text{Definition:}$&nbsp;  Als Maß für die Qualität des Nachrichtensystems wird das&nbsp; '''Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis''' &nbsp;$ρ_v$&nbsp; an der Sinke als Quotient der Leistungen (Varianzen) von Nutzanteil &nbsp;$v(t) - ε(t)$&nbsp; und Störanteil &nbsp;$ε(t)$&nbsp; definiert:  
Hierbei bezeichnet $P_q$ die Leistung des Quellensignals $q(t)$:
+
:$$\rho_{v} = \frac{  P_{v -\varepsilon} }{P_{\varepsilon} } \hspace{0.05cm},\hspace{0.7cm}\text{mit}\hspace{0.7cm} P_{v -\varepsilon}  = \overline{[v(t)-\varepsilon(t)]^2} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M} } \cdot \int_{0}^{  T_{\rm M} }
$$P_{q}  =  \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int\limits_{0}^{  T_{\rm M}} {q^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t .$$
+
{\big[v(t)-\varepsilon(t)\big]^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t,\hspace{0.5cm}
Damit erhält man:
+
P_{\varepsilon} = \overline{\varepsilon^2(t)} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M} } \cdot \int_{0}^T_{\rm M} }
$$\rho_{v} = \frac{\alpha^2 \cdot  P_{q}}{P_{\varepsilon}} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}\rho_{v} =
+
{\varepsilon^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$}}
  10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm} \frac{\alpha^2 \cdot  P_{q}}{P_{\varepsilon}} \hspace{0.05cm}.$$
 
Im Folgenden bezeichnen wir $ρ_υ$ kurz als das Sinken–SNR (''Signal–to–Noise–Ratio'') und 10 · lg $ρ_υ$ als den Sinken–Störabstand, der bei Verwendung des Zehner–Logarithmus (lg) in dB angegeben wird.
 
  
==Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis (2)==
 
{{Beispiel}}
 
Nachfolgend sehen Sie einen beispielhaften Ausschnitt des (blauen) Quellensignals $q(t)$ und des (roten) Sinkensignals $υ(t)$, die sich deutlich voneinander unterscheiden.
 
  
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Für die Leistung des Nutzanteils erhält man unabhängig von der Laufzeit &nbsp;$τ$:
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:$$P_{v -\varepsilon} = \overline{\big[v(t)-\varepsilon(t)\big]^2} = \overline{\alpha^2 \cdot q^2(t - \tau)}= \alpha^2 \cdot P_{q}.$$
 +
Hierbei bezeichnet &nbsp;$P_q$&nbsp; die Leistung des Quellensignals $q(t)$:
 +
:$$P_{q}  =  \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{  T_{\rm M}} {q^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t .$$
  
[[Datei:P_ID941__Mod_T_1_2_S2_neu.png | Beispiel für ein Fehlersignal]]
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{{BlaueBox|TEXT=&nbsp;  Damit erhält man:  
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:$$\rho_{v} = \frac{\alpha^2 \cdot  P_{q} }{P_{\varepsilon} }  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}\rho_{v} =
 +
10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm} \frac{\alpha^2 \cdot  P_{q} }{P_{\varepsilon} } \hspace{0.05cm}.$$
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*Im Folgenden bezeichnen wir &nbsp;$ρ_v$&nbsp; kurz als das&nbsp; '''Signal–to–Noise–Ratio'''&nbsp; oder&nbsp; '''Sinken–SNR''',&nbsp; und
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*$10 · \lg \ ρ_v$ als den&nbsp; '''Sinken–Störabstand''',&nbsp; der bei Verwendung des Zehner–Logarithmus&nbsp; $(\lg)$&nbsp; in dB angegeben wird. }}
  
  
Die mittlere Grafik macht jedoch deutlich, dass der wesentliche Unterschied zwischen $q(t)$ und $υ(t)$ auf den Dämpfungsfaktor $α =$ 0.7 und die Laufzeit $τ =$ 0.1 Millisekunden zurückzuführen ist.
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[[Datei:P_ID941__Mod_T_1_2_S2_neu.png |right|frame|Zur Verdeutlichung des Fehlersignals&nbsp;$ε(t) = v(t) - α · q(t - τ)$]]
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{{GraueBox|TEXT=
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$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Rechts sehen Sie einen beispielhaften Ausschnitt
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*des (blauen) Quellensignals &nbsp;$q(t)$&nbsp; und  
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*des (roten) Sinkensignals &nbsp;$v(t)$,
  
Die untere Skizze zeigt das verbleibende Fehlersignal $ε(t) = υ(t) – α · q(t – τ)$ nach Korrektur von Dämpfung und Laufzeit. Der quadratische Mittelwert (Varianz) dieses Signals ist die Störleistung $P_ε$.  
+
die sich merklich voneinander unterscheiden.  
  
Zur Berechnung des Sinken–SNR $ρ_υ$ muss $P_ε$ in Bezug zur Nutzleistung $α^2 · P_q$ gesetzt werden. Diese ergibt sich als die Varianz des in der mittleren Grafik hellblau eingezeichneten Signals $α · q(t – τ)$. Mit den für diese Grafik vorausgesetzten Kenngrößen
+
Die mittlere Grafik macht jedoch deutlich, dass der wesentliche Unterschied zwischen &nbsp;$q(t)$&nbsp; und &nbsp;$v(t)$&nbsp; auf den Dämpfungsfaktor &nbsp;$α = 0.7$&nbsp; und die Laufzeit &nbsp;$τ = 0.1\text{ ms}$&nbsp; zurückzuführen ist.  
$$\alpha = 0.7\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha^2 \approx 0.5,  \hspace{0.2cm} P_{q} = 8\,{\rm V^2}, \hspace{0.2cm}{P_{\varepsilon}} = 0.04\,{\rm V^2}$$
 
ergibt sich das Sinken–SNR $ρ_υ$ ≈ 100 bzw. der Sinken–Störabstand 10 · lg $ρ_υ$ ≈ 20 dB.  
 
{{end}}
 
  
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Die untere Skizze zeigt das verbleibende Fehlersignal &nbsp;$ε(t) = v(t) - α · q(t - τ)$&nbsp; nach bestmöglicher Korrektur von Dämpfung und Laufzeit.&nbsp; Den quadratischen Mittelwert &nbsp; &rArr; &nbsp;  "Varianz"&nbsp; dieses Signals bezeichnen wir als die Störleistung &nbsp;$P_ε$.
  
Das Fehlersignal $ε(t)$ – und damit auch das Sinken–SNR $ρ_υ$ – berücksichtigt alle Unzulänglichkeiten des betrachteten Nachrichtenübertragungssystems (Verzerrungen, externe Störungen, Rauschen, usw.). Im Folgenden werden wir aus Darstellungsgründen die unterschiedlichen Effekte getrennt betrachten.  
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Zur Berechnung des Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v$&nbsp; muss &nbsp;$P_ε$&nbsp; in Bezug zur Nutzleistung &nbsp;$α^2 · P_q$&nbsp; gesetzt werden. Diese ergibt sich als die Varianz des in der mittleren Grafik hellblau eingezeichneten Signals &nbsp;$α · q(t - τ)$.
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Mit den hier vorausgesetzten Kenngrößen &nbsp;$\alpha = 0.7$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\alpha^2 \approx 0.5$&nbsp; sowie &nbsp;$P_{q} = 8\,{\rm V^2}$&nbsp; und &nbsp;${P_{\varepsilon} } = 0.04\,{\rm V^2}$&nbsp; ergibt sich das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v ≈ 100$&nbsp; bzw. der Sinken–Störabstand &nbsp;$10 · \lg ρ_v ≈ 20$ dB.}}
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*Das Fehlersignal &nbsp;$ε(t)$&nbsp; – und damit auch das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v$&nbsp; – berücksichtigt alle Unzulänglichkeiten des betrachteten Nachrichtenübertragungssystems&nbsp; (Verzerrungen, externe Störungen, Rauschen, usw.).  
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*Im Folgenden werden wir aus Darstellungsgründen die unterschiedlichen Effekte getrennt betrachten.  
  
 
==Untersuchungen im Hinblick auf Signalverzerrungen==
 
==Untersuchungen im Hinblick auf Signalverzerrungen==
Alle in den folgenden Kapiteln beschriebenen Modulationsverfahren führen bei nichtidealen Bedingungen zu Verzerrungen, das heißt zu einem Sinkensignal $υ(t) ≠ α · q(t τ)$, das sich nicht nur durch eine Dämpfung und eine Laufzeit von $q(t)$ unterscheidet. Für die Untersuchung und Beschreibung dieser Signalverfälschungen gehen wir stets von folgenden Voraussetzungen aus (siehe Grafik):  
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*Das additive Störsignal $n(t)$ am Kanalausgang (Demodulatoreingang) sei vernachlässigbar klein und wird nicht berücksichtigt.  
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Alle in den folgenden Kapiteln beschriebenen Modulationsverfahren führen bei nichtidealen Bedingungen zu Verzerrungen,&nbsp; das heißt zu einem Sinkensignal &nbsp;
*Alle Komponenten von Modulator und Demodulator seien linear, ebenso wie der Kanal, der somit durch seinen Frequenzgang $H_{\rm K}(f)$ vollständig beschrieben wird.
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[[Datei:P_ID944__Mod_T_1_2_S3_neu.png |right|frame| Vereinfachtes Modell eines Übertragungssystems]]
:[[Datei:P_ID944__Mod_T_1_2_S3_neu.png | Vereinfachtes Modell eines Übertragungssystems]]
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:$$v(t) ≠ α · q(t - τ),$$
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das sich nicht nur durch eine Dämpfung und eine Laufzeit von &nbsp;$q(t)$&nbsp; unterscheidet.&nbsp;
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Für die Untersuchung und Beschreibung dieser Signalverfälschungen gehen wir stets von folgenden Voraussetzungen und dem obigen Modell aus:
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*Das additive Störsignal &nbsp;$n(t)$&nbsp; am Kanalausgang&nbsp; (Demodulatoreingang)&nbsp; sei vernachlässigbar klein und wird hier nicht berücksichtigt.  
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*Alle Komponenten von Modulator und Demodulator seien linear,  
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*ebenso wie der Kanal, der somit durch seinen Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; vollständig beschrieben wird.
  
  
 
Je nach Art und Realisierung von Modulator und Demodulator treten folgende Signalverfälschungen auf:  
 
Je nach Art und Realisierung von Modulator und Demodulator treten folgende Signalverfälschungen auf:  
*Lineare Verzerrungen, entsprechend der Beschreibung in Kapitel 2.3 des Buches „Lineare zeitinvariante Systeme”. Diese werden weiter in Dämpfungs– und Phasenverzerrungen unterteilt. Lineare Verzerrungen können im Allgemeinen durch einen Entzerrer kompensiert werden, was allerdings bei Vorhandensein einer stochastischen Störung $n(t)$ stets zu einer höheren Störleistung und damit zu einem geringeren Sinken–SNR führt.
 
*Nichtlineare Verzerrungen, die im Kapitel 2.2 des Buches „Lineare zeitinvariante Systeme” ausführlich behandelt werden. Diese sind irreversibel und damit eine stärkere Beeinträchtigung als lineare Verzerrungen. Zur quantitativen Erfassung solcher Verzerrungen eignet sich beispielsweise der Klirrfaktor $K$, der mit dem Sinken–SNR in folgendem Zusammenhang steht:
 
$$\rho_{v} = {1}/{K^2}  \hspace{0.05cm}.$$
 
:Die Angabe des Klirrfaktors setzt jedoch eine harmonische Schwingung als Quellensignal voraus.
 
  
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{{BlaueBox|TEXT=
 +
$\text{Lineare Verzerrungen}$&nbsp; entsprechend der Beschreibung im &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|gleichnamigen  Kapitel]]&nbsp; des Buches &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme&rdquo;:
 +
*Lineare Verzerrungen können im Allgemeinen durch einen Entzerrer kompensiert werden, was allerdings bei Vorhandensein einer stochastischen Störung &nbsp;$n(t)$&nbsp; stets zu einer höheren Störleistung und damit zu einem geringeren Sinken–SNR führt.
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*Solche linearen Verzerrungen werden weiter in&nbsp; '''Dämpfungsverzerrungen'''&nbsp; und&nbsp; '''Phasenverzerrungen'''&nbsp; unterteilt.
  
Anzumerken ist, dass die Verzerrungen bezüglich $q(t)$ und $υ(t)$ stets dann von nichtlinearer Art sind, wenn der Kanal nichtlineare Komponenten beinhaltet und damit bereits nichtlineare Verzerrungen bezüglich der Signale $s(t)$ und $r(t)$ gegeben sind. Ebenso führen Nichtlinearitäten bei Modulator und Demodulator stets zu nichtlinearen Verzerrungen.
 
  
 +
$\text{Nichtlineare Verzerrungen}$&nbsp; entsprechend der Beschreibung im &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen|gleichnamigen  Kapitel]]&nbsp; des Buches &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme&rdquo;:
 +
*Nichtlineare Verzerrungen sind irreversibel und damit eine stärkere Beeinträchtigung als lineare Verzerrungen.
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*Zur quantitativen Erfassung solcher Verzerrungen eignet sich beispielsweise der Klirrfaktor $K$,&nbsp; der mit dem Sinken–SNR wie folgt zusammenhängt: &nbsp; $\rho_{v} = {1}/{K^2}  \hspace{0.05cm}.$
 +
*Die Angabe des Klirrfaktors setzt jedoch eine harmonische Schwingung als Quellensignal voraus.}}
  
Wir verweisen hier auf drei grundlegende Lernvideos aus dem Buch „LZI–Systeme”:
 
  
Eigenschaften des Übertragungskanals (Dauer 5:50)
+
Wir verweisen hier auf drei grundlegende Lernvideos:
 +
*[[Lineare_und_nichtlineare_Verzerrungen_(Lernvideo)|Lineare und nichtlineare Verzerrungen]],
 +
*[[Eigenschaften_des_Übertragungskanals_(Lernvideo)|Eigenschaften des Übertragungskanals]],
 +
*[[Einige_Anmerkungen_zur_Übertragungsfunktion_(Lernvideo)|Einige Anmerkungen zur Übertragungsfunktion]].
  
Einige Anmerkungen zur Übertragungsfunktion  (Dauer 9:08)
 
  
Lineare und nichtlineare Verzerrungen (3 Teile, Gesamtdauer 16:25)
+
{{BlaueBox|TEXT=
 +
$\text{Zwei weitere Anmerkungen:}$
 +
#&nbsp; Die Verzerrungen bezüglich &nbsp;$q(t)$&nbsp; und &nbsp;$v(t)$&nbsp; sind immer dann von nichtlinearer Art sind, wenn der Kanal nichtlineare Komponenten beinhaltet und damit bereits nichtlineare Verzerrungen bezüglich der Signale &nbsp;$s(t)$&nbsp; und &nbsp;$r(t)$&nbsp; vorliegen.&nbsp;
 +
#&nbsp; Ebenso führen Nichtlinearitäten bei Modulator und Demodulator stets zu nichtlinearen Verzerrungen.}}
 +
 
  
 
==Einige Anmerkungen zum AWGN–Kanalmodell==
 
==Einige Anmerkungen zum AWGN–Kanalmodell==
Zur Untersuchung des Rauschverhaltens der einzelnen Modulations– und Demodulationsverfahren gehen wir meist vom so genannten AWGN–Kanal aus, wobei die Abkürzung für Additive White Gaussian Noise steht und die Eigenschaften dieses Kanalmodells bereits hinreichend beschreibt:
+
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 +
Zur Untersuchung des Rauschverhaltens der einzelnen Modulations– und Demodulationsverfahren gehen wir meist vom so genannten&nbsp; '''AWGN–Kanal'''&nbsp; aus, wobei die Abkürzung für &nbsp;&bdquo;$\rm A$dditive $\rm W$hite $\rm G$aussian $\rm N$oise&rdquo;&nbsp; steht und die Eigenschaften dieses Kanalmodells bereits hinreichend beschreibt.&nbsp; Wir weisen Sie hier gerne auch auf das dreiteilige Lernvideo &nbsp;[[Der_AWGN-Kanal_(Lernvideo)|Der  AWGN-Kanal]]&nbsp; hin.
  
 
+
*Das additive Störsignal beinhaltet alle Frequenzanteile gleichermaßen; &nbsp;$n(t)$&nbsp; besitzt ein konstantes Leistungsdichtespektrum&nbsp; $\rm (LDS)$ und eine diracförmige Autokorrelationsfunktion&nbsp; $\rm (AKF)$:  
*Das additive Störsignal beinhaltet alle Frequenzanteile gleichermaßen; $n(t)$ besitzt ein konstantes Leistungsdichtespektrum (LDS) und eine diracförmige Autokorrelationsfunktion (AKF):  
+
:$${\it \Phi}_n(f) = \frac{N_0}{2}\hspace{0.15cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,
$${\it \Phi}_n(f) = \frac{N_0}{2}\hspace{0.15cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,
 
 
\hspace{0.15cm} \varphi_n(\tau) = \frac{N_0}{2} \cdot \delta (\tau)\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.15cm} \varphi_n(\tau) = \frac{N_0}{2} \cdot \delta (\tau)\hspace{0.05cm}.$$
:Der Faktor 1/2 in diesen Gleichungen berücksichtigt jeweils die zweiseitige Spektraldarstellung.  
+
:Der Faktor &nbsp;$1/2$&nbsp; in diesen Gleichungen berücksichtigt jeweils die zweiseitige Spektraldarstellung.  
 
+
*Beispielsweise gilt bei thermischem Rauschen für die physikalische Rauschleistungsdichte&nbsp; (das heißt:&nbsp; einseitige Betrachtungsweise)&nbsp; mit der Rauschzahl &nbsp;$F ≥ 1$&nbsp; und der absoluten Temperatur &nbsp;$θ$:
 
+
:$${N_0}= F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta , \hspace{0.3cm}k_{\rm B} =
*Beispielsweise gilt bei thermischem Rauschen für die physikalische Rauschleistungsdichte (das heißt: einseitige Betrachtungsweise) mit der Rauschzahl $F$ ≥ 1 und der absoluten Temperatur $θ$:
 
$${N_0}= F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta , \hspace{0.3cm}k_{\rm B} =
 
 
1.38 \cdot 10^{-23}{ {\rm Ws} }/{ {\rm K} }\hspace{0.2cm}{\rm
 
1.38 \cdot 10^{-23}{ {\rm Ws} }/{ {\rm K} }\hspace{0.2cm}{\rm
 
(Boltzmann-Konstante)}\hspace{0.05cm}.$$
 
(Boltzmann-Konstante)}\hspace{0.05cm}.$$
 
+
*Bei echt weißem Rauschen würde sich eine unendliche große Leistung ergeben.&nbsp; Deshalb ist stets eine Bandbegrenzung auf &nbsp;$B$&nbsp; zu berücksichtigen, und es gilt für die wirksame Rauschleistung:  
 
+
:$$N = \sigma_n^2 = {N_0} \cdot B \hspace{0.05cm}.$$
*Bei echt weißem Rauschen würde sich eine unendliche große Leistung ergeben. Deshalb ist stets eine Bandbegrenzung auf $B$ zu berücksichtigen, und es gilt für die wirksame Rauschleistung:  
+
*Das Störsignal &nbsp;$n(t)$&nbsp; besitzt eine Gaußsche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $\rm (WDF)$ &nbsp; &rArr; Amplitudenverteilung&nbsp; mit Störeffektivwert &nbsp;$σ_n$:
$$N = \sigma_n^2 = {N_0} \cdot B \hspace{0.05cm}.$$
+
:$$f_n(n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_n}\cdot {\rm e}^{-{\it
 
 
 
 
*Die Amplitude $n$ des Störsignals besitzt eine Gaußsche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) mit dem Störeffektivwert $σ_n$:
 
$$f_n(n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_n}\cdot {\rm e}^{-{\it
 
 
n^{\rm 2}}/{(2\sigma_{\it n}^2)}}.$$
 
n^{\rm 2}}/{(2\sigma_{\it n}^2)}}.$$
 +
*Eigentlich ist beim AWGN–Kanal &nbsp;$H_{\rm K}(f) = 1$&nbsp; zu setzen.&nbsp; Wir modifizieren dieses Modell für unsere Untersuchungen jedoch in der Form, dass wir eine frequenzunabhängige Dämpfung zulassen&nbsp; (beachten Sie:&nbsp; Ein frequenzunabhängiger Dämpfungsfaktor führt ebenfalls nicht zu Verzerrungen):
 +
:$$H_{\rm K}(f) = \alpha_{\rm K}= {\rm const.}$$
  
  
*Eigentlich ist beim AWGN–Kanal $H_{\rm K}(f) =$ 1 zu setzen. Wir modifizieren dieses Modell für unsere Untersuchungen jedoch in der Form, dass wir eine frequenzunabhängige Dämpfung zulassen:
+
==Untersuchungen beim AWGN–Kanal==
$$H_{\rm K}(f) = \alpha_{\rm K}= {\rm const.}$$
+
<br>
:Ein solcher frequenzunabhängiger Dämpfungsfaktor führt nicht zu Verzerrungen.
+
Bei allen Untersuchungen hinsichtlich Rauschverhalten gehen wir vom unten skizzierten Blockschaltbild aus.&nbsp; Wir werden dabei stets das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v$&nbsp; in Abhängigkeit aller Systemparameter berechnen und zu folgenden Ergebnissen kommen:  
  
 +
[[Datei: P_ID945__Mod_T_1_2_S5_neu.png |right|frame| Blockschaltbild zur Untersuchung des Rauschverhaltens]]
  
Wir möchten Sie hier gerne auf ein dreiteiliges Lernvideo aus dem Buch „Stochastische Signaltheorie” hinweisen, in dem die Eigenschaften des AWGN–Kanals sehr detailliert beschrieben sind:
+
*Je mehr Sendeleistung&nbsp; $P_{\rm S}$&nbsp; aufgewendet wird, desto besser ist das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v$.&nbsp; Bei einigen Verfahren ergibt sich sogar ein linearer Zusammenhang.
 +
*$ρ_v$&nbsp; nimmt mit steigender Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; monoton ab.&nbsp; Eine Vergrößerung von &nbsp;$N_0$&nbsp; kann meist durch eine größere Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; ausgeglichen werden.
 +
*Je kleiner der Parameter &nbsp;$α_{\rm K}$&nbsp;  des Kanals ist, um so kleiner wird &nbsp;$ρ_v$.&nbsp; Es besteht oft eine quadratische Abhängigkeit, da die Empfangsleistung &nbsp;$P_{\rm E} = {α_{\rm K}}^2 · P_{\rm S}$&nbsp; ist.
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*Ein breitbandigeres Quellensignal&nbsp; $($größeres &nbsp;$B_{\rm NF})$&nbsp; führt zu kleinerem &nbsp;$ρ_v$ &nbsp; &rArr; &nbsp; man muss auch die HF–Bandbreite vergrößern &nbsp; &rArr; &nbsp; mehr Störungen werden wirksam.
  
Der AWGN-Kanal – Teil 1  (Dauer 6:00)
 
  
Der AWGN-Kanal – Teil 2  (Dauer 5:15)
 
  
Der AWGN-Kanal – Teil 3 (Dauer 6:15)
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{{BlaueBox|TEXT=
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$\text{Fazit:}$&nbsp; Unter Berücksichtigung dieser vier Aussagen kommt man zu dem Schluss, dass es Sinn macht, das Sinken–SNR in der Form
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:$$\rho_{v } = \rho_{v }(\xi) \hspace{0.5cm} {\rm mit} \hspace{0.5cm}\xi = \frac{ {\alpha_{\rm K} }^2 \cdot P_{\rm S} }{N_0 \cdot B_{\rm NF} }$$
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normiert darzustellen.&nbsp; Im Folgenden bezeichnen wir&nbsp; $ξ$&nbsp;  als die&nbsp; '''Leistungskenngröße'''.}}
  
==Untersuchungen beim AWGN–Kanal (1)==
 
Bei allen Untersuchungen hinsichtlich des Rauschverhaltens gehen wir von folgendem Blockschaltbild aus:
 
  
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Die in &nbsp;$ξ$&nbsp; zusammengefassten Eingangsgrößen sind in obigem Blockschaltbild mit blauen Pfeilen markiert,&nbsp; während das Qualitätskriterium &nbsp;$ρ_v$&nbsp; durch den roten Pfeil hervorgehoben ist.
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* Je größer&nbsp; $ξ$&nbsp; ist,&nbsp; desto größer ist im allgemeinen&nbsp; $\rho_{v }$.
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* Aber der Zusammenhang ist nicht immer linear,&nbsp; wie das folgende Beispiel zeigt.
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[[Datei: P_ID945__Mod_T_1_2_S5_neu.png | Blockschaltbild zur Untersuchung des Rauschverhaltens]]
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{{GraueBox|TEXT=
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$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;  In der linken Grafik ist das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v$&nbsp; für drei verschiedene Systeme dargestellt,&nbsp; jeweils in Abhängigkeit von der normierten Leistungskenngröße &nbsp;
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[[Datei:P_ID947__Mod_T_1_2_S5b_neu.png |right|frame| Untersuchungen beim AWGN–Kanal]]
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:$$\xi = { {\alpha_{\rm K} }^2 \cdot P_{\rm S} }/({N_0 \cdot B_{\rm NF} }).$$
  
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*Beim &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; gilt &nbsp;$ρ_ν = ξ$.&nbsp; Beispielsweise führen die Systemparameter
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:$$P_{\rm S}= 10 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
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\alpha_{\rm K} = 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$
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:$$ {N_0} =
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10^{-12}\hspace{0.05cm}{ {\rm W} }/{ {\rm Hz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
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B_{\rm NF}= 10\; {\rm kHz}$$
  
Wir werden dabei stets das Sinken–SNR $ρ_υ$ in Abhängigkeit aller Systemparameter berechnen und zu folgenden Ergebnissen kommen:
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:zu &nbsp;$ξ = ρ_v = 10000$&nbsp; (siehe kreisförmige Markierung der Skizze).&nbsp;
*Je mehr Sendeleistung $P_{\rm S}$ aufgewendet wird, desto besser ist das Sinken–SNR $ρ_υ$. Bei einigen Verfahren ergibt sich sogar ein linearer Zusammenhang.  
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*Exakt das gleiche Sinken–SNR ergäbe sich mit den Parametern
*Dagegen nimmt $ρ_υ$ mit steigender Rauschleistungsdichte $N_0$ monoton ab. Eine Vergrößerung von $N_0$ kann meist durch eine größere Sendeleistung ausgeglichen werden.
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:$$P_{\rm S}= 5 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
*Je kleiner der Dämpfungsfaktor $α_{\rm K}$ ist – das heißt, je stärker der Kanal dämpft – um so kleiner wird $ρ_υ$. Es besteht oft eine quadratische Abhängigkeit, da die Empfangsleistung $P_{\rm E} = {α_{\rm K}}^2 · P_{\rm S}$ ist.  
+
\alpha_{\rm K} = 10^{-6}\hspace{0.05cm},$$
*Auch ein breitbandigeres Quellensignal (größeres $B_{\rm NF}$) führt zu einem kleineren $ρ_υ$, da dadurch auch die HF–Bandbreite vergrößert werden muss und somit mehr Störungen wirksam werden.
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:$${N_0} =
 +
10^{-16}\hspace{0.05cm}{ {\rm W} }/{ {\rm Hz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
 +
B_{\rm NF}= 5\; {\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
  
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*Auch beim &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; besteht mit &nbsp;$ρ_v = ξ/3$&nbsp; ein linearer Zusammenhang.&nbsp; Die Gerade geht ebenfalls durch den Nullpunkt.&nbsp; Die Steigung beträgt aber nur &nbsp;$1/3$.&nbsp;
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*Anzumerken ist,&nbsp; dass ein Rauschverhalten entsprechend &nbsp;$\text{System A}$&nbsp;  bei&nbsp; [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Frequenzbereich|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation ohne Träger]] &nbsp; &rArr; &nbsp; Modulationsgrad &nbsp;$m → ∞$&nbsp; festzustellen ist, während &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; eine&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger]]&nbsp; und Modulationsgrad &nbsp;$m ≈ 0.5$&nbsp; beschreibt. 
  
Unter Berücksichtigung dieser vier Aussagen kommt man zu dem Schluss, dass es Sinn macht, das Sinken–SNR in der Form
+
*Das &nbsp;$\text{System C}$&nbsp; zeigt ein völlig anderes Rauschverhalten.&nbsp; Für kleine &nbsp;$ξ$&ndash;Werte ist dieses System dem &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; überlegen, während für &nbsp;$ξ = 10000$&nbsp; die Qualität beider Systeme gleich ist.
$$\rho_{v } = \rho_{v }(\xi) \hspace{0.5cm} {\rm mit} \hspace{0.5cm}\xi = \frac{ {\alpha_{\rm K} }^2 \cdot P_{\rm S}}{{N_0} \cdot B_{\rm NF}}$$
 
  
normiert darzustellen. Die in $ξ$ zusammengefassten Eingangsgrößen sind in obigem Bild mit blauen Pfeilen markiert, während das Qualitätskriterium $ρ_υ$ durch den roten Pfeil hervorgehoben ist.
 
  
==Untersuchungen beim AWGN–Kanal (2)==
+
Durch eine Erhöhung der Leistungskenngröße &nbsp;$ξ$&nbsp; wird das &nbsp;$\text{System C}$&nbsp;  im Gegensatz zum $\text{System A}$  nicht signifikant verbessert.&nbsp; Ein solches Verhalten ist zum Beispiel bei Digitalsystemen feststellbar, bei denen das Sinken–SNR durch das Quantisierungsrauschen begrenzt wird.&nbsp; Befindet man sich bereits auf dem horizontalen Abschnitt der Kurve, so ist durch eine größere Sendeleistung kein besseres Sinken–SNR – und damit verbunden auch keine kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit – zu erzielen.  
{{Beispiel}}
 
In der linken Grafik ist das Sinken–SNR $ρ_υ$ für drei verschiedene Systeme dargestellt, jeweils in Abhängigkeit von der normierten Leistungskenngröße
 
$$\xi = { {\alpha_{\rm K}}^2 \cdot P_{\rm S}}/({{N_0} \cdot B_{\rm NF}}).$$
 
  
 +
Meist werden die Größen &nbsp;$ρ_v$&nbsp; und &nbsp;$ξ$&nbsp; in logarithmierter Form dargestellt, wie in der rechten Grafik zu sehen ist:
 +
*Durch die doppelt–logarithmische Darstellung ergibt sich für das &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; weiterhin die Winkelhalbierende.&nbsp;
 +
*Die geringere Steigung&nbsp; $($Faktor $3)$&nbsp; von &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; führt nun zu einer Verschiebung um &nbsp;$10 · \lg 3 ≈ 5\text{ dB}$&nbsp; nach unten.
 +
*Der Schnittpunkt der Systeme &nbsp;$\text{A}$&nbsp; und &nbsp;$\text{C}$&nbsp; verschiebt sich durch die doppelt–logarithmische Darstellung von &nbsp;$ξ = ρ_v = 10000$&nbsp; auf &nbsp;$10 · \lg ξ = 10 · \lg ρ_v = 40\text{ dB}$. }}
  
[[Datei:P_ID947__Mod_T_1_2_S5b_neu.png | Untersuchungen beim AWGN–Kanal]]
 
 
 
Beim System '''A''' gilt $ρ_ν = ξ$. Beispielsweise führen die Systemparameter
 
$$P_{\rm S}= 10 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
 
\alpha_{\rm K} = 10^{-4}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {N_0} =
 
10^{-12}{ {\rm W} }/{ {\rm Hz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
 
B_{\rm NF}= 10\; {\rm kHz}$$
 
 
Auch beim System '''B''' besteht mit $ρ_υ = ξ/3$ ein linearer Zusammenhang. Anzumerken ist, dass ein Rauschverhalten entsprechend den Systemen A bzw. B bei Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Modulationsgrad $m → ∞$ bzw. $m$ ≈ 0.5 festzustellen ist (siehe Kapitel 2.2).
 
  
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==Aufgaben zum Kapitel==
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<br>
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[[Aufgaben:Aufgabe_1.2:_Verzerrungen%3F_Oder_keine_Verzerrung%3F|Aufgabe 1.2: &nbsp;  Verzerrungen? Oder keine Verzerrung?]]
  
Das System '''C''' zeigt ein völlig anderes Rauschverhalten. Für kleine Werte von $ξ$ ist dieses System dem System A überlegen, während für $ξ =$ 10000 die Qualität beider Systeme gleich ist. Durch eine Erhöhung von $ξ$ kann das System C im Gegensatz zum System A nicht signifikant verbessert werden.
+
[[Aufgaben:Aufgabe_1.2Z:_Linear_verzerrendes_System|Aufgabe 1.2Z: &nbsp; Linear verzerrendes System]]
  
Ein solches Verhalten ist zum Beispiel bei Digitalsystemen feststellbar, bei denen das Sinken–SNR durch das Quantisierungsrauschen begrenzt wird. Befindet man sich bereits auf dem horizontalen Abschnitt der Kurve, so ist durch eine größere Sendeleistung – und damit verbunden eine kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit – kein besseres Sinken–SNR zu erzielen.  
+
[[Aufgaben:Aufgabe_1.3:_Systemvergleich_beim_AWGN–Kanal|Aufgabe 1.3: &nbsp;  Systemvergleich beim AWGN–Kanal]]
  
Meist werden die Größen $ρ_υ$ und $ξ$ in logarithmierter Form dargestellt, wie in der rechten Grafik zu sehen. Durch die doppelt–logarithmische Darstellung ergibt sich für das System A weiterhin die Winkelhalbierende. Die geringere Steigung (Faktor 3) von System B führt nun zu einer Verschiebung um 10 · lg 3 ≈ 5 dB nach unten. Der Schnittpunkt der Systeme A und C verschiebt sich durch die doppelt–logarithmische Transformation von $ξ = ρ_υ =$ 10000 auf 10 · lg $ξ =$ 10 · lg $ρ_υ =$ 40 dB.
+
[[Aufgaben:Aufgabe_1.3Z:_Thermisches_Rauschen|Aufgabe 1.3Z: &nbsp; Thermisches Rauschen]]
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Aktuelle Version vom 2. November 2021, 16:52 Uhr

Ideales und verzerrungsfreies System


Blockschaltbild zur Beschreibung von Modulation und Demodulation

In allen folgenden Kapiteln wird von folgendem Modell ausgegangen:

Die Aufgabe eines jeden Nachrichtenübertragungssystems besteht darin,

  • an der räumlich entfernten Sinke ein Signal  $v(t)$  zur Verfügung zu stellen,
  • das sich möglichst wenig vom Quellensignal  $q(t)$  unterscheidet.


$\text{Definition:}$  Ein  ideales System  liegt vor, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

$$v(t) = q(t) + n(t), \hspace{1cm}n(t) \to 0.$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass  $n(t) \equiv 0$  aus physikalischen Gründen aufgrund des Thermischen Rauschens nicht möglich ist.


In der Praxis werden sich die Signale  $q(t)$  und  $v(t)$  um mehr als den Rauschterm  $n(t)$  unterscheiden, wofür es folgende Gründe gibt:

  • Nichtideale Realisierung von Modulator und Demodulator,
  • lineare Dämpfungs– und Phasenverzerrungen sowie Nichtlinearitäten,
  • externe Störungen und zusätzliche stochastische Rauschprozesse,
  • frequenzunabhängige Dämpfung und Laufzeit.


$\text{Definition:}$  Ein  verzerrungsfreies System  liegt vor, wenn von obiger Auflistung nur die letztgenannte Einschränkung wirksam ist:

$$v(t) = \alpha \cdot q(t- \tau) + n(t), \hspace{1cm}n(t) \to 0.$$


  • Durch den Dämpfungsfaktor  $α$  ist das Sinkensignal  $v(t)$  gegenüber dem Quellensignal  $q(t)$  nur „leiser”.
  • Auch eine Laufzeit  $τ$  ist oft tolerabel, zumindest bei einer unidirektionalen Übertragung.
  • Dagegen wird bei einer bidirektionalen Kommunikation – zum Beispiel einem Telefonat – schon eine Laufzeit von  $300$  Millisekunden als sehr störend empfunden.

Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis


Im allgemeinen Fall wird sich das Sinkensignal  $v(t)$  auch gegenüber  $α · q(t - τ)$   noch unterscheiden, und es gilt für das Fehlersignal:

$$\varepsilon (t) = v(t) - \alpha \cdot q(t- \tau) = \varepsilon_{\rm V} (t) + \varepsilon_{\rm St} (t).$$

Dieses Fehlersignal setzt sich aus zwei Anteilen zusammen:

  • den linearen und nichtlinearen Verzerrungen  $ε_{\rm V}(t)$  (German:  "Verzerrungen"   ⇒   subscript "V"),  die durch die Frequenzgänge von Modulator, Kanal und Demodulator hervorgerufen werden und somit deterministisches  (zeitinvariantes) Verhalten zeigen;
  • der stochastischen Komponente  $ε_{\rm St}(t)$,  die von der HF–Störung  $n(t)$  am Demodulatoreingang herrührt.  Im Gegensatz zu  $n(t)$  handelt es sich bei  $ε_{\rm St}(t)$  jedoch meist aufgrund des Demodulators mit Tiefpass Charakteristik um eine niederfrequente Rauschstörung.


$\text{Definition:}$  Als Maß für die Qualität des Nachrichtensystems wird das  Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis  $ρ_v$  an der Sinke als Quotient der Leistungen (Varianzen) von Nutzanteil  $v(t) - ε(t)$  und Störanteil  $ε(t)$  definiert:

$$\rho_{v} = \frac{ P_{v -\varepsilon} }{P_{\varepsilon} } \hspace{0.05cm},\hspace{0.7cm}\text{mit}\hspace{0.7cm} P_{v -\varepsilon} = \overline{[v(t)-\varepsilon(t)]^2} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M} } \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M} } {\big[v(t)-\varepsilon(t)\big]^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t,\hspace{0.5cm} P_{\varepsilon} = \overline{\varepsilon^2(t)} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M} } \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M} } {\varepsilon^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$


Für die Leistung des Nutzanteils erhält man unabhängig von der Laufzeit  $τ$:

$$P_{v -\varepsilon} = \overline{\big[v(t)-\varepsilon(t)\big]^2} = \overline{\alpha^2 \cdot q^2(t - \tau)}= \alpha^2 \cdot P_{q}.$$

Hierbei bezeichnet  $P_q$  die Leistung des Quellensignals $q(t)$:

$$P_{q} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {q^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t .$$

  Damit erhält man:

$$\rho_{v} = \frac{\alpha^2 \cdot P_{q} }{P_{\varepsilon} } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}\rho_{v} = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm} \frac{\alpha^2 \cdot P_{q} }{P_{\varepsilon} } \hspace{0.05cm}.$$
  • Im Folgenden bezeichnen wir  $ρ_v$  kurz als das  Signal–to–Noise–Ratio  oder  Sinken–SNR,  und
  • $10 · \lg \ ρ_v$ als den  Sinken–Störabstand,  der bei Verwendung des Zehner–Logarithmus  $(\lg)$  in dB angegeben wird.


Zur Verdeutlichung des Fehlersignals $ε(t) = v(t) - α · q(t - τ)$

$\text{Beispiel 1:}$  Rechts sehen Sie einen beispielhaften Ausschnitt

  • des (blauen) Quellensignals  $q(t)$  und
  • des (roten) Sinkensignals  $v(t)$,

die sich merklich voneinander unterscheiden.

Die mittlere Grafik macht jedoch deutlich, dass der wesentliche Unterschied zwischen  $q(t)$  und  $v(t)$  auf den Dämpfungsfaktor  $α = 0.7$  und die Laufzeit  $τ = 0.1\text{ ms}$  zurückzuführen ist.

Die untere Skizze zeigt das verbleibende Fehlersignal  $ε(t) = v(t) - α · q(t - τ)$  nach bestmöglicher Korrektur von Dämpfung und Laufzeit.  Den quadratischen Mittelwert   ⇒   "Varianz"  dieses Signals bezeichnen wir als die Störleistung  $P_ε$.

Zur Berechnung des Sinken–SNR  $ρ_v$  muss  $P_ε$  in Bezug zur Nutzleistung  $α^2 · P_q$  gesetzt werden. Diese ergibt sich als die Varianz des in der mittleren Grafik hellblau eingezeichneten Signals  $α · q(t - τ)$.

Mit den hier vorausgesetzten Kenngrößen  $\alpha = 0.7$   ⇒   $\alpha^2 \approx 0.5$  sowie  $P_{q} = 8\,{\rm V^2}$  und  ${P_{\varepsilon} } = 0.04\,{\rm V^2}$  ergibt sich das Sinken–SNR  $ρ_v ≈ 100$  bzw. der Sinken–Störabstand  $10 · \lg ρ_v ≈ 20$ dB.


  • Das Fehlersignal  $ε(t)$  – und damit auch das Sinken–SNR  $ρ_v$  – berücksichtigt alle Unzulänglichkeiten des betrachteten Nachrichtenübertragungssystems  (Verzerrungen, externe Störungen, Rauschen, usw.).
  • Im Folgenden werden wir aus Darstellungsgründen die unterschiedlichen Effekte getrennt betrachten.

Untersuchungen im Hinblick auf Signalverzerrungen


Alle in den folgenden Kapiteln beschriebenen Modulationsverfahren führen bei nichtidealen Bedingungen zu Verzerrungen,  das heißt zu einem Sinkensignal  

Vereinfachtes Modell eines Übertragungssystems
$$v(t) ≠ α · q(t - τ),$$

das sich nicht nur durch eine Dämpfung und eine Laufzeit von  $q(t)$  unterscheidet. 

Für die Untersuchung und Beschreibung dieser Signalverfälschungen gehen wir stets von folgenden Voraussetzungen und dem obigen Modell aus:

  • Das additive Störsignal  $n(t)$  am Kanalausgang  (Demodulatoreingang)  sei vernachlässigbar klein und wird hier nicht berücksichtigt.
  • Alle Komponenten von Modulator und Demodulator seien linear,
  • ebenso wie der Kanal, der somit durch seinen Frequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  vollständig beschrieben wird.


Je nach Art und Realisierung von Modulator und Demodulator treten folgende Signalverfälschungen auf:

$\text{Lineare Verzerrungen}$  entsprechend der Beschreibung im  gleichnamigen Kapitel  des Buches „Lineare zeitinvariante Systeme”:

  • Lineare Verzerrungen können im Allgemeinen durch einen Entzerrer kompensiert werden, was allerdings bei Vorhandensein einer stochastischen Störung  $n(t)$  stets zu einer höheren Störleistung und damit zu einem geringeren Sinken–SNR führt.
  • Solche linearen Verzerrungen werden weiter in  Dämpfungsverzerrungen  und  Phasenverzerrungen  unterteilt.


$\text{Nichtlineare Verzerrungen}$  entsprechend der Beschreibung im  gleichnamigen Kapitel  des Buches „Lineare zeitinvariante Systeme”:

  • Nichtlineare Verzerrungen sind irreversibel und damit eine stärkere Beeinträchtigung als lineare Verzerrungen.
  • Zur quantitativen Erfassung solcher Verzerrungen eignet sich beispielsweise der Klirrfaktor $K$,  der mit dem Sinken–SNR wie folgt zusammenhängt:   $\rho_{v} = {1}/{K^2} \hspace{0.05cm}.$
  • Die Angabe des Klirrfaktors setzt jedoch eine harmonische Schwingung als Quellensignal voraus.


Wir verweisen hier auf drei grundlegende Lernvideos:


$\text{Zwei weitere Anmerkungen:}$

  1.   Die Verzerrungen bezüglich  $q(t)$  und  $v(t)$  sind immer dann von nichtlinearer Art sind, wenn der Kanal nichtlineare Komponenten beinhaltet und damit bereits nichtlineare Verzerrungen bezüglich der Signale  $s(t)$  und  $r(t)$  vorliegen. 
  2.   Ebenso führen Nichtlinearitäten bei Modulator und Demodulator stets zu nichtlinearen Verzerrungen.


Einige Anmerkungen zum AWGN–Kanalmodell


Zur Untersuchung des Rauschverhaltens der einzelnen Modulations– und Demodulationsverfahren gehen wir meist vom so genannten  AWGN–Kanal  aus, wobei die Abkürzung für  „$\rm A$dditive $\rm W$hite $\rm G$aussian $\rm N$oise”  steht und die Eigenschaften dieses Kanalmodells bereits hinreichend beschreibt.  Wir weisen Sie hier gerne auch auf das dreiteilige Lernvideo  Der AWGN-Kanal  hin.

  • Das additive Störsignal beinhaltet alle Frequenzanteile gleichermaßen;  $n(t)$  besitzt ein konstantes Leistungsdichtespektrum  $\rm (LDS)$ und eine diracförmige Autokorrelationsfunktion  $\rm (AKF)$:
$${\it \Phi}_n(f) = \frac{N_0}{2}\hspace{0.15cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.15cm} \varphi_n(\tau) = \frac{N_0}{2} \cdot \delta (\tau)\hspace{0.05cm}.$$
Der Faktor  $1/2$  in diesen Gleichungen berücksichtigt jeweils die zweiseitige Spektraldarstellung.
  • Beispielsweise gilt bei thermischem Rauschen für die physikalische Rauschleistungsdichte  (das heißt:  einseitige Betrachtungsweise)  mit der Rauschzahl  $F ≥ 1$  und der absoluten Temperatur  $θ$:
$${N_0}= F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta , \hspace{0.3cm}k_{\rm B} = 1.38 \cdot 10^{-23}{ {\rm Ws} }/{ {\rm K} }\hspace{0.2cm}{\rm (Boltzmann-Konstante)}\hspace{0.05cm}.$$
  • Bei echt weißem Rauschen würde sich eine unendliche große Leistung ergeben.  Deshalb ist stets eine Bandbegrenzung auf  $B$  zu berücksichtigen, und es gilt für die wirksame Rauschleistung:
$$N = \sigma_n^2 = {N_0} \cdot B \hspace{0.05cm}.$$
  • Das Störsignal  $n(t)$  besitzt eine Gaußsche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $\rm (WDF)$   ⇒ Amplitudenverteilung  mit Störeffektivwert  $σ_n$:
$$f_n(n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_n}\cdot {\rm e}^{-{\it n^{\rm 2}}/{(2\sigma_{\it n}^2)}}.$$
  • Eigentlich ist beim AWGN–Kanal  $H_{\rm K}(f) = 1$  zu setzen.  Wir modifizieren dieses Modell für unsere Untersuchungen jedoch in der Form, dass wir eine frequenzunabhängige Dämpfung zulassen  (beachten Sie:  Ein frequenzunabhängiger Dämpfungsfaktor führt ebenfalls nicht zu Verzerrungen):
$$H_{\rm K}(f) = \alpha_{\rm K}= {\rm const.}$$


Untersuchungen beim AWGN–Kanal


Bei allen Untersuchungen hinsichtlich Rauschverhalten gehen wir vom unten skizzierten Blockschaltbild aus.  Wir werden dabei stets das Sinken–SNR  $ρ_v$  in Abhängigkeit aller Systemparameter berechnen und zu folgenden Ergebnissen kommen:

Blockschaltbild zur Untersuchung des Rauschverhaltens
  • Je mehr Sendeleistung  $P_{\rm S}$  aufgewendet wird, desto besser ist das Sinken–SNR  $ρ_v$.  Bei einigen Verfahren ergibt sich sogar ein linearer Zusammenhang.
  • $ρ_v$  nimmt mit steigender Rauschleistungsdichte  $N_0$  monoton ab.  Eine Vergrößerung von  $N_0$  kann meist durch eine größere Sendeleistung  $P_{\rm S}$  ausgeglichen werden.
  • Je kleiner der Parameter  $α_{\rm K}$  des Kanals ist, um so kleiner wird  $ρ_v$.  Es besteht oft eine quadratische Abhängigkeit, da die Empfangsleistung  $P_{\rm E} = {α_{\rm K}}^2 · P_{\rm S}$  ist.
  • Ein breitbandigeres Quellensignal  $($größeres  $B_{\rm NF})$  führt zu kleinerem  $ρ_v$   ⇒   man muss auch die HF–Bandbreite vergrößern   ⇒   mehr Störungen werden wirksam.


$\text{Fazit:}$  Unter Berücksichtigung dieser vier Aussagen kommt man zu dem Schluss, dass es Sinn macht, das Sinken–SNR in der Form

$$\rho_{v } = \rho_{v }(\xi) \hspace{0.5cm} {\rm mit} \hspace{0.5cm}\xi = \frac{ {\alpha_{\rm K} }^2 \cdot P_{\rm S} }{N_0 \cdot B_{\rm NF} }$$

normiert darzustellen.  Im Folgenden bezeichnen wir  $ξ$  als die  Leistungskenngröße.


Die in  $ξ$  zusammengefassten Eingangsgrößen sind in obigem Blockschaltbild mit blauen Pfeilen markiert,  während das Qualitätskriterium  $ρ_v$  durch den roten Pfeil hervorgehoben ist.

  • Je größer  $ξ$  ist,  desto größer ist im allgemeinen  $\rho_{v }$.
  • Aber der Zusammenhang ist nicht immer linear,  wie das folgende Beispiel zeigt.


$\text{Beispiel 2:}$  In der linken Grafik ist das Sinken–SNR  $ρ_v$  für drei verschiedene Systeme dargestellt,  jeweils in Abhängigkeit von der normierten Leistungskenngröße  

Untersuchungen beim AWGN–Kanal
$$\xi = { {\alpha_{\rm K} }^2 \cdot P_{\rm S} }/({N_0 \cdot B_{\rm NF} }).$$
  • Beim  $\text{System A}$  gilt  $ρ_ν = ξ$.  Beispielsweise führen die Systemparameter
$$P_{\rm S}= 10 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_{\rm K} = 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$
$$ {N_0} = 10^{-12}\hspace{0.05cm}{ {\rm W} }/{ {\rm Hz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} B_{\rm NF}= 10\; {\rm kHz}$$
zu  $ξ = ρ_v = 10000$  (siehe kreisförmige Markierung der Skizze). 
  • Exakt das gleiche Sinken–SNR ergäbe sich mit den Parametern
$$P_{\rm S}= 5 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_{\rm K} = 10^{-6}\hspace{0.05cm},$$
$${N_0} = 10^{-16}\hspace{0.05cm}{ {\rm W} }/{ {\rm Hz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} B_{\rm NF}= 5\; {\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
  • Auch beim  $\text{System B}$  besteht mit  $ρ_v = ξ/3$  ein linearer Zusammenhang.  Die Gerade geht ebenfalls durch den Nullpunkt.  Die Steigung beträgt aber nur  $1/3$. 
  • Anzumerken ist,  dass ein Rauschverhalten entsprechend  $\text{System A}$  bei  Zweiseitenband–Amplitudenmodulation ohne Träger   ⇒   Modulationsgrad  $m → ∞$  festzustellen ist, während  $\text{System B}$  eine  Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger  und Modulationsgrad  $m ≈ 0.5$  beschreibt.
  • Das  $\text{System C}$  zeigt ein völlig anderes Rauschverhalten.  Für kleine  $ξ$–Werte ist dieses System dem  $\text{System A}$  überlegen, während für  $ξ = 10000$  die Qualität beider Systeme gleich ist.


Durch eine Erhöhung der Leistungskenngröße  $ξ$  wird das  $\text{System C}$  im Gegensatz zum $\text{System A}$ nicht signifikant verbessert.  Ein solches Verhalten ist zum Beispiel bei Digitalsystemen feststellbar, bei denen das Sinken–SNR durch das Quantisierungsrauschen begrenzt wird.  Befindet man sich bereits auf dem horizontalen Abschnitt der Kurve, so ist durch eine größere Sendeleistung kein besseres Sinken–SNR – und damit verbunden auch keine kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit – zu erzielen.

Meist werden die Größen  $ρ_v$  und  $ξ$  in logarithmierter Form dargestellt, wie in der rechten Grafik zu sehen ist:

  • Durch die doppelt–logarithmische Darstellung ergibt sich für das  $\text{System A}$  weiterhin die Winkelhalbierende. 
  • Die geringere Steigung  $($Faktor $3)$  von  $\text{System B}$  führt nun zu einer Verschiebung um  $10 · \lg 3 ≈ 5\text{ dB}$  nach unten.
  • Der Schnittpunkt der Systeme  $\text{A}$  und  $\text{C}$  verschiebt sich durch die doppelt–logarithmische Darstellung von  $ξ = ρ_v = 10000$  auf  $10 · \lg ξ = 10 · \lg ρ_v = 40\text{ dB}$.


Aufgaben zum Kapitel


Aufgabe 1.2:   Verzerrungen? Oder keine Verzerrung?

Aufgabe 1.2Z:   Linear verzerrendes System

Aufgabe 1.3:   Systemvergleich beim AWGN–Kanal

Aufgabe 1.3Z:   Thermisches Rauschen