Aufgaben:Aufgabe 1.1Z: Tiefpass 1. und 2. Ordnung: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend | + | :$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$ |
− | $$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$ | + | Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. In der Grafik dargestellt sind für dieses Filter |
− | Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. | + | * oben der Dämpfungsverlauf $a_1(f)$, |
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− | $$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln | + | In dieser Aufgabe sollen |
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+ | *Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes $|H| = 1/x$ besteht folgender Zusammenhang: | ||
+ | :$$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln | ||
(10)}{20} \cdot a_{\rm dB} \approx 0.11513 \cdot a_{\rm dB}.$$ | (10)}{20} \cdot a_{\rm dB} \approx 0.11513 \cdot a_{\rm dB}.$$ | ||
− | Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen $z_1$ und $z_2$ folgende Gleichungen gelten: | + | *Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen $z_1$ und $z_2$ folgende Gleichungen gelten: |
− | $$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$ | + | :$$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$ |
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+ | Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G} \approx f_0$. | ||
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+ | '''(2)''' Der Frequenzgang $H_1(f)$ kann auch nach Real– und Imaginärteil getrennt dargestellt werden: | ||
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+ | *Damit ergibt sich für den Phasengang: | ||
+ | :$$b_1(f) = - \arctan \hspace{0.1cm} ( {\rm Im} /{\rm Re} ) = \arctan \hspace{0.1cm} ({f}/{f_0}).$$ | ||
+ | *Für $f = f_0$ erhält man $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$, und für $f = 2f_0$ den Wert $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$. | ||
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+ | '''(3)''' Für den Amplitudengang eines Tiefpasses $n$–ter Ordnung gilt: | ||
+ | :$$|H_n(f)| = |H_{\rm 1}(f)|^n.$$ | ||
+ | Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der $n$–fachen Multiplikation die $n$–fache Summe: | ||
+ | :$$a_n(f) = n \cdot a_1(f)= {n}/{2} \cdot \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right].$$ | ||
+ | Für den Tiefpass zweiter Ordnung ergibt sich daraus als Sonderfall: | ||
+ | :$$a_2(f) = \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]= 2 \cdot a_1(f).$$ | ||
+ | Die dB–Werte lauten nun: | ||
+ | *$ \underline{6.02 \: {\rm dB} ≈ 6 \: {\rm dB}}$ für $f = ±f_0$, | ||
+ | *$\rm \underline{13.98 \: {\rm dB} ≈ 14 \: {\rm dB}}$ für $f = ±2f_0$. | ||
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+ | Damit ist offensichtlich, dass für $n > 1$ der Parameter $f_0$ nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ angibt. <br>Für $n = 2$ ⇒ „Tiefpass zweiter Ordnung” gilt vielmehr der Zusammenhang: | ||
+ | :$${f_{\rm G} } = {f_0}/\sqrt{2}.$$ | ||
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+ | '''(4)''' Auch bezüglich der Phasenfunktion gilt: | ||
+ | :$$b_n(f) = n \cdot b_1(f), \hspace{0.3 cm} b_2(f) = 2 \cdot b_1(f).$$ | ||
+ | Beim Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen $±π$ möglich. Insbesondere ist | ||
+ | *$b_2(f = f_0) = π/2 \rm \underline{\: = 1.571 \: rad}$, | ||
+ | * $b_2(f = 2f_0) = \rm 2.216 \: rad$. | ||
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− | [[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^ | + | [[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.1 Systembeschreibung im Frequenzbereich^]] |
Aktuelle Version vom 9. Juli 2021, 15:53 Uhr
Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend Aufgabe 1.1 – hat folgenden Frequenzgang:
- $$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$
Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. In der Grafik dargestellt sind für dieses Filter
- oben der Dämpfungsverlauf $a_1(f)$,
- unten der Phasenverlauf $b_1(f)$.
Entsprechend gilt für einen Tiefpass $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung:
- $$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$
In dieser Aufgabe sollen
- ausgehend von den Funktionen $a_1(f)$ und $b_1(f)$ für den Tiefpass erster Ordnung
- der Dämpfungs– und Phasenverlauf eines Tiefpasses höherer Ordnung analysiert werden.
Allgemein gilt:
- $$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Systembeschreibung im Frequenzbereich.
- Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes $|H| = 1/x$ besteht folgender Zusammenhang:
- $$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln (10)}{20} \cdot a_{\rm dB} \approx 0.11513 \cdot a_{\rm dB}.$$
- Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen $z_1$ und $z_2$ folgende Gleichungen gelten:
- $$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$
Fragebogen
Musterlösung
- $$|H_{\rm 1}(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (f/f_0)^2}}.$$
- Damit erhält man den Dämpfungsverlauf in Neper (Np):
- $$a_1(f) = \ln \frac{1}{|H_1(f)|} = {1}/{2} \cdot \ln \left[1 + ({f}/{f_0})^2 \right] \Rightarrow a_1(f = f_0) = 0.3466 \hspace{0.1 cm}{\rm Np},\hspace{0.5 cm}a_1(f = 2 f_0) = 0.8047 \hspace{0.1 cm}{\rm Np}.$$
Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit $1/0.11513 = 8.68589$ und führt zu den Ergebnissen
- $ \underline{3.01 \: {\rm dB} ≈ 3 \: {\rm dB}}$ für $ f = f_0$,
- $ \underline{6.99 \: {\rm dB}≈ 7 \: {\rm dB}}$ für $ f = 2f_0$.
Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G} \approx f_0$.
(2) Der Frequenzgang $H_1(f)$ kann auch nach Real– und Imaginärteil getrennt dargestellt werden:
- $$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{ {1+ (f/f_0)^2} } - {\rm j} \cdot \frac{f/f_0}{ {1+ (f/f_0)^2} }.$$
- Damit ergibt sich für den Phasengang:
- $$b_1(f) = - \arctan \hspace{0.1cm} ( {\rm Im} /{\rm Re} ) = \arctan \hspace{0.1cm} ({f}/{f_0}).$$
- Für $f = f_0$ erhält man $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$, und für $f = 2f_0$ den Wert $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$.
(3) Für den Amplitudengang eines Tiefpasses $n$–ter Ordnung gilt:
- $$|H_n(f)| = |H_{\rm 1}(f)|^n.$$
Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der $n$–fachen Multiplikation die $n$–fache Summe:
- $$a_n(f) = n \cdot a_1(f)= {n}/{2} \cdot \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right].$$
Für den Tiefpass zweiter Ordnung ergibt sich daraus als Sonderfall:
- $$a_2(f) = \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]= 2 \cdot a_1(f).$$
Die dB–Werte lauten nun:
- $ \underline{6.02 \: {\rm dB} ≈ 6 \: {\rm dB}}$ für $f = ±f_0$,
- $\rm \underline{13.98 \: {\rm dB} ≈ 14 \: {\rm dB}}$ für $f = ±2f_0$.
Damit ist offensichtlich, dass für $n > 1$ der Parameter $f_0$ nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ angibt.
Für $n = 2$ ⇒ „Tiefpass zweiter Ordnung” gilt vielmehr der Zusammenhang:
- $${f_{\rm G} } = {f_0}/\sqrt{2}.$$
(4) Auch bezüglich der Phasenfunktion gilt:
- $$b_n(f) = n \cdot b_1(f), \hspace{0.3 cm} b_2(f) = 2 \cdot b_1(f).$$
Beim Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen $±π$ möglich. Insbesondere ist
- $b_2(f = f_0) = π/2 \rm \underline{\: = 1.571 \: rad}$,
- $b_2(f = 2f_0) = \rm 2.216 \: rad$.
Da die Phase eine ungerade Funktion ist, gilt hier: $b_2(f = \: –2f_0) = \rm \underline{–2.216 \: rad}$.