Aufgaben:Aufgabe 1.1Z: Tiefpass 1. und 2. Ordnung: Unterschied zwischen den Versionen

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{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}}
 
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}}
==Z1.1 Tiefpass 1. und 2. Ordnung==
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[[Datei:P_ID785__LZI_Z_1_1.png|Dämpfungs– & Phasenfunktion|right|frame]]
[[Datei:P_ID785__LZI_Z_1_1.png | Dämpfungs– und Phasenfunktion (Aufgabe Z1.1) |right|]]
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Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend  [[Aufgaben:1.1_Einfache_Filterfunktionen|Aufgabe 1.1]]  – hat folgenden Frequenzgang:
Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend der Aufgabe A1.1 – hat den folgenden Frequenzgang:
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:$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$
$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$
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Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. In der Grafik dargestellt sind für dieses Filter
Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. Der Dämpfungsverlauf $a_1(f)$ und der Phasenverlauf $b_1(f)$ dieses Filters sind in der Grafik dargestellt.
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* oben der Dämpfungsverlauf  $a_1(f)$,
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* unten der Phasenverlauf  $b_1(f)$.
  
Entsprechend gilt für einen Tiefpass $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung:
 
$$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$
 
In dieser Aufgabe sollen – ausgehend von den Funktionen $a_1(f)$ und $b_1(f)$ eines Tiefpasses erster Ordnung – der Dämpfungs– und Phasenverlauf eines solchen Tiefpasses höherer Ordnung analysiert werden. Allgemein gilt:
 
$$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\cdot b(f)}.$$
 
  
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Entsprechend gilt für einen Tiefpass  $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung:
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:$$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$
  
'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Kapitel 1.1]]. Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes $|H| = 1/x$ besteht folgender Zusammenhang:
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$$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln
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In dieser Aufgabe sollen
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*ausgehend von den Funktionen  $a_1(f)$  und  $b_1(f)$  für den Tiefpass erster Ordnung
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*der Dämpfungs– und Phasenverlauf eines Tiefpasses höherer Ordnung analysiert werden.
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Allgemein gilt:
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:$$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}.$$
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''Hinweise:''  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Systembeschreibung im Frequenzbereich]].
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*Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes  $|H| = 1/x$  besteht folgender Zusammenhang:
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:$$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln
 
(10)}{20} \cdot a_{\rm dB} \approx 0.11513 \cdot a_{\rm dB}.$$
 
(10)}{20} \cdot a_{\rm dB} \approx 0.11513 \cdot a_{\rm dB}.$$
Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen $z_1$ und $z_2$ folgende Gleichungen gelten:
+
*Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen  $z_1$  und  $z_2$  folgende Gleichungen gelten:
$$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$
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:$$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$
  
  
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Multiple-Choice Frage
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{Berechnen Sie den Dämpfungsverlauf&nbsp; $a_1(f)$&nbsp; eines Tiefpasses erster Ordnung in&nbsp; $\rm dB$. <br>Welche&nbsp; $\rm dB$–Werte ergeben sich bei&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und&nbsp; $f = 2f_0$?
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- Falsch
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$a_1(f = f_0)\ = \ $  { 3.01 5% } &nbsp;$\text{dB}$
+ Richtig
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$a_1(f = 2f_0)\ = \ $  { 6.99 5% } &nbsp;$\text{dB}$
 +
 
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 +
{Berechnen Sie den Phasenverlauf&nbsp; $b_1(f)$. <br>Welche Werte in Radian (rad) erhält man bei&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und&nbsp; $f = 2f_0$?
 +
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$b_1(f = f_0)\ = \ $  { 0.786 5% } &nbsp;$\text{rad}$
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$b_1(f = 2f_0)\ = \ $  { 1.108 5% } &nbsp;$\text{rad}$
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{Welchen Dämpfungsverlauf&nbsp; $a_n(f)$&nbsp; hat ein Tiefpass&nbsp; $n$–ter Ordnung? <br>Welche&nbsp; $\rm dB$–Werte erhält man mit&nbsp; $n = 2$&nbsp; für&nbsp; $f = f_0$&nbsp; bzw.&nbsp; $f = \: –2f_0$?
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$a_2(f = f_0)\ = \ $  { 6.02 5% } &nbsp;$\text{dB}$
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$a_2(f = -2f_0)\ = \ $  { 13.98 5% } &nbsp;$\text{dB}$
  
  
{Input-Box Frage
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{Berechnen Sie die Phasenfunktion&nbsp; $b_2(f)$&nbsp; eines Tiefpasses zweiter Ordnung. <br>Welche Werte (in Radian) erhält man für&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und&nbsp; $f = \: –2f_0$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\alpha$ = { 0.3 }
+
$b_2(f = f_0)\ = \ $ { 1.571 5% } &nbsp;$\text{rad}$
 +
$b_2(f = -2f_0)\ = \ $  { -2.23--2.20  } &nbsp;$\text{rad}$
 +
 
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
:'''a)'''
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'''(1)'''&nbsp; Der Amplitudengang des Tiefpasses erster Ordnung lautet:
:'''b)'''
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:$$|H_{\rm 1}(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (f/f_0)^2}}.$$
:'''c)'''
+
*Damit erhält man den Dämpfungsverlauf in Neper (Np):
:'''d)'''
+
:$$a_1(f) = \ln \frac{1}{|H_1(f)|} = {1}/{2} \cdot \ln \left[1 + ({f}/{f_0})^2 \right]  \Rightarrow  a_1(f = f_0) = 0.3466 \hspace{0.1 cm}{\rm Np},\hspace{0.5 cm}a_1(f = 2 f_0) = 0.8047 \hspace{0.1 cm}{\rm Np}.$$
:'''e)'''
+
Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit&nbsp;  $1/0.11513 = 8.68589$&nbsp; und führt zu den Ergebnissen
:'''f)'''
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*$ \underline{3.01 \: {\rm dB} ≈ 3 \: {\rm dB}}$&nbsp; für&nbsp; $ f = f_0$,
:'''g)'''
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*$ \underline{6.99 \: {\rm dB}≈ 7 \: {\rm dB}}$&nbsp; für&nbsp; $ f = 2f_0$.
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Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} \approx f_0$.
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'''(2)'''&nbsp; Der Frequenzgang&nbsp; $H_1(f)$&nbsp; kann auch nach Real– und Imaginärteil getrennt dargestellt werden:
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:$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{ {1+ (f/f_0)^2} } - {\rm j} \cdot \frac{f/f_0}{ {1+ (f/f_0)^2} }.$$
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*Damit ergibt sich für den Phasengang:
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:$$b_1(f) = - \arctan \hspace{0.1cm} ( {\rm Im} /{\rm Re} ) = \arctan \hspace{0.1cm} ({f}/{f_0}).$$
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*Für&nbsp; $f = f_0$&nbsp; erhält man&nbsp; $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$, und für&nbsp; $f = 2f_0$&nbsp; den Wert&nbsp; $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$.
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'''(3)'''&nbsp; Für den Amplitudengang eines Tiefpasses&nbsp; $n$–ter Ordnung gilt:
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:$$|H_n(f)| = |H_{\rm 1}(f)|^n.$$
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Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der&nbsp; $n$–fachen Multiplikation die&nbsp; $n$–fache Summe:
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:$$a_n(f) = n \cdot a_1(f)=  {n}/{2} \cdot \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right].$$
 +
Für den Tiefpass zweiter Ordnung ergibt sich daraus als Sonderfall:
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:$$a_2(f) =  \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]= 2 \cdot a_1(f).$$
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Die dB–Werte lauten nun:
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*$ \underline{6.02 \: {\rm dB} ≈ 6 \: {\rm dB}}$&nbsp; für&nbsp; $f = ±f_0$,
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*$\rm \underline{13.98 \: {\rm dB} ≈ 14 \: {\rm dB}}$&nbsp; für&nbsp; $f = ±2f_0$.
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Damit ist offensichtlich, dass für&nbsp; $n > 1$&nbsp; der Parameter&nbsp; $f_0$&nbsp; nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ angibt. <br>Für&nbsp; $n = 2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Tiefpass zweiter Ordnung&rdquo; gilt vielmehr der Zusammenhang: &nbsp;
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:$${f_{\rm G} } =  {f_0}/\sqrt{2}.$$
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'''(4)'''&nbsp; Auch bezüglich der Phasenfunktion gilt:
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:$$b_n(f) =  n \cdot b_1(f), \hspace{0.3 cm} b_2(f) =  2 \cdot b_1(f).$$
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Beim Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen&nbsp; $±π$&nbsp; möglich. Insbesondere ist
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*$b_2(f = f_0) = π/2 \rm \underline{\: = 1.571 \: rad}$,
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* $b_2(f = 2f_0) = \rm 2.216 \: rad$.
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Da die Phase eine ungerade Funktion ist, gilt hier: &nbsp;  $b_2(f = \: –2f_0) = \rm \underline{–2.216 \: rad}$.
 
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[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^Kapitelx^]]
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[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.1 Systembeschreibung im Frequenzbereich^]]

Aktuelle Version vom 9. Juli 2021, 15:53 Uhr

Dämpfungs– & Phasenfunktion

Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend  Aufgabe 1.1  – hat folgenden Frequenzgang:

$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$

Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. In der Grafik dargestellt sind für dieses Filter

  • oben der Dämpfungsverlauf  $a_1(f)$,
  • unten der Phasenverlauf  $b_1(f)$.


Entsprechend gilt für einen Tiefpass  $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung:

$$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$


In dieser Aufgabe sollen

  • ausgehend von den Funktionen  $a_1(f)$  und  $b_1(f)$  für den Tiefpass erster Ordnung
  • der Dämpfungs– und Phasenverlauf eines Tiefpasses höherer Ordnung analysiert werden.


Allgemein gilt:

$$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}.$$




Hinweise:

  • Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes  $|H| = 1/x$  besteht folgender Zusammenhang:
$$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln (10)}{20} \cdot a_{\rm dB} \approx 0.11513 \cdot a_{\rm dB}.$$
  • Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen  $z_1$  und  $z_2$  folgende Gleichungen gelten:
$$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$


Fragebogen

1

Berechnen Sie den Dämpfungsverlauf  $a_1(f)$  eines Tiefpasses erster Ordnung in  $\rm dB$.
Welche  $\rm dB$–Werte ergeben sich bei  $f = f_0$  und  $f = 2f_0$?

$a_1(f = f_0)\ = \ $

 $\text{dB}$
$a_1(f = 2f_0)\ = \ $

 $\text{dB}$

2

Berechnen Sie den Phasenverlauf  $b_1(f)$.
Welche Werte in Radian (rad) erhält man bei  $f = f_0$  und  $f = 2f_0$?

$b_1(f = f_0)\ = \ $

 $\text{rad}$
$b_1(f = 2f_0)\ = \ $

 $\text{rad}$

3

Welchen Dämpfungsverlauf  $a_n(f)$  hat ein Tiefpass  $n$–ter Ordnung?
Welche  $\rm dB$–Werte erhält man mit  $n = 2$  für  $f = f_0$  bzw.  $f = \: –2f_0$?

$a_2(f = f_0)\ = \ $

 $\text{dB}$
$a_2(f = -2f_0)\ = \ $

 $\text{dB}$

4

Berechnen Sie die Phasenfunktion  $b_2(f)$  eines Tiefpasses zweiter Ordnung.
Welche Werte (in Radian) erhält man für  $f = f_0$  und  $f = \: –2f_0$?

$b_2(f = f_0)\ = \ $

 $\text{rad}$
$b_2(f = -2f_0)\ = \ $

 $\text{rad}$


Musterlösung

(1)  Der Amplitudengang des Tiefpasses erster Ordnung lautet:

$$|H_{\rm 1}(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (f/f_0)^2}}.$$
  • Damit erhält man den Dämpfungsverlauf in Neper (Np):
$$a_1(f) = \ln \frac{1}{|H_1(f)|} = {1}/{2} \cdot \ln \left[1 + ({f}/{f_0})^2 \right] \Rightarrow a_1(f = f_0) = 0.3466 \hspace{0.1 cm}{\rm Np},\hspace{0.5 cm}a_1(f = 2 f_0) = 0.8047 \hspace{0.1 cm}{\rm Np}.$$

Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit  $1/0.11513 = 8.68589$  und führt zu den Ergebnissen

  • $ \underline{3.01 \: {\rm dB} ≈ 3 \: {\rm dB}}$  für  $ f = f_0$,
  • $ \underline{6.99 \: {\rm dB}≈ 7 \: {\rm dB}}$  für  $ f = 2f_0$.


Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz  $f_{\rm G} \approx f_0$.


(2)  Der Frequenzgang  $H_1(f)$  kann auch nach Real– und Imaginärteil getrennt dargestellt werden:

$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{ {1+ (f/f_0)^2} } - {\rm j} \cdot \frac{f/f_0}{ {1+ (f/f_0)^2} }.$$
  • Damit ergibt sich für den Phasengang:
$$b_1(f) = - \arctan \hspace{0.1cm} ( {\rm Im} /{\rm Re} ) = \arctan \hspace{0.1cm} ({f}/{f_0}).$$
  • Für  $f = f_0$  erhält man  $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$, und für  $f = 2f_0$  den Wert  $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$.


(3)  Für den Amplitudengang eines Tiefpasses  $n$–ter Ordnung gilt:

$$|H_n(f)| = |H_{\rm 1}(f)|^n.$$

Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der  $n$–fachen Multiplikation die  $n$–fache Summe:

$$a_n(f) = n \cdot a_1(f)= {n}/{2} \cdot \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right].$$

Für den Tiefpass zweiter Ordnung ergibt sich daraus als Sonderfall:

$$a_2(f) = \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]= 2 \cdot a_1(f).$$

Die dB–Werte lauten nun:

  • $ \underline{6.02 \: {\rm dB} ≈ 6 \: {\rm dB}}$  für  $f = ±f_0$,
  • $\rm \underline{13.98 \: {\rm dB} ≈ 14 \: {\rm dB}}$  für  $f = ±2f_0$.


Damit ist offensichtlich, dass für  $n > 1$  der Parameter  $f_0$  nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ angibt.
Für  $n = 2$   ⇒   „Tiefpass zweiter Ordnung” gilt vielmehr der Zusammenhang:  

$${f_{\rm G} } = {f_0}/\sqrt{2}.$$


(4)  Auch bezüglich der Phasenfunktion gilt:

$$b_n(f) = n \cdot b_1(f), \hspace{0.3 cm} b_2(f) = 2 \cdot b_1(f).$$

Beim Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen  $±π$  möglich. Insbesondere ist

  • $b_2(f = f_0) = π/2 \rm \underline{\: = 1.571 \: rad}$,
  • $b_2(f = 2f_0) = \rm 2.216 \: rad$.


Da die Phase eine ungerade Funktion ist, gilt hier:   $b_2(f = \: –2f_0) = \rm \underline{–2.216 \: rad}$.