Aufgaben:Aufgabe 1.6: Rechteckförmige Impulsantwort: Unterschied zwischen den Versionen
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− | [[Datei:P_ID858__LZI_A_1_6.png|right|Rechteckförmige Impulsantwort, akausal und kausal | + | [[Datei:P_ID858__LZI_A_1_6.png|right|frame|Rechteckförmige Impulsantwort, akausal und kausal]] |
− | Wir betrachten im Folgenden die in der Grafik gezeigte Konstellation | + | Wir betrachten im Folgenden die in der Grafik gezeigte Konstellation: |
+ | *Der Frequenzgang $H(f) = H_1(f) · H_2(f)$ im unteren Zweig ist durch die Impulsantworten seiner beiden Teilkomponenten festgelegt. | ||
+ | *Hierbei ist $h_1(t)$ im Bereich von $-1\ \rm ms$ bis $+1\ \rm ms$ konstant gleich $k$ und außerhalb Null. | ||
+ | *An den Bereichsgrenzen gilt jeweils der halbe Wert. | ||
+ | *Die im Bild eingezeichnete Zeitvariable ist somit $Δt = 2 \ \rm ms$. | ||
− | Die Impulsantwort der zweiten Systemfunktion $H_2(f)$ lautet: | + | Die Impulsantwort der zweiten Systemfunktion $H_2(f)$ lautet: |
− | $$h_2(t) = \delta(t - \tau).$$ | + | :$$h_2(t) = \delta(t - \tau).$$ |
− | Der Frequenzgang zwischen den Signalen $x(t)$ und $z(t)$ hat Hochpass–Charakter und lautet allgemein: | + | Der Frequenzgang zwischen den Signalen $x(t)$ und $z(t)$ hat Hochpass–Charakter und lautet allgemein: |
− | $$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_1(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm | + | :$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_1(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi}f \tau}.$$ |
− | Für die Teilaufgaben | + | *Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(4)''' gelte $τ = 0$ ⇒ $H(f) = H_1(f)$. |
− | $$H_{\rm HP}(f) = 1 - {\rm si}( \pi \cdot {\rm \Delta}t \cdot f).$$ | + | *Mit $τ = 0$ kann hierfür aber auch geschrieben werden $(Δt = 2 \ \rm ms)$: |
− | Ohne Auswirkung auf die Lösung der Aufgabe ist anzumerken, dass diese Gleichung für $τ ≠$ | + | :$$H_{\rm HP}(f) = 1 - {\rm si}( \pi \cdot {\rm \Delta}t \cdot f).$$ |
− | $$|H_{\rm HP}(f)|\hspace{0.09cm} \ne \hspace{0.09cm}1 - |H_1(f)| .$$ | + | *Ohne Auswirkung auf die Lösung der Aufgabe ist anzumerken, dass diese Gleichung für $τ ≠ 0$ nicht anwendbar ist, wegen: |
+ | :$$|H_{\rm HP}(f)|\hspace{0.09cm} \ne \hspace{0.09cm}1 - |H_1(f)| .$$ | ||
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+ | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]]. | ||
+ | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Spalt.E2.80.93Tiefpass|Spalt–Tiefpass]]. | ||
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<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | {Berechnen Sie Höhe $k$ der Impulsantwort $h_1(t)$ unter der Nebenbedingung | + | {Berechnen Sie die Höhe $k$ der Impulsantwort $h_1(t)$ unter der Nebenbedingung $H_1(f = 0) = 1$. |
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− | $k =$ { 500 } 1/s | + | $k \ =\ $ { 500 3% } $\ \rm 1/s$ |
− | {Das Eingangssignal $x(t)$ sei ein um $t =$ | + | {Das Eingangssignal $x(t)$ sei ein um $t = 0$ symmetrisches Rechteck der Dauer $T = 2 \ \rm ms$ und der Höhe $1 \, \rm V$. Es gelte $τ = 0$ . <br>Welche Aussagen sind zutreffend? |
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− | - $y(t)$ ist rechteckförmig. | + | - $y(t)$ ist rechteckförmig. |
− | + $y(t)$ ist dreieckförmig. | + | + $y(t)$ ist dreieckförmig. |
− | - $y(t)$ ist trapezförmig. | + | - $y(t)$ ist trapezförmig. |
− | + Der Maximalwert von $y(t)$ | + | + Der Maximalwert von $y(t)$ beträgt $ 1\hspace{0.05cm} \rm V$. |
− | {Welche Aussagen treffen zu, wenn $x(t)$ die Rechteckbreite $T = | + | {Welche Aussagen treffen zu, wenn $x(t)$ die Rechteckbreite $T = 1 \ \rm ms$ besitzt? |
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− | - $y(t)$ ist rechteckförmig. | + | - $y(t)$ ist rechteckförmig. |
− | - $y(t)$ ist dreieckförmig. | + | - $y(t)$ ist dreieckförmig. |
− | + $y(t)$ ist trapezförmig. | + | + $y(t)$ ist trapezförmig. |
− | - Der Maximalwert von $y(t)$ | + | - Der Maximalwert von $y(t)$ beträgt $1\hspace{0.05cm} \rm V$. |
− | {Es gelte weiter $τ =$ | + | {Es gelte weiter $τ = 0$. Berechnen Sie das Ausgangssignal $z(t)$, wenn $x(t)$ zum Zeitpunkt $t = 0$ von Null auf $1\hspace{0.05cm} \rm V$ springt. <br>Welche Aussagen treffen zu? |
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− | - $z(t)$ ist eine gerade Funktion der Zeit. | + | - $z(t)$ ist eine gerade Funktion der Zeit. |
− | + $z(t)$ weist bei $t =$ | + | + $z(t)$ weist bei $t = 0$ eine Sprungstelle auf. |
− | + Zum Zeitpunkt $t =$ | + | + Zum Zeitpunkt $t = 0$ ist $z(t) = 0$. |
− | + Für $t > | + | + Für $t > 1 \ \rm ms$ ist $z(t) = 0$. |
− | {Welchen Verlauf hat $z(t)$ als Antwort auf das sprungförmige Eingangssignal $x(t)$, wenn die Laufzeit $τ = | + | {Welchen Verlauf hat $z(t)$ als Antwort auf das sprungförmige Eingangssignal $x(t)$, wenn die Laufzeit $τ =1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ ist? <br>Welcher Signalwert tritt bei $t =1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ auf? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $z(t = 1 ms) =$ { 0.5 } V | + | $z(t = 1 \rm \ ms) =\ $ { 0.5 3% } $\ \rm V$ |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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− | '''1 | + | '''(1)''' Die Bedingung $H(f = 0) = 1$ bedeutet, dass die Fläche der Impulsantwort gleich $1$ ist. Daraus folgt: |
− | '''2 | + | :$$k = {1}/{\Delta t} \hspace{0.15cm}\underline{= 500\hspace{0.1cm}{ 1/{\rm s}}} .$$ |
− | '''3 | + | |
− | '''4 | + | |
− | '''5 | + | |
− | + | '''(2)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>: | |
− | + | *Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich als das Faltungsprodukt von $x(t)$ und $h(t)$. | |
+ | *Die Faltung zweier gleich breiter Rechtecke ergibt ein Dreieck mit dem Maximum bei $t = 0$: | ||
+ | :$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {k \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau = | ||
+ | 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {\frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau= 1\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$ | ||
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+ | [[Datei: P_ID859__LZI_A_1_6_c.png | Trapezimpuls| rechts|frame]] | ||
+ | '''(3)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>: | ||
+ | *Die Faltung zweier unterschiedlich breiter Rechtecke führt zum trapezförmigen Ausgangssignal gemäß der Skizze. | ||
+ | *Der Maximalwert tritt im konstanten Bereich von $-0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$ bis $+0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$ auf und beträgt | ||
+ | :$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \frac{1}{2\,{\rm | ||
+ | ms}} \hspace{0.05cm}\cdot 1\,{\rm ms} = 0.5\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$ | ||
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+ | [[Datei: P_ID860__LZI_A_1_6_d.png | Akausale HP–Sprungantwort | rechts|frame]] | ||
+ | '''(4)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und 4</u>: | ||
+ | *Die Impulsantwort des Gesamtsystems lautet: $h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h(t).$ Beide Anteile sind in der Skizze dargestellt. | ||
+ | *Durch Integration über $h_{\rm HP}(t)$ und Multiplikation mit $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ kommt man zum gesuchten Signal $z(t)$. <br>In der unteren Skizze sind dargestellt: | ||
+ | :#das Integral über $δ(t)$ blau, | ||
+ | :#die Funktion $-σ(t)$ rot, und | ||
+ | :#das gesamte Signal $z(t)$ grün. | ||
+ | *$z(t)$ ist eine ungerade Funktion in $t$ mit einer Sprungstelle bei $t = 0$: Der Signalwert bei $t = 0$ liegt genau in der Mitte zwischen dem links– und dem rechteckseitigem Grenzwert und ist somit Null. | ||
+ | *Für $t > 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ gilt ebenfalls $z(t) = 0$, da das Gesamtsystem eine Hochpass-Charakteristik aufweist. | ||
+ | <br clear=all> | ||
+ | [[Datei: P_ID861__LZI_A_1_6_e.png | Kausale HP–Sprungantwort | rechts|frame]] | ||
+ | '''(5)''' Die untere Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort $h_{\rm HP}(t)$ und die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$. | ||
+ | *Diese springt bei $t = 0$ auf $1$ und klingt bis zum Zeitpunkt $t = 2 \hspace{0.05cm} \rm ms$ auf den Endwert „Null” ab. | ||
+ | *Zum Zeitpunkt $t = 1\ \rm ms$ ergibt sich $σ_{\rm HP}(t) = 0.5$. | ||
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+ | *Das Signal $z(t)$ ist formgleich mit der Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, ist jedoch noch mit $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ zu multiplizieren. | ||
+ | *Der gesuchte Signalwert zur Zeit $t_1 = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ ergibt sich also zu $z(t_1) \; \rm \underline{ = \ 0.5 \: {\rm V}}$. | ||
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− | [[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^ | + | [[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.3 Systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]] |
Aktuelle Version vom 9. September 2021, 17:42 Uhr
Wir betrachten im Folgenden die in der Grafik gezeigte Konstellation:
- Der Frequenzgang $H(f) = H_1(f) · H_2(f)$ im unteren Zweig ist durch die Impulsantworten seiner beiden Teilkomponenten festgelegt.
- Hierbei ist $h_1(t)$ im Bereich von $-1\ \rm ms$ bis $+1\ \rm ms$ konstant gleich $k$ und außerhalb Null.
- An den Bereichsgrenzen gilt jeweils der halbe Wert.
- Die im Bild eingezeichnete Zeitvariable ist somit $Δt = 2 \ \rm ms$.
Die Impulsantwort der zweiten Systemfunktion $H_2(f)$ lautet:
- $$h_2(t) = \delta(t - \tau).$$
Der Frequenzgang zwischen den Signalen $x(t)$ und $z(t)$ hat Hochpass–Charakter und lautet allgemein:
- $$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_1(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi}f \tau}.$$
- Für die Teilaufgaben (1) bis (4) gelte $τ = 0$ ⇒ $H(f) = H_1(f)$.
- Mit $τ = 0$ kann hierfür aber auch geschrieben werden $(Δt = 2 \ \rm ms)$:
- $$H_{\rm HP}(f) = 1 - {\rm si}( \pi \cdot {\rm \Delta}t \cdot f).$$
- Ohne Auswirkung auf die Lösung der Aufgabe ist anzumerken, dass diese Gleichung für $τ ≠ 0$ nicht anwendbar ist, wegen:
- $$|H_{\rm HP}(f)|\hspace{0.09cm} \ne \hspace{0.09cm}1 - |H_1(f)| .$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Spalt–Tiefpass.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die Bedingung $H(f = 0) = 1$ bedeutet, dass die Fläche der Impulsantwort gleich $1$ ist. Daraus folgt:
- $$k = {1}/{\Delta t} \hspace{0.15cm}\underline{= 500\hspace{0.1cm}{ 1/{\rm s}}} .$$
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 4:
- Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich als das Faltungsprodukt von $x(t)$ und $h(t)$.
- Die Faltung zweier gleich breiter Rechtecke ergibt ein Dreieck mit dem Maximum bei $t = 0$:
- $$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {k \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {\frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau= 1\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$
(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:
- Die Faltung zweier unterschiedlich breiter Rechtecke führt zum trapezförmigen Ausgangssignal gemäß der Skizze.
- Der Maximalwert tritt im konstanten Bereich von $-0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$ bis $+0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$ auf und beträgt
- $$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.05cm}\cdot 1\,{\rm ms} = 0.5\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$
(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4:
- Die Impulsantwort des Gesamtsystems lautet: $h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h(t).$ Beide Anteile sind in der Skizze dargestellt.
- Durch Integration über $h_{\rm HP}(t)$ und Multiplikation mit $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ kommt man zum gesuchten Signal $z(t)$.
In der unteren Skizze sind dargestellt:
- das Integral über $δ(t)$ blau,
- die Funktion $-σ(t)$ rot, und
- das gesamte Signal $z(t)$ grün.
- $z(t)$ ist eine ungerade Funktion in $t$ mit einer Sprungstelle bei $t = 0$: Der Signalwert bei $t = 0$ liegt genau in der Mitte zwischen dem links– und dem rechteckseitigem Grenzwert und ist somit Null.
- Für $t > 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ gilt ebenfalls $z(t) = 0$, da das Gesamtsystem eine Hochpass-Charakteristik aufweist.
(5) Die untere Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort $h_{\rm HP}(t)$ und die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$.
- Diese springt bei $t = 0$ auf $1$ und klingt bis zum Zeitpunkt $t = 2 \hspace{0.05cm} \rm ms$ auf den Endwert „Null” ab.
- Zum Zeitpunkt $t = 1\ \rm ms$ ergibt sich $σ_{\rm HP}(t) = 0.5$.
- Das Signal $z(t)$ ist formgleich mit der Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, ist jedoch noch mit $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ zu multiplizieren.
- Der gesuchte Signalwert zur Zeit $t_1 = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ ergibt sich also zu $z(t_1) \; \rm \underline{ = \ 0.5 \: {\rm V}}$.